2024年中考數(shù)學(xué)試題分類匯編：圓的有關(guān)計算與證明（29題）解析版

專題24圓的有關(guān)計算與證明（29題）

一、單選題

1.（2024.安徽.中考真題）若扇形AOB的半徑為6,ZAOB=120°,則四的長為（）

A.2萬B.3兀C.4萬D.6兀

【答案】C

【分析】此題考查了弧長公式，根據(jù)弧長公式計算即可.

【詳解】解：由題意可得，的長為與等=4",

lol）

故選：C.

2.（2024.貴州?中考真題）如圖，在扇形紙扇中，若ZAO3=150。，04=24,則AB的長為（）

A.30兀B.25兀C.20TID.IOTT

【答案】C

【分析】本題考查了弧長，根據(jù)弧長公式：/=黑求解即可.

【詳解】解：408=150。，04=24,

1507tx24

AB的長為=20兀

180~

故選：C.

3.（2024.云南?中考真題）某校九年級學(xué)生參加社會實踐，學(xué)習(xí)編織圓錐型工藝品.若這種圓錐的母線長

為40厘米，底面圓的半徑為30厘米，則該圓錐的側(cè)面積為（）

A.700兀平方厘米B.900兀平方厘米

C.1200兀平方厘米D.1600兀平方厘米

【答案】C

【分析】本題考查了圓錐的側(cè)面積，先求出圓錐底面圓的周長，再根據(jù)圓錐的側(cè)面積計算公式計算即可求

解，掌握圓錐側(cè)面積計算公式是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：圓錐的底面圓周長為271x30=60兀厘米，

圓錐的側(cè)面積為,x60nx40=1200兀平方厘米，

2

故選：C.

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4.（2024.四川甘孜.中考真題）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于＞0,OA=1,則48的長為（）

A.2B.招C.1D-I

【答案】C

【分析】本題考查了正六邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，由正六邊形的性質(zhì)得到4408=60。,

得到A03為等邊三角形，進而得至！JQ4=AS=1,判斷出—AC?為等邊三角形是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：：ABCDM是正六邊形,

360°

：.ZAOB=——=60°,

6

OA=OB,

A03為等邊三角形,

Q4=AB=1,

故選：C.

5.（2024?廣東廣州?中考真題）如圖，圓錐的側(cè)面展開圖是一個圓心角為72。的扇形，若扇形的半徑/是5,

VTTD.巫口

------71C.2娓TI

83

【答案】D

【分析】本題考查了弧長公式，圓錐的體積公式，勾股定理，理解圓錐的底面周長與側(cè)面展開圖扇形的弧

長相等是解題關(guān)鍵，設(shè)圓錐的半徑為「，則圓錐的底面周長為2仃，根據(jù)弧長公式得出側(cè)面展開圖的弧長,

進而得出r=l,再利用勾股定理，求出圓錐的高，再代入體積公式求解即可.

【詳解】解：設(shè)圓錐的半徑為小則圓錐的底面周長為2萬r,

圓錐的側(cè)面展開圖是一個圓心角為72。的扇形，且扇形的半徑/是5,

?.?扇形的弧長為7?胃77;-x25=2],

lot)

圓錐的底面周長與側(cè)面展開圖扇形的弧長相等,

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2yir=2乃，

...r=1,

圓錐的高為-、=2后，

圓錐的體積為x2#=友"，

33

故選：D.

6.（2024.四川遂寧?中考真題）工人師傅在檢查排污管道時發(fā)現(xiàn)淤泥堆積.如圖所示，排污管道的橫截面

是直徑為2米的圓，為預(yù)估淤泥量，測得淤泥橫截面（圖中陰影部分）寬48為1米，請計算出淤泥橫截面

的面積（）

【答案】A

【分析】本題考查了垂徑定理，勾股定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，求不規(guī)則圖形的面積，過點。作

0/），至于。，由垂徑定理得位＞=2。=142=l01,由勾股定理得。。=心m,又根據(jù)圓的直徑為2米

222

可得。4=0B=AB,得到，A03為等邊三角形，即得NAC?=60。，再根據(jù)淤泥橫截面的面積

=5扇W微-5AOB即可求解，掌握垂徑定理及扇形面積計算公式是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：過點。作ODLAB于。，則===ZADO=90°,

???圓的直徑為2米,

?*.OA=OB=1m,

OA=OB=AB,

???403為等邊三角形,

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???ZAOB=60°,

60KxI2-lxlx^=[15

J淤泥橫截面的面積=S扇形AOB-Sas—71---------m2,

36022"4J

故選：A.

