人教版八年級數(shù)學(xué)上冊重難考點(diǎn)專題04等邊三角形(知識串講+5大考點(diǎn))特訓(xùn)(原卷版+解析)

專題04等邊三角形考點(diǎn)類型知識串講（一）等邊三角形（特殊的等腰三角形）（1）等邊三角形性質(zhì)①等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)角都等于60o②在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30o，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半（2）等邊三角形判定①三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形。②有一個(gè)角是60o的等腰三角形是等邊三角形。（二）解題方法（1）三角形三個(gè)內(nèi)角的平分線交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三邊的距離等。（2）三角形三個(gè)邊的中垂線交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。（3）常用輔助線：=1\*GB3①三線合一；=2\*GB3②過中點(diǎn)做平行線[來源:（4）含30°角的直角三角形性質(zhì)（三）等腰三角形與等邊三角形的區(qū)別與聯(lián)系考點(diǎn)訓(xùn)練考點(diǎn)1：等邊三角形的性質(zhì)——求角度典例1：（2023春·四川成都·八年級統(tǒng)考期末）如圖，將等邊三角形ABC紙片折疊，使得點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)D落在BC邊上，其中折痕分別交邊AB,AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接DE,DF．若DF⊥BC，則∠AEF

A．15° B．30° C．45° D．60°【變式1】（2023·北京海淀·人大附中?？既＃┯靡粔K等邊三角形的硬紙片（如圖1）做一個(gè)底面為等邊三角形且高相等的無蓋的盒子（邊縫忽略不計(jì)，如圖2），在△ABC的每個(gè)頂點(diǎn)處各剪掉一個(gè)四邊形，其中四邊形AMDN中，∠MDN的度數(shù)為（

）

A．100° B．110° C．120° D．130°【變式2】（2023·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題）如圖，BD是等邊△ABC的邊AC上的高，以點(diǎn)D為圓心，DB長為半徑作弧交BC的延長線于點(diǎn)E，則∠DEC=（

）

A．20° B．25° C．30° D．35°【變式3】（2023·河南周口·河南省淮陽中學(xué)?？既＃┤鐖D，l∥m，等邊三角形ABC的頂點(diǎn)B在直線m上，∠1=25°，則∠2的度數(shù)為（

）

A．65° B．45° C．40° D．35°考點(diǎn)2：等邊三角形的性質(zhì)——求線段典例2：（2023春·廣東清遠(yuǎn)·八年級校聯(lián)考期中）如圖，點(diǎn)E在等邊△ABC的邊BC上，BE=6，射線CD⊥BC，垂足為點(diǎn)C，點(diǎn)P是射線CD上一動點(diǎn)，點(diǎn)F是線段AB上一動點(diǎn)，當(dāng)EP+FP的值最小時(shí)，BF=7，則AB的長為（

）

A．7 B．8 C．9 D．10【變式1】（2023春·全國·八年級階段練習(xí)）如圖，等邊△ABC的邊長為4，AD是△ABC的邊BC上的高，過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E，則AE的長是（）A．1 B．2 C．3 D．4【變式2】（2023秋·山東威?！て吣昙壗y(tǒng)考期末）如圖，△ABC和△BDE都是等邊三角形，點(diǎn)A，D，E在同一條直線上，BE=2，CE=4，則A．6 B．5 C．8 D．7【變式3】（2023春·遼寧沈陽·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，△ABC是等邊三角形，D是線段BC上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），連接AD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段AB,AC的延長線上，且DE=DF=AD，點(diǎn)D從B運(yùn)動到C的過程中，△CDF周長的變化規(guī)律是（

）A．不變 B．一直變小 C．先變大后變小 D．先變小后變大考點(diǎn)3：等邊三角形的性質(zhì)與判定綜合典例3：（2023秋·八年級課時(shí)練習(xí)）如圖，已知等邊三角形ABC的邊長為3，過AB邊上一點(diǎn)P作PE⊥AC于點(diǎn)E，Q為BC延長線上一點(diǎn)，取PA=CQ，連接PQ，交AC于點(diǎn)M，則EM的長為（

）

A．12 B．32 C．1【變式1】（2022秋·安徽黃山·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知等邊△ABC和等邊△BPE，點(diǎn)P在BC的延長線上，EC的延長線交AP于點(diǎn)M，連接BM，有下列結(jié)論：①AP=CE；

②∠PME=60°；

③MB平分∠AME；

④AM+MC=BM，其中正確的結(jié)論是（

）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【變式2】（2023春·重慶九龍坡·八年級重慶實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校?？奸_學(xué)考試）如圖，點(diǎn)D、點(diǎn)E分別是等邊△ABC的邊AB、AC上的點(diǎn)，且AD=CE，連接CD、BE交于點(diǎn)O，在OB上截取OF，使得A．BE=CD B．∠BOC=120° C．∠BDF=∠ACD D．DO=OC【變式3】（2023秋·四川宜賓·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在直線AC的同一側(cè)作兩個(gè)等邊三角形△ABD和△BCE，連接AE與CD，AE與CD交于點(diǎn)H，AE與BD交于點(diǎn)G，BE與CD交于點(diǎn)F，連接GF、BH．過B點(diǎn)作CD、AE的垂線段BM、BN，垂足分別為M、N．①AE=DC②∠AHD=60°③△EGB≌△CFB④∠AHB=∠CHB⑤GF∥AC⑥BM=BN．以上6個(gè)結(jié)論中，正確的個(gè)數(shù)有（A．6 B．5 C．4 D．3考點(diǎn)4：含30°角的直角三角形典例4：（2023·河南濮陽·統(tǒng)考三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B在x軸上，現(xiàn)將等邊△AOB向右平移適當(dāng)長度得到對應(yīng)△CDE，且AB，CD交于點(diǎn)P，若OD=2BP=4，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（

）

A．6,0 B．132,0 C．7,33【變式1】（2023秋·廣西崇左·八年級統(tǒng)考期末）如圖，等邊三角形ABC中，D、E分別為AB、BC邊上的兩個(gè)動點(diǎn)，且總使AD=BE，AE與CD交于點(diǎn)F，AG⊥CD于點(diǎn)G，則FG:AF等于（

）A．1 B．2 C．13 D．【變式2】（2023春·福建寧德·八年級統(tǒng)考期中）如圖，∠AOB=60°，點(diǎn)P在邊OA上，點(diǎn)M、N在邊OB上（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)），OP=8，MN=2，若PM=PN，則OM的長為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【變式3】（2023春·山東青島·八年級即墨市第二十八中學(xué)?？计谥校┮阎鐖DAC=BC=12，∠B=15°，AD⊥BC于D．則AD的長是（

）A．4 B．5 C．6 D．7考點(diǎn)5：等邊三角形的動點(diǎn)問題典例5：（2022秋·廣西南寧·八年級廣西大學(xué)附屬中學(xué)校考期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=6，D為AB的中點(diǎn)，P為BC上一動點(diǎn)，連接AP，DP，則AP+DP【變式1】（2022秋·湖北十堰·八年級統(tǒng)考期中）如圖，∠AOB=60°，C是BO延長線上一點(diǎn)，OC=12cm，動點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿CB以2cm/s的速度移動，動點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)沿OA以1cm/s的速度移動，如果點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，用ts表示移動的時(shí)間，當(dāng)【變式2】（2023秋·山東德州·八年級統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸上，以O(shè)A為邊在第二象限作等邊△AOB，點(diǎn)M、N分別為OA、OB邊上的動點(diǎn)，以MN為邊在x軸上方作等邊△MNE，連結(jié)OE，當(dāng)∠EMO=45°時(shí)，則∠MEO的度數(shù)為______．【變式3】（2023秋·河南安陽·八年級校考期末）如圖，∠AOB=30°，點(diǎn)M，N分別是射線OA，OB上的動點(diǎn)，點(diǎn)P為∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，且OP=5，則同步過關(guān)一、單選題1．（2023秋·黑龍江牡丹江·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB，交BC于點(diǎn)E，BE=10cm，則邊AC的長為（

