聲學(xué)原理- 14講非線性基礎(chǔ)

1第十四章非線性聲學(xué)基礎(chǔ)§14.1引言§14.2非線性一維流體動(dòng)力學(xué)方程及其解§14.3非線性物態(tài)方程與非線性參量§14.4聲波的非線性傳播與波形畸變§14.5有限振幅聲波的相互作用§14.6粘滯媒質(zhì)中有限振幅波的傳播2§14.1引言

線性聲學(xué)的基本假設(shè)：聲波是小振幅的，即質(zhì)點(diǎn)速度遠(yuǎn)小于聲速，質(zhì)點(diǎn)位移遠(yuǎn)小于聲波波長，媒質(zhì)的密度增量遠(yuǎn)小于靜態(tài)密度（）。

以基本假設(shè)為前提，忽略媒質(zhì)運(yùn)動(dòng)方程、連續(xù)性方程以及物態(tài)方程中的二階以上微量，便可獲得線性波動(dòng)方程。

但是，聲學(xué)的基本方程是非線性的：

（14-1-1）

3§14.1引言

方程中，非線性項(xiàng)在什么情況下不能被忽略？計(jì)及非線性項(xiàng)后，波的傳播具有什么特性？——這些就是非線性聲學(xué)問題。

非線性波的傳播理論最初由Euler（1755）、Lagrange（1759）、Poisson（1808）等人提出，但真正的進(jìn)展是由Earnshaw（1859）在Riemann（1858）工作的基礎(chǔ)上提出的。1956年Lighthill提出了新的非線性波的傳播理論。4§14.1引言非線性聲學(xué)問題，也被稱為大振幅聲波或有限振幅聲波的傳播問題。隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)發(fā)展其重要性日趨明顯：

?

飛機(jī)超音速飛行時(shí)產(chǎn)生的轟音對(duì)地面造成的影響；

?現(xiàn)代噴氣發(fā)動(dòng)機(jī)進(jìn)口管道內(nèi)，激波噪聲傳播問題；

?

爆炸聲波傳播問題；

?超聲和水聲中涉及的高頻率大強(qiáng)度非線性聲學(xué)現(xiàn)象；

?熱聲系統(tǒng)中的大振幅高聲強(qiáng)聲整流現(xiàn)象。5§14.2

非線性一維流體動(dòng)力學(xué)方程及其解考慮無粘的理想流體中，有限振幅平面聲波沿方向傳播的一維情形。運(yùn)動(dòng)方程可寫為：

（14-2-1）連續(xù)性方程可寫為：

（14-2-2）6§14.2非線性一維流體動(dòng)力學(xué)方程及其解從上述方程出發(fā)可得到：

或者以隱函數(shù)形式將表示成和的函數(shù)：上式中的與均為任意函數(shù)，可以由初始條件給定。

公式（14-2-3）和（14-2-4）就是非線性流體動(dòng)力學(xué)方程的一般解，也稱黎曼解。它于1806年首先由泊松得到，以后又于1860年為黎曼所論證。

與小振幅聲波的區(qū)別是質(zhì)點(diǎn)速度不是無限小的。

7§14.3非線性物態(tài)方程與非線性參量

物態(tài)方程：指當(dāng)聲波在媒質(zhì)中傳播時(shí)媒質(zhì)的狀態(tài)變量之間的關(guān)系，它能描述媒質(zhì)狀態(tài)變化的規(guī)律。

狀態(tài)變量：壓力、密度和熵。聲波傳播過程可近似看作絕熱過程或等熵過程。狀態(tài)變量減少成兩個(gè)，即和，可表示成：且：§14.3.1非線性物態(tài)方程

8§14.3非線性物態(tài)方程與非線性參量對(duì)于理想氣體在絕熱過程中， 以及則物態(tài)方程為：

對(duì)于一般液體介質(zhì)，可以將物態(tài)關(guān)系式在附近展開保留至二階項(xiàng)得到物態(tài)方程：

其中，為液體的內(nèi)壓強(qiáng)。9§14.3非線性物態(tài)方程與非線性參量

將流體的物態(tài)方程在絕熱或等熵等條件下進(jìn)行泰勒展開，其級(jí)數(shù)形式為：其中：§14.3.2非線性參量，10§14.3非線性物態(tài)方程與非線性參量

定義非線性參量為：§14.3.2非線性參量非線性參數(shù)是無量綱量，決定流體的非線性性質(zhì)對(duì)于理想氣體，非線性參量?？諝猓?.4,水：5.2,絕大部分液體：5－10；生物組織(肝、腎、脂肪等軟組織):6-11。11§14.4聲波的非線性傳播與波形畸變