.四川廣安?中考真題）如圖,

7.（2024在等腰三角形A3C中,AB=AC=10fNC=70。，以AB為直徑作

半圓，與AC,分別相交于點。,E,則DE的長度為（)

5兀c25兀

c,也D.——

9999

【答案】C

【分析】本題考查了求弧長.根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理求得NA的度數(shù)，證明O￡〃AC,

再由。4=OD,再由等腰三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)求得NOO石的度數(shù)，利用弧長公式即可求解.

【詳解】解：連接。。，OE,

：.ZABC=ZC=70°f

9：OE=OB,

：.ZOEB=ZB=70°,

???ZOEB=ZC=7Q°

：.OE//AC,

在，ABC中，ZA+ZABC+ZC=180°,

???ZA=180°-ZABC-ZC=180°-70°-70°=40°,

XOA=OD=-AB=5

2f

?：OEAC

：.ZA=ZADO=40°=ZDOE,

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,,[/^40Kx510K

的長度為一k

loU~9~

故選：C.

8.（2024.山東威海.中考真題）如圖，在扇形AQB中，NAO5=90。，點。是AO的中點.過點。作CELAO

交AB于點E，過點E作石。垂足為點O.在扇形內(nèi)隨機選取一點尸，則點尸落在陰影部分的概率

2

C.D.

~23

【答案】B

【分析】本題考查的是求不規(guī)則圖形的面積，幾何概率，根據(jù)陰影部分面積等于扇形QBE的面積，即可求

解.

【詳解】解：VZAOB=90°,CELAO,EDVOB

??四邊形OCD石是矩形,

q—q

uQCE~0,ODE

點。是AO的中點

OC=-OE=DE

2

sinZEOD=-=-

OE2

/EOD=30。

30KxAO2TIXAO290KxAO27ixAO2

S陰影部分=SODE+SBDE=5S扇形A08=

扇形QBE360123604

7ixAO2

點P落在陰影部分的概率是?W=-=：

S扇形AOB兀一3

4

故選：B.

二、填空題

9.（2024.四川成都.中考真題）如圖，在扇形A03中，OA=6,ZAOB=120°,則A8的長為

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o

【分析】此題考查了弧長公式，把已知數(shù)據(jù)代入弧長公式計算即可.

【詳解】解：由題意得的長為

故答案為：471

10.（2024?黑龍江齊齊哈爾?中考真題）若圓錐的底面半徑是1cm,它的側(cè)面展開圖的圓心角是直角，則該

圓錐的高為cm.

【答案】岳

【分析】本題考查了圓錐的計算.設(shè)圓錐的母線長為R,根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧

長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長和弧長公式得到2萬-1=蘭警，然后解方程即可得

lot）

母線長，然后利用勾股定理求得圓錐的高即可.

【詳解】解：設(shè)圓錐的母線長為R,

根據(jù)題意得2萬?1=3罌，

lot）

解得：R=4.

即圓錐的母線長為4cm,

...圓錐的高="2_12=后cm,

故答案是：V15.

11.（2024?吉林?中考真題）某新建學(xué)校因場地限制，要合理規(guī)劃體育場地，小明繪制的鉛球場地設(shè)計圖如

圖所示，該場地由一。和扇形03C組成，分別與（。交于點OA=\m,OB=10m,ZAOD=40°,

則陰影部分的面積為n?（結(jié)果保留兀）.

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【答案】117

【分析】本題考查了扇形面積公式，熟練掌握扇形面積公式是解題的關(guān)鍵.

利用陰影部分面積等于大扇形減去小扇形面積，結(jié)合扇形面積公式即可求解.

【詳解】解：由題意得：SEH舀=40萬（1°一一二）=11萬,

陰影360

故答案為：11%.

