湖北省武漢六中2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題含解析

PAGE15-湖北省武漢六中2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題（含解析）一、選擇題1.已知向量（2，6），（﹣1，λ），若，則λ＝（）A.3 B.﹣3 C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)題意，由向量平行的坐標(biāo)表示方法可得2λ＝﹣6求解.【詳解】依據(jù)題意，向量（2，6），（﹣1，λ），因?yàn)椋?λ＝﹣6，解得：λ＝﹣3；故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查平面對量的共線定理，還考查了運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.2.已知向量,則的充要條件是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)橄蛄?則，故其充要條件是選D3.已知數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋2n(n∈N*)，則a100的值是()A.9900 B.9902C.9904 D.11000【答案】B【解析】∵a1=2,an+1=an+2n，∴an+1?an=2n，∴an=(an?an?1)+(an?1?an?2)+…+(a2?a1)+a1=2(n?1)+2(n?2)+…+2×1+2=2×+2=n2?n+2.∴a100=1002?100+2=9902.故選B.4.已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an+1，則這個數(shù)列的第n項(xiàng)an為（）A.2n﹣1 B.2n+1 C. D.【答案】C【解析】【分析】取倒數(shù)，推出數(shù)列{}是等差數(shù)列，然后求解數(shù)列的通項(xiàng)公式即可．【詳解】數(shù)列{an}中，a1＝1，an+1，因?yàn)椋詳?shù)列{}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為2，所以，所以an，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式，還考查了運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于中檔題.5.已知，，且，則向量在方向上的正射影的數(shù)量為A.1 B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由與、可得出，向量在方向上的正射影的數(shù)量=【詳解】向量在方向上的正射影的數(shù)量=【點(diǎn)睛】本題考查兩向量垂直，其數(shù)量積等于0.向量在方向上的正射影的數(shù)量=.6.數(shù)列的前n項(xiàng)和為()A. B. C. D.【答案】D【解析】分析】先由等比數(shù)列的求和公式求得,由此利用分組求和法能求出數(shù)列的前n項(xiàng)和.【詳解】設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)的和,

,

，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法,是中檔題,解題時要仔細(xì)審題,留意分組求和法的合理運(yùn)用.7.若，滿意，，則的前10項(xiàng)和為()A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)椋瑒t，所以，故選B.8.若在△ABC中，2cosBsinA＝sinC，則△ABC的形態(tài)肯定是（）A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等邊三角形【答案】C【解析】【分析】依據(jù)2cosBsinA＝sinC，由兩角和與差的三角函數(shù)化簡求解.【詳解】∵在△ABC中，2cosBsinA＝sinC，∴2cosBsinA＝sinC＝sin（A+B），∴2cosBsinA＝sinAcosB+cosAsinB，∴sinAcosB﹣cosAsinB＝0，∴sin（A﹣B）＝0，，∴A﹣B＝0，即A＝B，∴△ABC為等腰三角形，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查兩角和與差的三角函數(shù)，還考查了運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于中檔題.9.三角形ABC中，角A、B、C的對邊分別是a，b，c，且a＞b＞c，a2＜b2+c2，則角A的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】因?yàn)閍2＜b2+c2,所以,又因?yàn)閍＞b＞c,所以A為銳角且為最大角，所以角A的取值范圍是10.在△ABC中，若acos2ccos2b，那么a，b，c的關(guān)系是（）A.a+b＝c B.a+c＝2b C.b+c＝2a D.a＝b＝c【答案】B【解析】【分析】依據(jù)acos2ccos2b，利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，再利用正弦定理化簡，整理后把sin（A+C）＝sinB代入，利用正弦定理化簡即可得到結(jié)果．【詳解】因?yàn)閍cos2ccos2b，所以a（1+cosC）+c（1+cosA）＝3b，由正弦定理得：sinA（1+cosC）+sinC（1+cosA）＝3sinB，整理得：sinA+sinAcosC+sinC+cosAsinC＝3sinB，即sinA+sinC+sin（A+C）＝3sinB，∵sin（A+C）＝sinB，∴sinA+sinC+sinB＝3sinB，即sinA+sinC＝2sinB，則由正弦定理化簡得，a+c＝2b．