專題13弧長、扇形的面積、圓錐的側(cè)面積壓軸題十種模型全攻略(原卷版+解析)

專題13弧長、扇形的面積、圓錐的側(cè)面積壓軸題十種模型全攻略【考點導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一已知圓心角的度數(shù)，求弧長】 1【考點二已知弧長，求圓心角的度數(shù)】 2【考點三求某點的弧形運動路徑長度】 3【考點四已知圓心角的度數(shù)或弧長，求扇形的面積】 6【考點五求圖形旋轉(zhuǎn)后掃過的面積】 7【考點六求弓形的面積】 9【考點七求其他不規(guī)則圖形的面積】 12【考點八求圓錐的側(cè)面積與底面半徑】 15【考點九求圓錐側(cè)面展開圖的圓心角】 17【考點十圓錐側(cè)面上最短路徑問題】 18【過關(guān)檢測】 22【典型例題】【考點一已知圓心角的度數(shù)，求弧長】例題：（2023秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）已知扇形的半徑為3cm，圓心角為，則該扇形的弧長為cm．【變式訓(xùn)練】1．（2023·浙江湖州·統(tǒng)考一模）一個扇形的半徑為4，圓心角為，則此扇形的弧長為．2．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考中考真題）若扇形的圓心角為，半徑為，則它的弧長為．【考點二已知弧長，求圓心角的度數(shù)】例題：（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考三模）一個扇形的面積為，弧長為，則該扇形的圓心角的度數(shù)為．【變式訓(xùn)練】1．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考二模）扇形的弧長為，半徑是12，該扇形的圓心角為度．2．（2023·浙江溫州·?？既＃┤羯刃伟霃綖?，弧長為，則該扇形的圓心角為．【考點三求某點的弧形運動路徑長度】例題：（2023秋·云南昭通·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以原點O為旋轉(zhuǎn)中心，將順時針旋轉(zhuǎn)得到，其中點與點A對應(yīng)，點與點B對應(yīng)．如果，．則點A經(jīng)過的路徑長度為（含的式子表示）【變式訓(xùn)練】1．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，．將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，若點的對應(yīng)點恰好落在線段上，則點的運動路徑長是cm（結(jié)果用含的式子表示）．

2．（2023·廣東東莞·?？家荒＃┤鐖D，和是兩個完全重合的直角三角板，，斜邊長為．三角板繞直角頂點C順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點落在邊上時，則點所轉(zhuǎn)過的路徑長為．【考點四已知圓心角的度數(shù)或弧長，求扇形的面積】例題：（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）已知扇形的圓心角為，半徑為，則這個扇形的面積是．【變式訓(xùn)練】1．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第十七中學(xué)校?？寄M預(yù)測）一個扇形的弧長是，圓心角是144°，則此扇形的面積是．2．（2023·海南?？凇ず煾街行？既＃┤鐖D，正五邊形的邊長為4，以頂點A為圓心，長為半徑畫圓，則圖中陰影部分的面積是．【考點五求圖形旋轉(zhuǎn)后掃過的面積】例題：（2023·河南安陽·統(tǒng)考一模）如圖，將半徑為，圓心角為的扇形繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到扇形，則掃過的區(qū)域（即圖中陰影部分）的面積為．

【變式訓(xùn)練】1．（2022春·四川德陽·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，將繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到，已知，則線段掃過的圖形（陰影部分）的面積為．2．（2022秋·山東煙臺·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在Rt中，，，，將繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到的位置，使三點在同一條直線上，則直角邊掃過的圖形面積為．【考點六求弓形的面積】例題：（2023·云南昆明·昆明八中?？寄M預(yù)測）如圖，在扇形中，，，則陰影部分的面積是．【變式訓(xùn)練】1．（2023·山東泰安·統(tǒng)考二模）如圖C、D在直徑的半圓上，D為半圓弧的中點，，則陰影部分的面積是

2．（2023·河南周口·校聯(lián)考三模）如圖，在中，，，以中點D為圓心、長為半徑作半圓交線段于點E，則圖中陰影部分的面積為．

【考點七求其他不規(guī)則圖形的面積】例題：（2023春·河南漯河·九年級?？茧A段練習(xí)）圖1是以為直徑的半圓形紙片，，沿著垂直于的半徑剪開，將扇形沿向右平移至扇形，如圖2，其中是的中點，交于點F，則圖中陰影部分的面積為．

【變式訓(xùn)練】1．（2023·河南信陽·統(tǒng)考一模）如圖，正五邊形的邊長為1，分別以點C，D為圓心，長為半徑畫弧，兩弧交于點F，圖中陰影部分的面積為．（結(jié)果保留）