12.（2024.內(nèi)蒙古呼倫貝爾.中考真題）為了促進城鄉(xiāng)協(xié)調(diào)發(fā)展，實現(xiàn)共同富裕，某鄉(xiāng)鎮(zhèn)計劃修建公路.如

圖、42與C。是公路彎道的外、內(nèi)邊線，它們有共同的圓心。，所對的圓心角都是72。，點A,C,。在同

一條直線上，公路彎道外側(cè)邊線比內(nèi)側(cè)邊線多36米，則公路寬AC的長是一米.（兀取3.14,計算結(jié)果精

確到0.1）

【答案】28.7

【分析】本題考查了弧長公式，解一元一次方程等知識，利用弧長公式并結(jié)合題意可得出

72：，"-72：?=36,進而得出72：°,C=36,然后解方程并按要求取近似數(shù)即可.

lol）lot）loU

?、“左RY54?口4?口口K上/日71271OA772%?°C

【詳斛】解：根據(jù)意思，倚&=-180'%=180，

???公路彎道外側(cè)邊線比內(nèi)側(cè)邊線多36米，

.72/0472兀.0C“

>?—36,

180180

.72TT-(OA-OC)_必"=36

>?-30

180180

解得心—90丹90。28.7,

713.14

故答案為：28.7.

13.（2024?江蘇鹽城?中考真題）已知圓錐的底面圓半徑為4,母線長為5,則圓錐的側(cè)面積是

【答案】20萬

【分析】結(jié)合題意，根據(jù)圓錐側(cè)面積和底面圓半徑、母線的關(guān)系式計算，即可得到答案.

【詳解】解：???圓錐的底面圓半徑為4,母線長為5

/.圓錐的側(cè)面積S=;rx4x5=20萬

故答案為：20萬.

【點睛】本題考查了圓錐的知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握圓錐的性質(zhì)，從而完成求解.

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14.（2024?江蘇揚州?中考真題）若用半徑為10cm的半圓形紙片圍成一個圓錐的側(cè)面，則這個圓錐底面圓

的半徑為—cm.

【答案】5

【分析】本題考查了圓錐的計算.用到的知識點為：圓錐的側(cè)面展開圖弧長等于底面周長.

根據(jù)題意得圓錐的母線長為10cm,以及圓錐的側(cè)面展開圖的弧長，也就是圓錐的底面周長，除以2萬即為

圓錐的底面半徑.

【詳解】解：圓錐的側(cè)面展開圖的弧長為2萬xl0+2=10萬（cm）,

圓錐的底面半徑為10萬+2%=5（cm）,

故答案為：5.

15.（2024.四川自貢?中考真題）龔扇是自貢“小三絕”之一.為弘揚民族傳統(tǒng)文化，某校手工興趣小組將一

個廢棄的大紙杯側(cè)面剪開直接當(dāng)作扇面，制作了一個龔扇模型（如圖）.扇形外側(cè)兩竹條AB,AC夾角為

120°.48長30cm,扇面的8。邊長為18cm,則扇面面積為cm?（結(jié)果保留萬）.

【答案】252乃

【分析】根據(jù)扇形公式進行計算即可.本題考查了扇面面積計算，掌握扇面面積等于兩個扇形面積相減是

解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：扇面面積=扇形的面積-扇形D4E的面積

120x萬><3。2120X^X（30—18）2

360360

=3001-48萬

=252萬（cm?）,

故答案為：252萬.

16.（2024?甘肅?中考真題）甘肅臨夏磚雕是一種歷史悠久的古建筑裝飾藝術(shù)，是第一批國家級非物質(zhì)文化

遺產(chǎn).如圖1是一塊扇面形的臨夏磚雕作品，它的部分設(shè)計圖如圖2,其中扇形03C和扇形有相同

的圓心O,且圓心角/。=100。，若。4=120cm,05=60cm,則陰影部分的面積是cm?.（結(jié)果用

乃表示）

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0

【答案】3000萬

【分析】根據(jù)扇形面積公式計算即可.本題考查了扇形面積公式，熟練掌握扇形面積公式是解題的關(guān)鍵.

【詳解】???圓心角NO=100°,04=120cm,<9B=60cm,

陰影部分的面積是log"]?。？「00X"X602

360360

=3000TTcm2

故答案為：3000萬.

17.（2024?黑龍江綏化?中考真題）用一個圓心角為126。，半徑為10cm的扇形作一個圓錐的側(cè)面，這個圓

錐的底面圓的半徑為cm.

【答案】47

2

【分析】本題考查了弧長公式，根據(jù)圓錐的底面圓的周長等于側(cè)面的弧長，代入數(shù)據(jù)計算，即可求解.