）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm2．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）如圖，在等邊△ABC中，AB＝4cm，BD平分∠ABC，點(diǎn)E在BC的延長線上，且∠E=30°，則CE的長是（A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm3．（2023秋·八年級單元測試）如圖，直線l//m//n，等邊三角形ABC的頂點(diǎn)B、C分別在直線n和m上，邊BC與直線n所夾的銳角β為25°，則∠α的度數(shù)為（

）A．25° B．45° C．35° D．30°4．（2022秋·青海西寧·八年級統(tǒng)考期末）如圖，∠AOB＝60°，以點(diǎn)O為圓心，以適當(dāng)長為半徑作弧交OA于點(diǎn)C，交OB于點(diǎn)D；分別以C，D為圓心，以大于12CD的長為半徑作弧，兩弧在∠AOB內(nèi)部相交于點(diǎn)P；畫射線OP，在射線OP上截取線段OM＝6，則點(diǎn)M到OB的距離為（A．6 B．5 C．4 D．35．（2023秋·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱市第十七中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）下列說法中：①與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上；②等腰三角形的高、中線、角平分線互相重合；③如果三角形一條邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形；④有一個(gè)角是60°的三角形是等邊三角形．正確的說法有（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)6．（2022春·湖南岳陽·八年級統(tǒng)考期末）在Rt△ABC中，∠C=30°，斜邊AC的長為5cm，則AB的長為（A．2.5cm B．2cm C．3cm D．4cm7．（2023·浙江·九年級自主招生）如圖，C是線段BD上一點(diǎn)，分別以BC、CD為邊長在BD同側(cè)作等邊三角形BCA和等邊三角形CDE，連接BE,AD，分別交AC于M，交CE于N．若AC=3,CM=2，則CN=（

）A．2 B．2.5 C．3 D．3.58．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=4，BC=6，∠B=60°，將△ABC沿BC所在直線向右平移得到△A'B'CA．2 B．4 C．5 D．69．（2023秋·河南漯河·八年級漯河市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在等邊△ABC中，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，且CE=2，則AB的長為（）A．8 B．4 C．6 D．7.510．（2022秋·廣東珠?！ぐ四昙壷楹Ｊ凶锨G中學(xué)?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)，△ACM、△BCN是等邊三角形．AN與CM交于點(diǎn)B，BM與CN交于點(diǎn)F，AN與BM交于點(diǎn)D．下列結(jié)論：①AN=BM；②EF∥AB；③CE=BF；④CD⊥EF；⑤DC平分∠A．①③④ B．①②③⑤ C．①③⑤ D．①②③④⑤二、填空題11．（2022春·黑龍江綏化·七年級綏化市第八中學(xué)校?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，∠A＝60°，AD＝2，則BD＝______．12．（2022秋·福建廈門·八年級統(tǒng)考期中）在ΔABC中，AB=AC=10cm，∠A=60°，則13．（2022秋·廣西南寧·八年級廣西大學(xué)附屬中學(xué)?？计谀┤鐖D，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=6，D為AB的中點(diǎn)，P為BC上一動點(diǎn)，連接AP，DP，則AP+DP14．（2022春·江蘇蘇州·八年級?？计谀┤鐖D，RtΔABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D為BC的中點(diǎn)，若動點(diǎn)E以1cm/s的速度從A點(diǎn)出發(fā)，沿著A→B→A的方向運(yùn)動，設(shè)E點(diǎn)的運(yùn)動時(shí)間為t秒（0≤t≤6），連接DE，當(dāng)ΔBDE15．（2023秋·河南鶴壁·八年級鶴壁市外國語中學(xué)校考階段練習(xí)）下列命題中，是真命題的是______（只填序號）．①全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等；②有兩邊和一角相等的兩個(gè)三角形全等；③有一個(gè)角等于60度的等腰三角形是等邊三角形；④3是9的平方根．16．（2022秋·遼寧鞍山·八年級統(tǒng)考期中）如圖，△ABC為等邊三角形，點(diǎn)M，N分別在BC、AC上，且BM=CN，AM與BN交于Q點(diǎn)，則∠AQN的度數(shù)為___________．三、解答題17．（2023秋·廣東廣州·八年級廣州市第八十九中學(xué)?？计谥校┤鐖D，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若BD=6，求AC的長．

18．（2023秋·廣東廣州·八年級?？计谀┤鐖D：在等邊三角形ABC中，點(diǎn)D,E分別是AB,BC延長線上的點(diǎn)，且BD=CE．求證：∠BCD=∠CAE．19．（2022秋·八年級單元測試）如圖，△ABC中，∠A=90°，∠B=60°，BC的垂直平分線交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E．求證：（1）AE=DE；（2）若AE=6，求CE的長．20．（2023春·山東青島·八年級統(tǒng)考期中）如圖，△ABC中，AB＝AC，AD⊥AC交BC于點(diǎn)D，且∠CDA=60°，BD＝2，求BC的長．21．（2022秋·江西宜春·八年級?？计谥校﹫D①中所示的遮陽傘，傘柄垂直于地面，其示意圖如圖②．當(dāng)傘收緊時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)A重合；當(dāng)傘慢慢撐開時(shí)，動點(diǎn)P由A向B移動；當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，傘張得最開．已知傘在撐開的過程中，總有PM=PN，CM=CN．(1)求證：PC垂直平分MN；(2)若CN=PN=60cm，當(dāng)∠CPN=60°時(shí)，求AP22．（2022春·七年級單元測試）已知，如圖，∠B=∠C，AB∥DE，EC=ED，求證：△DEC為等邊三角形．

23．（2022秋·廣西百色·八年級統(tǒng)考期中）已知△ABC的三邊長分別為a，b，c．(1)若a，b，c滿足（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，試判斷△ABC的形狀；(2)若a＝4，b＝2，且c為整數(shù)，求△ABC的周長．24．（2023秋·浙江杭州·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)M、N分別在正△ABC（在正三角形中每一條邊都相等，每一角都相等）的BC，CA邊上，且BM=CN，AM，BN交于點(diǎn)Q．(1)判斷△ABM與△BCN是否全等，并說明理由．(2)判斷∠BQM是否會等于60°，并說明理由．(3)若將題中的點(diǎn)M，N分別移動到BC，CA的延長線上，且BM=CN，是否能得到∠BQM=60°？請說明理由．25．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）在學(xué)習(xí)全等三角形的知識時(shí)，數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)模型：它是由兩個(gè)共頂點(diǎn)且頂角相等的等腰三角形構(gòu)成的，在相對位置變化的同時(shí)，始終存在一對全等三角形．興趣小組成員經(jīng)過研討給出定義：如果兩個(gè)等腰三角形的頂角相等，且頂角的頂點(diǎn)互相重合，則稱此圖形為“手拉手全等模型”．因?yàn)轫旤c(diǎn)相連的四條邊，可以形象地看作兩雙手，所以通常稱為“手拉手模型”．(1)如圖，△ABC與△ADE都是等腰三角形，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE，則有___________≌___________．(2)如圖，已知△ABC，以AB、AC為邊分別向外作等邊△ABD和等邊△ACE并連接BE，CD，則∠BOD=(3)如圖，在兩個(gè)等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE=90°，連接BD，CE，交于點(diǎn)

