賀蘭一中第二學(xué)期高二年級第三階段考試試卷（數(shù)學(xué)）參考答案

賀蘭一中2023~2024學(xué)年第二學(xué)期高二年級第三階段考試試卷（數(shù)學(xué)）命卷人：南江華 審卷人：馬應(yīng)龍參考答案一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．命題“”的否定是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用存在量詞命題的否定求解即可.【詳解】命題：是存在量詞命題，其否定是全稱量詞命題，所以命題：的否定是：.2．已知集合，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】化簡集合，根據(jù)集合交集的概念求解即可.【詳解】由題意可得，由，解得或，所以或，所以，3．已知，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】利用不等式的性質(zhì)證明必要性，舉反例否定充分性即可.【詳解】當(dāng)時，滿足，但，故充分性不成立，若，當(dāng)時，必有成立，當(dāng)時，必有，故必要性成立，故“”是“”的必要不充分條件，故B正確.4．某地區(qū)5000名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績X（單位：分）服從正態(tài)分布，且成績在的學(xué)生人數(shù)約為1600，則估計成績在100分以上的學(xué)生人數(shù)約為（

）A．400 B．900 C．1800 D．2500【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，求出，再利用正態(tài)分布的對稱性求出即可求解即得.【詳解】由，成績在的學(xué)生人數(shù)約為1600，得，因此，所以成績在100分以上的學(xué)生人數(shù)約為.5．關(guān)于的不等式：的解集為（

）A． B．C．或 D．或【答案】B【分析】將分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式即可解.【詳解】由得，其解集等價于，解得.6．已知3名教師和4名學(xué)生排成一排照相，每位教師互不相鄰，且教師甲和學(xué)生乙必須相鄰，一共有多少種不同的排法？（

）A．144 B．288 C．576 D．720【答案】C【分析】利用捆綁法和插空法結(jié)合分步乘法計數(shù)原理求解即可.【詳解】先將教師甲和學(xué)生乙捆綁成一個元素，與另外3名學(xué)生全排列，則有種方法，再將剩下的兩名教師插入除去與教師甲相鄰的四個空位中，有種方法，所以由分步乘法計數(shù)原理可知共有種不同的排法，7．2023年第19屆亞運會在杭州舉行，亞運會的吉祥物琮琮、蓮蓮、宸宸深受大家喜愛，某商家統(tǒng)計了最近5個月銷量，如表所示：若y與x線性相關(guān)，且線性回歸方程為，則下列說法不正確的是（

）時間x12345銷售量y/萬只54.543.52.5A．由題中數(shù)據(jù)可知，變量y與x負相關(guān)B．當(dāng)時，殘差為0.2C．可以預(yù)測當(dāng)時銷量約為2.1萬只D．線性回歸方程中【答案】B【分析】對于選項A，利用表中數(shù)據(jù)變化情況或看回歸方程的正負均可求解；對于選項B，利用樣本中心點求出線性回歸方程，再利用回歸方程即可求出預(yù)測值，進而可求出殘差；對于選項C，利用回歸方程即可求出預(yù)測值；對于選項D，利用回歸方程一定過樣本中心點即可求解.【詳解】對于選項A，從數(shù)據(jù)看，隨的增大而減小，所以變量與負相關(guān)，故A正確；對于選項B，由表中數(shù)據(jù)知，，所以樣本中心點為，將樣本中心點代入中得，所以線性回歸方程為，所以，殘差，故B錯誤；對于選項C，當(dāng)時銷量約為（萬只），故C正確．對于選項D，由B選項可知，故D正確.8．甲、乙二人爭奪一場圍棋比賽的冠軍，若比賽為“五局三勝”制，甲在每局比賽中獲勝的概率均為，且各局比賽結(jié)果相互獨立.

在甲獲得冠軍的條件下，比賽進行了五局的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先計算甲贏的概率，再由條件概率的內(nèi)容求出結(jié)果即可.【詳解】比三場，甲贏的概率為；比四場，甲第四場贏，甲贏的概率為；比五場，甲第五場贏，甲贏的概率為；所以甲贏的概率為，所以甲獲得冠軍的條件下，比賽進行了五局的概率為，【點睛】方法點睛：條件概率的公式內(nèi)容為.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．若方程的兩個根是1和3，則對函數(shù)下列正確的是（

）A．在上單調(diào)遞減B．不等式的解集是C．在上單調(diào)遞增D．最大值是【答案】AB【分析】利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求出，得到函數(shù)的解析式，利用函數(shù)性質(zhì)，求單調(diào)區(qū)間和最值，解函數(shù)不等式.【詳解】若方程的兩個根是1和3，則有，解得，所以，二次函數(shù)，圖像拋物線開口向上，對稱軸方程為，得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則A選項正確，C選項錯誤；不等式的解集是，B選項正確；由單調(diào)性可知，函數(shù)沒有最大值，D選項錯誤.10．關(guān)于的展開式，下列判斷正確的是（