【詳解】解：設(shè)這個圓錐的底面圓的半徑為Rem,由題意得，黑xl0xn=2兀R

lot）

解得：口七7

7

故答案為：—.

18.（2024?廣東深圳?中考真題）如圖，在矩形A3C。中，BC=&AB,。為3C中點，OE=AB=4,則扇

形EOF的面積為.

【分析】本題考查了扇形的面積公式，解直角三角形.利用解直角三角形求得=45。，NCOF=45。,

得到NEO尸=90。，再利用扇形的面積公式即可求解.

【詳解】解：：=,AB=4,

8C=4夜，

為BC中點，

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OB=OC=-BC=2y/2,

2

?/OE=4,

在RtOBE中,cosNBOE=^=^=也,

OE42

：./3OE=45°,

同理NCO產(chǎn)=45°,

ZEOF=180°-45°-45°=90°,

扇形EO尸的面積為9°"=4"，

360

故答案為：4萬.

19.（2024?吉林長春?中考真題）一塊含30。角的直角三角板ABC按如圖所示的方式擺放，邊A3與直線/重

合，48=12cm.現(xiàn)將該三角板繞點3順時針旋轉(zhuǎn)，使點C的對應(yīng)點。'落在直線/上，則點A經(jīng)過的路徑

長至少為cm.（結(jié)果保留萬）

【分析】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、弧長公式等知識點，掌握弧長公式成為解題的關(guān)鍵.

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得//由。=/4'3。=60。,即乙34=120°,再根據(jù)點A經(jīng)過的路徑長至少為以B為圓心,

以43為半徑的圓弧的長即可解答.

【詳解】解：：將該三角板繞點8順時針旋轉(zhuǎn)，使點C的對應(yīng)點C'落在直線/上，

ZABC=ZABC=60°,即ZA'B4=120°,

.1,2一口門后21/k1sr1200-7T-1020乃

..點A經(jīng)過的路徑長至少為———.

1oU3

故答案為：-

20.（2024.江蘇蘇州?中考真題）鐵藝花窗是園林設(shè)計中常見的裝飾元素.如圖是一個花瓣造型的花窗示意

圖，由六條等弧連接而成，六條弧所對應(yīng)的弦構(gòu)成一個正六邊形，中心為點。，所在圓的圓心C恰好

是；ASO的內(nèi)心，若AB=26,則花窗的周長（圖中實線部分的長度）=.（結(jié)果保留兀）

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【分析】題目主要考查正多邊形與圓，解三角形，求弧長，過點C作CELAB,根據(jù)正多邊形的性質(zhì)得出

AO3為等邊三角形，再由內(nèi)心的性質(zhì)確定NC4O=/C4E=/CBE=30。，得出NACB=120。，利用余弦

Ar

得出AC=f^=2,再求弧長即可求解，熟練掌握這些基礎(chǔ)知識點是解題關(guān)鍵.

cos30

【詳解】解：如圖所示：過點C作CELAB,

六條弧所對應(yīng)的弦構(gòu)成一個正六邊形,

NAOB=60°,OA=OB,

：.A03為等邊三角形,

:圓心C恰好是ABO的內(nèi)心,

ZCAO=NCAE=NCBE=30°,

^ACB=120°,

AB=2y/3,

/.AE=BE=布,

…$2,

?MI/+120x2x714

??A8的長為：一商一=￡兀，

1oUJ

4

???花窗的周長為：—7ix6=8K,

故答案為：8兀.

21.（2024?甘肅臨夏?中考真題）如圖，對折邊長為2的正方形紙片ABC。，為折痕，以點。為圓心，OM

為半徑作弧，分別交AD,BC于E,尸兩點，則廝的長度為（結(jié)果保留兀）.

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AED

■Mr山.2%,2

【答案】—/j^-

【分析】本題主要考查了弧長的計算、正方形的性質(zhì)及翻折變換（折疊問題），解直角三角形，熟知正方

形的性質(zhì)、圖形翻折的性質(zhì)及弧長的計算公式是解題的關(guān)鍵.

由對折可知，AEOM=ZFOM,過點E作。W的垂線，進而可求出/EO加的度數(shù)，則可得出NEO尸的度

數(shù)，最后根據(jù)弧長公式即可解決問題.