2．（2023·河南南陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在矩形中，，，以D為圓心，以長為半徑畫弧，以C為圓心，以長為半徑畫弧，兩弧恰好交于上的點E處，則陰影部分的面積為．【考點八求圓錐的側(cè)面積與底面半徑】例題：（2023·全國·九年級專題練習(xí)）若圓錐的底面圓半徑為2，母線長為5，則該圓錐的側(cè)面積是．（結(jié)果保留）【變式訓(xùn)練】1．（2023春·云南昭通·九年級統(tǒng)考期中）若圓雉的側(cè)面積為，底面圓半徑為3，則該圓雉的母線長是．2．（2023·廣東梅州·統(tǒng)考一模）若圓錐的底面半徑為3cm，母線長為4cm，則圓錐的側(cè)面積為．（結(jié)果保留π）3．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）已知圓錐側(cè)面展開圖圓心角的度數(shù)是120°，母線長為3，則圓錐的底面圓的半徑是．4．（2023·浙江衢州·統(tǒng)考二模）某個圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為，圓心角為的扇形，則這個圓錐的底面半徑為cm．【考點九求圓錐側(cè)面展開圖的圓心角】例題：（2022秋·廣東惠州·九年級?？茧A段練習(xí)）已知圓錐的底面圓半徑是，母線長是，則圓錐側(cè)面展開的扇形圓心角是．【變式訓(xùn)練】1．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）已知圓錐的母線長5，底面半徑為3，則圓錐的側(cè)面積為，圓錐側(cè)面展開圖形的圓心角是度．2．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）若要制作一個母線長為，底面圓的半徑為的圓錐，則這個圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角度數(shù)是．【考點十圓錐側(cè)面上最短路徑問題】例題：（2023秋·山東東營·九年級東營市勝利第一初級中學(xué)校考期末）如圖，已知圓錐底面半徑為，母線長為，一只螞蟻從處出發(fā)繞圓錐側(cè)面一周（回到原來的位置）所爬行的最短路徑為．（結(jié)果保留根號）

【變式訓(xùn)練】1．（2023春·黑龍江齊齊哈爾·九年級校聯(lián)考期中）如圖，是圓錐底面的直徑，，母線．點為的中點，若一只螞蟻從點處出發(fā)，沿圓錐的側(cè)面爬行到點處，則螞蟻爬行的最短路程為．2．（2022秋·重慶沙坪壩·八年級重慶八中?？计谥校┤鐖D1，一只螞蟻從圓錐底端點A出發(fā)，繞圓錐表面爬行一周后回到點A，將圓錐沿母線OA剪開，其側(cè)面展開圖如圖2所示，若=120°，OA=，則螞蟻爬行的最短距離是．【過關(guān)檢測】一、單選題1．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第四十七中學(xué)?？寄M預(yù)測）一個扇形的半徑是，圓心角是，則此扇形的弧長是（）A． B． C． D．2．（2023·浙江溫州·校聯(lián)考三模）已知圓錐的底面半徑為4，母線長為5，則圓錐的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．3．（2023秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，一塊含有角的直角三角板，在水平桌面上繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)到的位置．若的長為，那么頂點從開始到結(jié)束所經(jīng)過的路徑長為（）

A． B． C． D．4．（2023秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，在扇形中，，半徑，將扇形沿過點的直線折疊，使點恰好落在上的點處，折痕為，則陰影部分的面積為（）

A． B． C． D．5．（2023·遼寧撫順·統(tǒng)考一模）如圖1是一塊弘揚“社會主義核心價值觀”的扇面宜傳展板，該展板的部分示意圖如圖2所示，它是以為圓心，長分別為半徑，圓心角形成的扇面，若，則陰影部分的面愁為（

）

A． B． C． D．二、填空題6．（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）圓錐母線長，底面圓半徑，則圓錐側(cè)面展開圖的圓心角是．7．（2023秋·河北唐山·九年級統(tǒng)考期末）如圖，半圓的直徑，弦，的長為，則的長為．

8．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考中考真題）用半徑為，面積為的扇形紙片，圍成一個圓錐的側(cè)面，則這個圓錐的底面圓的半徑為．9．（2023·吉林長春·校聯(lián)考二模）如圖，是的直徑，，點在上（點不與、重合），過點作的切線交的延長線于點，連接．若，則的長度是（結(jié)果保留）10．（2023秋·河南開封·九年級開封市第十三中學(xué)校考期末）如圖，在中，，，，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)后得，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)后得線段，分別以，為圓心，，長為半徑畫和，連接，則圖中陰影部分面積是．

三、解答題11．（2023秋·河北張家口·七年級統(tǒng)考期末）一個圓被分成三個扇形，其中一個扇形的圓心角為，另外兩個扇形的圓心角度數(shù)的比為．(1)求另外兩個扇形的圓心角；(2)若圓的半徑是，求圓心角為的扇形的面積（結(jié)果保留）．12．（2023春·湖南長沙·九年級校聯(lián)考期中）如圖，在矩形中，點為邊上一點，以點為圓心，為半徑的與對角線相交于點，與邊相交于點，連接，且．

