河北省衡水中學高三第十次模擬考試數學（理）試題

2017—2018學年度第一學期高三十模考試數學試卷（理科）一、選擇題（每小題5分，共60分.下列每小題所給選項只有一項符合題意，請將正確答案的序號填涂在答題卡上）1.設集合，，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】A={x|y=log2（2﹣x）}={x|x＜2}，B={x|x2﹣3x+2＜0}={x|1＜x＜2}，則?AB={x|x≤1}，故選：B．2.在復平面內，復數對應的點的坐標為，則在復平面內對應的點位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】設z=x+yi，，∴∴在復平面內對應的點位于第四象限故選：D．3.已知中，，，則的值是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】∵，

∴化為．可得：B為銳角，C為鈍角．

∴===≤=，當且僅當tanB=時取等號．

∴tanA的最大值是故選A點睛：本題考查了三角形內角和定理、誘導公式、和差公式、基本不等式的性質，屬于綜合題是三角和不等式的結合.4.設，為的展開式的第一項（為自然對數的底數），，若任取，則滿足的概率是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由題意，s=，∴m==e，則A={（x，y）|0＜x＜m，0＜y＜1}={（x，y）|0＜x＜e，0＜y＜1}，畫出A={（x，y）|0＜x＜e，0＜y＜1}表示的平面區(qū)域，任?。╝，b）∈A，則滿足ab＞1的平面區(qū)域為圖中陰影部分，如圖所示：計算陰影部分的面積為S陰影==（x﹣lnx）=e﹣1﹣lne+ln1=e﹣2．所求的概率為P=，故選：C．5.函數的圖象大致是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】函數y=是偶函數，排除B．當x=10時，y=1000，對應點在x軸上方，排除A，當x＞0時，y=x3lgx，y′=3x2lgx+x2lge，可知x=是函數的一個極值點，排除C．故選：D．6.已知一個簡單幾何體的三視圖如圖所示，若該幾何體的體積為，則該幾何體的表面積為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】該幾何體是一個棱錐與四分之一的圓錐的組合體，其表面積為，，所以，故選D．7.已知，，，則，，的大小關系為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由題易知：，∴故選：A點睛：利用指數函數對數函數及冪函數的性質比較實數或式子的大小，一方面要比較兩個實數或式子形式的異同，底數相同，考慮指數函數增減性，指數相同考慮冪函數的增減性，當都不相同時，考慮分析數或式子的大致范圍，來進行比較大小，另一方面注意特殊值的應用，有時候要借助其“橋梁”作用，來比較大小．........................8.執(zhí)行如下程序框圖，則輸出結果為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由題意得：則輸出的S=.故選：C9.如圖，設橢圓：的右頂點為，右焦點為，為橢圓在第二象限上的點，直線交橢圓于點，若直線平分線段于，則橢圓的離心率是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】如圖，設AC中點為M，連接OM，則OM為△ABC的中位線，于是△OFM∽△AFB，且，即=可得e==．故答案為：．點睛：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關鍵就是確立一個關于a，b，c的方程或不等式，再根據a，b，c的關系消掉b得到a，c的關系式，建立關于a，b，c的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質、點的坐標的范圍等.10.設函數為定義域為的奇函數，且，當時，，則函數在區(qū)間上的所有零點的和為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由題意，函數，，則，可得，即函數的周期為4，且的圖象關于直線對稱．在區(qū)間上的零點，即方程的零點，分別畫與的函數圖象，兩個函數的圖象都關于直線對稱，方程的零點關于直線對稱，由圖象可知交點個數為6個，可得所有零點的和為6，故選A．點睛：對于方程解的個數(或函數零點個數)問題，可利用函數的值域或最值，結合函數的單調性、草圖確定其中參數范圍．從圖象的最高點、最低點，分析函數的最值、極值；從圖象的對稱性，分析函數的奇偶性；從圖象的走向趨勢，分析函數的單調性、周期性等．11.已知函數，其中為函數的導數，求（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由題意易得：∴函數的圖象關于點中心對稱，∴由可得∴為奇函數，∴的導函數為偶函數，即為偶函數，其圖象關于y軸對稱，∴∴故選：A12.已知直線：，若存在實數使得一條曲線與直線有兩個不同的交點，且以這兩個交點為端點的線段長度恰好等于，則稱此曲線為直線的“絕對曲線”.下面給出的四條曲線方程：①；②；③；④.其中直線的“絕對曲線”的條數為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由y=ax+1﹣a=a（x﹣1）+1，可知直線l過點A（1，1）．對于①，y=﹣2|x﹣1|，圖象是頂點為（1，0）的倒V型，而直線l過頂點A（1，1）．所以直線l不會與曲線y=﹣2|x﹣1|有兩個交點，不是直線l的“絕對曲線”；對于②，（x﹣1）2+（y﹣1）2=1是以A為圓心，半徑為1的圓，所以直線l與圓總有兩個交點，且距離為直徑2，所以存在a=±2，使得圓（x﹣1）2+（y﹣1）2=1與直線l有兩個不同的交點，且以這兩個交點為端點的線段的長度恰好等于|a|．所以圓（x﹣1）2+（y﹣1）2=1是直線l的“絕對曲線”；對于③，將y=ax+1﹣a代入x2+3y2=4，得（3a2+1）x2+6a（1﹣a）x+3（1﹣a）2﹣4=0．x1+x2=,x1x2=．若直線l被橢圓截得的線段長度是|a|，則化簡得．令f（a）=．f（1），f（3）．所以函數f（a）在（1，3）上存在零點，即方程有根．而直線過橢圓上的定點（1，1），當a∈（1，3）時滿足直線與橢圓相交．故曲線x2+3y2=4是直線的“絕對曲線”．對于④將y=ax+1﹣a代入.把直線y=ax+1a代入y2=4x得a2x2+（2a2a24）x+（1a）2=0，

