四川省北京師范大學廣安實驗學校2025屆高三數(shù)學上學期模擬考試試題理

PAGEPAGE14四川省北京師范高校廣安試驗學校2025屆高三數(shù)學上學期模擬考試試題理一、選擇題1．已知復數(shù)（為虛數(shù)單位），則（）A．2 B． C． D．2．已知集合，，則（）A． B． C． D．3．已知向量，，，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．我國古代名著《孫子算經(jīng)》中有如下好玩的問題：“今有三女，長女五日一歸，中女四日一歸，少女三日一歸．問三女何日會面？”．意思是：“一家有三個女兒都已出嫁，大女兒五天回一次娘家，二女兒四天回一次娘家，小女兒三天回一次娘家．三個女兒從娘家同一天走后，至少再隔多少天三人可以再次在娘家會面？”．三人再次在娘家會面，則要隔的天數(shù)可以為（）A．90 B．180 C．270 D．3905．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的值為（）A． B． C． D．6．已知等差數(shù)列的前項和為，，，則數(shù)列的通項公式為（）A． B． C． D．7．已知，，則（）A． B． C． D．8．已知函數(shù)若，且滿意，則的取值范圍為（）A． B． C． D．9．已知拋物線的焦點為，過點的直線與拋物線相交于，兩點，則的最小值為（）A． B． C． D．310．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A．函數(shù)是最小正周期為的偶函數(shù)B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱C．函數(shù)的最小值為D．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增11．若不等式恒成立，則正數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．12．如圖所示，在三棱錐中，為邊長為2的正三角形，，與平面所成角的正弦值為，則三棱錐外接球的半徑為（）A． B． C． D．二、填空題13．若函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且，則______．14．6個人排成一排，其中甲、乙恰好相鄰，且丙與甲和乙都不相鄰的概率為______．15．已知數(shù)列得到前項和為，，當時，，則______．16．已知，分別是雙曲線的左、右焦點，過作軸的垂線，與雙曲線交于，兩點，點為外接圓的圓心，點到直線的距離為，則雙曲線的離心率為______．三、解答題17．在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且．（1）求角的大?。唬?）若，求的取值范圍．18．如圖所示，在長方體中，，，，為的中點，為的中點．（1）證明：平面；（2）求平面與平面所成二面角的正弦值．19．2024年4月9日起，運用青島地鐵錢包支付掃碼乘車可享受乘坐地鐵階梯折扣實惠、公交乘車實惠與換乘實惠政策，青島地鐵將在原有微信、支付寶、銀聯(lián)三種支付方式的基礎(chǔ)上，新增錢包支付方式，乘車累計實惠最高到7折．依據(jù)相關(guān)實惠政策，同一乘車碼或同一乘坐地鐵，一個自然月內(nèi)，從第一筆消費起先享受單程票價9折實惠；累計消費滿100元及以上，每筆消費享受單程票價8折實惠；累計消費滿200元及以上，每筆消費享受單程票價7折實惠；累計消費達到300元及以上，復原9折實惠，月底清零，下一自然月重新累計．其中，補交超時費、更新及自助補出站等涉及的金額不參與累計．（1）若甲乘客2024年3月份乘坐地鐵上下班的總費用為200元，請估計2024年5月份甲乘客乘坐地鐵上下班的總費用（結(jié)果精確到0.01）；（2）乘坐青島地鐵的購票方式一般有三種方式，一是通過自動售票機購票，二是購買專用的乘車卡支付，三是運用青島地鐵錢包支付掃碼．現(xiàn)隨機調(diào)查了100名乘客，得到如下列聯(lián)表：運用青島地鐵乘車運用自動售票機購票或購買專用的乘車卡支付青年人4010中老年人3020試推斷能否有95%的把握認為乘坐青島地鐵的購票方式與年齡有關(guān)？（3）在（2）的條件下，利用分層抽樣的方法從青年人中隨機抽取10人，再從這10人中隨機抽取3人，記這3人中運用青島地鐵乘車的人數(shù)為，求分布列和數(shù)學期望．附：，其中．0.0500.0100.0013.8416.63510.828220．已知橢圓的左、右焦點分別為，，點為橢圓上一點，使得，的面積為．（1）求橢圓的標準方程；（2）直線與橢圓相交于，兩點，直線與橢圓相交于，兩點，且，，，四點的橫坐標均不相同，若直線與直線的斜率互為相反數(shù)，求證：直線和直線的斜率互為相反數(shù)．21．已知函數(shù)．（1）若曲線在點處的切線過點，求實數(shù)的值；（2）若函數(shù)僅有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍．22．