(1)求證：為的切線；(2)若當(dāng)點為的中點時，的半徑為，求陰影部分的面積．13．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，在正方形網(wǎng)格圖中建立一直角坐標(biāo)系，一條圓弧經(jīng)過網(wǎng)格點A、B、C，請在網(wǎng)格中進(jìn)行下列操作：(1)請在圖中確定該圓弧所在圓心D點的位置，D點坐標(biāo)為______；(2)連接，則的半徑為______；扇形的圓心角度數(shù)為______；(3)若扇形是某一個圓錐的側(cè)面展開圖，求該圓錐的底面半徑．14．（2023秋·河南周口·九年級?？计谀﹫D1中的某種冰激凌的外包裝可以視為圓錐（如圖2），制作這種外包裝雷要用如圖3所示的等腰三角形材料，其中，，將扇形EAF圍成圓錐時，AE，AF恰好重合，已知圓錐的底面圓直徑，母線長．(1)求這種加工材料的頂角的大?。?2)求加工材料剩余部分（圖中陰影部分）的面積．（結(jié)果保留）15．（2023秋·江西贛州·九年級統(tǒng)考期末）如圖為的直徑，且，點是弧上的一動點（不與，重合），過點作的切線交的延長線于點，點是的中點，連接．

(1)若，求線段的長度；(2)求證：是的切線；(3)當(dāng)時，求圖中陰影部分面積．

專題13弧長、扇形的面積、圓錐的側(cè)面積壓軸題十種模型全攻略【考點導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一已知圓心角的度數(shù)，求弧長】 1【考點二已知弧長，求圓心角的度數(shù)】 2【考點三求某點的弧形運動路徑長度】 3【考點四已知圓心角的度數(shù)或弧長，求扇形的面積】 6【考點五求圖形旋轉(zhuǎn)后掃過的面積】 7【考點六求弓形的面積】 9【考點七求其他不規(guī)則圖形的面積】 12【考點八求圓錐的側(cè)面積與底面半徑】 15【考點九求圓錐側(cè)面展開圖的圓心角】 17【考點十圓錐側(cè)面上最短路徑問題】 18【過關(guān)檢測】 22【典型例題】【考點一已知圓心角的度數(shù)，求弧長】例題：（2023秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）已知扇形的半徑為3cm，圓心角為，則該扇形的弧長為cm．【答案】/【分析】直接利用弧長公式進(jìn)行計算即可．【詳解】解：，扇形的半徑為3cm，圓心角為，∴扇形的弧長，故答案為：．【點睛】本題主要考查了弧長公式的應(yīng)用，熟練掌握弧長公式：是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·浙江湖州·統(tǒng)考一模）一個扇形的半徑為4，圓心角為，則此扇形的弧長為．【答案】【分析】利用弧長公式進(jìn)行計算即可．【詳解】解：弧長為；故答案為：【點睛】本題考查求弧長．熟練掌握弧長公式，是解題的關(guān)鍵．2．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考中考真題）若扇形的圓心角為，半徑為，則它的弧長為．【答案】【分析】根據(jù)弧長公式即可求解．【詳解】解：扇形的圓心角為，半徑為，∴它的弧長為，故答案為：．【點睛】本題考查了求弧長，熟練掌握弧長公式是解題的關(guān)鍵．【考點二已知弧長，求圓心角的度數(shù)】例題：（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考三模）一個扇形的面積為，弧長為，則該扇形的圓心角的度數(shù)為．【答案】/100度【分析】根據(jù)弧長和扇形面積關(guān)系可得，求出R，再根據(jù)扇形面積公式求解.【詳解】∵一個扇形的弧長是，面積是，∴，即，解得：，∴，解得：，故答案為：．【點睛】本題考查了扇形面積的計算；弧長的計算．熟記公式，理解公式間的關(guān)系是關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練】1．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考二模）扇形的弧長為，半徑是12，該扇形的圓心角為度．【答案】90【分析】設(shè)此扇形的圓心角為，代入弧長公式計算，得到答案．【詳解】解：設(shè)此扇形的圓心角為，由題意得，，解得，，故答案為：90．【點睛】本題考查的是弧長的計算，掌握弧長的公式是解題的關(guān)鍵．2．（2023·浙江溫州·?？既＃┤羯刃伟霃綖?，弧長為，則該扇形的圓心角為．【答案】/90度【分析】設(shè)扇形圓心角的度數(shù)為n，根據(jù)弧長公式即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)扇形圓心角的度數(shù)為n，∵扇形的弧長為2π，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題考查的是扇形的面積公式，熟記扇形的面積公式及弧長公式是解答此題的關(guān)鍵．【考點三求某點的弧形運動路徑長度】例題：（2023秋·云南昭通·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以原點O為旋轉(zhuǎn)中心，將順時針旋轉(zhuǎn)得到，其中點與點A對應(yīng)，點與點B對應(yīng)．如果，．則點A經(jīng)過的路徑長度為（含的式子表示）【答案】【分析】A點坐標(biāo)為已知，求出長度，再利用弧長公式求解即可．【詳解】解：如圖，由題意A點以原點O旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)了點A經(jīng)過的路徑的長度故答案為：．【點睛】本題考查圖形的旋轉(zhuǎn)、弧長等知識點，需要熟練掌握弧長計算公式．【變式訓(xùn)練】1．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，．將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，若點的對應(yīng)點恰好落在線段上，則點的運動路徑長是cm（結(jié)果用含的式子表示）．