【詳解】解：：折疊，且四邊形ABCD是正方形

四邊形AQMD是矩形，ZEOM=ZFOM,

貝1JOM=AT>=2,DM=-CD=1.

2

過點E作￡P(guān)_LOA/于P,

OE=OM=AT)=2,CD=AD=2,

:.EP=-OE.

2

EP1

在RtEOP中，sin/EOP=——=

OE2

:.ZEOP=30°f

貝IJN石O尸=30。乂2=60。，

故答案為：號-.

22.（2024?黑龍江大興安嶺地?中考真題）若圓錐的底面半徑為3,側(cè)面積為36兀，則這個圓錐側(cè)面展開圖

的圓心角是°.

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【答案】90

【分析】此題主要考查了圓錐的側(cè)面積公式以及與展開圖扇形面積關(guān)系，求出圓錐的母線長是解決問題的

關(guān)鍵.根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式S=71〃求出圓錐的母線長，再結(jié)合扇形面積公式即可求出圓心角的度數(shù).

【詳解】根據(jù)圓錐側(cè)面積公式：S-nrl,可得兀x3x/=36兀

解得：/=12,

解得〃=90,

???側(cè)面展開圖的圓心角是90。.

故答案為：90.

23.（2024.吉林長春?中考真題）如圖，A3是半圓的直徑，AC是一條弦，。是AC的中點，DEJ.AB于

點E,交AC于點尸，交AC于點G,連結(jié)&￡>.給出下面四個結(jié)論:

?ZABD=ZDAC；

?AF=FG；

③當(dāng)DG=2,G3=3時，F(xiàn)G=—；

2

④當(dāng)80=240，AB=6時，_DFG的面積是6.

上述結(jié)論中，正確結(jié)論的序號有.

【答案】①②③

【分析】如圖：連接OC,由圓周角定理可判定①；先說明NBDE=ZAGD、ZADE=4MC可得DF=FG、

…口，即可判定②；先證明WGs3蛆可得器=黑，即灰扁=筆，代入數(shù)據(jù)可得

AD=?然后運用勾股定理可得AG=巧，再結(jié)合AF=FG即可判定③；如圖：假設(shè)半圓的圓心為O,

連接CO,CD,易得NAOD=NDO。=60。，從而證明二是等邊二角形，即ADCO是菱形,

然后得到4MC=NQ4C=30。，再解直角三角形可得DG=26，根據(jù)三角形面積公式可得S,.,

最后根據(jù)三角形的中線將三角形平分即可判定④.

【詳解】解：如圖：連接。C,

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B

是AC的中點,

AD=DC9

：.ZABD=ZDACf即①正確;

?.?A3是直徑，

：.ZADB=9Q°f

：.ZDAC+ZAGD=9Q0,

*.*DE±AB

：.?BDE1ABD90?,

ZABD=ZDAC,

：.ZBDE=ZAGD,

：.DF=FG,

?:?BDE1ABD90?,NBDE+ZADE=900,

：.ZADE=ZABD,

9：ZABD=ZDAC,

：.ZADE=ZDAC,

:?AF=FD,

???AF=/G,即②正確；

在△ADG和△?!,

[ZADG=ZBDA=90°

[ZDAG=ZDBA

：.ADG^BDA,

.ADGDADGD

??---=----,即nn---------=----,

BDADDG+BGAD

「?AG=YJAD2-^DG2

?：AF=FG,

第14頁共29頁

FG=-AG=—,即③正確;

22

如圖：假設(shè)半圓的圓心為O,連接OD,CO,CD,

7BD=2AD-AB=6，。是AC的中點，

AD=DC=-AB,

3

ZAOD=ZDOC=60°,

'：OA=OD=OC,

.?…AOD,_ODC是等邊三角形，

AOA=AD=CD=OC=OD=6,即ADCO是菱形，

ADAC=ZOAC=-ZDAO=30°,

2

VZADB=90°,

AtanZJDAC=tan30°=—,即且=空，解得：DG=2瓜

AD36

5ADG=1A￡>-DG=1X6><2V3=6V3,

'：AF=FG

【點睛】本題主要考查了圓周角定理、解直角三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、菱形的判定

與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識點，靈活運用相關(guān)知識成為解題的關(guān)鍵.

三、解答題

24.（2024?廣東?中考真題）綜合與實踐

【主題】濾紙與漏斗

【素材】如圖1所示：

①一張直徑為10cm的圓形濾紙；

②一只漏斗口直徑與母線均為7cm的圓錐形過濾漏斗.

