河北省邢臺市邢襄聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（解析）

高三數(shù)學(xué)考試注意事項：1.答題前，考生務(wù)必將自已的姓名?考生號?考場號?座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先解分式不等式求出集合，再化簡集合，最后根據(jù)交集的定義計算可得.【詳解】由，等價于，解得或，所以或，

又，所以.故選：C2.設(shè)復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡，即可得到其共軛復(fù)數(shù)，最后根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運(yùn)算法則計算可得.【詳解】因?yàn)?，則，所以.故選：A3.若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用余弦函數(shù)奇偶性和二倍角余弦公式直接求解即可.【詳解】.故選：D.4.某地區(qū)為研究居民用電量（單位：度）與氣溫（單位：）之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計了某4天的用電量與當(dāng)天的氣溫，并得到了如下數(shù)據(jù)：氣溫36912用電量度24201410由表中數(shù)據(jù)得到的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，若，則的值為（）A.27 B.29 C.34 D.36【答案】B【解析】【分析】求出中心點(diǎn)坐標(biāo)，代入方程求解．【詳解】由已知，，所以，解得，故選：B．5.已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)且與實(shí)軸垂直的直線交雙曲線于兩點(diǎn).若為等邊三角形，則雙曲線的離心率為（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)，則，，再根據(jù)雙曲線的定義求出，從而求出離心率.【詳解】設(shè)，因?yàn)闉榈冗吶切?，則，，又，所以雙曲線的離心率.故選：A6.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍為（）A. B. C.0,1 D.【答案】D【解析】【分析】應(yīng)用對數(shù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性及定義域求參.【詳解】因?yàn)閱握{(diào)遞增令，又因?yàn)闉閱握{(diào)增區(qū)間，所以是單調(diào)遞增，所以,所以,又因?yàn)閤∈[1,+∞),x+m所以.故選：D.7.已知函數(shù)在處取得極小值，則（）A. B.0 C.1 D.0或1【答案】C【解析】【分析】由導(dǎo)數(shù)為0求得，然后利用單調(diào)性再確定是極小值點(diǎn)即得．【詳解】由已知，因此，或，若，則，時，，遞增，時，，遞減，是極大值點(diǎn)，不合題意，若，則，時，，遞減，時，，遞增，是極小值點(diǎn)，符合題意，因此故選：C8.有4名男生?3名女生和2個不同的道具（記作A和B）參與一個活動，活動要求：所有人（男生和女生）必須站成一排，女生必須站在一起，并且她們之間按照身高從左到右由高到低的順序排列（假設(shè)女生的身高各不相同）；兩個道具A和B必須被分配給隊伍中的兩個人（可以是男生，也可以是女生），但這兩人不能站在一起.滿足上述所有條件的排列方式共有（）A.2400種 B.3600種 C.2880種 D.4220種【答案】B【解析】【分析】先用捆綁法排列（女生不需要內(nèi)部排列），然后利用間接法再分配2個道具．【詳解】根據(jù)題意4名男生?3名女生的排列方法為，然后在7人中選2人（不相鄰）分配道具：，總方法數(shù)為，故選：B．二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分，9.已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，高相等，側(cè)面積也相等，則（）A.圓柱和圓錐的體積之比為3B.圓柱的底面半徑和高之比為C.圓錐的母線和高之比為2D.圓柱和圓錐的表面積之比為【答案】ABC【解析】【分析】設(shè)圓柱和圓錐的底面半徑為，高為，根據(jù)體積公式判斷A；求出圓錐的母線，由側(cè)面積相等得到，即可判斷B、C；再由表面積公式判斷D.【詳解】設(shè)圓柱和圓錐底面半徑為，高為，則，，所以，故A正確；圓錐的母線，又圓柱和圓錐的側(cè)面積相等，所以，所以，則，即圓柱的底面半徑和高之比為，故B正確；所以圓錐的母線，則圓錐的母線和高之比為，故C正確；圓柱的表面積，圓錐的表面積，所以，故D錯誤.故選：ABC10.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.的圖象關(guān)于軸對稱B.的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱C.的圖象關(guān)于直線對稱D.是的極大值點(diǎn)【答案】BD【解析】【分析】計算可判斷A；計算可判斷B；由判斷C，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可判斷D.【詳解】對于A：函數(shù)的定義域?yàn)?，但是，所以不是偶函?shù)，則函數(shù)圖象不關(guān)于軸對稱，故A錯誤；對于B：因?yàn)?，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，故B正確；對于C：因?yàn)?，所以的圖象不關(guān)于直線對稱，故C錯誤；對于D：因?yàn)?，所以，則，且當(dāng)時，當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，所以在處取得極大值，故D正確.故選：BD11.已知，，，則下列不等式成立的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)運(yùn)算法則和基本不等式可知A正確；根據(jù)，將BC中的不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)的形式，結(jié)合對勾函數(shù)單調(diào)性和基本不等式可確定BC正誤；根據(jù)對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)可知D正確.【詳解】對于A，，A正確；對于B，，，，，在上單調(diào)遞增，，，，B錯誤；對于C，由B知：，，，，，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號），，，即，C正確；對于D，，，若，則，即，，，D正確.故選：ACD三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡中的橫線上.12.已知向量，若，則__________.【答案】6【解析】【分析】先由向量的坐標(biāo)運(yùn)算及相等求參，再根據(jù)數(shù)量積坐標(biāo)公式計算即可.【詳解】因?yàn)樗?所以,所以,.故答案為：.13.