專題04等邊三角形考點(diǎn)類型知識串講（一）等邊三角形（特殊的等腰三角形）（1）等邊三角形性質(zhì)①等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)角都等于60o②在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30o，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半（2）等邊三角形判定①三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形。②有一個(gè)角是60o的等腰三角形是等邊三角形。（二）解題方法（1）三角形三個(gè)內(nèi)角的平分線交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三邊的距離等。（2）三角形三個(gè)邊的中垂線交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。（3）常用輔助線：=1\*GB3①三線合一；=2\*GB3②過中點(diǎn)做平行線[來源:（4）含30°角的直角三角形性質(zhì)（三）等腰三角形與等邊三角形的區(qū)別與聯(lián)系考點(diǎn)訓(xùn)練考點(diǎn)1：等邊三角形的性質(zhì)——求角度典例1：（2023春·四川成都·八年級統(tǒng)考期末）如圖，將等邊三角形ABC紙片折疊，使得點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)D落在BC邊上，其中折痕分別交邊AB,AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接DE,DF．若DF⊥BC，則∠AEF

A．15° B．30° C．45° D．60°【答案】C【分析】根據(jù)等邊三角形折疊的性質(zhì)及垂直的定義得出∠FDB=90°,∠FDE=60°，結(jié)合圖形及三角形外角的性質(zhì)得出∠【詳解】解：∵DF⊥BC，將等邊三角形ABC紙片折疊，使得點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)D落在BC邊上，∴∠FDB=90°,∴∠EDB=30°∵等邊三角形ABC，∴∠B=60°∴∠AED=90°∵將等邊三角形ABC紙片折疊，使得點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)D落在BC邊上，∴∠AEF=故選：C．【點(diǎn)睛】題目主要考查等邊三角形的性質(zhì)、三角形外角的定義及折疊的性質(zhì)，結(jié)合圖形找準(zhǔn)各角之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．【變式1】（2023·北京海淀·人大附中?？既＃┯靡粔K等邊三角形的硬紙片（如圖1）做一個(gè)底面為等邊三角形且高相等的無蓋的盒子（邊縫忽略不計(jì)，如圖2），在△ABC的每個(gè)頂點(diǎn)處各剪掉一個(gè)四邊形，其中四邊形AMDN中，∠MDN的度數(shù)為（

）

A．100° B．110° C．120° D．130°【答案】C【分析】由題意可知∠A=60°，∠AMD=∠AND=90°，對角又互補(bǔ)，則∠MDN的度數(shù)為120°．【詳解】解：∵△ABC為等邊三角形，∴∠A=60°，因?yàn)橐鲆粋€(gè)底面為等邊三角形且高相等的無蓋的盒子，所以∠AMD=∠AND=90°，又∵四邊形ANDM角的度數(shù)之和為360°，∴∠MDN=360°?60°?90°?90°=120°．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)．【變式2】（2023·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題）如圖，BD是等邊△ABC的邊AC上的高，以點(diǎn)D為圓心，DB長為半徑作弧交BC的延長線于點(diǎn)E，則∠DEC=（

）

A．20° B．25° C．30° D．35°【答案】C【分析】由等邊三角形的性質(zhì)求解∠DBC=12∠ABC=30°【詳解】解：∵BD是等邊△ABC的邊AC上的高，∴∠DBC=1∵DB=DE，∴∠DBE=∠DEB=30°，故選C【點(diǎn)睛】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟記等邊三角形與等腰三角形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．【變式3】（2023·河南周口·河南省淮陽中學(xué)?？既＃┤鐖D，l∥m，等邊三角形ABC的頂點(diǎn)B在直線m上，∠1=25°，則∠2的度數(shù)為（

）

A．65° B．45° C．40° D．35°【答案】D【分析】延長AC交直線m于點(diǎn)D，根據(jù)三角形外角的定義可以求出∠3的度數(shù)，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等即可得到∠2的度數(shù)．【詳解】解：如圖，延長AC交直線m于點(diǎn)D，

，∵三角形ABC是等邊三角形，∴∠3=60°?∠1=60°?25°=35°，∵l∥m，∴∠2=∠3=35°，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、三角形外角的定義，熟練掌握平行線的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、三角形外角的定義，是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)2：等邊三角形的性質(zhì)——求線段典例2：（2023春·廣東清遠(yuǎn)·八年級校聯(lián)考期中）如圖，點(diǎn)E在等邊△ABC的邊BC上，BE=6，射線CD⊥BC，垂足為點(diǎn)C，點(diǎn)P是射線CD上一動點(diǎn)，點(diǎn)F是線段AB上一動點(diǎn)，當(dāng)EP+FP的值最小時(shí)，BF=7，則AB的長為（

）

A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【分析】作E點(diǎn)關(guān)于CD的對稱點(diǎn)E'，連接PE,E'P,PF，當(dāng)E',P,F三點(diǎn)共線，E'F⊥AB時(shí)，此時(shí)EP+FP的值最小，由題意可得∠FE'B=30°，則B【詳解】解：作E點(diǎn)關(guān)于CD的對稱點(diǎn)E'，過E'作E'F⊥AB交于點(diǎn)F，交CD于點(diǎn)

∴PE=PE∴EP+FP=PE當(dāng)E',P,F三點(diǎn)共線，此時(shí)EP+FP的值最小，∵△ABC是正三角形，∴∠B=60°，∵E'∴∠FE∴BE∵BF=7，BE=6，∴E'∵CE=CE∴14=2CE+BE=2CE+6，∴CE=4，∴BC=10=AB，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查軸對稱求最短距離，熟練掌握軸對稱求最短距離的方法，等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2023春·全國·八年級階段練習(xí)）如圖，等邊△ABC的邊長為4，AD是△ABC的邊BC上的高，過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E，則AE的長是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)以及含30度角的直角三角形的性質(zhì)得出CE=12CD=【詳解】解：∵等邊△ABC的邊長為4，AD是△ABC的邊BC上的高，∴BC=AC=4,∠C=60°,BD=CD=1∵DE⊥AC，∴∠CDE=30°，∴CE=∴AE=AC?CE=4?1=3，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，掌握含30度角的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2023秋·山東威?！て吣昙壗y(tǒng)考期末）如圖，△ABC和△BDE都是等邊三角形，點(diǎn)A，D，E在同一條直線上，BE=2，CE=4，則A．6 B．5 C．8 D．7【答案】A【分析】根據(jù)“SAS”，得出△ABD≌△CBE，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得出AD=CE，再根據(jù)等量代換，即可得出結(jié)論．【詳解】證明：∵△ABC和△BDE都是等邊三角形，∴∠ABC=∠DBE=60°，∴∠ABC=∠ABD+∠DBC，∠DBE=∠DBC+∠CBE，∴∠ABD=∠CBE，在△ABD和△CBE中，AB=BC∠ABD=∠CBE∴△ABD≌△CBESAS∴AD=CE，∴AE=DE+AD=BE+CE=2+4=6．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)定理．【變式3】（2023春·遼寧沈陽·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，△ABC是等邊三角形，D是線段BC上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），連接AD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段AB,AC的延長線上，且DE=DF=AD，點(diǎn)D從B運(yùn)動到C的過程中，△CDF周長的變化規(guī)律是（

