3.2.1 雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程-2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)重難點(diǎn)手冊(cè)（圓錐曲線篇人教A版2019選擇性必修第一冊(cè)）

3.2.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程知識(shí)儲(chǔ)備1．雙曲線的定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值等于非零?常數(shù)(小于|F1F2|)?的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線．這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c為常數(shù)且a＞0，c＞0.2．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程(a＞0，b＞0)(a＞0，b＞0)圖形典例剖析eq\a\vs4\al(考點(diǎn)一雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程)1．(2020·綿陽(yáng)聯(lián)考)已知雙曲線C：(a＞0，b＞0)的漸近線方程為y＝±x，且其右焦點(diǎn)為(5,0)，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A. B.C. D.【答案】B【解析】由題意得＝，c2＝a2＋b2＝25，所以a＝4，b＝3，所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.2．與橢圓＋y2＝1共焦點(diǎn)且過點(diǎn)P(2,1)的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程是()A.－y2＝1 B.－y2＝1C.－＝1 D．x2－＝1【答案】B【解析】法一：橢圓＋y2＝1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(±，0)．設(shè)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為(a＞0，b＞0)，因?yàn)殡p曲線過點(diǎn)P(2,1)，所以，又a2＋b2＝3，解得a2＝2，b2＝1，所以所求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程是－y2＝1.法二：設(shè)所求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為(1＜λ＜4)，將點(diǎn)P(2,1)的坐標(biāo)代入可得，解得λ＝2(λ＝－2舍去)，所以所求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為－y2＝1.3．過雙曲線C：(a＞b＞0)的右頂點(diǎn)作x軸的垂線，與C的一條漸近線相交于點(diǎn)A.若以C的右焦點(diǎn)F為圓心、半徑為4的圓經(jīng)過A，O兩點(diǎn)(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A. B.C. D.【答案】A【解析】因?yàn)闈u近線y＝x與直線x＝a交于點(diǎn)A(a，b)，c＝4且＝4，解得a2＝4，b2＝12，因此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.4．經(jīng)過點(diǎn)P(3,2)，Q(－6，7)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為____________．【答案】【解析】設(shè)雙曲線方程為mx2＋ny2＝1(mn＜0)，因?yàn)樗箅p曲線經(jīng)過點(diǎn)P(3,2)，Q(－6，7)，所以解得故所求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為.5．焦點(diǎn)在x軸上，焦距為10，且與雙曲線－x2＝1有相同漸近線的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是________________．【答案】【解析】設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－x2＝－λ(λ＞0)，即，則有4λ＋λ＝25，解得λ＝5，所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.[名師微點(diǎn)]求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的2種方法(1)待定系數(shù)法：設(shè)出雙曲線方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，根據(jù)已知條件，列出參數(shù)a，b，c的方程并求出a，b，c的值．與雙曲線有相同漸近線時(shí)，可設(shè)所求雙曲線方程為＝λ(λ≠0)．(2)定義法：依定義得出距離之差的等量關(guān)系式，求出a的值，由定點(diǎn)位置確定c的值．[提醒]求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，若焦點(diǎn)位置不確定，要注意分類討論．