高等數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)

第一講:極限與連續(xù)數(shù)列函數(shù):1.類型:(1)數(shù)列:*;*(2)初等函數(shù):(3)分段函數(shù):*;*;*(4)復(fù)合(含)函數(shù):(5)隱式(方程):(6)參式(數(shù)一,二):(7)變限積分函數(shù):(8)級(jí)數(shù)和函數(shù)(數(shù)一,三):2.特征(幾何):(1)單調(diào)性與有界性(判別);(單調(diào)定號(hào))(2)奇偶性與周期性(應(yīng)用).3.反函數(shù)與直接函數(shù):二.極限性質(zhì):1.類型:*;*(含);*(含)2.無窮小與無窮大(注:無窮量):3.未定型:4.性質(zhì):*有界性,*保號(hào)性,*歸并性三.常用結(jié)論:,,,,,,,,四.必備公式:1.等價(jià)無窮小:當(dāng)時(shí),;;;;;;;2.泰勒公式:(1);(2);(3);(4);(5).五.常規(guī)方法:前提:(1)準(zhǔn)確判斷(其它如:);(2)變量代換(如:)1.抓大棄小,2.無窮小與有界量乘積()(注:)3.處理(其它如:)4.左右極限(包括):(1);(2);;(3)分段函數(shù):,,5.無窮小等價(jià)替換(因式中的無窮小)(注:非零因子)6.洛必達(dá)法則(1)先〞處理〞,后法則(最前方法);(注意比照:與)(2)冪指型處理:(如:)(3)含變限積分;(4)不能用與不便用7.泰勒公式(皮亞諾余項(xiàng)):處理和式中的無窮小8.極限函數(shù):(分段函數(shù))六.非常手段1.收斂準(zhǔn)則:(1)(2)雙邊夾:*,*(3)單邊擠:***2.導(dǎo)數(shù)定義(洛必達(dá)):3.積分和:,4.中值定理:5.級(jí)數(shù)和(數(shù)一三):(1)收斂,(如)(2),(3)與同斂散七.常見應(yīng)用:1.無窮小比擬(等價(jià),階):*(1)(2)2.漸近線(含斜):(1)(2),()3.連續(xù)性:(1)連續(xù)點(diǎn)判別(個(gè)數(shù));(2)分段函數(shù)連續(xù)性(附:極限函數(shù),連續(xù)性)八.上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)1.連通性:(注:,“平均〞值:)2.介值定理:(附:達(dá)布定理)(1)零點(diǎn)存在定理:(根的個(gè)數(shù));(2).第二講:導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用(一元)(含中值定理)一.根本概念:1.差商與導(dǎo)數(shù):;(1)(注:連續(xù)))(2)左右導(dǎo):;(3)可導(dǎo)與連續(xù);(在處,連續(xù)不可導(dǎo);可導(dǎo))2.微分與導(dǎo)數(shù):(1)可微可導(dǎo);(2)比擬與的大小比擬(圖示);二.求導(dǎo)準(zhǔn)備:1.根本初等函數(shù)求導(dǎo)公式;(注:)2.法則:(1)四則運(yùn)算;(2)復(fù)合法則;(3)反函數(shù)三.各類求導(dǎo)(方法步驟):1.定義導(dǎo):(1)與;(2)分段函數(shù)左右導(dǎo);(3)(注:,求:及的連續(xù)性)2.初等導(dǎo)(公式加法則):(1),求:(圖形題);(2),求:(注:)(3),求及(待定系數(shù))3.隱式()導(dǎo):(1)存在定理;(2)微分法(一階微分的形式不變性).(3)對(duì)數(shù)求導(dǎo)法.4.參式導(dǎo)(數(shù)一,二):,求:5.高階導(dǎo)公式:;;;注:與泰勒展式:四.各類應(yīng)用:1.斜率與切線(法線);(區(qū)別:上點(diǎn)和過點(diǎn)的切線)2.物理:(相對(duì))變化率速度;3.曲率(數(shù)一二):(曲率半徑,曲率中心,曲率圓)4.邊際與彈性(數(shù)三):(附:需求,收益,本錢,利潤)五.單調(diào)性與極值(必求導(dǎo))1.判別(駐點(diǎn)):(1);;(2)分段函數(shù)的單調(diào)性(3)零點(diǎn)唯一;駐點(diǎn)唯一(必為極值,最值).2.