）A．展開式共有6項B．展開式的各二項式系數(shù)的和為64C．展開式的第6項的系數(shù)為30D．展開式中二項式系數(shù)最大的項是第4項【答案】BD【分析】根據(jù)二項式定理逐一判斷即可.【詳解】解：展開式共有7項，故A錯誤；展開式的各二項式系數(shù)的和為，故B正確；展開式的第6項是，其系數(shù)為30，故C錯誤；展開式共7項，所以第4項的二項式系數(shù)最大，故D正確.11．已知函數(shù)，則下列說法正確的有（

）A．若為單調(diào)遞減函數(shù)，則B．若有一個極值點為e，則C．當(dāng)時，的圖象與x軸相切D．若有且僅有一個零點，則【答案】AC【分析】對A，由為單調(diào)遞減函數(shù)，則導(dǎo)函數(shù)恒小于或等于0，求解即可；對B，由極值點導(dǎo)數(shù)值為0可解；對C，求出函數(shù)的圖象在點處的切線為，可判斷；對D，令，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點.【詳解】對A：函數(shù)的定義域為，則，由為單調(diào)遞減函數(shù)，得，即，令，，求導(dǎo)得，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，則當(dāng)時，，于是，解得，故A正確；對B：若有一個極值點為e，則，即，解得，顯然B錯誤；對C：當(dāng)時，，顯然，，且，因此函數(shù)的圖象在點處的切線為，則當(dāng)時，的圖象與x軸相切，C正確；對D：由，得，令，求導(dǎo)得，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，而當(dāng)時，，當(dāng)時，，因此函數(shù)僅有一個零點；當(dāng)時，若，則，單調(diào)遞增，若，則，單調(diào)遞減，則當(dāng)時，，函數(shù)只有一個零點，當(dāng)且僅當(dāng)，解得，所以當(dāng)或時，有且僅有一個零點，D錯誤．【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的基本步驟(1)作差或變形．(2)構(gòu)造新的函數(shù)h(x)．(3)利用導(dǎo)數(shù)研究h(x)的單調(diào)性或最值．(4)根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式．特別地：當(dāng)作差或變形構(gòu)造的新函數(shù)不能利用導(dǎo)數(shù)求解時，一般轉(zhuǎn)化為分別求左、右兩端兩個函數(shù)的最值問題．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．若，則的值為.【答案】【分析】利用賦值法求解.【詳解】根據(jù)題意，，令，得，令，得，所以.13．若關(guān)于的不等式的解集為，則實數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】由一元二次不等式的解集為，可知二次函數(shù)開口向上，判別式小于0，解得即可.【詳解】當(dāng)時，，，不滿足題意；當(dāng)時，,所以，綜上，實數(shù)的取值范圍為.14．已知有兩個盒子，其中盒裝有3個黑球和3個白球，盒裝有3個黑球和2個白球，這些球除顏色外完全相同．甲從盒、乙從盒各隨機取出一個球，若2個球同色，則甲勝，并將取出的2個球全部放入盒中，若2個球異色，則乙勝，并將取出的2個球全部放入盒中．按上述方法重復(fù)操作兩次后，盒中恰有7個球的概率是．【答案】【分析】確定出兩次取球后盒中恰有7個球必須滿足兩次取球均為乙獲勝，再分別計算出第一次取黑球、第二次取白球和第一次取白球、第二次取黑球的概率，相加即可求得結(jié)果.【詳解】若兩次取球后，盒中恰有7個球，則兩次取球均為乙獲勝；若第一次取球甲取到黑球，乙取到白球，其概率為，第一次取球后盒中有2個黑球和3個白球，盒裝有4個黑球和2個白球，第二次取到異色球為取到一個白球一個黑球，其概率為；此時盒中恰有7個球的概率為；若第一次取球甲取到白球，乙取到黑球，其概率為，第一次取球后盒中有3個黑球和2個白球，盒裝有3個黑球和3個白球，第二次取到異色球為取到一個白球一個黑球，其概率為；此時盒中恰有7個球的概率為；所以盒中恰有7個球的概率為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的突破口在于先分清楚兩次取球后，盒中恰有7個球必須滿足兩次取球均為乙獲勝；再分別討論并計算出第一次取黑球、第二次取白球和第一次取白球、第二次取黑球的概率即可求得結(jié)果.四、解答題：本題共5小題，其共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的極值及相應(yīng)的的值；(2)求曲線在點處切線的方程.【答案】(1)當(dāng)時，取得極大值為；當(dāng)時，取得極小值為(2)【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合極值的的概念即可求解；300遞增遞減遞增（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義計算即可求解.【詳解】（1）令，得或.則當(dāng)變化時，與的變化情況如下表函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；當(dāng)時，取得極大值，極大值為；當(dāng)時，取得極小值，極小值為.（2），，從而，，因此，函數(shù)點處的切線方程為：.16．2023年秋季，支原體肺炎在我國各地流行，該疾病的主要感染群體為青少年和老年人．