∴x1+x2=，x1x2=．

若直線l被橢圓截得的弦長是|a|，則a2=（1+a2）[（x1+x2）24x1x2]=（1+a2）化為a616a2+16a16=0，

令f（a）=a616a2+16a16，而f（1）=15<0，f（2）=16>0．

∴函數f（a）在區(qū)間（1，2）內有零點，即方程f（a）=0有實數根，當a∈（1，2）時，直線滿足條件，即此函數的圖象是“絕對曲線”．

綜上可知：能滿足題意的曲線有②③④．

故選：C．點睛：本題以新定義“絕對曲線”為背景，重點考查了二次曲線弦長的度量問題，本題綜合性較強，需要函數的零點存在定理作出判斷.二、填空題：（本大題共4小題，每題5分，共20分）13.已知實數，滿足，且，則實數的取值范圍_______．【答案】【解析】如圖，作出可行域：，表示可行域上的動點與定點連線的斜率，顯然最大值為，最小值為∴故答案為：點睛：本題考查的是線性規(guī)劃問題，解決線性規(guī)劃問題的實質是把代數問題幾何化，即數形結合思想.需要注意的是：一，準確無誤地作出可行域;二，畫目標函數所對應的直線時，要注意讓其斜率與約束條件中的直線的斜率進行比較，避免出錯;三，一般情況下，目標函數的最大值或最小值會在可行域的端點或邊界上取得.14.雙曲線的左右焦點分別為、，是雙曲線右支上一點，為的內心，交軸于點，若，且，則雙曲線的離心率的值為__________．【答案】【解析】可設|PF1|=m，|PF2|=n，|F1F2|=2c，由I為△PF1F2的內心，可得=2，則|QF1|=m，若|F1Q|=|PF2|=m，又PQ為∠F1PF2的角平分線，可得，則n=4c﹣m，又m﹣n=2a，n=m，解得m=4a，n=2a，=2，即c=a，則e==．故答案為：．15.若平面向量，滿足，則在方向上投影的最大值是________．【答案】【解析】由可得：∴在方向上投影為故最大值為：16.觀察下列各式：；；；；……若按上述規(guī)律展開后，發(fā)現等式右邊含有“”這個數，則的值為__________．【答案】【解析】由題意可得第n個式子的左邊是n3，右邊是n個連續(xù)奇數的和，設第n個式子的第一個數為an，則有a2﹣a1=3﹣1=2，a3﹣a2=7﹣3=4，…an﹣an﹣1=2（n﹣1），以上（n﹣1）個式子相加可得an﹣a1=，故an=n2﹣n+1，可得a45=1981，a46=2071，故可知2017在第45個式子，故答案為：45三、解答題：（本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17～21為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據要求作答）17.已知等差數列中，公差，，且，，成等比數列.（1）求數列的通項公式；（2）若為數列的前項和，且存在，使得成立，求實數的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】試題分析：（1）由題意可得解得即可求得通項公式；(2),裂項相消求和，因為存在，使得成立，所以存在，使得成立，即存在，使得成立.