2024～2025學(xué)年度八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)11.1.2 三角形的高、中線與角平分線 11.1.3 三角形的穩(wěn)定性教學(xué)設(shè)計(jì)

11.1.2三角形的高、中線與角平分線11．1.3三角形的穩(wěn)定性教學(xué)目標(biāo)課題11.1.2三角形的高、中線與角平分線11.1.3三角形的穩(wěn)定性授課人素養(yǎng)目標(biāo)1.理解三角形的中線、高線、角平分線等概念，了解三角形重心的概念，會(huì)畫(huà)出任意三角形的中線、高線、角平分線，進(jìn)一步提升學(xué)生的幾何直觀感知能力.2.了解三角形的穩(wěn)定性．教學(xué)重點(diǎn)理解三角形的高、中線與角平分線．教學(xué)難點(diǎn)1.三角形的高、中線、角平分線的區(qū)別.2.探究三角形三條高所在的直線、三條中線、三條角平分線分別交于一點(diǎn)的過(guò)程.教學(xué)活動(dòng)教學(xué)步驟師生活動(dòng)活動(dòng)一：復(fù)習(xí)舊知，溫故知新設(shè)計(jì)意圖復(fù)習(xí)鞏固舊知，為引入三角形的三條重要線段做準(zhǔn)備.【情境引入】我們一起回顧下垂線、線段中點(diǎn)和角平分線的概念：這節(jié)課我們將在三角形中對(duì)以上概念做進(jìn)一步的探討，想知道它們?cè)谌切沃惺鞘裁礃拥膯?？我們看一下下面這張圖.把一根橡皮筋的一端固定在△ABC的頂點(diǎn)A上，再把橡皮筋的另一端從點(diǎn)B沿著B(niǎo)C邊移動(dòng)到點(diǎn)C.觀察移動(dòng)過(guò)程中形成的無(wú)數(shù)條線段(AD，AE，AF，AG，…)中有沒(méi)有特殊位置的線段？你認(rèn)為有哪些特殊位置？通過(guò)上圖想必你心中一定有自己的答案了，那它們各自又發(fā)揮了什么作用呢？快讓我們一起在本課時(shí)的學(xué)習(xí)中找尋答案吧！【教學(xué)建議】教師可指定學(xué)生代表回答，提出問(wèn)題，在進(jìn)入新課之前讓學(xué)生看圖聯(lián)想在三角形中結(jié)合這幾個(gè)概念時(shí)的情形，也可以通過(guò)操作模擬實(shí)驗(yàn)，得到更為直觀的感觸，學(xué)生通過(guò)后面的學(xué)習(xí)印證猜想，加深印象.活動(dòng)二：動(dòng)手操作，探究新知設(shè)計(jì)意圖引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手畫(huà)圖，自然引入到已經(jīng)學(xué)過(guò)的三角形的高的概念，并探究各種形狀的三角形中高的情況，加深理解.探究點(diǎn)1三角形的高問(wèn)題1我們?cè)谏弦换顒?dòng)中已經(jīng)復(fù)習(xí)了垂線的概念，你還記得如何“過(guò)一點(diǎn)畫(huà)已知直線的垂線”嗎？請(qǐng)?jiān)谙聢D中過(guò)點(diǎn)A畫(huà)線段BC所在直線l的垂線．這條垂線段是什么？教學(xué)步驟師生活動(dòng)幾何符號(hào)語(yǔ)言：∵AD是△ABC的高,∴∠BDA=∠CDA=90°.反之，∵∠BDA=90°(或∠CDA=90°），∴AD是△ABC的高.問(wèn)題2用同樣方法，你能畫(huà)出△ABC的另兩條邊上的高嗎？你有什么發(fā)現(xiàn)？如圖所示.△ABC的三條高相交于一點(diǎn).問(wèn)題3不難發(fā)現(xiàn)，上面的△ABC是銳角三角形，那么當(dāng)△ABC是直角三角形時(shí)，你能畫(huà)出△ABC的三條高嗎？又有怎樣的發(fā)現(xiàn)？如圖所示．△ABC的三條高相交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)是直角頂點(diǎn).直角邊BC邊上的高是AB；直角邊AB邊上的高是BC；斜邊AC邊上的高是BD.問(wèn)題4當(dāng)△ABC是鈍角三角形時(shí)，你能畫(huà)出△ABC的三條高嗎？