【答案】【分析】由于旋轉(zhuǎn)到，故C的運動路徑長是的圓弧長度，根據(jù)弧長公式求解即可．【詳解】以A為圓心作圓弧，如圖所示．

在直角中，，則，則．∴．由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，，又，∴是等邊三角形．∴．由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知，．故弧的長度為：；故答案為：【點睛】本題考查了含角直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、弧長公式等知識點，解題的關(guān)鍵是明確C點的運動軌跡．2．（2023·廣東東莞·?？家荒＃┤鐖D，和是兩個完全重合的直角三角板，，斜邊長為．三角板繞直角頂點C順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點落在邊上時，則點所轉(zhuǎn)過的路徑長為．【答案】【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和和含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，于是可判斷為等邊三角形，所以，然后根據(jù)弧長公式計算弧的長度即可．【詳解】∵，∴，∵三角板繞直角頂點C順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點落在邊上，∴，∴為等邊三角形，∴，∴弧的長度，即點所轉(zhuǎn)過的路徑長為．答案為：．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了弧長公式．【考點四已知圓心角的度數(shù)或弧長，求扇形的面積】例題：（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）已知扇形的圓心角為，半徑為，則這個扇形的面積是．【答案】【詳解】根據(jù)扇形的面積公式即可求解．【分析】解：扇形的面積．故答案是：．【點睛】本題主要考查了扇形的面積公式，熟練掌握扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第十七中學(xué)校?？寄M預(yù)測）一個扇形的弧長是，圓心角是144°，則此扇形的面積是．【答案】【分析】設(shè)該扇形的半徑為，然后根據(jù)弧長公式計算半徑，然后根據(jù)扇形面積公式計算即可．【詳解】解：設(shè)該扇形的半徑為，由題意得：，解得：，，故答案為：．【點睛】本題主要考查弧長計算公式及扇形面積計算公式，熟練掌握弧長計算公式和扇形面積計算公式是解題的關(guān)鍵．2．（2023·海南?？凇ず煾街行？既＃┤鐖D，正五邊形的邊長為4，以頂點A為圓心，長為半徑畫圓，則圖中陰影部分的面積是．【答案】【分析】首先確定扇形的圓心角的度數(shù)，然后利用扇形的面積公式計算即可．【詳解】解：正五邊形的外角和為，每一個外角的度數(shù)為，正五邊形的每個內(nèi)角為，正五邊形的邊長為4，，故答案為：．【點睛】本題考查了正多邊形和圓及扇形的面積的計算的知識，解題的關(guān)鍵是求得正五邊形的內(nèi)角的度數(shù)并牢記扇形的面積計算公式，難度不大．【考點五求圖形旋轉(zhuǎn)后掃過的面積】例題：（2023·河南安陽·統(tǒng)考一模）如圖，將半徑為，圓心角為的扇形繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到扇形，則掃過的區(qū)域（即圖中陰影部分）的面積為．