）A．不變 B．一直變小 C．先變大后變小 D．先變小后變大【答案】D【分析】先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，從而可得∠EBD=∠DCF=120°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、角的和差可得∠BAD=∠E=∠CDF，然后根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得BE=CD，從而可得△CFD周長為CD+CF+DF=CD+BD+AD=BC+AD，最后根據(jù)點(diǎn)到直線的距離即可得出答案．【詳解】∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，∴∠EBD=∠DCF=120°，∵DF=AD，∴∠CAD=∠F，又∵∠BAD+∠CAD=∠BAC=60°∴∠BAD=∠CDF，∵DE=AD，∴∠BAD=∠E，∴∠E=∠CDF，在△BDE和△CFD中，∠EBD=∠DCF∴△BDE?△CFDAAS∴BE=CD，則△CFD周長為CD+CF+DF=CD+BD+AD=BC+AD，∵在點(diǎn)D從B運(yùn)動到C的過程中，BC長不變，AD長先變小后變大，其中當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動到BC的中點(diǎn)位置時(shí)，AD最小，∴在點(diǎn)D從B運(yùn)動到C的過程中，△CFD周長的變化規(guī)律是先變小后變大，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)等知識點(diǎn)，正確找出兩個(gè)全等三角形是解題關(guān)鍵．考點(diǎn)3：等邊三角形的性質(zhì)與判定綜合典例3：（2023秋·八年級課時(shí)練習(xí)）如圖，已知等邊三角形ABC的邊長為3，過AB邊上一點(diǎn)P作PE⊥AC于點(diǎn)E，Q為BC延長線上一點(diǎn)，取PA=CQ，連接PQ，交AC于點(diǎn)M，則EM的長為（

）

A．12 B．32 C．1【答案】B【分析】過P作PF∥BC交AC于F，得出等邊三角形APF，推出AP=PF=QC，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出EF=AE，證△PFM≌△QCM，推出【詳解】解：過P作PF∥BC交AC于∵PF∥BC，∴∠PFM=∠QCM，∠APF=∠B=60°，∠AFP=∠ACB=60°，∠A=60°，∴△APF是等邊三角形，∴AP=PF=AF，∵PE⊥AC，∴AE=EF，∵AP=PF，∴PF=CQ，在△PFM和△QCM中，∠PFM=∠QCM∠PMF=∠QMC∴△PFM≌△QCM∴FM=CM，∵AE=EF，∴EF+FM=AE+CM，∴AE+CM=ME=1∵AC=3，∴ME=3故選：B．

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識點(diǎn)的應(yīng)用；添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解決問題的關(guān)鍵．【變式1】（2022秋·安徽黃山·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知等邊△ABC和等邊△BPE，點(diǎn)P在BC的延長線上，EC的延長線交AP于點(diǎn)M，連接BM，有下列結(jié)論：①AP=CE；

②∠PME=60°；

③MB平分∠AME；

④AM+MC=BM，其中正確的結(jié)論是（

）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【答案】D【分析】證明△APB≌△CEB得到AP=CE，即可判斷①；由△APB≌△CEB，得到∠APB=∠CEB，再由∠MCP=∠BCE，推出∠PME=∠PBE=60°，即可判斷②；過點(diǎn)B作BN⊥AM于N，BF⊥ME于F，證明△BNP≌△BFE得到BN=BF，得到BM平分∠AME，即可判定③；在BM上截取BK=CM，連接AK，先證明∠ACM=∠ABK，即可證明△ACM≌△ABK得到AK=AM，推出△AMK為等邊三角形，則AM=MK，AM+MC=BM，即可判斷④．【詳解】證明：①∵等邊△ABC和等邊△BPE，∴AB=BC，∠ABC=∠PBE=60°，BP=BE，在△APB和△CEB中，AB=CB∴△APB≌△CEBSAS∴AP=CE，故①符合題意；②∵△APB≌△CEB，∴∠APB=∠BEC，∵∠MCP=∠BCE，則∠PME=∠PBE=60°，故②符合題意；③過點(diǎn)B作BN⊥AM于N，BF⊥ME于F，∵△APB≌△CEB，∴∠BPN=∠FEB，在△BNP和△BFE中，∠BNP=∴△BNP≌△BFEAAS∴BN=BF，∴BM平分∠AME，故③符合題意；④在BM上截取BK=CM，連接AK，由②知∠PME=60°，∴∠AMC=120°，由③知：BM平分∠AME，∴∠BMC=∠AMK=60°，∴∠AMK=∠ACB=60°，又∵∠AHM=∠BHC，∴∠CAM=∠CBH，∵∠CAM+∠ACM=∠EMP=60°，∴∠CBH+∠ACM=60°，∴∠ABK+∠PBM=60°=∠PBM+∠ACM，∴∠ACM=∠ABK，在△ABK和△ACM中AB=AC∴△ACM≌△ABKSAS∴AM=AK，∴△AMK為等邊三角形，則AM=MK，故AM+MC=MK+BK=BM，故④符合題意；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)與判定，角平分線的判定等知識，解題關(guān)鍵是作出合適的輔助線，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定方法．【變式2】（2023春·重慶九龍坡·八年級重慶實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校?？奸_學(xué)考試）如圖，點(diǎn)D、點(diǎn)E分別是等邊△ABC的邊AB、AC上的點(diǎn)，且AD=CE，連接CD、BE交于點(diǎn)O，在OB上截取OF，使得A．BE=CD B．∠BOC=120° C．∠BDF=∠ACD D．DO=OC【答案】D【分析】先證明△ADC?△CEB，再逐個(gè)推理即可．【詳解】∵等邊△ABC∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°，AC=BC=AB∵AD=CE∴△ADC?△CEB∴BE=CD，∠CBE=∠ACD故A選項(xiàng)正確；∵∠ACD+∠BCD=∠ACB=60°∴∠CBE+∠BCD=60°∴∠BOC=180°?故B選項(xiàng)正確；∵∠BOC=120°，∴∠BOD=60°,∵OF=OD∴△DOF是等邊三角形∴∠DFO=60°=∠BDF+∠ABE∴∠BDF=∠CBE=60°?∠ABE∵∠CBE=∠ACD∴∠BDF=∠ACD故C選項(xiàng)正確；DO=OC沒有條件能證明，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)與判定、全等三角形的性質(zhì)與判定，熟記等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2023秋·四川宜賓·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在直線AC的同一側(cè)作兩個(gè)等邊三角形△ABD和△BCE，連接AE與CD，AE與CD交于點(diǎn)H，AE與BD交于點(diǎn)G，BE與CD交于點(diǎn)F，連接GF、BH．過B點(diǎn)作CD、AE的垂線段BM、BN，垂足分別為M、N．①AE=DC②∠AHD=60°③△EGB≌△CFB④∠AHB=∠CHB⑤GF∥AC⑥BM=BN．以上6個(gè)結(jié)論中，正確的個(gè)數(shù)有（A．6 B．5 C．4 D．3【答案】A【分析】①根據(jù)SAS證明△ABE≌△DBC，得出AE=DC，即可判斷①正確；②根據(jù)△ABE≌△DBC，得出∠CAB=∠BAE，根據(jù)∠DGH=∠AGB，得出∠AHD=∠ABD=60°，即可判斷②正確；③根據(jù)△ABE≌△DBC，得出∠GEB=∠FCB，證明∠GBE=∠FBC，根據(jù)ASA證明△GBE≌△FBC，即可判③正確；⑥根據(jù)△GBE≌△FBC，得出S△GBE=S△FBC，④根據(jù)角平分線的判定即可判定④正確；⑤根據(jù)角平分線的判定即可判定⑤正確．【詳解】解：①∵△ABD和△BCE都是等邊三角形，∴AB=BD，BE=BC，∠ABD=∠CBE=60°，∴∠ABD+∠DBE=∠DBE+∠CBE，即∠ABE=∠CBD，∴△ABE≌△DBC，∴AE=DC，故①正確；②∵△ABE≌△DBC，∴∠CAB=∠BAE，∵∠DGH=∠AGB，∴∠AHD=∠ABD=60°，故②正確；③∵△ABE≌△DBC，∴∠GEB=∠FCB，∵∠ABD=∠CBE=60°,∴∠DBE=180°?60°?60°=60°，∴∠GBE=∠FBC，∵BE=BC，∴△GBE≌△FBC，故③正確；⑥∵△GBE≌△FBC，∴S△GBE=S∵BN⊥GE，BM⊥CF，∴12∴BN=BM，故⑥正確；④∵BN⊥GE，BM⊥CF，BN=BM，∴BH平分∠GHF，∴∠AHB=∠CHB，故④正確；⑤∵△GBE≌△FBC，∴BG=BF，∵∠GBF=60°，∴△GBF為等邊三角形，∴∠GFB=60°，∴∠GFB=∠FBC，∴GF∥綜上分析可知，正確的有6個(gè)，故A正確．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定，角平分線的判定，三角形面積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形全等的判定方法，證明△ABE≌△DBC，△GBE≌△FBC．考點(diǎn)4：含30°角的直角三角形典例4：（2023·河南濮陽·統(tǒng)考三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B在x軸上，現(xiàn)將等邊△AOB向右平移適當(dāng)長度得到對應(yīng)△CDE，且AB，CD交于點(diǎn)P，若OD=2BP=4，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（