又有怎樣的發(fā)現(xiàn)？如果將三條高延長(zhǎng)呢？如圖所示．△ABC的三條高沒(méi)有交點(diǎn)，但三條高所在直線相交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)在△ABC外.歸納總結(jié)：任意三角形都有三條高，它們所在的直線相交于同一點(diǎn).【對(duì)應(yīng)訓(xùn)練】教材P5練習(xí)第1題．【教學(xué)建議】學(xué)生從自主動(dòng)手畫(huà)圖入手，根據(jù)設(shè)置的問(wèn)題逐步深入，可以使學(xué)生對(duì)三角形的高的各種情形有一個(gè)更直觀的了解和清晰的印象．尤其在畫(huà)鈍角三角形的三條高時(shí)，有兩個(gè)垂足落在邊的延長(zhǎng)線上，學(xué)生自行嘗試，能在實(shí)踐中更加深刻地理解．在學(xué)習(xí)三角形的高時(shí)，畫(huà)鈍角三角形的高也是一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)，作圖時(shí)要緊密聯(lián)系概念“從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它所對(duì)的邊所在直線作垂線”，找準(zhǔn)要作的是哪條邊上的高，并注意和學(xué)生強(qiáng)調(diào)以免混淆：三角形的高是線段，所以鈍角三角形的三條高是沒(méi)有交點(diǎn)的，是它們所在的直線交于一點(diǎn).設(shè)計(jì)意圖引入三角形的中線的概念，并探究各種形狀的三角形的中線的情況，引入重心的概念．學(xué)生根據(jù)設(shè)置的問(wèn)題動(dòng)手畫(huà)圖，探究點(diǎn)2三角形的中線問(wèn)題1如圖，在△ABC中，你能否想一種方法找到邊BC的中點(diǎn)的位置？可以用直尺量取線段BC的長(zhǎng)度，以點(diǎn)B(或點(diǎn)C)為圓心，以BC的一半長(zhǎng)為半徑作弧交BC于點(diǎn)D，則點(diǎn)D即為邊BC的中點(diǎn)．概念引入：連接△ABC的頂點(diǎn)A和它所對(duì)的邊BC的中點(diǎn)D，所得線段AD叫做△ABC的邊BC教學(xué)步驟師生活動(dòng)探究新知，感悟分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想.上的中線．幾何符號(hào)語(yǔ)言：∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD＝eq\f(1,2)BC.反之，∵BD＝CD(或BD＝eq\f(1,2)BC，或CD＝eq\f(1,2)BC)，∴AD是△ABC的中線．問(wèn)題2用同樣方法，你能畫(huà)出△ABC的另兩條邊上的中線嗎？如圖所示．問(wèn)題3分別畫(huà)出銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形的三條中線．認(rèn)真觀察，你可得到什么結(jié)論？如圖所示．歸納總結(jié)：三角形的三條中線相交于一點(diǎn).三角形三條中線的交點(diǎn)叫做三角形的重心．三角形的重心的實(shí)際意義：取一塊質(zhì)地均勻的三角形木板，頂住三條中線的交點(diǎn)，木板會(huì)保持平衡，這個(gè)平衡點(diǎn)就是這塊三角形木板的重心．【對(duì)應(yīng)訓(xùn)練】教材P5練習(xí)第2(1)題．【教學(xué)建議】學(xué)生經(jīng)過(guò)思考、交流后，歸納出三角形三條中線交于一點(diǎn)的性質(zhì)，教師直接告知這個(gè)結(jié)論是對(duì)的，不需要證明．三角形的中線除了具有平分邊的性質(zhì)外，還平分三角形的面積，以及分割的兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)間也存在一定關(guān)系，后面的備課素材里有相應(yīng)例題，教師可根據(jù)時(shí)間安排選講設(shè)計(jì)意圖引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手折紙操作，引入三角形的角平分線的概念，探究各種形狀的三角形的三條角平分線的情況，并對(duì)三角形的三條重要線段做一個(gè)總結(jié)歸納．