【答案】【分析】結(jié)合已知條件及旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，根據(jù)面積的和差可得，然后利用扇形面積公式計算即可．【詳解】∵，，∴為等邊三角形，∴，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得，，，則，，，，故答案為：．【點睛】此題考查了扇形的面積及旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，結(jié)合已知條件將陰影部分面積轉(zhuǎn)化為扇形的面積是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022春·四川德陽·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，將繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到，已知，則線段掃過的圖形（陰影部分）的面積為．【答案】/【分析】由于將繞點C旋轉(zhuǎn)得到可見，陰影部分面積為扇形減扇形，分別計算兩扇形面積，在計算其差即可．【詳解】解：從圖中可以看出，線段掃過的圖形面積為一個環(huán)形，環(huán)形中的大圓半徑是，小圓半徑是，圓心角是，所以陰影面積大扇形面積小扇形面積【點睛】本題考查了扇形面積的計算和陰影部分的面積，將陰影部分面積轉(zhuǎn)化為兩扇形面積的查是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·山東煙臺·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在Rt中，，，，將繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到的位置，使三點在同一條直線上，則直角邊掃過的圖形面積為．【答案】【分析】根據(jù)題意可得：，，，因此直角邊掃過的圖形面積為，因為，因此，代入數(shù)值即可求得答案．【詳解】解：根據(jù)題意可得：，，，，所以直角邊掃過的圖形面積為，由于，所以，故答案為：．【點睛】本題考查了軌跡問題，關(guān)鍵是根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，找出掃過的面積構(gòu)成，利用扇形的面積公式計算即可．【考點六求弓形的面積】例題：（2023·云南昆明·昆明八中?？寄M預(yù)測）如圖，在扇形中，，，則陰影部分的面積是．【答案】【分析】利用扇形的面積減去三角形的面積，即可得解．【詳解】∵，，∴．故答案為：．【點睛】本題考查求陰影部分的面積．熟練掌握割補法求面積，是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·山東泰安·統(tǒng)考二模）如圖C、D在直徑的半圓上，D為半圓弧的中點，，則陰影部分的面積是

【答案】【分析】設(shè)的中點為，連接，用扇形的面積減去的面積即可得出結(jié)果．【詳解】解：設(shè)的中點為，連接，

∵C、D在直徑的半圓上，D為半圓弧的中點，，∴，，∴，∴為等邊三角形，∴，過點作，則：，∴，∴陰影部分的面積；故答案為：．【點睛】本題考查求弓形的面積，同時考查了圓周角定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)．將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為扇形的面積減去三角形的面積，是解題的關(guān)鍵．2．（2023·河南周口·校聯(lián)考三模）如圖，在中，，，以中點D為圓心、長為半徑作半圓交線段于點E，則圖中陰影部分的面積為．

【答案】【分析】連接，，然后根據(jù)已知條件求出，，從而得到，最后結(jié)合扇形的面積計算公式求解即可．【詳解】解：如圖，連接，．

∵為直徑，∴．∵，∴，∴，，，∵，∴是等邊三角形，∴，∴陰影部分的面積=．故答案為：．【點睛】本題考查陰影部分面積計算問題，涉及到扇形面積計算，等邊三角形的判定與性質(zhì)，直徑所對的圓周為直角等，掌握扇形面積計算公式是解題關(guān)鍵．【考點七求其他不規(guī)則圖形的面積】例題：（2023春·河南漯河·九年級校考階段練習(xí)）圖1是以為直徑的半圓形紙片，，沿著垂直于的半徑剪開，將扇形沿向右平移至扇形，如圖2，其中是的中點，交于點F，則圖中陰影部分的面積為．

【答案】【分析】根據(jù)題意和圖形，利用勾股定理，可以求得的長，再根據(jù)圖形，可知陰影部分的面積扇形的面積的面積扇形的面積，計算即可．【詳解】解：連接，

由題意可得，，，，，，，陰影部分的面積是：，故答案為：．【點睛】本題考查扇形面積的計算、平移的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．【變式訓(xùn)練】1．（2023·河南信陽·統(tǒng)考一模）如圖，正五邊形的邊長為1，分別以點C，D為圓心，長為半徑畫弧，兩弧交于點F，圖中陰影部分的面積為．（結(jié)果保留）