也可以設(shè)雙曲線方程為mx2＋ny2＝1(mn＜0)求解．(如第4題)eq\a\vs4\al(考點(diǎn)二雙曲線的定義及其應(yīng)用)[典例精析](1)已知圓C1：(x＋3)2＋y2＝1和圓C2：(x－3)2＋y2＝9，動(dòng)圓M同時(shí)與圓C1及圓C2相外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為____________________．(2)已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2－y2＝2的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，|PF1|＝2|PF2|，則cos∠F1PF2＝________.(3)已知F是雙曲線的左焦點(diǎn)，A(1,4)，P是雙曲線右支上的一動(dòng)點(diǎn)，則|PF|＋|PA|的最小值為________．【解析】(1)如圖所示，設(shè)動(dòng)圓M與圓C1及圓C2分別外切于點(diǎn)A和點(diǎn)B，根據(jù)兩圓外切的充要條件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|.因?yàn)閨MA|＝|MB|，所以|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝3－1＝2＜6.這表明動(dòng)點(diǎn)M到兩定點(diǎn)C2，C1的距離的差是常數(shù)2且小于|C1C2|.根據(jù)雙曲線的定義知，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為雙曲線的左支(點(diǎn)M到C2的距離大，到C1的距離小)，且a＝1，c＝3，則b2＝8，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，則其軌跡方程為x2－＝1(x≤－1)．(2)∵由雙曲線的定義有|PF1|－|PF2|＝2a＝2，|PF1|＝2|PF2|，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，則cos∠F1PF2＝＝.(3)因?yàn)镕是雙曲線的左焦點(diǎn)，所以F(－4,0)，設(shè)其右焦點(diǎn)為H(4,0)，則由雙曲線的定義可得|PF|＋|PA|＝2a＋|PH|＋|PA|≥2a＋|AH|＝4＋＝4＋5＝9.[解題技法]雙曲線定義的應(yīng)用策略(1)根據(jù)動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)的距離的差判斷動(dòng)點(diǎn)的軌跡是否為雙曲線．(2)利用雙曲線的定義解決與雙曲線的焦點(diǎn)有關(guān)的問題，如最值問題、距離問題．(3)利用雙曲線的定義解決問題時(shí)應(yīng)注意三點(diǎn)：①距離之差的絕對(duì)值；②2a＜|F1F2|；③焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸的位置．能力檢測(cè)姓名：__________________班級(jí)：______________得分：_________________注意事項(xiàng)：本試卷滿分100分，考試時(shí)間45分鐘，試題共16題．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．1．（2020·河南高二月考（文））若方程表示雙曲線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題知：，，解得或.故選：B2．（2020·淮安市陽(yáng)光學(xué)校高二月考）若方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，則的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意得，解得故選：A3．（2020·淮安市陽(yáng)光學(xué)校高二月考）已知點(diǎn)P為雙曲線右支上一點(diǎn)，分別為雙曲線左右焦點(diǎn)，若，則（）A．2 B．3 C．5 D．6【答案】D【解析】由得，所以，因?yàn)辄c(diǎn)P為雙曲線右支上一點(diǎn)，所以，所以.故選：D4．（2020·全國(guó)高三專題練習(xí)）如圖，從雙曲線的左焦點(diǎn)引圓的切線交雙曲線右支于點(diǎn)，為切點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（）A． B．C． D．【答案】A【解析】如圖，因?yàn)镺為，M為PF的中點(diǎn)，所以MO為的中位線，可得|MO|=.又，，，.故選：A5．（2020·云南昆明市·昆明一中高三月考（理））在平面直角坐標(biāo)系中，已知頂點(diǎn)和，點(diǎn)在雙曲線的右支上，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線的右支上，且和為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，所以；又因?yàn)?，所以由正弦定理得，故選：D.6．（2020·江西東湖區(qū)·南昌十中高二期中（文））已知F是雙曲線的下焦點(diǎn)，是雙曲線外一點(diǎn)，P是雙曲線上支上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】A【解析】∵F是雙曲線的下焦點(diǎn)，