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查二倍角公式，正弦定理的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于中檔題.11.△ABC中，A：B＝1：2，C的平分線CD把三角形面積分成3：2兩部分，則cosA＝（）A. B. C. D.0【答案】C【解析】【分析】依據(jù)A：B＝1：2，得到B＝2A，且B大于A，可得出AC大于BC，利用角平分線定理，依據(jù)角平分線CD將三角形分成的面積之比為3：2，得到BC與AC之比，再利用正弦定理得出sinA與sinB之比，將B＝2A代入并利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡，即可求出cosA的值．【詳解】如圖所示：∵A：B＝1：2，所以B＝2A，∴B＞A，∴AC＞BC，∵角平分線CD把三角形面積分成3：2兩部分，∴由角平分線定理得：BC：AC＝BD：AD＝2：3，∴由正弦定理得：，整理得：，則cosA．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理的平面幾何中的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于中檔題.12.在鈍角三角形ABC中，a＝1，b＝2，則邊c的取值范圍是（）A.c＜3 B.C.1c或c3 D.或c<3【答案】C【解析】【分析】依據(jù)△ABC是鈍角三角形，沒有指明哪個角是最大角，從而無法確定邊之間的關(guān)系，結(jié)合a＝1，b＝2，從而可以分兩種狀況進(jìn)行分析，從而確定第三邊c的改變范圍．【詳解】①∵當(dāng)∠C是鈍角時，有∠C＞90°，由余弦定理得：，∴c，又a+b＞c，可得c＜1+2＝3，∴可得邊c的取值范圍是（，3）；②當(dāng)∠B是鈍角時，有∠B＞90°，由余弦定理得：，∴b2＞a2+c2，可得4＞1+c2，解得c，又c＞b﹣a＝1，∴1＜c，綜上，邊c的取值范圍是1＜c或c＜3．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理的平面幾何中的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于中檔題.二、填空題：本小題共4個小題，每小題5分，共20分．13.已知向量與夾角為60°，||=2，||=1，則|+2|=______.【答案】【解析】【詳解】∵平面對量與的夾角為，∴.∴故答案為.點(diǎn)睛：(1)求向量的夾角主要是應(yīng)用向量的數(shù)量積公式．(2)常用來求向量的模．14.已知為單位向量，且=0，若，則___________.【答案】.【解析】【分析】依據(jù)結(jié)合向量夾角公式求出，進(jìn)一步求出結(jié)果.【詳解】因，，所以，，所以，所以．【點(diǎn)睛】本題主要考查平面對量的數(shù)量積、向量的夾角．滲透了數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象素養(yǎng)．運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想得出答案．15.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．若，b=2，A=60°，則sinB=___________，c=___________．【答案】(1).(2).3【解析】分析:依據(jù)正弦定理得sinB,依據(jù)余弦定理解出c.詳解：由正弦定理得,所以由余弦定理得（負(fù)值舍去）.點(diǎn)睛：解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就須要依據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知條件敏捷轉(zhuǎn)化為邊和角之間的關(guān)系，從而達(dá)到解決問題的目的.16.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，則a1＝________，S5＝________．【答案】(1).1(2).121【解析】試題分析：，再由，又，所以【考點(diǎn)】等比數(shù)列的定義，等比數(shù)列的前項(xiàng)和．【易錯點(diǎn)睛】由轉(zhuǎn)化為的過程中，肯定要檢驗(yàn)當(dāng)時是否滿意，否則很簡單出現(xiàn)錯誤.三、解答題：第17題10分，第18～22題各題12分，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知，，與夾角是．（1）求的值及的值；（2）當(dāng)為何值時，？【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用數(shù)量積定義及其向量的運(yùn)算性質(zhì)，即可求解；（2）由于，可得，利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，即可求解．【詳解】（1）由向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，可得，.（2）因?yàn)?，所以，整理得，解得．即?dāng)值時，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)量積定義及其運(yùn)算性質(zhì)、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，其中解答中熟記向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，以及向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理實(shí)力與計算實(shí)力，屬于中檔題．18.在中，，，分別是角，，的對邊，，.（1）求的面積；（2）若，求角.【答案】(1)14;(2).