【答案】【分析】連接，，由，得，求出，根據(jù)公式求出，即可得到陰影面積．【詳解】如圖，連接，，由題意，得，，，，，，，，，故答案為：．

【點睛】此題考查了求不規(guī)則圖形的面積，扇形面積公式，正多邊形的性質(zhì)，正確理解圖形面積的計算方法連接輔助線是解題的關(guān)鍵．2．（2023·河南南陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在矩形中，，，以D為圓心，以長為半徑畫弧，以C為圓心，以長為半徑畫弧，兩弧恰好交于上的點E處，則陰影部分的面積為．【答案】【分析】如圖，連接，根據(jù)勾股定理，得，根據(jù)陰影部分的面積為：扇形的面積減去，根據(jù)的等于扇形的面積減去，即可求解．【詳解】解：連接，如圖：四邊形是矩形，，，，，，扇形的面積為：，∵，陰影部分的面積為：．故答案為：．【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)，扇形的面積，三角形面積，解題的關(guān)鍵是掌握扇形的面積公式，矩形的性質(zhì)．【考點八求圓錐的側(cè)面積與底面半徑】例題：（2023·全國·九年級專題練習(xí)）若圓錐的底面圓半徑為2，母線長為5，則該圓錐的側(cè)面積是．（結(jié)果保留）【答案】【分析】根據(jù)圓錐的底面圓半徑為2，母線長為5，直接利用圓錐的側(cè)面積公式求出即可．【詳解】解：根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式：，故答案為：．【點睛】本題主要考查了圓錐側(cè)面面積的計算，熟練記憶圓錐的側(cè)面積公式是解決問題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·云南昭通·九年級統(tǒng)考期中）若圓雉的側(cè)面積為，底面圓半徑為3，則該圓雉的母線長是．【答案】4【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面積，列出方程求解即可．【詳解】解：∵圓錐的側(cè)面積為，底面半徑為3，．解得：，故答案為：4．【點睛】本題考查了圓錐的側(cè)面積，解題關(guān)鍵是熟記圓錐的側(cè)面積公式，列出方程進(jìn)行求解．2．（2023·廣東梅州·統(tǒng)考一模）若圓錐的底面半徑為3cm，母線長為4cm，則圓錐的側(cè)面積為．（結(jié)果保留π）【答案】【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式計算即可．【詳解】解：∵圓錐的底面半徑為3cm，母線長為4cm，∴圓錐的側(cè)面積為．故答案為：．【點睛】本題主要考查了圓錐的側(cè)面積，屬于簡單題，熟練掌握扇形面積公式是解題關(guān)鍵．3．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）已知圓錐側(cè)面展開圖圓心角的度數(shù)是120°，母線長為3，則圓錐的底面圓的半徑是．【答案】1【分析】設(shè)該圓錐的底面半徑為r，利用圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長和弧長公式得到，然后解關(guān)于r的方程即可．【詳解】設(shè)該圓錐的底面半徑為r，根據(jù)題意得，解得．故答案為1．【點睛】本題考查圓錐的計算，解題的關(guān)鍵是知道圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．4．（2023·浙江衢州·統(tǒng)考二模）某個圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為，圓心角為的扇形，則這個圓錐的底面半徑為cm．【答案】2【分析】把扇形的弧長等于圓錐底面周長作為相等關(guān)系，列方程求解．【詳解】解：設(shè)此圓錐的底面半徑為，根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖扇形的弧長等于圓錐底面周長可得，，故答案為．【點睛】此題考查了圓的周長和圓弧長的計算，熟練掌握它們的計算公式是解題的關(guān)鍵．【考點九求圓錐側(cè)面展開圖的圓心角】例題：（2022秋·廣東惠州·九年級?？茧A段練習(xí)）已知圓錐的底面圓半徑是，母線長是，則圓錐側(cè)面展開的扇形圓心角是．【答案】/度【分析】根據(jù)圓錐的底面周長，就是圓錐的側(cè)面展開圖的弧長，利用弧長公式可得圓錐側(cè)面展開圖的角度，把相關(guān)數(shù)值代入即可求解．【詳解】解：∵圓錐底面半徑是，∴圓錐的底面周長為，設(shè)圓錐的側(cè)面展開的扇形圓心角為，∴，解得：，∴圓錐側(cè)面展開的扇形圓心角是．故答案為：．【點睛】本題考查求圓錐側(cè)面展開圖的圓心角．掌握圓錐的側(cè)面展開圖的弧長等于圓錐的底面周長是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）已知圓錐的母線長5，底面半徑為3，則圓錐的側(cè)面積為，圓錐側(cè)面展開圖形的圓心角是度．【答案】216【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式即可求解該圓錐的側(cè)面積；結(jié)合弧長公式求出圓錐側(cè)面展開圖形的圓心角即可．【詳解】解：圓錐的側(cè)面積，圓錐的底面周長，扇形圓心角．故答案為：，216．【點睛】本題主要考查了圓錐的計算，解題的關(guān)鍵是弄清圓錐的側(cè)面積的計算方法，特別是圓錐的底面周長等于圓錐的側(cè)面扇形的弧長．2．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）若要制作一個母線長為，底面圓的半徑為的圓錐，則這個圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角度數(shù)是．【答案】/160度【分析】利用圓錐側(cè)面展開圖，扇形圓心角與母線和底面圓半徑的關(guān)系計算，即可求解．【詳解】解：設(shè)這個圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角的度數(shù)是n，根據(jù)題意得：，解得，即這個圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角是，故答案為：．【點睛】本題考查了圓錐側(cè)面展開圖，扇形圓心角與母線和底面圓半徑的關(guān)系，明確圓錐的底面圓的周長＝扇形的弧長是解答本題的關(guān)鍵．【考點十圓錐側(cè)面上最短路徑問題】例題：（2023秋·山東東營·九年級東營市勝利第一初級中學(xué)?？计谀┤鐖D，已知圓錐底面半徑為，母線長為，一只螞蟻從處出發(fā)繞圓錐側(cè)面一周（回到原來的位置）所爬行的最短路徑為．（結(jié)果保留根號）

【答案】【分析】把圓錐的側(cè)面展開得到圓心角為120°，半徑為60的扇形，求出扇形中120°的圓心角所對的弦長即為最短路徑．【詳解】解：圓錐的側(cè)面展開如圖：過作,∴