根據(jù)聲速定義以及狀態(tài)方程（14-3-1）可得：

即§14.4.1聲速與質(zhì)點(diǎn)速度的關(guān)系12§14.4聲波的非線性傳播與波形畸變

由 ，可得到聲速與質(zhì)點(diǎn)速度之間的關(guān)系：

討論：（1）若質(zhì)點(diǎn)速度不能被忽略時(shí)，則波形上各點(diǎn)聲速不同；（2）若質(zhì)點(diǎn)速度遠(yuǎn)小于聲速，則c=c0，§14.4.1聲速與質(zhì)點(diǎn)速度的關(guān)系13§14.4聲波的非線性傳播與波形畸變§14.4.2波形的畸變

假設(shè)在聲源處發(fā)出一個(gè)只沿正方向傳播的正弦聲波：，則在距離聲源為處的聲波為：14§14.4聲波的非線性傳播與波形畸變

由于波在沿正方向傳播過程中，其上各點(diǎn)的速度不相同，這就是波形在傳播時(shí)發(fā)生畸變的原因。

波形的畸變是隨著距離而逐漸累積的。傳播距離越大，波形畸變就越厲害。最終會(huì)形成鋸齒波，發(fā)生了波的間斷，破壞媒質(zhì)的連續(xù)性?！?4.4聲波的非線性傳播與波形畸變1516§14.4聲波的非線性傳播與波形畸變

形成間斷的條件是 ，或

則發(fā)生間斷的臨界距離為其中，聲馬赫數(shù)，為波數(shù)，為波長?！?4.4.3間斷距離

可以得出這樣的結(jié)論：形成間斷的距離與聲馬赫數(shù)成反比，Ma愈大則

愈?。怀跏颊也ǖ穆晧河蠡蛘哔|(zhì)點(diǎn)速度愈大，則離聲源很短的距離上就形成鋸齒波媒體的非線性愈強(qiáng)或者聲源的頻率愈高，愈容易產(chǎn)生波形的畸變，間斷距離也愈短。17§14.4聲波的非線性傳播與波形畸變§14.4.3間斷距離18§14.4聲波的非線性傳播與波形畸變

黎曼解只適用于間斷發(fā)生之前，而間斷后的激波就無法用其表達(dá)，故需要利用近似理論進(jìn)行求解。

發(fā)生間斷以前，表達(dá)式為隱性的，利用近似理論可以求出顯示表達(dá)式以統(tǒng)觀傳播的全過程。

由傅利葉分析可知，任何一個(gè)非正弦形的周期函數(shù)都可以展開成頻率為，，，…，的簡諧函數(shù)組合；當(dāng)波形發(fā)生畸變后，會(huì)產(chǎn)生出頻率之外的其他諧波成分，且隨著距離增加，高次諧波分量的作用會(huì)更明顯?！?4.4.4近似理論19§14.4聲波的非線性傳播與波形畸變1936年，傅比尼將（14-4-4）式用傅利葉級(jí)數(shù)轉(zhuǎn)換成顯式。將分解成傅利葉級(jí)數(shù)形式，得(1)傅比尼（Fubini）解其中：20§14.4聲波的非線性傳播與波形畸變

利用貝塞爾函數(shù)的定義及其遞推公式，在距離聲源處的傅比尼解可寫作：這里，而時(shí)為多值函數(shù)，不能使用此解。(1)傅比尼（Fubini）解21§14.4聲波的非線性傳播與波形畸變

費(fèi)氏于1931年提出傳播距離較遠(yuǎn)波形比較穩(wěn)定時(shí)的傳播規(guī)律。最終的解可寫作：（2）費(fèi)氏（Fay）解

鋸齒波是沖擊波的主要形式：物體以超聲速飛過空間（如子彈、導(dǎo)彈和飛機(jī)等），高壓氣體突然沖擊（如氣體排放、沖擊管、爆炸、火山爆發(fā)）等都是沖擊聲源。22§14.4聲波的非線性傳播與波形畸變

Blackstock于1966年提出將傅比尼解和費(fèi)氏解相結(jié)合的方法。（3）布萊克斯托克（Blackstock）解Blackstock解的幅值隨距離的改變23§14.5有限振幅聲波的相互作用

線性聲學(xué)中，同時(shí)傳播的兩個(gè)聲波是不會(huì)發(fā)生相互作用的，小振幅波的聲場能夠滿足疊加原理。

當(dāng)聲學(xué)方程中計(jì)入非線性項(xiàng)時(shí)，疊加原理就不適用了，同時(shí)傳播的兩個(gè)聲波就會(huì)發(fā)生相互作用。

若頻率分別為和的聲波沿同一方向傳播，則在某位置上既會(huì)產(chǎn)生頻率為，，，的聲波，也會(huì)產(chǎn)生頻率為的聲波。24§14.5有限振幅聲波的相互作用

