四川省綿陽(yáng)市高三第三次診斷性考試數(shù)學(xué)（文）試題

綿陽(yáng)市高中2015級(jí)第三次診斷性考試數(shù)學(xué)（文史類）第Ⅰ卷（共60分）一、選擇題：本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)滿足（是虛數(shù)單位），則=（）A．1B．1C．D．2.已知集合，，集合，則集合的子集個(gè)數(shù)是（）A．1B．2C．3D．43.為了解某高校高中學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，從編號(hào)為0001，0002，…，2000的2000名學(xué)生中采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為50的樣本，并把樣本編號(hào)從小到大排列，已知抽取的第一個(gè)樣本編號(hào)為0003，則最后一個(gè)樣本編號(hào)是（）A．0047B．1663C．1960D．19634.已知實(shí)數(shù)滿足，則的最小值是（）A．4B．5C.6D．75.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入，則輸出的取值范圍是（）A．B．C.D．6.如圖1，四棱錐中，底面，底面是直角梯形，該四棱錐的俯視圖如圖2所示，則的長(zhǎng)是（）A．B．C.D．7.在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)，則事件“”發(fā)生的概率是（）A．B．C.D．8.甲、乙、丙三人各買了一輛不同品牌的新汽車，汽車的品牌為奇瑞、傳祺、吉利.甲、乙、丙讓丁猜他們?nèi)烁髻I的什么品牌的車，丁說(shuō)：“甲買的是奇瑞，乙買的不是奇瑞，丙買的不是吉利.”若丁的猜測(cè)只對(duì)了一個(gè)，則甲、乙所買汽車的品牌分別是（）A．吉利，奇瑞B(yǎng)．吉利，傳祺C.奇瑞，吉利D．奇瑞，傳祺9.雙曲線的離心率是，過(guò)右焦點(diǎn)作漸近線的垂線，垂足為，若的面積是1，則雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)是（）A．1B．2C.D．10.若曲線的一條切線是，則的最小值是（）A．2B．C.4D．11.已知圓，圓交于不同的，兩點(diǎn)，給出以下列結(jié)論：①；②；③，，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．0B．1C.2D．312.中，，，，點(diǎn)是內(nèi)（包括邊界）的一動(dòng)點(diǎn)，且，則的最大值是（）A．B．C.D．第Ⅱ卷（共90分）二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是．14.奇函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，，則．15.已知圓錐的高為3，側(cè)面積為，若此圓錐內(nèi)有一個(gè)體積為的球，則的最大值為．16.四邊形中，，，設(shè)、的面積分別為、，則當(dāng)取最大值時(shí)，．三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）17.已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和滿足：．（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.18.十九大提出，堅(jiān)決打贏脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn)，某幫扶單位為幫助定點(diǎn)扶貧村真脫貧，堅(jiān)持扶貧同扶智相結(jié)合，幫助貧困村種植蜜柚，并利用電商進(jìn)行銷售，為了更好地銷售，現(xiàn)從該村的蜜柚樹上隨機(jī)摘下了100個(gè)蜜柚進(jìn)行測(cè)重，其質(zhì)量分別在，，，，，（單位：克）中，其頻率分布直方圖如圖所示.（Ⅰ）按分層抽樣的方法從質(zhì)量落在，的蜜柚中抽取5個(gè)，再?gòu)倪@5個(gè)蜜柚中隨機(jī)抽取2個(gè)，求這2個(gè)蜜柚質(zhì)量均小于2000克的概率；（Ⅱ）以各組數(shù)據(jù)的中間數(shù)代表這組數(shù)據(jù)的平均水平，以頻率代表概率，已知該貧困村的蜜柚樹上大約還有5000個(gè)蜜柚等待出售，某電商提出兩種收購(gòu)方案：A.所有蜜柚均以40元/千克收購(gòu)；B．低于2250克的蜜柚以60元/個(gè)收購(gòu)，高于或等于2250克的以80元/個(gè)收購(gòu).請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算為該村選擇收益最好的方案.19.