3.4 函數(shù)的應(yīng)用（一）（單元課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)）（胡燕）-高中數(shù)學(xué)新教材必修第一冊(cè)小單元教學(xué)+專(zhuān)家指導(dǎo)（視頻+教案）

————————————————————————————————————3.4函數(shù)的應(yīng)用（一）教學(xué)設(shè)計(jì)一、內(nèi)容和及其解析（一）教學(xué)內(nèi)容函數(shù)的應(yīng)用教學(xué)內(nèi)容解析（分五點(diǎn)解析）1.內(nèi)容本質(zhì)：本節(jié)主要是利用函數(shù)概念及其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。兩個(gè)例題都是根據(jù)實(shí)際情境建立函數(shù)模型，再利用函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題。兩個(gè)例題涉及到的都是分段函數(shù)，而且都是用一次函數(shù)建立簡(jiǎn)單的函數(shù)模型．2.蘊(yùn)含的思想方法：在分析函數(shù)變化規(guī)律時(shí)的數(shù)形結(jié)合；在分析函數(shù)關(guān)系時(shí)的分類(lèi)討論。3.知識(shí)的上下位關(guān)系：在此之前學(xué)習(xí)正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)以及分段函數(shù)，對(duì)函數(shù)有了一定的認(rèn)識(shí)和理解，能建立簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的解析式，具備類(lèi)一定的分析與解決問(wèn)題的能力．本節(jié)的兩個(gè)例題都是給定數(shù)學(xué)模型的實(shí)際應(yīng)用，教科書(shū)將在后續(xù)內(nèi)容中安排更加復(fù)雜的、需要根據(jù)實(shí)際背景建立數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用問(wèn)題.4.育人價(jià)值：通過(guò)經(jīng)歷由實(shí)際問(wèn)題建立函數(shù)模型，再利用模型分析、解決問(wèn)題的過(guò)程，學(xué)生體驗(yàn)了數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問(wèn)題中的價(jià)值和作用，體驗(yàn)了數(shù)學(xué)與日常生活的聯(lián)系，有助于增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，激發(fā)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，發(fā)展他們的實(shí)踐能力。5.教學(xué)重點(diǎn)運(yùn)用一次函數(shù)、二次函數(shù)、分段函數(shù)模型的處理實(shí)際問(wèn)題；在此之前學(xué)生已學(xué)習(xí)正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)以及分段函數(shù)，對(duì)函數(shù)有了一定的認(rèn)識(shí)和理解，能建立簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的解析式，具備類(lèi)一定的分析與解決問(wèn)題的能力．因此本節(jié)課的學(xué)習(xí)建立在學(xué)生已有的函數(shù)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)上，主要是利用函數(shù)概念及其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，兩個(gè)例題都是分段函數(shù)，實(shí)際上是用一次函數(shù)建立簡(jiǎn)單的函數(shù)模型．本節(jié)的兩個(gè)例題都是給定數(shù)學(xué)模型的實(shí)際應(yīng)用，教科書(shū)將在后續(xù)內(nèi)容中安排更加復(fù)雜的、需要根據(jù)實(shí)際背景建立數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用問(wèn)題.教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)應(yīng)用函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程和方法.通過(guò)經(jīng)歷由實(shí)際問(wèn)題建立函數(shù)模型，再利用模型分析、解決問(wèn)題的過(guò)程，學(xué)生體驗(yàn)了數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問(wèn)題中的價(jià)值和作用，體驗(yàn)了數(shù)學(xué)與日常生活的聯(lián)系，有助于增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，激發(fā)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，發(fā)展他們的實(shí)踐能力。