考慮沿方向傳播的一維波，從非線性的運(yùn)動(dòng)方程、連續(xù)性方程以及物態(tài)方程出發(fā)，可以得到非線性波動(dòng)方程。§14.5.1非線性波動(dòng)方程引入速度勢，且。則保留到二階微量的非線性波動(dòng)方程的表達(dá)式為：其中：25§14.5有限振幅聲波的相互作用

一般應(yīng)用微擾法（或稱逐級(jí)近似法）求出非線性波動(dòng)方程的一階近似和二階近似解。

設(shè)解 ，代入方程（14-5-1），可得到一階近似方程為§14.5.2非線性波動(dòng)方程的解

和二階近似方程為26§14.5有限振幅聲波的相互作用

易知，方程（14-5-2）就是小振幅時(shí)的線性波動(dòng)方程，其解為將二階近似方程變成非齊次方程，這樣便可求出二階近似解的表達(dá)式為27§14.5有限振幅聲波的相互作用

假設(shè)初始激發(fā)波為和兩個(gè)頻率的簡諧擾動(dòng)之和，即在處，在時(shí)，有§14.5.3兩個(gè)不同頻率聲波的相互作用

由一階近似方程可得到一階近似解為一階近似下的聲壓表達(dá)式為28§14.5有限振幅聲波的相互作用

將一階近似解代入二階近似方程，最終可求得二階近似解的表達(dá)式為29§14.5有限振幅聲波的相互作用

求得的二階近似聲壓表達(dá)式為

可見，和頻聲波與差頻聲波的出現(xiàn)證明,有限振幅聲波的相互作用并不遵從疊加原理。30§14.5有限振幅聲波的相互作用①聲參量效應(yīng)：利用媒質(zhì)非線性而產(chǎn)生的和差頻波的現(xiàn)象。在水聲學(xué)中有重要的應(yīng)用。②水聲學(xué)中，為了增加聲波在水中的有效傳播距離，希望換能器具有較低的發(fā)射頻率，較尖銳的指向性，較小的體積。③

若兩個(gè)頻率相近的強(qiáng)聲波同軸發(fā)射并傳播，由介質(zhì)的非線性而產(chǎn)生的差頻波就具有頻率低、指向性尖銳且體積小等特點(diǎn)，從而可以構(gòu)成滿足水聲聲吶所期望的聲參量發(fā)射陣。研究有限振幅聲波相互作用的意義：31§14.6粘滯媒質(zhì)中有限振幅波的傳播

在非理想媒質(zhì)中，聲波的傳播總會(huì)有衰減。

有限振幅聲波波形的畸變即是產(chǎn)生了高頻諧波成分，這會(huì)導(dǎo)致在傳播過程中，有限振幅聲波的吸收會(huì)比小振幅聲波的吸收大很多。

為了描述由粘滯作用引起的有限振幅聲波波形畸變的過程，引入一個(gè)稱為聲雷諾數(shù)的量，定義為，其中，而和分別為切變和容變粘滯系數(shù)。表示粘滯作用較小的情況，而表示粘滯作用較大的情況。32§14.6粘滯媒質(zhì)中有限振幅波的傳播

當(dāng)考慮媒質(zhì)的粘滯作用時(shí)，必須將運(yùn)動(dòng)方程中計(jì)入粘滯項(xiàng)，即推廣為§14.6.1伯格斯方程的推導(dǎo)連續(xù)方程與狀態(tài)方程保持不變33§14.6粘滯媒質(zhì)中有限振幅波的傳播

假設(shè)：

①只考慮沿軸正方向傳播的波；

②在一個(gè)波長的距離上，由耗散和非線性產(chǎn)生的波形畸變較小；

③坐標(biāo)變換，即坐標(biāo)隨波而動(dòng)，令，其導(dǎo)數(shù)關(guān)系為，§14.6.1伯格斯方程的推導(dǎo)，34§14.6粘滯媒質(zhì)中有限振幅波的傳播§14.6.1伯格斯方程的推導(dǎo)

令，即推導(dǎo)出著名的伯格斯方程：35§14.6粘滯媒質(zhì)中有限振幅波的傳播

應(yīng)用微擾法（或稱逐級(jí)近似法）求解方程（14-6-2），得到一階近似和二階近似解?！?4.6.2伯格斯方程的解

設(shè)解 ，代入方程（14-6-2），可得到一階近似方程為容易求出一階近似解為其中為粘滯與熱傳導(dǎo)損耗的吸收系數(shù)36§14.6粘滯媒質(zhì)中有限振幅波的傳播

將一階近似解代入伯格斯方程（14-6-5），可得到二階近似方程：§14.6.2伯格斯方程的解

考慮邊界條件，即時(shí)，，則得到二階近似解為距離聲源處的二次諧波聲壓值的表達(dá)式即37§14.6粘滯媒質(zhì)中有限振幅波的傳播

由（14-6-6）可以得到二次諧波聲壓隨距離的衰減規(guī)律，下圖給出了小雷諾數(shù)下的聲壓隨距離的