探究點(diǎn)3三角形的角平分線做一做：在一張紙上畫(huà)出一個(gè)三角形并剪下，將它的一個(gè)角對(duì)折，使其兩邊重合．問(wèn)題1如圖，AD是折痕，則∠1和∠2之間有什么數(shù)量關(guān)系？AD是∠BAC的平分線嗎？∠1＝∠2，AD是∠BAC的平分線．問(wèn)題2類(lèi)比三角形的高、三角形的中線，三角形的角平分線是什么？畫(huà)∠A的平分線AD，交∠A所對(duì)的邊BC于點(diǎn)D，所得線段AD叫做△ABC的角平分線．幾何符號(hào)語(yǔ)言：∵AD是△ABC的角平分線，∴∠1＝∠2＝eq\f(1,2)∠BAC.反之，∵∠1＝∠2(或∠1＝eq\f(1,2)∠BAC，或∠2＝eq\f(1,2)∠BAC)，∴AD是△ABC的角平分線．問(wèn)題3畫(huà)出△ABC的另兩條角平分線，觀察三條角平分線，你有什么發(fā)現(xiàn)？如圖所示．△ABC的三條角平分線交于一點(diǎn)．問(wèn)題4分別畫(huà)出銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形的三條角平分線.認(rèn)真觀察，你可得到什么結(jié)論？【教學(xué)建議】教師引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作，初學(xué)三角形的角平分線時(shí)，從折紙入手是為了讓學(xué)生對(duì)“平分”有更深刻的理解，后面畫(huà)角平分線時(shí)既可通過(guò)折紙，沿折痕畫(huà)角平分線，也可直接通過(guò)量角器作圖(在后面第十二章深入學(xué)習(xí)角平分線的作法后，要改為尺規(guī)作圖)．在學(xué)習(xí)三角形的角平分線時(shí)，概念容易混淆，教師注意跟學(xué)生強(qiáng)調(diào)；角的平分線是射線，而三角形的角平分線是線段，二者不能混為一談.教學(xué)步驟師生活動(dòng)如圖所示.三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)位于三角形內(nèi)部.歸納總結(jié)：【對(duì)應(yīng)訓(xùn)練】教材P5練習(xí)第2（2）題.設(shè)計(jì)意圖結(jié)合大量實(shí)例使學(xué)生了解三角形的穩(wěn)定性與四邊形的不穩(wěn)定性.探究點(diǎn)4三角形的穩(wěn)定性【情境引入】工程建筑中經(jīng)常采用三角形的結(jié)構(gòu)，如屋頂鋼架(圖①)，其中的道理是什么？蓋房子時(shí)，在窗框未安裝好之前，木工師傅常常先在窗框上斜釘一根木條(圖②).為什么要這樣做呢？探究,如圖①，將三根木條用釘子釘成一個(gè)三角形木架，然后扭動(dòng)它，它的形狀會(huì)改變嗎？如圖②，將四根木條用釘子釘成一個(gè)四邊形木架，然后扭動(dòng)它，它的形狀會(huì)改變嗎？如圖③，在四邊形木架上再釘一根木條，將它的一對(duì)不相鄰的頂點(diǎn)連接起來(lái)，然后再扭動(dòng)它，這時(shí)木架的形狀還會(huì)改變嗎？為什么？可以發(fā)現(xiàn)，三角形木架的形狀不會(huì)改變，而四邊形木架的形狀會(huì)改變．這就是說(shuō)，三角形是具有穩(wěn)定性的圖形，而四邊形沒(méi)有穩(wěn)定性.【教學(xué)建議】三角形的穩(wěn)定性在生產(chǎn)和生活中是很有用的．在探究這一點(diǎn)時(shí)，教師宜在多媒體教具上舉出大量應(yīng)用三角形穩(wěn)定性的例子，也可結(jié)合實(shí)際，讓學(xué)生通過(guò)實(shí)驗(yàn)得出這個(gè)性質(zhì)．