極值點(diǎn):(1)表格(變號(hào));(由的特點(diǎn))(2)二階導(dǎo)()注(1)與的匹配(圖形中包含的信息);(2)實(shí)例:由確定點(diǎn)“〞的特點(diǎn).(3)閉域上最值(應(yīng)用例:與定積分幾何應(yīng)用相結(jié)合,求最優(yōu))3.不等式證明()(1)區(qū)別:*單變量與雙變量*與(2)類型:*;**;*(3)注意:單調(diào)性端點(diǎn)值極值凹凸性.(如:)4.函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù):單調(diào)介值六.凹凸與拐點(diǎn)(必求導(dǎo)!):1.表格;()2.應(yīng)用:(1)泰勒估計(jì);(2)單調(diào);(3)凹凸.七.羅爾定理與輔助函數(shù):(注:最值點(diǎn)必為駐點(diǎn))1.結(jié)論:2.輔助函數(shù)構(gòu)造實(shí)例:(1)(2)(3)(4);3.有個(gè)零點(diǎn)有個(gè)零點(diǎn)4.特例:證明的常規(guī)方法:令有個(gè)零點(diǎn)(待定)5.注:含時(shí),分家!(柯西定理)6.附(達(dá)布定理):在可導(dǎo),,,使:八.拉格朗日中值定理1.結(jié)論:;()2.估計(jì):九.泰勒公式(連接之間的橋梁)1.結(jié)論:;2.應(yīng)用:在或值時(shí)進(jìn)展積分估計(jì)十.積分中值定理(附:廣義):[注:有定積分(不含變限)條件時(shí)使用]第三講:一元積分學(xué)一.根本概念:1.原函數(shù):(1);(2);(3)注(1)(連續(xù)不一定可導(dǎo));(2)(連續(xù))2.不定積分性質(zhì):(1);(2);二.不定積分常規(guī)方法1.熟悉根本積分公式2.根本方法:拆(線性性)3.湊微法(根底):要求巧,簡,活()如:4.變量代換:(1)常用(三角代換,根式代換,倒代換):(2)作用與引伸(化簡):5.分部積分(巧用):(1)含需求導(dǎo)的被積函數(shù)(如);(2)“反對(duì)冪三指〞:(3)特別:(*的原函數(shù)為;*)6.特例:(1);(2)快速法;(3)三.定積分:1.概念性質(zhì):(1)積分和式(可積的必要條件:有界,充分條件:連續(xù))(2)幾何意義(面積,對(duì)稱性,周期性,積分中值)*;*(3)附:,)(4)定積分與變限積分,反常積分的區(qū)別聯(lián)系與側(cè)重2:變限積分的處理(重點(diǎn))(1)可積連續(xù),連續(xù)可導(dǎo)(2);;(3)由函數(shù)參與的求導(dǎo),極限,極值,積分(方程)問題3.公式:(在上必須連續(xù)!)注:(1)分段積分,對(duì)稱性(奇偶),周期性(2)有理式,三角式,根式(3)含的方程.4.變量代換:(1),(2)(如:)(3),(4);,(5),5.分部積分(1)準(zhǔn)備時(shí)“湊常數(shù)〞(2)或時(shí),求6.附:三角函數(shù)系的正交性:四.反常積分:1.類型:(1)(連續(xù))(2):(在處為無窮連續(xù))2.斂散;3.計(jì)算:積分法公式極限(可換元與分部)4.特例:(1);(2)五.應(yīng)用:(柱體側(cè)面積除外)1.面積,(1)(2);(3);(4)側(cè)面積:2.體積:(1);(2)(3)與3.弧長:(1)(2)(3):4.物理(數(shù)一,二)功,引力,水壓力,質(zhì)心,5.平均值(中值定理):(1);(2),(以為周期:)第四講:微分方程一.根本概念1.常識(shí):通解,初值問題與特解(注:應(yīng)用題中的隱含條件)2.變換方程:(1)令(如歐拉方程)(2)令(如伯努利方程)3.建立方程(應(yīng)用題)的能力二.一階方程:1.形式:(1);(2);(3)2.變量別離型:(1)解法:(2)“偏〞微分方程:;3.一階線性(重點(diǎn)):(1)解法(積分因子法):(2)變化:;(3)推廣:伯努利(數(shù)一)4.齊次方程:(1)解法:(2)特例:5.全微分方程(數(shù)一):且6.一階差分方程(數(shù)三):三.二階降階方程1.:2.:令3.:令四.