如圖，在四棱錐中，側(cè)棱底面，底面是菱形，且，點(diǎn)是側(cè)棱的中點(diǎn).（Ⅰ）求證：直線平面；（Ⅱ）若，三棱錐的體積是，求的值.20.在直角坐標(biāo)系中，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上且軸，直線交軸于點(diǎn)，，為橢圓的上頂點(diǎn)，的面積為1.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）過(guò)的直線交橢圓于，，且滿足，求的面積.21.已知函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，滿足，且，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（Ⅰ）時(shí)，求的值；（Ⅱ）求的取值范圍.請(qǐng)考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.22.選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，且在兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位.曲線的極坐標(biāo)方程是.（Ⅰ）求曲線的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）設(shè)曲線與軸正半軸及軸正半軸交于點(diǎn)，在第一象限內(nèi)曲線上任取一點(diǎn)，求四邊形面積的最大值.23.選修45：設(shè)函數(shù).（Ⅰ）若的最小值是4，求的值；（Ⅱ）若對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，總存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.試卷答案一、選擇題15:ABDCC610:ADABC11、12：DB二、填空題13.14.215.16.三、解答題17.解：（Ⅰ）由已知，可得當(dāng)時(shí)，，可解得，或，由是正項(xiàng)數(shù)列，故.當(dāng)時(shí)，由已知可得，，兩式相減得，.化簡(jiǎn)得，∴數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故.∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（Ⅱ）∵，代入化簡(jiǎn)得，顯然是等比數(shù)列，∴其前項(xiàng)和.18.解：（Ⅰ）由題得蜜柚質(zhì)量在和的比例為，∴應(yīng)分別在質(zhì)量為，的蜜柚中各抽取2個(gè)和3個(gè).記抽取質(zhì)量在的蜜柚為，，質(zhì)量在的蜜柚為，，，則從這5個(gè)蜜柚中隨機(jī)抽取2個(gè)的情況共有以下10種：，，，，，，，，，，其中質(zhì)量均小于2000克的僅有這1種情況，故所求概率為.（Ⅱ）方案好，理由如下：由頻率分布直方圖可知，蜜柚質(zhì)量在的頻率為，同理，蜜柚質(zhì)量在，，，的頻率依次為0.1，0.15，0.4，0.2，0.05.若按方案收購(gòu)：根據(jù)題意各段蜜柚個(gè)數(shù)依次為500，500，750，2000，1000，250，于是總收益為（元）若按方案收購(gòu)：∵蜜柚質(zhì)量低于2250克的個(gè)數(shù)為，蜜柚質(zhì)量低于2250克的個(gè)數(shù)為,∴收益為元.∴方案的收益比方案的收益高，應(yīng)該選擇方案.19.解：（Ⅰ）證明：連接，與交于點(diǎn)，連接.由是菱形，知點(diǎn)是的中點(diǎn).又∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，而，，∴.（Ⅱ）∵，∴，.又∵，∴，于是.由已知，得.令菱形的邊長(zhǎng)為，則由，可得，∴，.∴，解得，于是.20.解：（Ⅰ）設(shè)，由題意可得，即.∵是的中位線，且，∴，即，整理得.①又由題知，為橢圓的上頂點(diǎn)，∴的面積，整理得，即，②聯(lián)立①②可得，變形得，解得，進(jìn)而.∴橢圓的方程為.

(Ⅱ)由可得，兩邊平方整理得.直線斜率不存在時(shí)，，，不滿足.直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立，消去，得，∴，，（*）由得.將，代入整理得，展開得，將（*）式代入整理得，解得，∴，，的面積為，代入計(jì)算得，即的面積為.21.解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，由題意知、為方程的兩個(gè)根.根據(jù)韋達(dá)定理得，.于是.（Ⅱ）∵，同