“不穩(wěn)定”是四邊形的一個(gè)重要性質(zhì)，有時(shí)候我們需要利用四邊形的不穩(wěn)定性，如活動(dòng)掛架、伸縮門(mén)；有時(shí)又要克服四邊形的不穩(wěn)定性，如在未安裝好的窗框上斜釘一根木條使其不變形，這些內(nèi)容也可以讓生通過(guò)實(shí)驗(yàn)和實(shí)際例子加以體會(huì).教學(xué)步驟師生活動(dòng)還可以發(fā)現(xiàn)，斜釘一根木條的四邊形木架的形狀不會(huì)改變．這是因?yàn)樾贬斠桓緱l后，四邊形變成兩個(gè)三角形，由于三角形有穩(wěn)定性，斜釘一根木條的窗框在未安裝好之前也不會(huì)變形.三角形的穩(wěn)定性有廣泛的應(yīng)用，下圖表示其中一些例子．你能再舉一些例子嗎？能．如輸電線支架、索道支架等，如下圖.四邊形的不穩(wěn)定性也有廣泛的應(yīng)用，下圖表示其中一些例子.【對(duì)應(yīng)訓(xùn)練】教材P7練習(xí).活動(dòng)三：融會(huì)新知，鞏固提升設(shè)計(jì)意圖通過(guò)例題將三角形的三條重要線段綜合進(jìn)一個(gè)幾何模型里考查，加深學(xué)生的理解.例如圖，在直角三角形ABC中，BC邊上有E，D，F(xiàn)三點(diǎn)，BD＝CD，∠BAE＝∠DAE，AF⊥BC，垂足為F.(1)以AD為中線的三角形是_________；(2)以AE為角平分線的三角形是_________；(3)以AF為高的三角形有_________個(gè)，其中鈍角三角形的個(gè)數(shù)是_________.答案：(1)△ABC(2)△ABD(3)103【教學(xué)建議】本題考查了三角形的中線、高、角平分線的概念和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確理解相關(guān)概念，準(zhǔn)確地將三者加以區(qū)分．注意圖形中線段較多，分辨時(shí)需仔細(xì)，不要混淆.活動(dòng)四：隨堂訓(xùn)練，課堂總結(jié)【隨堂訓(xùn)練】見(jiàn)《創(chuàng)優(yōu)作業(yè)》“隨堂小練”冊(cè)子相應(yīng)課時(shí)隨堂訓(xùn)練.【課堂總結(jié)】課堂總結(jié)師生一起回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容，并請(qǐng)學(xué)生回答以下問(wèn)題：1.什么是三角形的高？什么是三角形的中線？什么是三角形的角平分線？它們各自有何特點(diǎn)？2.你能畫(huà)出任意三角形的高、中線或角平分線嗎？3.你能舉出三角形具有穩(wěn)定性的相關(guān)實(shí)例嗎？教學(xué)步驟師生活動(dòng)【知識(shí)結(jié)構(gòu)】【作業(yè)布置】1.教材P8～9習(xí)題11.1第3，4，5，8，9，10題.2.《創(chuàng)優(yōu)作業(yè)》主體本部分相應(yīng)課時(shí)訓(xùn)練．板書(shū)設(shè)計(jì)11.1.2三角形的高、中線與角平分線11.1.3三角形的穩(wěn)定性1.三角形的高：是線段，有3條，它們所在直線交于一點(diǎn)(可能在三角形內(nèi)，也可能在三角形外，或是直角頂點(diǎn)). 2.三角形的中線：是線段，有3條，它們交于三角形內(nèi)一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做三角形的重心. 3.三角形的角平分線：是線段，有3條，它們交于三角形內(nèi)一點(diǎn). 4.三角形具有穩(wěn)定性，四邊形具有不穩(wěn)定性．教學(xué)反思在學(xué)習(xí)三角形的三條線段時(shí)，從畫(huà)圖入手，分三種情況：即銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形，培養(yǎng)學(xué)生形成分類(lèi)討論思想，同時(shí)在學(xué)生頭腦中對(duì)這三種線段留下清晰的形象，然后結(jié)合這些具體形象敘述它們的概念以及表示方法．在學(xué)習(xí)三角形的穩(wěn)定性時(shí)，利用多媒體引導(dǎo)學(xué)生探尋三角形的穩(wěn)定性，進(jìn)而用三角形的穩(wěn)定性解釋“為什么不易變形”，再回歸生活，運(yùn)用三角形的穩(wěn)定性解釋如何解決生活中的問(wèn)題.