高階線性方程:1.通解構(gòu)造:(1)齊次解:(2)非齊次特解:2.常系數(shù)方程:(1)特征方程與特征根:(2)非齊次特解形式確定:待定系數(shù);(附:的算子法)(3)由解反求方程.3.歐拉方程(數(shù)一):,令五.應(yīng)用(注意初始條件):1.幾何應(yīng)用(斜率,弧長,曲率,面積,體積);注:切線和法線的截距2.積分等式變方程(含變限積分);可設(shè)3.導(dǎo)數(shù)定義立方程:含雙變量條件的方程4.變化率(速度)5.6.路徑無關(guān)得方程(數(shù)一):7.級(jí)數(shù)與方程:(1)冪級(jí)數(shù)求和;(2)方程的冪級(jí)數(shù)解法:8.彈性問題(數(shù)三)第五講:多元微分與二重積分一.二元微分學(xué)概念1.極限,連續(xù),單變量連續(xù),偏導(dǎo),全微分,偏導(dǎo)連續(xù)(必要條件與充分條件),(1)(2)(3)(判別可微性)注:點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)與全微分的極限定義:2.特例:(1):點(diǎn)處可導(dǎo)不連續(xù);(2):點(diǎn)處連續(xù)可導(dǎo)不可微;二.偏導(dǎo)數(shù)與全微分的計(jì)算:1.顯函數(shù)一,二階偏導(dǎo):注:(1)型;(2);(3)含變限積分2.復(fù)合函數(shù)的一,二階偏導(dǎo)(重點(diǎn)):熟練掌握記號(hào)的準(zhǔn)確使用3.隱函數(shù)(由方程或方程組確定):(1)形式:*;*(存在定理)(2)微分法(熟練掌握一階微分的形式不變性):(要求:二階導(dǎo))(3)注:與的及時(shí)代入(4)會(huì)變換方程.三.二元極值(定義);1.二元極值(顯式或隱式):(1)必要條件(駐點(diǎn));(2)充分條件(判別)2.條件極值(拉格朗日乘數(shù)法)(注:應(yīng)用)(1)目標(biāo)函數(shù)與約束條件:,(或:多條件)(2)求解步驟:,求駐點(diǎn)即可.3.有界閉域上最值(重點(diǎn)).(1)(2)實(shí)例:距離問題四.二重積分計(jì)算:1.概念與性質(zhì)(“積〞前工作):(1),(2)對(duì)稱性(熟練掌握):*域軸對(duì)稱;*奇偶對(duì)稱;*字母輪換對(duì)稱;*重心坐標(biāo);(3)“分塊〞積分:*;*分片定義;*奇偶2.計(jì)算(化二次積分):(1)直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)選擇(轉(zhuǎn)換):以“〞為主;(2)交換積分次序(熟練掌握).3.極坐標(biāo)使用(轉(zhuǎn)換):附:;;雙紐線4.特例:(1)單變量:或(2)利用重心求積分:要求:題型,且的面積與重心5.無界域上的反常二重積分(數(shù)三)五:一類積分的應(yīng)用():1.“尺寸〞:(1);(2)曲面面積(除柱體側(cè)面);2.質(zhì)量,重心(形心),轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;3.為三重積分,格林公式,曲面投影作準(zhǔn)備.第六講:無窮級(jí)數(shù)(數(shù)一,三)一.級(jí)數(shù)概念1.定義:(1),(2);(3)(如)注:(1);(2)(或);(3)“伸縮〞級(jí)數(shù):收斂收斂.2.性質(zhì):(1)收斂的必要條件:;(2)加括號(hào)后發(fā)散,則原級(jí)數(shù)必發(fā)散(交織級(jí)數(shù)的討論);(3);二.正項(xiàng)級(jí)數(shù)1.正項(xiàng)級(jí)數(shù):(1)定義:;(2)特征:;(3)收斂(有界)2.標(biāo)準(zhǔn)級(jí)數(shù):(1),(2),(3)3.審斂方法:(注:,)(1)比擬法(原理):(估計(jì)),如;(2)比值與根值:**(應(yīng)用:冪級(jí)數(shù)收斂半徑計(jì)算)三.交織級(jí)數(shù)(含一般項(xiàng)):()1.“審〞前考察:(1)(2);(3)絕對(duì)(條件)收斂注:假設(shè),則發(fā)散2.