）

A．6,0 B．132,0 C．7,33【答案】C【分析】過點(diǎn)C作CF⊥x軸于點(diǎn)F，由題意易得OB=DE=6，然后可得DF=3,CF=33【詳解】解：過點(diǎn)C作CF⊥x軸于點(diǎn)F，如圖所示：

由平移可知OB=DE,OA∥CD,AB∥CE，∵△AOB是等邊三角形，∴OA=OB=CD=DE,∠AOB=∠ABO=60°，∴∠CDE=∠ABO=60°，∴△PDB是等邊三角形，∴PB=DB，∵OD=2BP=4，∴PB=DB=2，∴OB=DE=6，∵CF⊥x軸，∴DF=12DE=3∴OF=7，∴C7,3故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)及判定、坐標(biāo)與圖形及含30度直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)及判定、坐標(biāo)與圖形及含30度直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2023秋·廣西崇左·八年級統(tǒng)考期末）如圖，等邊三角形ABC中，D、E分別為AB、BC邊上的兩個(gè)動點(diǎn)，且總使AD=BE，AE與CD交于點(diǎn)F，AG⊥CD于點(diǎn)G，則FG:AF等于（

）A．1 B．2 C．13 D．【答案】D【分析】根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出AC=AB，∠BAC=∠B=60°，證△ABE≌△CAD，推出∠BAE=∠ACD，求出∠AFD=∠BAC=60°，求出∠FAG=30°，即可求出答案．【詳解】證明：∵△ABC是等邊三角形，∴AC=AB，∠BAC=∠B=60°，在△ABE和△CAD中AB=AC∠B=∠DAC∴△ABE≌△CAD，∴∠BAE=∠ACD，∴∠AFD=∠CAE+∠ACD=∠CAE+∠BAE=∠BAC=60°，∵AG⊥CD，∴∠AGF=90°，∴∠FAG=30°，∴AF=2FG，即FG:AF=1故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定等邊三角形性質(zhì)，含30度角的直角三角形性質(zhì)的應(yīng)用，證明全等三角形是關(guān)鍵．【變式2】（2023春·福建寧德·八年級統(tǒng)考期中）如圖，∠AOB=60°，點(diǎn)P在邊OA上，點(diǎn)M、N在邊OB上（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)），OP=8，MN=2，若PM=PN，則OM的長為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】過P作PD⊥OB，交OB于點(diǎn)D，在Rt△OPD中，利用含30度直角三角形的性質(zhì)求出OD的長，再由PM=PN，利用三線合一得到D為MN中點(diǎn)，根據(jù)MN求出MD【詳解】解：過P作PD⊥OB，交OB于點(diǎn)D，在Rt△OPD中，∠OPD=90°?60°=30°，OP=8∴OD=1∵PM=PN，∴MD=ND=1∴OM=OD?MD=4?1=3．故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了含30度直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．【變式3】（2023春·山東青島·八年級即墨市第二十八中學(xué)?？计谥校┮阎鐖DAC=BC=12，∠B=15°，AD⊥BC于D．則AD的長是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出∠BAC=∠B=15°，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出∠ACD=∠B+∠BAC=30°，最后根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)求出結(jié)果即可．【詳解】解：∵AC=BC=12，∠B=15°，∴∠BAC=∠B=15°，∴∠ACD=∠B+∠BAC=30°，∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∴AD=1故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求出∠ACD=30°，熟記30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．考點(diǎn)5：等邊三角形的動點(diǎn)問題典例5：（2022秋·廣西南寧·八年級廣西大學(xué)附屬中學(xué)校考期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=6，D為AB的中點(diǎn)，P為BC上一動點(diǎn)，連接AP，DP，則AP+DP【答案】6【分析】作A關(guān)于BC的對稱點(diǎn)A'，連接A'B，得出∠A=60°，則PA=A'P，且△AA'B為等邊三角形，AP+DP=A'P+PD，其最小值為【詳解】解：作A關(guān)于BC的對稱點(diǎn)A'，連接A'B，∵∠C=90°，∴∠∵PA=A'P∴△AA'B∴AP+DP=A'P+PD為A∴AP+DP的最小值為A'到AB的距離=BC=6故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查的是最短線路問題及等邊三角形的性質(zhì)，構(gòu)造軸對稱圖形是解答此題的關(guān)鍵．【變式1】（2022秋·湖北十堰·八年級統(tǒng)考期中）如圖，∠AOB=60°，C是BO延長線上一點(diǎn)，OC=12cm，動點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿CB以2cm/s的速度移動，動點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)沿OA以1cm/s的速度移動，如果點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，用ts表示移動的時(shí)間，當(dāng)【答案】4或12/12或4【分析】根據(jù)等腰三角形的定義分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)P在線段OC上時(shí)，且OP=OQ，②當(dāng)點(diǎn)P在CO的延長線上時(shí)，且OQ=PO，分別列式計(jì)算即可．【詳解】解：由題意可分以下情況討論：①當(dāng)點(diǎn)P在線段OC上時(shí)，則有OP=OC?CP=OQ，∵OC=12cm，CP=2t∴OP=12?2t∵OQ=tcm∴12?2t=t，解得：t=4；②當(dāng)點(diǎn)P在CO的延長線上時(shí)，∵∠AOB=60°，△POQ是等腰三角形∴△POQ是等邊三角形則OQ=OP時(shí)，∵此時(shí)OP=2t?12，∴2t?12=t，解得：t=12，綜上所述：當(dāng)t為4ss或12s時(shí)，故答案為：4或12．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的定義，等邊三角形的判定，以及一元一次方程的應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是把幾何問題轉(zhuǎn)化為方程求解，注意分類討論思想．【變式2】（2023秋·山東德州·八年級統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸上，以O(shè)A為邊在第二象限作等邊△AOB，點(diǎn)M、N分別為OA、OB邊上的動點(diǎn)，以MN為邊在x軸上方作等邊△MNE，連結(jié)OE，當(dāng)∠EMO=45°時(shí)，則∠MEO的度數(shù)為______．【答案】75°/75度【分析】過M作MF∥AB，可證△OMF為等邊三角形，∠FMO=60°，MF=MO，由△MNE是等邊三角形，可得∠NME=∠MFO=60°，MN=ME，可證∠FMN=∠OME【詳解】過M作MF∥∴∠MFO=∠BAO，∵△ABO是等邊三角形，∴∠BAO=∠BOA=60°=∠MFO，∴△OMF為等邊三角形，∴∠FMO=60°，∵△MNE是等邊三角形，∴∠NME=∠FMO=60°，∴∠FMN+∠NMO=∠NMO+∠OME=60°，∴∠FMN=∠OME，在△MFN和△MOE中，MF=MO∠FMN=∠OME∴△MFN≌△MOE，∴∠MFN=∠MOE=60°，∵∠EMO=45°，∴∠MEO=180°?∠OME?∠MOE=180°?45°?60°=75°．【點(diǎn)睛】本題考查圖形與坐標(biāo)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)掌握圖形與坐標(biāo)，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．【變式3】（2023秋·河南安陽·八年級校考期末）如圖，∠AOB=30°，點(diǎn)M，N分別是射線OA，OB上的動點(diǎn)，點(diǎn)P為∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，且OP=5，則【答案】5【分析】設(shè)點(diǎn)P關(guān)于OA的對稱點(diǎn)為C，關(guān)于OB的對稱點(diǎn)為D，根據(jù)當(dāng)點(diǎn)M、N在CD上時(shí)，△PMN的周長最小，再結(jié)合等邊三角形的判定和性質(zhì)即可解答．【詳解】解：分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對稱點(diǎn)C、D，連接CD，分別交OA、OB于點(diǎn)M、N，連接OP、OC、OD、PM、PN．∵點(diǎn)P關(guān)于OA的對稱點(diǎn)為C，∴CM=PM，∵點(diǎn)P關(guān)于OB的對稱點(diǎn)為D，∴DN=PN，∴OC=OD=OP=5，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2(∠POA+∠POB)=2∠AOB=60°，∴△COD是等邊三角形，∴CD=OC=OD=5．∴△PMN的周長的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN≥CD=5．故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱—最短路線問題，等邊三角形的判定和性質(zhì)．將三角形的周長利用軸對稱轉(zhuǎn)化為線段的長，構(gòu)造等邊三角形是解題的關(guān)鍵．同步過關(guān)一、單選題1．（2023秋·黑龍江牡丹江·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB，交BC于點(diǎn)E，BE=10cm，則邊AC的長為（