第15頁共29頁

H7cm-d

圖1

【實踐操作】

步驟1:取一張濾紙；

步驟2：按如圖2所示步驟折疊好濾紙；

步驟3：將其中一層撐開，圍成圓錐形；

步驟4：將圍成圓錐形的濾紙放入如圖1所示漏斗中.

圖2

【實踐探索】

(1)濾紙是否能緊貼此漏斗內(nèi)壁(忽略漏斗管口處)？用你所學(xué)的數(shù)學(xué)知識說明.

(2)當(dāng)濾紙緊貼漏斗內(nèi)壁時，求濾紙圍成圓錐形的體積.(結(jié)果保留兀)

【答案】(1)能，見解析

【分析】本題考查了圓錐，解題的關(guān)鍵是：

(1)利用圓錐的底面周長=側(cè)面展開扇形的弧長求出圓錐展開圖的扇形圓心角，即可判斷；

(2)利用圓錐的底面周長=側(cè)面展開扇形的弧長，求出濾紙圍成圓錐形底面圓的半徑，利用勾股定理求

出圓錐的高，然后利用圓錐體積公式求解即可.

【詳解】(1)解：能，

理由：設(shè)圓錐展開圖的扇形圓心角為〃。，

根據(jù)題意，得r黑jTT?*7=7兀，

loO

解得九=180?,

.??將圓形濾紙對折，將其中一層撐開，圍成圓錐形，此時濾紙能緊貼此漏斗內(nèi)壁；

(2)解：設(shè)濾紙圍成圓錐形底面圓的半徑為rem,高為/zem,

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ti"?口工打,口1807rx5

根據(jù)題意，得2仃=,

lol)

解得，=4,

2

??"二卜-0=2

；?圓錐的體積為工萬廠％=工萬、e丫x*百=更病n?.

33Uj224

25.(2024.黑龍江大興安嶺地.中考真題)如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1個單位長度,

在平面直角坐標(biāo)系中，ABC的三個頂點坐標(biāo)分別為A(-M),川-2,3),C(-5,2).

(1)畫出,45。關(guān)于Y軸對稱的44耳￡,并寫出點用的坐標(biāo)；

⑵畫出.ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。后得到的ABC,并寫出點B2的坐標(biāo)；

(3)在(2)的條件下，求點8旋轉(zhuǎn)到點層的過程中所經(jīng)過的路徑長(結(jié)果保留兀)

【答案】(1)作圖見解析，4(2,3)

⑵作圖見解析，B2(-3,0)

(3)事

2

【分析】本題考查了利用旋轉(zhuǎn)變換作圖，軸對稱和扇形面積公式等知識，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)準(zhǔn)確找出對應(yīng)

點的位置是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)題意畫出即可；關(guān)于y軸對稱點的坐標(biāo)橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變；

(2)根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點8、C以點A為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)90。后的對應(yīng)點，然后順次連接即可；

(3)先求出=再由旋轉(zhuǎn)角等于90。，利用弧長公式即可求出.

【詳解】(1)解：如圖，為所求；點4的坐標(biāo)為(2,3),

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（2）如圖，AB2C2為所求；B2（-3,0）,

⑶AB=Vl2+22=A/5>

點2旋轉(zhuǎn)到點區(qū)的過程中所經(jīng)過的路徑長跑亙=更萬.

■1802

26.（2024?山東?中考真題）如圖，在四邊形A3CD中，AD//BC,ZDAB=60°,AB=BC=2AD=2.以

點A為圓心，以AD為半徑作交于點E,以點B為圓心，以BE為半徑作項所交于點尸，連接尸。

交環(huán)于另一點G,連接CG.

（1）求證：CG為如■所在圓的切線；

（2）求圖中陰影部分面積.（結(jié)果保留萬）

【答案】（1）見解析

（2）

43

【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)和判定，圓的性質(zhì)，扇形面積，等邊三角形的性質(zhì)等知識點，證明四

邊形ABFD是平行四邊形是解題關(guān)鍵.

（1）根據(jù)圓的性質(zhì)，證明3/=3E=AD=AE=b,即可證明四邊形MED是平行四邊形，再證明BFG

是等邊三角形，再根據(jù)圓的切線判定定理即可證得結(jié)果.