設(shè)∠ASB＝n°，即：，得：，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了圓錐側(cè)面展開圖的圓心角，特殊角的銳角三角函數(shù)值，將圓錐中的數(shù)據(jù)對應(yīng)到展開圖中是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·黑龍江齊齊哈爾·九年級校聯(lián)考期中）如圖，是圓錐底面的直徑，，母線．點為的中點，若一只螞蟻從點處出發(fā)，沿圓錐的側(cè)面爬行到點處，則螞蟻爬行的最短路程為．【答案】/【分析】先畫出圓錐側(cè)面展開圖（見解析），再利用弧長公式求出圓心角的度數(shù)，然后利用等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理可得，最后根據(jù)兩點之間線段最短即可得．【詳解】畫出圓錐側(cè)面展開圖如下：如圖，連接、，設(shè)圓錐側(cè)面展開圖的圓心角的度數(shù)為，因為圓錐側(cè)面展開圖是一個扇形，扇形的弧長等于底面圓的周長，扇形的半徑等于母線長，所以，解得，則，又，是等邊三角形，點為的中點，，，在中，，由兩點之間線段最短可知，螞蟻爬行的最短路程為，故答案為：．【點睛】本題考查了圓錐側(cè)面展開圖、弧長公式、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識點，熟練掌握圓錐側(cè)面展開圖是解題關(guān)鍵．2．（2022秋·重慶沙坪壩·八年級重慶八中校考期中）如圖1，一只螞蟻從圓錐底端點A出發(fā)，繞圓錐表面爬行一周后回到點A，將圓錐沿母線OA剪開，其側(cè)面展開圖如圖2所示，若=120°，OA=，則螞蟻爬行的最短距離是．【答案】3【分析】連接，作于點，根據(jù)題意，結(jié)合兩點之間線段最短，得出即為螞蟻爬行的最短距離，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出，再根據(jù)直角三角形中所對的直角邊等于斜邊的一半，得出，再根據(jù)勾股定理，得出，再根據(jù)三線合一的性質(zhì)，得出，再根據(jù)線段之間的數(shù)量關(guān)系，得出即可解答．【詳解】解：如圖，連接，作于點，∴即為螞蟻爬行的最短距離，∵，，∴，在中，，，∴，∴，在中，，，∴，∴．∴螞蟻爬行的最短距離為3．故答案為：3【點睛】本題考查了圓錐側(cè)面上最短路徑問題、三角形的內(nèi)角和定理、直角三角形的特征、勾股定理、三線合一的性質(zhì)等知識點，正確作出輔助線、構(gòu)造等腰三角形和直角三角形是解題的關(guān)鍵．【過關(guān)檢測】一、單選題1．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第四十七中學(xué)?？寄M預(yù)測）一個扇形的半徑是，圓心角是，則此扇形的弧長是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)弧長公式進(jìn)行計算即可．【詳解】解：由題意得，扇形的半徑為，圓心角為，故此扇形的弧長為，故選：A．【點睛】此題考查了扇形弧長的計算，屬于基礎(chǔ)題，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握弧長計算公式，難度一般．2．（2023·浙江溫州·校聯(lián)考三模）已知圓錐的底面半徑為4，母線長為5，則圓錐的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】圓錐的側(cè)面積＝×底面半徑×母線長，把相關(guān)數(shù)值代入即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意可得：圓錐的側(cè)面積為：，故選：D．【點睛】本題考查了圓錐的側(cè)面積展開圖公式，解題的關(guān)鍵是掌握圓錐的側(cè)面積的計算公式：圓錐的側(cè)面積＝×底面半徑×母線長．3．（2023秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，一塊含有角的直角三角板，在水平桌面上繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)到的位置．若的長為，那么頂點從開始到結(jié)束所經(jīng)過的路徑長為（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】頂點從開始到結(jié)束所經(jīng)過的路徑是一段弧長是以點為圓心，為半徑的圓弧，旋轉(zhuǎn)的角度是，所以根據(jù)弧長公式可得．【詳解】解：在含有角的直角三角板中，，，，，，故選：A．【點睛】本題考查弧長公式，解題的關(guān)鍵是弄準(zhǔn)弧長的半徑和圓心角的度數(shù)．4．（2023秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，在扇形中，，半徑，將扇形沿過點的直線折疊，使點恰好落在上的點處，折痕為，則陰影部分的面積為（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，由折疊的性質(zhì)可得，從而得到為等邊三角形，再求出，從而得出，進(jìn)行得出，最后由與面積相等及，進(jìn)行計算即可得到答案．【詳解】解：如圖，連接，