已知實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為__________.【答案】【解析】【分析】依題意可得，從而得到點(diǎn)在圓上，再由表示點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，結(jié)合圖象及直線與圓的位置關(guān)系求出的最值，即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以點(diǎn)在圓上，其中圓心為，半徑為，又，其中表示點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，又-1-12+由圖可知，當(dāng)直線與圓相切時，取得最值，設(shè)過點(diǎn)的直線的方程為，即，則，解得或，即的最大值為，最小值為，所以的最大值為.故答案為：14.在四棱錐中，底面為菱形，，點(diǎn)到的距離均為2，則四棱錐的體積為__________.【答案】##【解析】【分析】首先可得為等邊三角形，過點(diǎn)作底面垂線，與底面交于點(diǎn)，作，分別垂直于，，即可證明平面，從而得到，，依題意可得，即可求出，再由錐體的體積計算可得.【詳解】因?yàn)榍业酌鏋榱庑?，所以為等邊三角形，過點(diǎn)作底面的垂線，與底面交于點(diǎn)，作，分別垂直于，，因?yàn)?，所以，又平面，平面，所以，，平面，所以平面，平面，所以，，則，因?yàn)辄c(diǎn)到的距離均為，所以，則，，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解答的關(guān)鍵是證明，，從而得到.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù).（1）若曲線y=fx在點(diǎn)1,f1處的切線方程為，求實(shí)數(shù)（2）若函數(shù)無零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由求出，再由求出；（2）令可得，令，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最大值，依題意與無交點(diǎn)，即可求出參數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，又，則，又曲線在點(diǎn)處的切線方程為，所以，解得.【小問2詳解】令，即，令，則，所以當(dāng)時，當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，且當(dāng)時，依題意與無交點(diǎn)，所以，所以要使函數(shù)無零點(diǎn)，則的取值范圍為.16.如圖，在直四棱柱中，底面為矩形，且分別為的中點(diǎn).（1）證明：平面.（2）求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）不妨設(shè)，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，由，得到，即可得證；（2）求出平面的法向量，利用空間向量法計算可得.【小問1詳解】不妨設(shè)，則，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，A1,0,0，，，所以，，，設(shè)m=x,y則，取，則，所以平面的一個法向量，又，所以，因?yàn)槠矫?，所以平?【小問2詳解】因?yàn)槠矫?，所以是平面的一個法向量，又因?yàn)?，所以平面與平面夾角的余弦值為.17.某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品分為一等品?二等品和三等品.已知該工廠生產(chǎn)一等品的概率為，生產(chǎn)二等品的概率為，生產(chǎn)三等品的概率為.一等品在出廠時，通過質(zhì)量檢測的概率為；二等品在出廠時，通過質(zhì)量檢測的概率為；三等品在出廠時，通過質(zhì)量檢測的概率為.（1）已知隨機(jī)抽取的10件產(chǎn)品中，通過質(zhì)量檢測的有8件，其中有2件二等品和1件三等品.現(xiàn)在從這8件通過檢測的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取3件，設(shè)其中一等品的數(shù)量為，求分布列和期望，（2）求隨機(jī)抽取的一件產(chǎn)品通過質(zhì)量檢測的概率，（3）若隨機(jī)抽取的一件產(chǎn)品通過了質(zhì)量檢測，求該產(chǎn)品為一等品的概率【答案】（1）分布列見解析，（2）（3）【解析】【分析】（1）依題意可得的可能取值為，，，，求出所對應(yīng)的概率，即可求出分布列與數(shù)學(xué)期望；（2）設(shè)事件表示產(chǎn)品通過質(zhì)量檢測，表示產(chǎn)品為一等品，表示產(chǎn)品為二等品，表示產(chǎn)品為三等品，利用全概率公式計算可得；（3）利用條件概率公式計算可得.【小問1詳解】因?yàn)橥ㄟ^質(zhì)量檢測的8件產(chǎn)品中，有2件二等品和1件三等品，則一等品的數(shù)量為件，所以的可能取值為，，，，則，，，，所以的分布列為：所以；【小問2詳解】設(shè)事件表示產(chǎn)品通過質(zhì)量檢測，表示產(chǎn)品為一等品，表示產(chǎn)品為二等品，表示產(chǎn)品為三等品，則，，，，，，所以，即隨機(jī)抽取一件產(chǎn)品通過質(zhì)量檢測的概率為；【小問3詳解】依題意所求概率為.18.已知是拋物線上任一點(diǎn)，為的中點(diǎn)，記動點(diǎn)的軌跡為.（1）求的方程；（2）過點(diǎn)作曲線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，求點(diǎn)到直線的距離的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)，從而得到點(diǎn)的坐標(biāo)為，再根據(jù)點(diǎn)是拋物線上任一點(diǎn)，代入方程，整理可得；（2）設(shè)，，，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義表示出切線方程，即可得到，同理可得，從而得到直線的方程為，再由點(diǎn)到直線的距離公式及基本不等式計算可得.【小問1詳解】設(shè)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，又點(diǎn)是拋物線上任一點(diǎn)，所以，整理得，即的方程為；【小問2詳解】設(shè)，，，則，，，由拋物線的方程為，即，則，所以的方程為，即，所以，同理可得，所以直線的方程為，則點(diǎn)到直線的距離，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以點(diǎn)到直線的距離的最小值為.19.定義：若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為“線性數(shù)列”.（1）已知為“線性數(shù)列”，且，證明：數(shù)列為等比數(shù)列.（2）已知.（i）證明：數(shù)列為“線性數(shù)列”.（ii）記，數(shù)列的前項和為，證明：.【答案】（1）證明見解析（2）（i）證明見解析；（ii）證明見解析【解析】【分析】（1）依題意可得，則，即可求