2025年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 68 第八章 微專題 拋物線二級結(jié)論的應(yīng)用

微專題拋物線二級結(jié)論的應(yīng)用在高中階段，對圓錐曲線的學(xué)習(xí)只有拋物線給出了準(zhǔn)線的概念，借助準(zhǔn)線給出了拋物線的定義．以拋物線的定義為主要依據(jù)，得到了涉及焦點(diǎn)弦的很多結(jié)論，應(yīng)用這些結(jié)論可以快速解決一些特定情境的問題，解決問題的過程充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．我們以拋物線y2＝2px(p>0)為例來研究．已知AB是過拋物線y2＝2px(p>0)焦點(diǎn)F的弦，α為直線AB與x軸正半軸的夾角，且A(x1，y1)，B(x2，y2)．類型一活用x1x2＝p24，y1y2＝－【例1】直線l過拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F，且與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，拋物線C的準(zhǔn)線上一點(diǎn)M(－1，－1)滿足MA·MB＝0，則|A．6 B．5C．42 D．32B解析：由拋物線C的準(zhǔn)線上一點(diǎn)M(－1，－1)，知p2＝1，解得p＝2，故F設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2＝1，y1y2＝－4，MA＝(x1＋1，y1＋1)，MB＝(x2＋1，y2＋1)．因?yàn)镸A·MB＝0，所以(x1＋1)(x2＋1)＋(y1＋1)(y2化簡得x1＋x2＋y1＋y2＝1.設(shè)AB的中點(diǎn)N的坐標(biāo)為(x0，y0)，直線l的斜率為k，則x0＋y0＝12①k＝kAB＝y(tǒng)1且k＝kNF＝y(tǒng)0所以2y0＝y(tǒng)0x0－1由①②，解得x0＝32所以|AB|＝x1＋x2＋p＝2x0＋p＝5.【例2】(多選題)直線l過拋物線C：x2＝4y的焦點(diǎn)F，且與C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，則下列說法正確的是()A．拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)B．|AB|的最小值為4C．對任意的直線l，x1x2＝1D．以AB為直徑的圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切BD解析：拋物線C：x2＝4y的焦點(diǎn)為F(0，1)，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；拋物線的焦點(diǎn)弦中，通徑最短，故|AB|的最小值為4，B選項(xiàng)正確；由題意，拋物線的焦點(diǎn)在y軸，則x1x2＝－p2＝－4，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；如圖所示，設(shè)AB的中點(diǎn)為M，過A，B，M分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為A′，B′，M′，則|MM′|＝AA'可知以AB為直徑的圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切，D選項(xiàng)正確．類型二活用|AB|＝x1＋x2＋p＝2【例3】已知拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)為F，過F的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)．若A1，22，則|ABA．9 B．7C．6 D．5A解析：由題意得F(2，0)，設(shè)直線l的傾斜角為α，所以kl＝tanα＝kAF＝22所以sinα＝223，所以【例4】已知拋物線x2＝12y的焦點(diǎn)為F，過焦點(diǎn)F的直線y＝kx＋m(k>0)與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)．若|AB|＝36，則k＝()A．2 B．2C．22 D．B解析：由拋物線x2＝12y可得焦點(diǎn)F(0，3)，代入y＝kx＋m(k>0)，得m＝3.聯(lián)立y＝kx+3，x2＝12y設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1＋x2＝12k，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋6＝12k2＋6.由拋物線的定義可得|AB|＝y(tǒng)1＋y2＋p＝12k2＋12＝36，解得k＝2.類型三活用1【例5】過拋物線C：y2＝12x的焦點(diǎn)F的直線l與C相交于M，N兩點(diǎn)，則4|MF|＋|NF|的最小值為()A．15 B．18C．21 D．27D解析：由題意知p＝6.因?yàn)?MF令|MF|＝a，|NF|＝b，則1a所以4|MF|＋|NF|＝31MF+1NF·4MF+＝3×(5+b當(dāng)且僅當(dāng)ba＝4ab即|MF|＝924|MF|＋|NF|取得最小值，最小值為27.【例6】已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F(4，0)，過點(diǎn)F作直線l交拋物線于M，N兩點(diǎn)，則p＝________，NF9－813解析：因?yàn)閽佄锞€y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F(4，0)，所以p＝8，拋物線的方程為y2＝16x因?yàn)?NF+1所以NF9當(dāng)且僅當(dāng)NF9故NF9－4類型四活用|AF|＝p1－【例7】已知直線l：y＝kx－p2與拋物線C：y2＝2px(p>0)相交于A，B兩點(diǎn)(其中A位于第一象限)．若|BF|＝3|FAA．－3 B．－3C．－1 D．－1A解析：由題意，直線l過拋物線的焦點(diǎn)，且k<0，設(shè)直線l的傾斜角為α，因?yàn)閨BF|＝3|FA|，所以p1+cosα＝3p1所以k＝tanα＝－3.【例8】(多選題)已知過拋物線y2＝2x的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，且滿足|AF|>|BF|.若|AB|＝3，則()A．l的斜率的絕對值為22B．|AF|－|BF|＝3C．|AF|·|BF|＝3D．AFBCD解析：設(shè)直線的傾斜角為α.|AB|＝2psin2α＝2sin則l的斜率的絕對值為2，故A錯(cuò)誤；因?yàn)锳F>BF，所以因?yàn)閨AF|＋|BF|＝3，所以|AF|＝3+32，BF＝3－3