求出的最大值即可解得的取值范圍.試題解析：（1）由題意可得即又因為，所以所以.（2）因為，所以.因為存在，使得成立，所以存在，使得成立，即存在，使得成立.又（當且僅當時取等號）.所以，即實數的取值范圍是.18.為了解學生寒假期間學習情況，學校對某班男、女學生學習時間進行調查，學習時間按整小時統(tǒng)計，調查結果繪成折線圖如下：（1）已知該校有名學生，試估計全校學生中，每天學習不足小時的人數.（2）若從學習時間不少于小時的學生中選取人，設選到的男生人數為，求隨機變量的分布列.（3）試比較男生學習時間的方差與女生學習時間方差的大小.（只需寫出結論）【答案】(1)240人(2)見解析（3）【解析】試題分析：（1）根據題意，由折線圖分析可得20名學生中有12名學生每天學習不足4小時，進而可以估計校400名學生中天學習不足4小時的人數；（2）學習時間不少于4本的學生共8人，其中男學生人數為4人，故X的取值為0，1，2，3，4；由古典概型公式計算可得X=0，1，2，3，4的概率，進而可得隨機變量X的分布列；（3）根據題意，分析折線圖，求出男生、女生的學習時間方差，比較可得答案．試題解析：（1）由折線圖可得共抽取了人，其中男生中學習時間不足小時的有人，女生中學習時間不足小時的有人.∴可估計全校中每天學習不足小時的人數為：人.（2）學習時間不少于本的學生共人，其中男學生人數為人，故的所有可能取值為，，，，.由題意可得；；；；.所以隨機變量的分布列為∴均值.（3）由折線圖可得.19.如圖所示，四棱錐的底面為矩形，已知，，過底面對角線作與平行的平面交于.（1）試判定點的位置，并加以證明；（2）求二面角的余弦值.【答案】(1)為的中點，見解析(2)【解析】試題分析：（1）由平面得到，結合為的中點，即可得到答案；（2）求出平面EAC的法向量和平面DAC的法向量，由此利用向量法能求出二面角的平面角的余弦值．試題解析：（1）為的中點，證明如下：連接，因為平面，平面平面，平面，所以，又為的中點，所以為的中點.（2）連接，因為四邊形為矩形，所以.因為，所以.同理，得，所以平面，以為原點，為軸，過平行于的直線為軸，過平行于的直線為軸建立空間直角坐標系（如圖所示）.易知，，，，，，則，.顯然，是平面的一個法向量.設是平面的一個法向量，則，即，取，則，所以，所以二面角的余弦值為.點睛：(1)求解本題要注意兩點：一是兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想進行向量運算，要認真細心，準確計算．(2)設m，n分別為平面α，β的法向量，則二面角θ與<m，n>互補或相等.求解時一定要注意結合實際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角．20.在平面直角坐標平面中，的兩個頂點為，，平面內兩點、同時滿足：①；②；③.（1）求頂點的軌跡的方程；（2）過點作兩條互相垂直的直線，，直線，與的軌跡相交弦分別為，，設弦，的中點分別為，.①求四邊形的面積的最小值；②試問：直線是否恒過一個定點？若過定點，請求出該定點，若不過定點，請說明理由.【答案】（1）；（2）①的最小值的，②直線恒過定點.