（2）先求出平行四邊形的高根據(jù)扇形面積公式三角形面積公式，平行四邊形面積公式求解即可.

【詳解】（1）解：連接BG如圖，

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D

根據(jù)題意可知：AD=AE,BE=BF

又?：AB=BC,

：.CF=AE=ADf

,:BC=2AD,

：.BF=BE=AD=AE=CF,

AD//BC,

???四邊形ABED是平行四邊形，

：.ZBFD=ZDAB=60°,

?：BG=BF,

???班G是等邊三角形，

：.GF=BF,

：.GF=BF=FC,

???G在以BC為直徑的圓上，

ZBGC=90°,

???CG為〃所在圓的切線.

(2)過。作于點”，

由圖可得：s陰影=sABFD-S扇AE￡>-$扇BEG-'BFG,

在中，AD=1,ZDAB=6Q0,

DH=ADsinZDAB=lx^=^-,

22

**?SABFD=AB?DH=2x=^/3?

由題可知：扇形AD￡和扇形8GE全等,

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nTvr160?（AD）260xxI27i

S扇AED=S扇BGE

360360―360~~6

等邊三角形5尸G的面積為：-GFDH=-xlx^=^~,

2224

?C_C_C_C_C_/o_3'^_工

*,?陰影—?ABFD-?扇AED一?扇BEG->BFG~~~§

27.（2024?福建?中考真題）如圖，在.ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,以A3為直徑的。交BC于點D,

AE±OC,垂足為EBE的延長線交AD于點下.

⑴求二”的值；

AE

(2)求證：AAEB^ABEC；

(3)求證：A￡＞與EF互相平分.

【答案】⑴!

(2)證明見解析

(3)證明見解析

【分析】(1)先證得AC=2AO,再在RtAOC中，tanZAOC=——=2.在RtzXAOE中，tanZAOC=——,

AOOE

AE

可得==2,再證得結(jié)果；

OE

(2)過點與作交EO延長線于點M,先證明AOE^,BOM,可得AE=5M,OE=OM,再

證得ZBAE=NCBE,再由相似三角形的判定可得結(jié)論；

AFAB2ADAO

(3)如圖，連接?！?。產(chǎn)，由(2)AAEBsABEC,可得一=—=—=—,Z￡AO=ZEBD,從而

BEBC2BDBD

得出AOEs,BDE,得出N5KD=NAR9=90。，得出NAra=NDEF,再由平行線判定得出AF〃。后，

AE//FD,從而得出四邊形姐乃是平行四邊形，最后由平行四邊形的性質(zhì)可得結(jié)果.

【詳解】(1)AB=AC,且AB是。的直徑，

..AC=240.

ABAC=9Q°,

第20頁共29頁

???在RtAOC中，tanZAOC=—=2.

AO

AELOC,

AI7

???在RtZXAO石中，tanZAOC=——.

OE

』2,

OE

OE

---=一；

AE2

(2)過點區(qū)作交￡。延長線于點M.

/.ZBAE=ZABM,ZAEO=ZBMO=90°

AO=BO,

.△AOE之△BOM,

,AE=BM,OE=OM.

OE_1

法一5'

;BM=2OE=EM,

./MEB=/MBE=45。,

;ZAEB=ZAEO+ZMEB=135。,ZBEC=180°-ZMEB=135°,

.ZAEB=/BEC.

AB=AC,ZBAC=90°f

.ZABC=45°,

.\ZABM=ZCBE9

:.ZBAE=ACBE,

.,.△AEBsABEC.

(3)如圖，連接。尸.

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D

回是的直徑,

B

/.ZADB=ZAFB=90°,AB=2AO.

AB=AC,ZBAC=90°f

BC=2BD,ZDAB=45°.

由（2）知，AAEB^ABEC,

器BC需嚼㈤皿

:.“OEsABDE,

ZBED=ZAEO=90°.

:.ZDEF=9Q°.

:.ZAFB^ZDEF,

:.AF//DE.

由（2）知，ZA￡S=135°,

ZAEF=180°-ZAEB=45°.

ZDFB=NDAB=45°,

：.ZDFB=ZAEF,

:.AE//FD,

四邊形A￡Z用是平行四邊形,

.:AD與E尸互相平分.