）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【答案】C【分析】連接AE，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得AE=BE，繼而可求得∠BAE=∠B=15°，然后又三角形外角的性質(zhì)，求得∠AEC的度數(shù)，繼而根據(jù)含30°的直角三角形的性質(zhì)求得AC的長．【詳解】解：連接AE，∵DE垂直平分AB，∴AE=BE=10cm，∴∠BAE=∠B=15°，∴∠AEC=∠BAE+∠B=30°，∵∠C=90°，AE=BE=10cm，∴AC=12故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查線段垂直平分線的性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．2．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）如圖，在等邊△ABC中，AB＝4cm，BD平分∠ABC，點(diǎn)E在BC的延長線上，且∠E=30°，則CE的長是（A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【答案】B【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得AC=AB=4，由等邊三角形三線合一得到CD，由∠ACB=60°，∠E=30°，求出∠CDE，得出CD=CE，即可求解．【詳解】∵△ABC是等邊三角形，∴AC=AB=BC=4cm，∠ACB=60°，∵BD平分∠ABC，∴AD=CD(三線合一)∴DC=12∵∠E=30°∴∠CDE=∠ACB-∠E=60°-30°=30°∴∠CDE=∠E所以CD=CE=2cm故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定，直角三角形的性質(zhì)，直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．3．（2023秋·八年級單元測試）如圖，直線l//m//n，等邊三角形ABC的頂點(diǎn)B、C分別在直線n和m上，邊BC與直線n所夾的銳角β為25°，則∠α的度數(shù)為（

）A．25° B．45° C．35° D．30°【答案】C【分析】根據(jù)l//m//n，可以得到∠β=∠1=25°，【詳解】解：如圖所示：根據(jù)l∴∠β=∠1=25°又∵△ABC是等邊三角形∴∠ACB=∴∠2=∴∠α=故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，即兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等以及兩直線平行同位角相等；明確平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋·青海西寧·八年級統(tǒng)考期末）如圖，∠AOB＝60°，以點(diǎn)O為圓心，以適當(dāng)長為半徑作弧交OA于點(diǎn)C，交OB于點(diǎn)D；分別以C，D為圓心，以大于12CD的長為半徑作弧，兩弧在∠AOB內(nèi)部相交于點(diǎn)P；畫射線OP，在射線OP上截取線段OM＝6，則點(diǎn)M到OB的距離為（A．6 B．5 C．4 D．3【答案】D【分析】過點(diǎn)M作ME⊥OB于點(diǎn)E，根據(jù)作法可得∠BOP=∠AOP=12∠AOB，從而得到∠BOP=30°，進(jìn)而得到【詳解】解：如圖，過點(diǎn)M作ME⊥OB于點(diǎn)E，根據(jù)題意得：∠BOP=∠AOP=12∵∠AOB＝60°，∴∠BOP=30°，∴ME=1∵OM＝6，∴ME=3，即點(diǎn)M到OB的距離為3．故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了尺規(guī)作圖——作已知角的平分線，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握作已知角的平分線的作法，直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．5．（2023秋·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱市第十七中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）下列說法中：①與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上；②等腰三角形的高、中線、角平分線互相重合；③如果三角形一條邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形；④有一個(gè)角是60°的三角形是等邊三角形．正確的說法有（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)逆定理，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的判定，等邊三角形的判定，逐項(xiàng)判斷即可求解．【詳解】解：①與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上，故原說法正確；②等腰三角形的底邊高、中線、頂角的角平分線互相重合，故原說法錯(cuò)誤；③如果三角形一條邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形，已知：如圖，在△ABC中，AD為BC邊的中線，且AD=1求證：△ABC為直角三角形，證明：∵AD為BC邊的中線，∴BD=CD，∵AD=1∴AD=BD=CD，∴∠B=∠1，∠C=∠2，∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠1+∠2=∠BAC，∴∠BAC=90°，∴△ABC為直角三角形，故原說法正確；④有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形，故原說法錯(cuò)誤；所以正確的說法有：①③，共2個(gè)．故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段垂直平分線性質(zhì)逆定理，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的判定，等邊三角形的判定，熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．6．（2022春·湖南岳陽·八年級統(tǒng)考期末）在Rt△ABC中，∠C=30°，斜邊AC的長為5cm，則AB的長為（A．2.5cm B．2cm C．3cm D．4cm【答案】A【分析】根據(jù)30°角的直角三角形的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：在Rt△ABC中，∵∠C=30°，∠B=90°，斜邊AC的長5cm，∴AB=12AC故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了30°角的直角三角形的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題型，熟練掌握30°角對的直角邊等于斜邊的一半是解題關(guān)鍵．7．（2023·浙江·九年級自主招生）如圖，C是線段BD上一點(diǎn)，分別以BC、CD為邊長在BD同側(cè)作等邊三角形BCA和等邊三角形CDE，連接BE,AD，分別交AC于M，交CE于N．若AC=3,CM=2，則CN=（