【解析】試題分析：（1）先求出的值，再由同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求出，從而求出三角形的面積即可；（2）依據(jù)余弦定理即正弦定理計算即可．試題解析：（1）∵，，∴，∵，∴，∴（2），，∴由余弦定理得，∴，由正弦定理：，∴∵且為銳角，∴肯定是銳角，∴19.若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿意an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝.(1)求證：成等差數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．【答案】（1）詳見解析（2）【解析】分析】(1)由已知條件可得:，又，由等差數(shù)列定義即可證明；（2）由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法及的關(guān)系即可得解.【詳解】(1)證明：當(dāng)時，由，可得，所以，又，故是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列．(2)由(1)可得，所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，不適合上式，故.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列及等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，屬基礎(chǔ)題.20.已知（cosx，2cosx），（2cosx，sinx），f（x）?．（1）把f（x）的圖象向右平移個單位得g（x）的圖象，求g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）當(dāng)與共線時，求f（x）的值．【答案】（1）增區(qū)間；（2）．【解析】【分析】（1）利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、倍角公式、和差公式可得：．把f（x）的圖象向右平移個單位得g（x）的圖象：g（x）1．再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出g（x）的增區(qū)間．（2）當(dāng)與共線時，可得tanx＝4．于是f（x），即可得出．【詳解】（1）f（x）＝2cos2x+2sinxcosx＝cos2x+1+sin2x1．∴．把f（x）的圖象向右平移個單位得g（x）的圖象：g（x）11．∴．由2kπ，解得x≤kπ，k∈Z．∴g（x）的增區(qū)間．（2）∵當(dāng)與共線時，∴4cos2x﹣sinxcosx＝0，∴tanx＝4．∴f（x）＝2cos2x+2sinxcosx．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象變換，三角函數(shù)的性質(zhì)，三角恒等變換以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，還考查了運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于中檔題.21.在中，AC=6，（1）求AB的長；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】試題分析：（1）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求再利用正弦定理求AB的長；（2）利用誘導(dǎo)公式及兩角和與差正余弦公式分別求，然后求試題解析：解（1）因?yàn)椋?，所以由正弦定理知，所以?）在中，，所以，于是又故因?yàn)?，所以因此【考點(diǎn)】同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、正余弦定理、兩角和與差的正余弦公式【名師點(diǎn)睛】三角函數(shù)是以角為自變量的函數(shù)，因此解三角函數(shù)題，首先應(yīng)從角進(jìn)行分析，擅長用已知角表示所求角，即留意角的變換.角的變換涉及誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角和與差的三角公式、二倍角公式、配角公式等，選用恰當(dāng)?shù)墓绞墙鉀Q三角問題的關(guān)鍵，同時應(yīng)明確角的范圍、開方時正負(fù)的取舍等.22.（1）數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝10n﹣n2，求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和．（2）已知等差數(shù)列{an}滿意a2＝0，a6+a8＝﹣10．求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和．【答案】（1）Tn；（2）Hn．【解析】【分析】（1）依據(jù)Sn＝10n﹣n2，利用通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系，n≥2時，an＝Sn﹣Sn﹣1，（n＝1時也成立）求得an．令an≥0，解得n≤5．可得n≤5時，{|an|}的前n項(xiàng)和Tn＝a1+a2+……+an＝Sn．n≥6時，{|an|}的前n項(xiàng)和Tn＝a1+a2+……a5﹣a6+……﹣an＝2S5﹣Sn．即可得出Tn．（2）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由a2＝0，a6+a8＝﹣10．可得a1+d＝0，2a1+12d＝﹣10，聯(lián)立解得：a1，d，可得an．于是．利用錯位相減法即可得出．【詳解】（1）∵Sn＝10n﹣n2，∴n≥2時，an＝Sn﹣Sn﹣1＝10n﹣n2﹣[10（n﹣1）﹣（n﹣1）2]＝11﹣2n，當(dāng)n＝1時，滿意上式，故an＝11﹣2n.令an≥0，解得n≤5．∴n≤5時，{|an|}的前n項(xiàng)和Tn