【點睛】本小題考查等腰三角形及直角三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、全等三角形的判定與性質(zhì)、

相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、圓的基本性質(zhì)等基礎(chǔ)知識,

考查推理能力、幾何直觀、運算能力、創(chuàng)新意識等，熟練掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)定理是關(guān)鍵.

28.（2024?陜西?中考真題）問題提出

（1）如圖1,在中，AB=15,NC=30°,作一ABC的外接圓：O.則AC2的長為;（結(jié)果

保留兀）

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問題解決

-----B

圖1

(2)如圖2所示，道路A5的一側(cè)是濕地.某生態(tài)研究所在濕地上建有觀測點D,E,C,線段AD,AC和

3c為觀測步道，其中點A和點8為觀測步道出入口，已知點E在AC上，且AE=EC,ZZMS=60°,

NABC=120。，AB=1200m,AD=BC=900m,現(xiàn)要在濕地上修建一個新觀測點P,使/DPC=60。.再

在線段A3上選一個新的步道出入口點?并修通三條新步道尸尸，PD,PC,使新步道PF經(jīng)過觀測點E,

并將五邊形ABCPD的面積平分.

請問：是否存在滿足要求的點尸和點F?若存在，求此時PF的長；若不存在，請說明理由.(點A,B,C,

P,。在同一平面內(nèi)，道路48與觀測步道的寬、觀測點及出入口的大小均忽略不計，結(jié)果保留根號)

【答案】(1)25萬；(2)存在滿足要求的點尸和點凡此時尸尸的長為9006+1200)m.

【分析】(1)連接。4、OB,證明，等邊三角形，再利用弧長公式計算即可求解；

(2)點尸在以。為圓心，圓心角為120。的圓上，如圖，由題意知直線尸尸必經(jīng)過的中點得到四邊

形AFMD是平行四邊形，求得句W=4)=900m,作于點N,解直角三角形求得CN和MN的長，

再證明△PMCSADPC,利用相似三角形的性質(zhì)求得PC?=720000,據(jù)此求解即可.

【詳解】解：(1)連接。4、OB,

,/"=30°,

ZAOB=60°,

"?OA=OB,

二”。出等邊三角形,

第23頁共29頁

?：AB=15,

：.OA=OB=15f

300%?15

.**ACB的長為=257r；

180

故答案為：25萬；

（2）存在滿足要求的點尸和點凡此時竹的長為卜00際+1200）m.理由如下,

解：VZZMfi=60°,ZASC=120°,

：.ZDAB+ZABC=180°,

：.AD//BC,

AD=3C=900m,

四邊形ABCD是平行四邊形，

要在濕地上修建一個新觀測點P,使ZDPC=60°,

.??點尸在以。為圓心，CD為弦,圓心角為120。的圓上，如圖,

"?AE=EC,

經(jīng)過點E的直線都平分四邊形MCD的面積，

???新步道尸產(chǎn)經(jīng)過觀測點E,并將五邊形ABCPD的面積平分,

直線PF必經(jīng)過。的中點M,

ME■是的中位線，

ME//AD,

'：MF//AD,DM//AF,

；?四邊形ARWD是平行四邊形，

FM=AD=900m,

作CNLPF于點N,

第24頁共29頁

:四邊形A?。是平行四邊形，ZDAB=60°,

：.ZPMC=ZDMF=ZDAB=60°,

?/CM=^CD=^AB=6^(m),

/.MN=CM-cos600=300(m),CN=CM-sin600=300^(m),

ZPMC=ZDPC=60°,

Z\PMC^Z\DPC,

:?生=生，即PC600

CDPC1200—PC

PC2=720000,

在RtzXPCN中，PN=4PC2+CN-=V720000-270000=300方(m),

PF=300A+300+900=(300君+1200)m.

答：存在滿足要求的點P和點F,此時PF的長為（3006+1200）m.

【點睛】本題考查了圓周角定理，解直角三角形，平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判

定和性質(zhì)，正確引出輔助線解決問題是解題的關(guān)鍵.

29.（2024?江蘇連云港?中考真題）【問題情境】

（1）如圖1,圓與大正方形的各邊都相切，小正方形是圓的內(nèi)接正方形，那么大正方形面積是小正方形面

積的幾倍？小昕將小正方形繞圓心旋轉(zhuǎn)45°（如圖2）,這時候就容易發(fā)現(xiàn)大正方形面積是小正方形面積的

由此可見，圖形變