）A．2 B．2.5 C．3 D．3.5【答案】A【分析】證明△BCE≌△ACD得出∠CEM=∠CDN，然后證明△CME≌△CND得出CN=CM，即可求解．【詳解】解：∵等邊三角形BCA和等邊三角形CDE∴∠ACB=∠ECD=60°，∠ACE=180°?60°?60°=60°，BC=AC,EC=DC，∴∠BCE=∠ACD=120°，∴△BCE≌△ACDSAS,∴∠CEM=∠CDN，∵∠MCE=∠NCD=60°，EC=DC，∴△CME≌△CNDASA，∴CN=CM=故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)，掌握等邊三角形的性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．8．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=4，BC=6，∠B=60°，將△ABC沿BC所在直線向右平移得到△A'B'CA．2 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)可得A'B'=4，B'C=6?2=4，再根據(jù)【詳解】解：由平移的性質(zhì)可得A'B'∵BC=6，BB∴B'∴A∴△A∴A故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了平移的性質(zhì)和等邊三角形的判定，平移前后對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等,“有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形”，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.9．（2023秋·河南漯河·八年級漯河市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在等邊△ABC中，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，且CE=2，則AB的長為（）A．8 B．4 C．6 D．7.5【答案】A【詳解】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=∠C=60°，AB=BC=AC，∵DE⊥BC，∴∠CDE=30°，∵EC=2，∴CD=2EC=4，∵BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，∴AD=CD=4，∴BC=AC=AD+CD=8．故選A．10．（2022秋·廣東珠海·八年級珠海市紫荊中學(xué)?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)，△ACM、△BCN是等邊三角形．AN與CM交于點(diǎn)B，BM與CN交于點(diǎn)F，AN與BM交于點(diǎn)D．下列結(jié)論：①AN=BM；②EF∥AB；③CE=BF；④CD⊥EF；⑤DC平分∠A．①③④ B．①②③⑤ C．①③⑤ D．①②③④⑤【答案】B【分析】由“SAS”可證△ACN≌△MCB，可得AN＝BM，∠CMB＝∠CAN，故①正確；由“ASA”可證△ACE≌△MCF，可得CE＝CF，故③正確；可證△CEF是等邊三角形，可得∠CEF＝∠CFE＝60°＝∠ACM，可證EF∥AB，故②正確；由全等三角形的性質(zhì)可得∠AEC＝∠MFC，可得∠CED+∠MFC＝180°，則可證DE不一定等于DF，即CD不一定垂直平分EF，故④錯(cuò)誤；由全等三角形的性質(zhì)可得SΔACN=SΔMCB，由面積公式可證CG＝CH，由“HL”可證Rt△CDG≌Rt△【詳解】解：①∵△ACM、△BCN是等邊三角形，∴AC＝CM，CN＝CB，∠ACM＝∠BCN＝60°，∴∠ACN＝∠MCB，∴△ACN≌△MCB（SAS），∴AN＝BM，∠CMB＝∠CAN，故①正確，③∵∠ACM＝∠BCN＝60°，∴∠MCN＝60°＝∠ACM，又∵AC＝CM，∠CMB＝∠CAN，∴△ACE≌△MCF（ASA），∴CE＝CF，故③正確，②∵∠ECF＝60°，∴△CEF是等邊三角形，∴∠CEF＝∠CFE＝60°，∴∠FEC＝∠ACM＝60°，∴EF∥AB，故②正確；④∵△ACE≌△MCF，∴∠AEC＝∠MFC，∵∠AEC+∠CED＝180°，∴∠CED+∠MFC＝180°，∴∠CED不一定等于∠CFM，∴∠DEF不一定等于∠DFE，∴DE不一定等于DF，又∵CE＝CF，∴CD不一定垂直平分EF，故④錯(cuò)誤；⑤如圖，過點(diǎn)C作CG⊥AN于G，CH⊥MB于H，∵△ACN≌△MCB，∴SΔ∴12AN×CG＝12BM×∴CH＝CG，又∵CD＝CD，∴Rt△CDG≌Rt△CDH（HL），∴∠CDG＝∠CDH，∴CD平分∠ADB，故⑤正確；故選：B．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．二、填空題11．（2022春·黑龍江綏化·七年級綏化市第八中學(xué)校?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，∠A＝60°，AD＝2，則BD＝______．【答案】6【分析】根據(jù)∠A＝60°，可得∠ACD=30°，從而得到AC=2AD=4，再由∠ACB＝90°，可得∠B=30°，從而得到AB=2AC=8，即可求解．【詳解】解：∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠BDC=90°，∵∠A＝60°，AD＝2，∴∠ACD=30°，∴AC=2AD=4，∵∠ACB＝90°，∴∠B=30°，∴AB=2AC=8，∴BD=AB-AD=6．故答案為：6【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形中，30度角所對的直角邊等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．12．（2022秋·福建廈門·八年級統(tǒng)考期中）在ΔABC中，AB=AC=10cm，∠A=60°，則【答案】10cm【分析】根據(jù)已知AB=AC，∠A=60°，直接判定ΔABC為等邊三角形，得AB=AC=BC【詳解】解：∵AB=AC=10cm，∠A=60°∴Δ∴BC=AB=AC=10cm故答案為：10cm【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握有一個(gè)內(nèi)角為60°的等腰三角形是等邊三角形是解答此題的關(guān)鍵．13．（2022秋·廣西南寧·八年級廣西大學(xué)附屬中學(xué)校考期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=6，D為AB的中點(diǎn)，P為BC上一動點(diǎn)，連接AP，DP，則AP+DP【答案】6【分析】作A關(guān)于BC的對稱點(diǎn)A'，連接A'B，得出∠A=60°，則PA=A'P，且△AA'B為等邊三角形，AP+DP=A'P+PD，其最小值為【詳解】解：作A關(guān)于BC的對稱點(diǎn)A'，連接A'B，∵∠C=90°，∴∠∵PA=A'P∴△AA'B∴AP+DP=A'P+PD為A∴AP+DP的最小值為A'到AB的距離=BC=6故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查的是最短線路問題及等邊三角形的性質(zhì)，構(gòu)造軸對稱圖形是解答此題的關(guān)鍵．14．（2022春·江蘇蘇州·八年級校考期末）如圖，RtΔABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D為BC的中點(diǎn)，若動點(diǎn)E以1cm/s的速度從A點(diǎn)出發(fā)，沿著A→B→A的方向運(yùn)動，設(shè)E點(diǎn)的運(yùn)動時(shí)間為t秒（0≤t≤6），連接DE，當(dāng)ΔBDE【答案】2或3.5或4.5或6【分析】先求出AB的長，再分①∠BDE＝90°時(shí)，DE是△ABC的中位線，然后求出AE的長度，再分點(diǎn)E在AB上和在BA上兩種情況列出方程求解即可；②∠BED＝90°時(shí)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理求出BE，然后分點(diǎn)E在AB上和在BA上兩種情況列出方程求解即可．【詳解】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝2cm,∴∠A=30°，AB＝2BC＝4（cm），①∠BDE＝90°時(shí)，∵∠B=60°，∴∠DEB=30°，∴EB=2DB=BC=2∴AE＝AB?BE=2（cm），點(diǎn)E在AB上時(shí)，t＝2÷1＝2（秒），點(diǎn)E在BA上時(shí)，點(diǎn)E運(yùn)動的路程為4×2?2＝6（cm），∴t＝6÷1＝6（秒）；②∠BED＝90°時(shí)，BE＝12點(diǎn)E在AB上時(shí)，t＝（4?0.5）÷1＝3.5（秒），點(diǎn)E在BA上時(shí)，點(diǎn)E運(yùn)動的路程為4＋0.5＝4.5（cm），t＝4.5÷1＝4.5（秒），∵0≤t≤6綜上所述，t的值為2或3.5或4.5或6，故答案為：2或3.5或4.5或6．【點(diǎn)睛】本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是分情況討論．15．（2023秋·河南鶴壁·八年級鶴壁市外國語中學(xué)校考階段練習(xí)）下列命題中，是真命題的是______（只填序號）．①全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等；②有兩邊和一角相等的兩個(gè)三角形全等；③有一個(gè)角等于60度的等腰三角形是等邊三角形；④3是9的平方根．【答案】①③④【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和判定方法，等腰三角形的性質(zhì)，平方根的定義判斷即可．【詳解】解：①是全等的性質(zhì)，描述正確，是真命題；②有兩邊和夾角才能判定兩個(gè)三角形全等，描述錯(cuò)誤假命題；③頂角為60°時(shí)，兩底角各是60°是等邊三角形；底角為60°時(shí)，也是等邊三角形，描述正確，是真命題；④32=9，3是9的平方根，是真命題．故答案為：①③④【點(diǎn)睛】本題考查真假命題的判斷，能從條件推出結(jié)果才是真命題；掌握全等三角形的判定方法是判斷②的關(guān)鍵．16．（2022秋·遼寧鞍山·八年級統(tǒng)考期中）如圖，△ABC為等邊三角形，點(diǎn)M，N分別在BC、AC上，且BM=CN，AM與BN交于Q點(diǎn)，則∠AQN的度數(shù)為___________．【答案】60°/60度【分析】利用SAS證明△ABM?△BCN，得到∠MAB=∠NBC，結(jié)合∠AQN=∠MAB+∠ABN，利用等量代換得到【詳解】因?yàn)椤鰽BC為等邊三角形，所以AB=所以AB=所以△ABM?△BCN，所以∠MAB=∠NBC，因?yàn)椤螦QN=所以∠AQN=故答案為：60°．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三、解答題17．（2023秋·廣東廣州·八年級廣州市第八十九中學(xué)?？计谥校┤鐖D，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若BD=6，求AC的長．