解題大招一準(zhǔn)確識(shí)別鈍角三角形的高的方法解決此類(lèi)問(wèn)題的核心是緊扣三角形的高的概念，作哪條邊上的高，就是從它所對(duì)的頂點(diǎn)向這條邊所在直線作垂線，所得的垂線段即為高．△ABC有3個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，若是找邊BC上的高，則這條高應(yīng)是從排除B，C兩點(diǎn)的A點(diǎn)發(fā)出的．另外如果是識(shí)別鈍角三角形中的高，那么三條高中垂足在邊的延長(zhǎng)線上的兩條高是從銳角頂點(diǎn)發(fā)出的，而垂足在三角形的邊上的高是從鈍角頂點(diǎn)發(fā)出的，可通過(guò)以上性質(zhì)快速判斷．

例1在下列圖形中，正確畫(huà)出鈍角三角形ABC的AC邊上的高的是D解析：識(shí)別AC邊上的高，所以這條高是從頂點(diǎn)B發(fā)出的，而△ABC是鈍角三角形，∠B是銳角，從頂點(diǎn)B發(fā)出的高的垂足應(yīng)落在邊CA的延長(zhǎng)線上，結(jié)合以上性質(zhì)可知選項(xiàng)D正確．解題大招二利用三角形的中線解決與周長(zhǎng)有關(guān)的問(wèn)題的方法三角形的中線分成的兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)之間的關(guān)系：例2在△ABC中，AB＝AC，AC邊上的中線BD把△ABC的周長(zhǎng)分為12cm和15cm的兩部分,求△ABC的各邊長(zhǎng)．解：設(shè)AB＝AC＝xcm，則AD＝CD＝eq\f(1,2)AC＝0.5xcm.(1)如圖①，若AB＋AD＝12cm，則x＋0.5x＝12.解得x＝8，即AB＝AC＝8cm，則CD＝4cm.故BC＝15－4＝11(cm)．此時(shí)AB＋AC＞BC，三角形存在，所以三邊長(zhǎng)分別為8cm，8cm，11cm.(2)如圖②，若AB＋AD＝15cm，則x＋0.5x＝15.解得x＝10，即AB＝AC＝10cm，則CD＝5cm.故BC＝12－5＝7(cm)．顯然此時(shí)三角形存在，所以三邊長(zhǎng)分別為10cm，10cm，7cm.綜上所述，△ABC的三邊長(zhǎng)分別為8cm，8cm，11cm或10cm，10cm，7cm.解題大招三判斷圖形是否具有穩(wěn)定性的方法(1)判斷一個(gè)圖形是否具有穩(wěn)定性，就看它的基本組成部分是不是三角形．若是，則具有穩(wěn)定性；若不是，則不具有穩(wěn)定性．(2)要使除三角形外的其他多邊形具有穩(wěn)定性，需要將其分割為若干個(gè)三角形．例3如圖，小明家有一個(gè)由六條鋼管連接而成的鋼架ABCDEF，為了使這一鋼架穩(wěn)固，他計(jì)劃在鋼架的內(nèi)部用三根鋼管連接使它不變形，請(qǐng)幫助小明解決這個(gè)問(wèn)題．(用三種不同的方法畫(huà)圖說(shuō)明)解：要使鋼架穩(wěn)固，需要將鋼架分割為幾個(gè)三角形，如圖所示．(答案不唯一)培優(yōu)點(diǎn)一利用三角形的中線解決面積問(wèn)題三角形的中線分成的兩個(gè)三角形的面積之間的關(guān)系：例1如圖，△ABC的中線AD，CE相交于點(diǎn)F，若四邊形BDFE的面積是2，則△ACF的面積是2.分析：中線的性質(zhì)：分成的兩個(gè)三角形面積相等→S△CBE＝S△ACDeq\o(→,\s\up7(面積的和差))S△ACF＝S四邊形BDFE.解析：∵CE和AD為△ABC的中線，∴AE＝BE，BD＝CD，∴S△CBE＝eq\f(1,2)S△ABC，S△ACD＝eq\f(1,2)S△ABC，∴S△CBE＝S△ACD，∴S△ACD－S△CDF＝S△CBE－S△CDF，即S△ACF＝S四邊形BDFE＝2.故答案為2.培優(yōu)點(diǎn)二利用面積法探究三角形中高的關(guān)系同一個(gè)三角形的面積相等，所以在三角形的任意兩條邊長(zhǎng)和這兩條邊上的高這四個(gè)