標(biāo)準(zhǔn)級(jí)數(shù):(1);(2);(3)3.萊布尼茲審斂法(收斂)(1)前提:發(fā)散;(2)條件:;(3)結(jié)論:條件收斂.4.補(bǔ)充方法:(1)加括號(hào)后發(fā)散,則原級(jí)數(shù)必發(fā)散;(2).5.考前須知:比照;;;之間的斂散關(guān)系四.冪級(jí)數(shù):1.常見形式:(1),(2),(3)2.阿貝爾定理:(1)結(jié)論:斂;散(2)注:當(dāng)條件收斂時(shí)3.收斂半徑,區(qū)間,收斂域(求和前的準(zhǔn)備)注(1)與同收斂半徑(2)與之間的轉(zhuǎn)換4.冪級(jí)數(shù)展開法:(1)前提:熟記公式(雙向,標(biāo)明斂域);;(2)分解:(注:中心移動(dòng))(特別:)(3)考察導(dǎo)函數(shù):(4)考察原函數(shù):5.冪級(jí)數(shù)求和法(注:*先求收斂域,*變量替換):(1)(2),(注意首項(xiàng)變化)(3),(4)的微分方程(5)應(yīng)用:.6.方程的冪級(jí)數(shù)解法7.經(jīng)濟(jì)應(yīng)用(數(shù)三):(1)復(fù)利:;(2)現(xiàn)值:五.傅里葉級(jí)數(shù)(數(shù)一):()1.傅氏級(jí)數(shù)(三角級(jí)數(shù)):2.充分條件(收斂定理):(1)由(和函數(shù))(2)3.系數(shù)公式:4.題型:(注:)(1)且(分段表示)(2)或(3)正弦或余弦*(4)()*5.6.附產(chǎn)品:第七講:向量,偏導(dǎo)應(yīng)用與方向?qū)?數(shù)一)一.向量根本運(yùn)算1.;(平行)2.;(單位向量(方向余弦))3.;(投影:;垂直:;夾角:)4.;(法向:;面積:)二.平面與直線(1)特征(根本量):(2)方程(點(diǎn)法式):(3)其它:*截距式;*三點(diǎn)式(1)特征(根本量):(2)方程(點(diǎn)向式):(3)一般方程(交面式):(4)其它:*二點(diǎn)式;*參數(shù)式;(附:線段的參數(shù)表示:)3.實(shí)用方法:(1)平面束方程:(2)距離公式:如點(diǎn)到平面的距離(3)對(duì)稱問題;(4)投影問題.三.曲面與空間曲線(準(zhǔn)備)1.曲面(1)形式:或;(注:柱面)(2)法向(或)2.曲線(1)形式,或;(2)切向:(或)3.應(yīng)用(1)交線,投影柱面與投影曲線;(2)旋轉(zhuǎn)面計(jì)算:參式曲線繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn);(3)錐面計(jì)算.四.常用二次曲面1.圓柱面:2.球面:變形:,,,3.錐面:變形:,4.拋物面:,變形:,5.雙曲面:6.馬鞍面:,或五.偏導(dǎo)幾何應(yīng)用1.曲面(1)法向:,注:(2)切平面與法線:2.曲線(1)切向:(2)切線與法平面3.綜合:,六.方向?qū)c梯度(重點(diǎn))1.方向?qū)?方向斜率):(1)定義(條件):(2)計(jì)算(充分條件:可微):附:(3)附:2.梯度(取得最大斜率值的方向):(1)計(jì)算:;(2)結(jié)論;取為最大變化率方向;為最大方向?qū)?shù)值.第八講:三重積分與線面積分(數(shù)一)一.三重積分()1.域的特征(不涉及復(fù)雜空間域):(1)對(duì)稱性(重點(diǎn)):含:關(guān)于坐標(biāo)面;關(guān)于變量;關(guān)于重心(2)投影法:(3)截面法:(4)其它:長方體,四面體,橢球2.的特征:(1)單變量,(2),(3),(4)3.選擇最適合方法:(1)“積〞前:*;*利用對(duì)稱性(重點(diǎn))(2)截面法(旋轉(zhuǎn)體):(細(xì)腰或中空,,)(3)投影法(直柱體):(4)球坐標(biāo)(球或錐體):,(5)重心法():4.應(yīng)用問題:(1)同第一類積分:質(zhì)量,質(zhì)心,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,引力(2)公式二.第一類線積分()1.“積〞前準(zhǔn)備:(1);(2)對(duì)稱性;(3)代入“〞表達(dá)式2.