某市醫(yī)院傳染病科從該市各醫(yī)院某段時間就醫(yī)且年齡在70歲以上的老年人中隨機抽查了200人，并調(diào)查其患病情況，將調(diào)查結(jié)果整理如下：有慢性疾病沒有慢性疾病合計未感染支原體肺炎4080感染支原體肺炎40合計120200(1)完成列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析70歲以上老年人感染支原體肺炎與自身慢性疾病是否有關(guān)？(2)用樣本估計總體，并用本次抽查中樣本的頻率代替概率，從本市各醫(yī)院某段時間就醫(yī)且年齡在70歲以上的老年人中隨機抽取3人，設(shè)抽取的3人中感染支原體肺炎的人數(shù)為X，求X的分布列，數(shù)學(xué)期望和方差．附：，．0.100.050.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828【答案】(1)列聯(lián)表見解析，有關(guān).(2)分布列見解析，.【分析】（1）根據(jù)已知數(shù)據(jù)完善列聯(lián)表，計算卡方值并與臨界值比較即可；（2）根據(jù)二項分布概率公式寫出分布列，再計算其期望和方差即可.【詳解】（1）（1）列聯(lián)表，如圖所示：有慢性疾病沒有慢性疾病合計未感染支原體肺炎404080感染支原體肺炎8040120合計12080200假設(shè)歲以上老人感染支原體肺炎與自身慢性疾病無關(guān).則，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，即認(rèn)為70歲以上老人感染支原體肺炎與自身慢性疾病有關(guān)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05.（2）70歲以上的老年人中隨機抽查了200人，感染支原體肺炎的老年人為120人，則感染支原體肺炎的頻率為，由已知得，，0123，所以隨機變量的分布列為：所以,.17．有和兩道謎語，張某猜對謎語的概率為0.8，猜對得獎金10元;猜對謎語的概率為0.5，猜對得獎金20元.每次猜謎的結(jié)果相互獨立.(1)若張某猜完了這兩道謎語，記張某猜對謎語的道數(shù)為隨機變量，求隨機變量的分布列與期望;(2)現(xiàn)規(guī)定：只有在猜對第一道謎語的情況下，才有資格猜第二道.如果猜謎順序由張某選擇，為了獲得更多的獎金，他應(yīng)該選擇先猜哪一道謎語?【答案】(1)分布列見解析，(2)先猜A【分析】（1）根據(jù)題意，由條件可得的可能取值為，然后分別求得其對應(yīng)概率，結(jié)合期望的定義，代入計算，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，分別求得先猜A謎語得到的獎金期望與先猜B謎語得到的獎金期望，比較大小，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）由題意可得，的可能取值為，，，，則分布列為則.（2）設(shè)選擇先猜A謎語得到的獎金為元，選擇先猜B謎語得到的獎金為元，則隨機變量的可能取值為：0，10，30，Y01030P0.20.40.4可得，，，所以隨機變量的的分布列為：所以期望；Z02030P0.50.10.4又由隨機變量的可能取值為：0，20，30，可得，，，隨機變量的分布列為：所以期望為，∴，所以小明應(yīng)該先猜A.18．（1）若，且，求：（i）的最小值；（ii）的最小值.（2）解關(guān)于的不等式：.【答案】（1）（i）（ii）；（2）見解析【分析】根據(jù)基本不等式即可直接求解（i）（2），利用乘“1”法即可求解（ii），【詳解】（1）（i）由，及基本不等式，可得，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，的最小值為64；（ii），，，，當(dāng)且僅當(dāng)且，即，時等號成立，即取得最小值18；（2）19．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求函數(shù)的最小值；(2)試討論函數(shù)的單調(diào)性；(3)當(dāng)時，不等式恒成立，求整數(shù)a的最大值．【答案】(1)(2)答案見詳解(3)4【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性和最值；（2）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，對進行分類討論即可得出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）問題轉(zhuǎn)化為恒成立，令新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求其最小值的范圍，即可求得整數(shù)的最大值.【詳解】（1）當(dāng)時，則，可知的定義域為，且，令，解得；令，解得，可知的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，所以函數(shù)的最小值為.（2）由題意可知的定義域為，且，當(dāng)時，恒成立，所以的單調(diào)遞減區(qū)間是，無單調(diào)遞增區(qū)間.當(dāng)時，令解得，令，解得；令，解得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；綜上所述：當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間是，無單調(diào)遞增區(qū)間；當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.（3）當(dāng)