在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標原點為極點，軸的非負半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．（1）求曲線和的直角坐標方程；（2）若點在曲線上，點在曲線，求的最小值．23．已知，，為正數(shù)，證明：（1）；（2）．理科數(shù)學參考答案題號123456789101112答案BACBDBCACDAD【答案提示】1．B因為，所以，所以．故選B．2．A由，，所以．故選A．3．C由，則，所以，有，故“”是“”的充要條件．故選C．4．B由可知，要隔的天數(shù)為60的正整數(shù)倍．故選B．5．D．故選D．6．B設(shè)公差為，則，得，有，解得，所以．故選B．7．C由，得，可知，與聯(lián)立，得，，所以，所以．故選C．8．A由函數(shù)的圖象（如圖所示），可知，由得，所以，所以．故選A．9．C點的坐標為，設(shè)點，的坐標分別為，，直線的方程為，聯(lián)立方程消去后整理為，所以，，，，所以由（當且僅當時取等號），所以，可得的最小值為．故選C．10．D由，可知函數(shù)為偶函數(shù)，由，可知不是函數(shù)的周期；由，可知，函數(shù)的圖象不關(guān)于直線對稱；由，可知不是函數(shù)的最小值；當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增．故選D．11．A不等式可化為，有，令，則，由函數(shù)在上單調(diào)遞增，得，所以．令，有，令，得，得，所以函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，所以，故有．故選A．12．D如圖所示，取的中點，連，，過點作直線的垂線，垂足為，設(shè)三棱錐外接圓的半徑為．由?，，，可得，，有平面，可得，又由，可得平面，故為直線與平面所成的角，可得，，，，在中，，解得：或．①當時，，此時三棱錐為正三棱錐，有，解得；②當時，，此時由，可得，同理可得，此時的中點為三棱錐外接球的球心，得．由上可知三棱錐外接球的半徑為．故選D．13．0因為為上的奇函數(shù)，所以，又由，可得函數(shù)的周期為4，所以．14．6個人排成一排，其中甲、乙恰好相鄰，且丙與甲和乙都不相鄰的排法數(shù)為，所求概率為．15．由，，得，則，所以，．16．把代入雙曲線的方程可求得，可知點的坐標為，點的坐標為．由雙曲線的對稱可知點在軸上，設(shè)點的坐標為，直線的斜率為，所以直線的方程為，有①，又有，平方后解得，代入①式得，化簡，得，，，，，即，可得，所以．17．解：（1），所以，可得，即．由余弦定理得，又，所以．（2）由．因為，所以，又，所以，所以，得，所以，所以．18．（1）證明：如圖1所示，取的中點，連接，．∵，，∴且．∵，，∴，，∴四邊形為平行四邊形，∴．又∵平面，平面，∴平面．（2）解：以點為原點，向量，，方向分別為，，軸的正方向建立如圖2所示的空間直角坐標系，則，，，，，∴，，，．設(shè)平面的一個法向量為，則有解得取，得，∴；設(shè)平面的一個法向量為，則有解得取，得，可得．由，，，∴，故平面與平面所成二面角的正弦值為．19．解：（1）2024年5月份甲乘客乘坐地鐵上下班的總費用估計為元．（2）由，故有95%的把握認為乘坐青島地鐵的購票方式與年齡有關(guān)．（3）這10人中運用青島地鐵乘車的人數(shù)為8人，運用自動售票機購票或購買專用的乘車卡支付的青年人數(shù)為2人，則的取值為1，2，3，所以，，．所以隨機變量的分布列為：123故．20．（1）解：設(shè)橢圓的焦距為，由題意有．由的面積為，即，所以．因為，所以．在中，，又，所以，所以．故橢圓的標準方程為．（2）證明：設(shè)點，，，的坐標分別為，，，，直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立方程消去后整理為，則同理可得因為，，，互不相等，故有：直線的斜率為，直線的斜率為，則，故直線和直線的斜率互為相反數(shù)．21．解：（1）由，，則，可得曲線在點處的切線為，即．又切線過點，所以，解得，故實數(shù)的值為．（2）因為．令，則函數(shù)與函數(shù)具有相同的零點．①當時，，此時函數(shù)沒有零點；②當時，令，則，令，有，可得函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為．由，可得，所以，此時函數(shù)沒有零點；③由函數(shù)的定義域為，，當時，有，令，可得；，得，所以函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，若此時函數(shù)有兩個零點，必有，可得．下面證當時，函數(shù)有兩個零點；（i）當時，有，可得，，又由②得，可得，則，所以取時，又，且在單調(diào)遞增，故在有唯一零點；（ii）令，則，令，得，可得函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，可得，當時，有，得，有，所以取，，又在單調(diào)遞減，所以在有唯一零點．由（i）（ii）知，當時，函數(shù)有且僅有兩個零點．故函數(shù)有兩個零點時，實數(shù)的取值范圍為．22．解：（1）曲線的參數(shù)方程中消去