二、教學(xué)目標(biāo)及解析（一）教學(xué)目標(biāo)1.通過(guò)利用給定的函數(shù)模型或建立函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題，能夠?qū)?shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，運(yùn)用函數(shù)與方程，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的學(xué)科素養(yǎng)；2.通過(guò)經(jīng)歷建立函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，能在具體問(wèn)題情境中，將自然語(yǔ)言用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示出來(lái)，發(fā)展數(shù)學(xué)模型的學(xué)科素養(yǎng)。3.通過(guò)由函數(shù)解析式求值和有關(guān)函數(shù)解析式的計(jì)算，能結(jié)合函數(shù)圖象或其單調(diào)性來(lái)求最值，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，體會(huì)函數(shù)圖像是研究函數(shù)性質(zhì)的一種重要工具，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算的學(xué)科素養(yǎng)。（二）教學(xué)目標(biāo)解析（1）能從教科書(shū)例1中分析出存在幾個(gè)變量，并確定他們之間的關(guān)系，通過(guò)這些關(guān)系確定應(yīng)繳納綜合所得個(gè)稅與綜合所得收入額間的關(guān)系．（2）能正確理解教科書(shū)例題中函數(shù)關(guān)系的實(shí)際意義，能使用它分析簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題；（3）能準(zhǔn)確理解例題中文字部分和圖表部分的多種信息，并綜合應(yīng)用于確定函數(shù)關(guān)系，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)．三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析問(wèn)題1：從實(shí)際情景中提取變量，尋求變量的變化范圍及變量間的對(duì)應(yīng)關(guān)系建立函數(shù)模型去描述現(xiàn)實(shí)世界中的事物的變化規(guī)律，解決相應(yīng)實(shí)際問(wèn)題，以及對(duì)函數(shù)定義域進(jìn)行分劃考慮等問(wèn)題比較陌生，大多數(shù)學(xué)生缺乏這方面的經(jīng)驗(yàn)。突破：以問(wèn)題引導(dǎo)的形式根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的若干條件確定有幾個(gè)變量，它們之間有什么關(guān)系，從而將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題。問(wèn)題2：對(duì)于較繁瑣題目的綜合分析缺乏思路清晰的抽象能力．突破:綜合題目中的語(yǔ)言敘述和圖表展示，結(jié)合信息技術(shù)的運(yùn)用，準(zhǔn)確理解問(wèn)題含義，確定變量關(guān)系，從而建立函數(shù)模型，讓學(xué)生充分體驗(yàn)數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程．四、教學(xué)支持條件：為了幫助學(xué)生正確分析實(shí)際問(wèn)題中的變量關(guān)系，并能利用已知條件中的各種信息，教學(xué)時(shí)應(yīng)注意使用問(wèn)題引導(dǎo)的形式與信息技術(shù)的綜合輔助功能相結(jié)合，使問(wèn)題解決思路清晰，處理數(shù)據(jù)計(jì)算便捷，讓學(xué)生能夠?qū)⒅饕ν度氲浇?shù)學(xué)模型的體驗(yàn)中，能更加深刻地感受到數(shù)學(xué)問(wèn)題不同呈現(xiàn)形式的意義與數(shù)學(xué)建模的實(shí)用價(jià)值．五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)（一）復(fù)習(xí)引入問(wèn)題1：我們前面學(xué)過(guò)了哪些函數(shù)？師生活動(dòng)：（1）教師提出問(wèn)題，學(xué)生回答問(wèn)題．學(xué)生回答并相互補(bǔ)充，歸納得到：一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、冪函數(shù)．教師引導(dǎo)學(xué)生寫(xiě)出每類(lèi)函數(shù)的解析式．一次函數(shù)：反比例函數(shù)：二次函數(shù)：冪函數(shù)（2）追問(wèn)：什么是分段函數(shù)？你能舉例說(shuō)明嗎？教師提出問(wèn)題，學(xué)生思考并回答.教師引導(dǎo)學(xué)生回顧分段函數(shù)定義并舉例說(shuō)明：形如這樣的函數(shù)稱(chēng)為分段函數(shù)．