【答案】9【分析】根據(jù)角平分線的定義求得∠2=∠3=30°，可得Rt△BCD的直角邊CD是斜邊BD長度的一半；然后由三角形的外角定理知∠4=∠1+∠2，可得∠1=∠2=30°，根據(jù)等角對等邊可知AD=BD，根據(jù)BD=6【詳解】解：∵△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，∴∠2=∠3=30°，∠1=90°?∠ABC=90°?60°=30°，在Rt△BCD中，BD=6∴CD=12BD=∵∠1=∠4?∠2=60°?30°=30°=∠2，∴DA=DB=6，∴AC=AD+CD=6+3=9，∴AC的長為9．

【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的定義，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是掌握：在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．18．（2023秋·廣東廣州·八年級?？计谀┤鐖D：在等邊三角形ABC中，點(diǎn)D,E分別是AB,BC延長線上的點(diǎn)，且BD=CE．求證：∠BCD=∠CAE．【答案】見解析【分析】由等邊三角形的性質(zhì)，利用SAS可證ΔDBC≌ΔECA，由全等的性質(zhì)可得結(jié)論.【詳解】證明：∵等邊三角形ABC∴AB=BC=AC，∠ABC=∠ACB,∴∠DBC=∠ACE在ΔABC和ΔABD中，BC=AC∴ΔDBC≌ΔECA∴∠BCD=【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)及判定，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.19．（2022秋·八年級單元測試）如圖，△ABC中，∠A=90°，∠B=60°，BC的垂直平分線交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E．求證：（1）AE=DE；（2）若AE=6，求CE的長．【答案】（1）證明見解析；（2）12．【分析】（1）由垂直平分線可得EB=EC，則得∠EBC=∠C=30°=∠ABE，由角平分線性質(zhì)可得AE=DE；（2）根據(jù)直角三角形中，30°所對直角邊為斜邊的一半．即可得到答案．【詳解】（1）證明：連接BE，∵∠A=90°，∠B=60°，∴∠C=30°．∵DE垂直平分BC，∴EB=EC，∴∠EBC=∠C=30°=∠ABE，∴AE=DE；（2）在△CDE中，∵∠CDE=90°，∠C=30°，∴DE=12CE∴CE=2DE=2AE=12【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂直平分線的性質(zhì)，直角三角形性質(zhì)；直角三角形中30°所對邊為斜邊的一半是本題解題關(guān)鍵.20．（2023春·山東青島·八年級統(tǒng)考期中）如圖，△ABC中，AB＝AC，AD⊥AC交BC于點(diǎn)D，且∠CDA=60°，BD＝2，求BC的長．【答案】6【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠C=30°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B=∠C=30°，求出AD=BD=2，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】∵AD⊥AC交BC于點(diǎn)D，且∠CDA=60°，∴∠C=30°，∵AB=AC，∴∠B=∠C=30°，∴∠BAD=∠ADC-∠B=30°，∴∠B=∠BAD，∴AD=BD=2，∴CD=2AD=4，∴BC=BD+CD=6．【點(diǎn)睛】考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)．解題關(guān)鍵是利用了在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．21．（2022秋·江西宜春·八年級?？计谥校﹫D①中所示的遮陽傘，傘柄垂直于地面，其示意圖如圖②．當(dāng)傘收緊時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)A重合；當(dāng)傘慢慢撐開時(shí)，動點(diǎn)P由A向B移動；當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，傘張得最開．已知傘在撐開的過程中，總有PM=PN，CM=CN．(1)求證：PC垂直平分MN；(2)若CN=PN=60cm，當(dāng)∠CPN=60°時(shí)，求AP【答案】(1)見解析(2)60【分析】（1）首先根據(jù)題意證明△CMP≌△CNPSSS（2）首先根據(jù)題意得到當(dāng)傘收緊時(shí)，AC=CN+PN=120cm，然后證明出△CPN是等邊三角形，求出PC=PN=60【詳解】（1）在△CMP和△CNP中CM=CN∴△CMP≌△CNP∴∠MP