【解析】試題分析：（1）由可得為的重心，設，則，再由，可得為的外心，在軸上，再由∥，可得，結合即可求得頂點的軌跡的方程；（2）恰為的右焦點．當直線，的斜率存在且不為0時，設直線的方程為．聯立直線方程與橢圓方程，化為關于的一元二次方程，利用根與系數的關系求得的縱坐標得到和與積．①根據焦半徑公式得、，代入四邊形面積公式，再由基本不等式求得四邊形面積的最小值；②根據中點坐標公式得的坐標，得到直線的方程，化簡整理令解得值，可得直線恒過定點；當直線，有一條直線的斜率不存在時，另一條直線的斜率為0，直線即為軸，過點（.試題解析：（1）∵∴由①知∴為的重心設，則，由②知是的外心∴在軸上由③知，由，得，化簡整理得：．（2）解：恰為的右焦點，①當直線的斜率存且不為0時，設直線的方程為，由，設則，①根據焦半徑公式得，又，所以，同理，則，當，即時取等號．②根據中點坐標公式得，同理可求得，則直線的斜率為，∴直線的方程為，整理化簡得，令，解得∴直線恒過定點，②當直線有一條直線斜率不存在時，另一條斜率一定為0，直線即為軸，過點，綜上，的最小值的，直線恒過定點．點睛：（1）在圓錐曲線中研究范圍，若題目的條件和結論能體現一種明確的函數關系，則可首先建立目標函數，再求這個函數的最值.在利用代數法解決最值與范圍問題時，常從以下方面考慮：①利用判別式來構造不等關系，從而確定參數的取值范圍；②利用已知參數的范圍，求新參數的范圍，解這類問題的關鍵是兩個參數之間建立等量關系；③利用隱含或已知的不等關系建立不等式，從而求出參數的取值范圍；④利用基本不等式求出參數的取值范圍；⑤利用函數的值域的求法，確定參數的取值范圍.（2）定點的探索與證明問題：①探索直線過定點時，需考慮斜率存在不存在，斜率存在可設出直線方程，然后利用條件建立等量關系進行消元，借助于直線系的思想找出定點；②從特殊情況入手，先探求定點再證明與變量無關.21.已知函數.（1）當，求函數的圖象在處的切線方程；（2）若函數在上單調遞增，求實數的取值范圍；（3）已知，，均為正實數，且，求證.【答案】(1)(2)(3)見解析【解析】試題分析：1）求導函數，可得切線的斜率，求出切點的坐標，可得函數y=f（x）的圖象在x=0處的切線方程；（2）先確定﹣1≤a＜0，再根據函數f（x）在（0，1）上單調遞增，可得f′（x）≥0在（0，1）上恒成立，構造=（x+1）ln（x+1）﹣x，證明h（x）在（0，1）上的值域為（0，2ln2﹣1），即可求實數a的取值范圍；（3）由（2）知，當a=﹣1時，在（0，1）上單調遞增，證明，即從而可得結論．試題解析：（1）當時，則，則，∴函數的圖象在時的切線方程為.（2）∵函數在上單調遞增，∴在上無解，當時，在上無解滿足，當時，只需，∴①，∵函數在上單調遞增，∴在上恒成立，即在上恒成立.設，∵，∴，則在上單調遞增，∴在上的值域為.∴在上恒成立，則②綜合①②得實數的取值范圍為.（3）由（2）知，當時，在上單調遞增，于是當時，，當時，，∴，即，同理有，，三式相加得.請考生在22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.22.[選修44：坐標系與參數方程]在極坐標系中，曲線的極坐標方程是，以