設(shè)計(jì)意圖：本節(jié)課就是利用分段函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題，通過(guò)回顧一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)和分段函數(shù)，為后面的實(shí)際應(yīng)用奠定基礎(chǔ)．（二）例題教學(xué)例1：設(shè)小王的專(zhuān)項(xiàng)扣除比例、專(zhuān)項(xiàng)附加扣除金額、依法確定的其他扣除金額與3.1.2例8相同，全年綜合所得收入額為x（單位：元），應(yīng)繳納綜合所得個(gè)稅稅額為y（單位：元）．（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；（2）如果小王全年的綜合所得由189600元增加到249600元，那么他全年應(yīng)繳納多少綜合所得個(gè)稅？師生活動(dòng)：（1）追問(wèn)1：本題中涉及了哪些變量？你能寫(xiě)出它們之間的關(guān)系嗎？學(xué)生口述題中的變量有：全年綜合所得收入額x，應(yīng)納稅所得額t，應(yīng)繳納個(gè)稅y。學(xué)生板演或在自己的演算本上寫(xiě)出下列關(guān)系：由個(gè)人應(yīng)納稅所得額計(jì)算公式，可得t＝x－60000－x(8%＋2%＋1%＋9%)－52800－4560＝0.8x－117360．令t≤0，得x≤146700；令t＞0，得x＞146700．所以個(gè)人應(yīng)納稅所得額t＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0，0＜x≤146700，,0.8x－117360，x＞146700.))由3.1.2例8可知個(gè)稅稅額y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0，t＝0，,0.03t，0＜t≤36000，,0.1t－2520，36000＜t≤144000，,0.2t－16920，144000＜t≤300000，,0.25t－31920，300000＜t≤420000，,0.3t－52920，420000＜t≤660000，,0.35t－85920，660000＜t≤960000，,0.45t－181920，t＞960000.))③（2）追問(wèn)2：如何通過(guò)上述兩個(gè)關(guān)系確定應(yīng)繳納個(gè)稅稅額y與綜合所得收入額x之間的關(guān)系？舉例說(shuō)明。學(xué)生口答：在③中，將t代換為對(duì)應(yīng)的x的關(guān)系式，并將t的范圍換成自變量x的范圍．例如，將t＝0.8x－117360代入分段函數(shù)的第二段，可得y＝0.03t＝0.024x－3520.8。要使0＜t≤36000，只需0＜0.8x－117360≤36000，可得146700＜x≤191700．（3）全體學(xué)生動(dòng)筆給出例1的完整解答，教師抽樣進(jìn)行點(diǎn)評(píng)更正。例1的答案（略）。（4）追問(wèn)3：對(duì)比這個(gè)例題和3.1.2例8，你有什么感受？學(xué)生口述，老師引導(dǎo)補(bǔ)充，總結(jié)出：1.利用3.1.2例8中的結(jié)論，要由綜合收入所得額求出應(yīng)納稅所得額，才能計(jì)算個(gè)稅稅額；依據(jù)本例結(jié)論中的分段函數(shù)，可直接由綜合收入所得額求出需要繳納的個(gè)稅稅額．2.有了函數(shù)模型，就可以利用函數(shù)獲得實(shí)際問(wèn)題的答案．網(wǎng)絡(luò)上計(jì)算個(gè)稅稅額、房貸還款額等的小程序都是先建立函數(shù)模型，再由程序員編寫(xiě)成程序做成的．設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)解決實(shí)際問(wèn)題，讓學(xué)生充分體驗(yàn)建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程，體會(huì)數(shù)學(xué)模型在解決實(shí)際問(wèn)題中的作用，提升數(shù)學(xué)建模思想，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。例2：一輛汽車(chē)在某段路程中行駛的平均速率v（單位：km/h）與時(shí)間t（單位：h）的關(guān)系如圖所示，求圖3.41中陰影部分的面積，并說(shuō)明所求面積的實(shí)際含義；假設(shè)這輛汽車(chē)的里程表在汽車(chē)行駛這段路程前的讀數(shù)為2004km，試建立行駛這段路程時(shí)汽車(chē)?yán)锍瘫碜x數(shù)s（單位：km）與時(shí)間t的函數(shù)解析式，并畫(huà)出相應(yīng)的圖象．追問(wèn)1：（1）能寫(xiě)出平均速率v與時(shí)間t的關(guān)系式嗎？（2）你能理解陰影部分面積的實(shí)際意義嗎？師生活動(dòng)：（1）學(xué)生讀圖后嘗試寫(xiě)出，教師規(guī)范引導(dǎo)，得出汽車(chē)的行駛規(guī)律的解析式表示如下：（2）教師適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生把陰影部分面積轉(zhuǎn)化為多邊形的面積，即5個(gè)長(zhǎng)方形面積的和，并提示：每個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是什么？