，根據(jù)折疊的性質(zhì)，，，為等邊三角形，，，，，，與面積相等，，故選：B．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、扇形面積的計算—求不規(guī)則圖形的面積，添加適當(dāng)?shù)妮o助線，得到是解題的關(guān)鍵．5．（2023·遼寧撫順·統(tǒng)考一模）如圖1是一塊弘揚“社會主義核心價值觀”的扇面宜傳展板，該展板的部分示意圖如圖2所示，它是以為圓心，長分別為半徑，圓心角形成的扇面，若，則陰影部分的面愁為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)計算即可．【詳解】故選：D．【點睛】本題考查的是扇形面積的計算，掌握扇形的面積公式是解題的關(guān)鍵．二、填空題6．（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）圓錐母線長，底面圓半徑，則圓錐側(cè)面展開圖的圓心角是．【答案】/90度【分析】根據(jù)弧長公式，弧長與圓錐底面圓的周長相等，建立等式計算即可．【詳解】∵圓錐母線長，底面圓半徑，圓錐側(cè)面展開圖的圓心角，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了圓錐的側(cè)面展開，弧長公式，熟練掌握展開的特點，牢記弧長公式是解題的關(guān)鍵．7．（2023秋·河北唐山·九年級統(tǒng)考期末）如圖，半圓的直徑，弦，的長為，則的長為．

【答案】【分析】由題意可知：是等邊三角形，從而可求出弧的長度，再求出半圓弧的長度后，即可求出弧的長度．【詳解】解：連接、，

，是等邊三角形，，的長，又半圓弧的長度為：，．故答案為：【點睛】本題考查圓了弧長的計算，等邊三角形的性質(zhì)等知識，屬于中等題型．8．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考中考真題）用半徑為，面積為的扇形紙片，圍成一個圓錐的側(cè)面，則這個圓錐的底面圓的半徑為．【答案】【分析】應(yīng)為圓錐側(cè)面母線的長就是側(cè)面展開扇形的半徑，利用圓錐側(cè)面面積公式：，就可以求出圓錐的底面圓的半徑．【詳解】解：設(shè)圓錐底面圓的半徑為，，由扇形的面積：，得：故答案為：【點睛】本題考查了圓錐側(cè)面面積的相關(guān)計算，熟練掌握圓錐側(cè)面面積的計算公式是解題的關(guān)鍵，注意用扇形圍成的圓錐，扇形的半徑就是圓錐的母線．9．（2023·吉林長春·校聯(lián)考二模）如圖，是的直徑，，點在上（點不與、重合），過點作的切線交的延長線于點，連接．若，則的長度是（結(jié)果保留）【答案】/【分析】連接，根據(jù)切線的性質(zhì)，得出，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，得出，即，再根據(jù)圓的基本概念，得出，再根據(jù)弧長公式，計算即可．【詳解】解：如圖，連接，∵是的切線，∴，∴，又∵，∴，即，又∵是的直徑，，∴，∴的長度為：．故答案為：．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、弧長公式，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)定理．10．（2023秋·河南開封·九年級開封市第十三中學(xué)?？计谀┤鐖D，在中，，，，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)后得，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)后得線段，分別以，為圓心，，長為半徑畫和，連接，則圖中陰影部分面積是．

【答案】【分析】作于點，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)面積和差計算即可．【詳解】如圖，過作于，

∵，，，∴由勾股定理得：，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，，∵，∴，∴，∴，∴，，，，故答案為：．【點睛】此題考查了扇形面積的計算、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與判定，掌握扇形的面積公式和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三、解答題11．（2023秋·河北張家口·七年級統(tǒng)考期末）一個圓被分成三個扇形，其中一個扇形的圓心角為，另外兩個扇形的圓心角度數(shù)的比為．(1)求另外兩個扇形的圓心角；(2)若圓的半徑是，求圓心角為的扇形的面積（結(jié)果保留）．【答案】(1)和(2)【分析】（1）設(shè)另外兩個扇形的圓心角度數(shù)分別為度與度，根據(jù)周角為，即可求得x的值，從而求得另外兩個扇形圓心角度數(shù)；（2）利用扇形面積公式計算即可．【詳解】（1）解：設(shè)另外兩個扇形的圓心角度數(shù)分別為度與度，由題意得：，解得：，另外兩個扇形的圓心角分別為：答：另外兩個扇形的圓心角分別為和．（2）解：由扇形面積公式得：，答：圓心角為的扇形的面積．【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用、求扇形面積等知識，題目較簡單，是基礎(chǔ)題，掌握這些知識是關(guān)鍵．12．（2023春·湖南長沙·九年級校聯(lián)考期中）如圖，在矩形中，點為邊上一點，以點為圓心，為半徑的與對角線相交于點，與邊相交于點，連接，且．

(1)求證：為的切線；(2)若當(dāng)點為的中點時，的半徑為，求陰影部分的面積．【答案】(1)見詳解；(2)．【分析】（1）連接，得到，利用等角代換證明，從而