∴，c＝4，F(xiàn)（0，?4），

上焦點(diǎn)為（0，4），

由雙曲線的定義可得，

當(dāng)A，P，H三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值9．

故選：A．7．（2020·黑龍江高二學(xué)業(yè)考試（文））無論為何值，方程所表示的曲線不可能為（）A．雙曲線 B．拋物線 C．橢圓 D．圓【答案】B【解析】因?yàn)椋援?dāng)，即，時(shí)，方程化為，表示兩條直線；當(dāng)時(shí)，方程化為表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓；當(dāng)時(shí)，方程化為表示圓；當(dāng)時(shí)，方程化為表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓；當(dāng)時(shí)，方程化為表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線.故選：B8．（2020·全國(guó)高三專題練習(xí)（文））與圓及圓都外切的圓的圓心在（）A．一個(gè)橢圓上 B．雙曲線的一支上C．一條拋物線 D．一個(gè)圓上【答案】B【解析】設(shè)動(dòng)圓的圓心為P，半徑為r，而圓的圓心為，半徑為1；圓,即的圓心為，半徑為2.依題意得，，則所以點(diǎn)P的軌跡是雙曲線的一支.故選：B二、多選題9．（2020·湖北高二期中）已知曲線，下列說法正確的是（）A．若，則為雙曲線B．若且，則為焦點(diǎn)在軸的橢圓C．若，則不可能表示圓D．若，則為兩條直線【答案】ABD【解析】若，則為焦點(diǎn)在橫軸或縱軸上的雙曲線，所以正確；若且，可得，，所以為焦點(diǎn)在軸上的橢圓，所以正確；若，，是單位圓，所以不正確；若，則化為，表示兩條直線，所以正確；故選：．10．（2020·全國(guó)高三專題練習(xí)（文））下列判斷正確的是（）A．拋物線與直線僅有一個(gè)公共點(diǎn)B．雙曲線與直線僅有一個(gè)公共點(diǎn)C．若方程表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則D．若方程表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，則t>4【答案】BD【解析】對(duì)于A，拋物線與直線方程，聯(lián)立方程，消去，可得，，所以拋物線與直線有兩個(gè)個(gè)公共點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，雙曲線的漸近線方程為，直線與漸近線平行，故雙曲線與直線僅有一個(gè)公共點(diǎn)，故B正確；對(duì)于C，若方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則，解得，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，則，解得，故D正確．故選：BD．11．（2020·武漢外國(guó)語學(xué)校高二期中）若方程，所表示的曲線為C，則下列命題正確的是（）A．曲線C可以表示圓 B．若曲線C是橢圓，則C．曲線C不可能表示直線 D．若，則C為雙曲線【答案】ACD【解析】當(dāng)時(shí)，方程，化為，表示圓，所以正確；曲線是橢圓，則，解得，所以不正確；由，，，所以曲線不可能表示直線，所以正確；若，則，為雙曲線，所以正確；故選：ACD12．（2020·江蘇鹽城市·）在平面直角坐標(biāo)系中，下列結(jié)論正確的是（）A．橢圓上一點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離的最小值為2；B．若動(dòng)圓過點(diǎn)且與直線相切，則圓心的軌跡是拋物線；C．方程表示的曲線是雙曲線的右支；D．若橢圓的離心率為，則實(shí)數(shù).【答案】ABC【解析對(duì)于，橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，半焦距，橢圓的右頂點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離最小為，故正確；對(duì)于，若動(dòng)圓過點(diǎn)且與直線相切，則圓心到的距離等于到直線的距離，則圓心的軌跡是拋物線，故正確；對(duì)于，方程的幾何意義是平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)，距離差等于6的點(diǎn)的軌跡，表示以，為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為6的雙曲線的右支，故正確；對(duì)于，橢圓的離心率為，當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，，，則，則，解得，故錯(cuò)誤．故選：．三、填空題13．（2020·南昌縣蓮塘第二中學(xué)高二期中（理））已知是雙曲線的左焦點(diǎn)，，是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為________．【答案】【解析】對(duì)于雙曲線，則，，，如下圖所示：設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，則，由雙曲線的定義可得，則，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立.因此，的最小值為.故答案為：.14．（2020·廣東中山市·小欖中學(xué)高二月考）已知點(diǎn)F1(，0)和F2(4，0)，一曲線上的動(dòng)點(diǎn)P到F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值是6，該曲線方程是_____.【答案】【解析】∵，，∴點(diǎn)軌跡是以為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為6的雙曲線，，，又，∴，∴曲線方程是．故答案為：．15．（2020·安徽相山區(qū)·淮北一中高二期中）已知，，在中，，則頂點(diǎn)的軌跡方程為__________________.【答案】，【解析】因?yàn)?，，所以，設(shè)頂點(diǎn)，由，根據(jù)正弦定理可得，即，由雙曲線的定義，可得點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)，以為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的雙曲線的右支，且點(diǎn)不在軸上，所以，，則，因此頂點(diǎn)的軌跡方程為，.故答案為：，.16．（2020·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）雙曲線的右焦點(diǎn)分別為F，圓M的方程為.若直線l與圓M相切于點(diǎn)，與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P恰好為AB的中點(diǎn)，則雙曲線C的方程為________.【答案】【解析】設(shè)直線l的斜率為k，則，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，，即，設(shè)點(diǎn)，，則，.兩式相減，得則，即，所以雙曲線C的方程為.故答案為：四、解答題17．（2020·江蘇海陵區(qū)·泰州中學(xué)高二期中）已知集合，集合{方程表示圓錐曲線C}（1）若圓錐曲線C表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若圓錐曲線C表示雙曲線，且A是B的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（