是多少？長(zhǎng)方形的寬是什么？是多少？“是多少”能回答面積的計(jì)算問(wèn)題，“是什么”能回答面積的意義問(wèn)題．得到陰影部分的面積為：因此陰影部分的面積表示汽車(chē)在這5h內(nèi)行駛的路程為360km．追問(wèn)2：尋求汽車(chē)行駛路程與時(shí)間的函數(shù)解析式與圖象．師生活動(dòng)：讓學(xué)生思考回答，最后使學(xué)生認(rèn)識(shí)到：通過(guò)借助第（1）問(wèn)的結(jié)論，可以將求路程的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求對(duì)應(yīng)多邊形的面積問(wèn)題加以解決．教師引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)態(tài)地觀察圖中直線左側(cè)的陰影部分的面積．如：當(dāng)時(shí)，直線左側(cè)的陰影部分是一個(gè)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)是50，寬是t；當(dāng)時(shí)，直線左側(cè)的陰影部分是兩個(gè)長(zhǎng)方形，一個(gè)長(zhǎng)是1，寬是50，另一個(gè)長(zhǎng)是，寬是80；當(dāng)時(shí)，直線左側(cè)的陰影部分是三個(gè)長(zhǎng)方形，一個(gè)長(zhǎng)是1，寬是50，一個(gè)長(zhǎng)是1，寬是80，另一個(gè)長(zhǎng)是，寬是90；……如圖 得到結(jié)論路程追問(wèn)3：上述結(jié)果是汽車(chē)?yán)锍瘫碜x數(shù)與時(shí)間的函數(shù)解析式嗎？如不是該如何調(diào)整呢？師生活動(dòng)：學(xué)生思考回答，得到這個(gè)函數(shù)的圖象如圖所示設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)栴}的信息除了以文字形式表述外，也見(jiàn)于速率關(guān)于時(shí)間變化的圖象中．通過(guò)學(xué)生全面的審題，有助于培養(yǎng)學(xué)生的讀圖能力，提高學(xué)生獲得信息的能力．另外通過(guò)動(dòng)態(tài)觀察獲得數(shù)學(xué)表示，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為直觀圖象，通過(guò)這一過(guò)程感受數(shù)學(xué)化的好處，提高直觀想象和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)．（三）應(yīng)用練習(xí)練習(xí)1：（教材第95頁(yè)練習(xí)1）若用模型描述汽車(chē)緊急剎車(chē)后滑行的距離y（單位：m）與剎車(chē)時(shí)的速率x（單位：km/h）的關(guān)系，而某種型號(hào)的汽車(chē)在速率為60km/h時(shí)，緊急剎車(chē)后滑行的距離為20m．在限速為100km/h的高速公路上，一輛這種型號(hào)的車(chē)緊急剎車(chē)后滑行的距離為50m，那么這輛車(chē)是否超速行駛？師生活動(dòng)：教師指導(dǎo)學(xué)生審題后，學(xué)生思考后回答．解析：由解得，由解得，因?yàn)?，所以這輛車(chē)沒(méi)有超速．練習(xí)2：某廣告公司要為客戶(hù)設(shè)計(jì)一幅周長(zhǎng)為l（單位：m）的矩形廣告牌，如何設(shè)計(jì)這個(gè)廣告牌可以使廣告牌的面積最大？師生活動(dòng)：教師指導(dǎo)學(xué)生審題后，學(xué)生思考作答．解析：設(shè)矩形的一邊長(zhǎng)為x，廣告牌的面積為S，則當(dāng)時(shí)，S取得最大值，且．所以當(dāng)廣告牌是邊長(zhǎng)為的正方形時(shí)，廣告牌的面積最大．設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力，感悟其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)．（四）課堂小結(jié)，反思感悟1.知識(shí)總結(jié)：2.學(xué)生反思：（1）通過(guò)這節(jié)課，你學(xué)到了什么知識(shí)？（2）在解決問(wèn)題時(shí)，用到了哪些數(shù)學(xué)思想？設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和邏輯推理能力．（五）布置作業(yè)完成教材：第95頁(yè)習(xí)題3.4第1,2,3,4,5題目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)（教材第95頁(yè)練習(xí)3）．某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品的固定成本為150萬(wàn)元，而每件產(chǎn)品的可變成本為2500元，每件產(chǎn)品的售價(jià)為3500元．若該公司所生產(chǎn)的產(chǎn)品全部銷(xiāo)售出去，則（1）設(shè)總成本為（單位：萬(wàn)元），單位成本為（單位：