專(zhuān)題04填空壓軸題：數(shù)字問(wèn)題(原卷版+解析)

專(zhuān)題04填空壓軸題：數(shù)字問(wèn)題一、填空題（28題）1．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）如果一個(gè)四位自然數(shù)的各數(shù)位上的數(shù)字互不相等且均不為0，滿足，那么稱(chēng)這個(gè)四位數(shù)為“遞減數(shù)”．例如：四位數(shù)4129，∵，∴4129是“遞減數(shù)”；又如：四位數(shù)5324，∵，∴5324不是“遞減數(shù)”．若一個(gè)“遞減數(shù)”為，則這個(gè)數(shù)為；若一個(gè)“遞減數(shù)”的前三個(gè)數(shù)字組成的三位數(shù)與后三個(gè)數(shù)字組成的三位數(shù)的和能被9整除，則滿足條件的數(shù)的最大值是．2．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）對(duì)于一個(gè)四位自然數(shù)M，若它的千位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字多6，百位數(shù)字比十位數(shù)字多2，則稱(chēng)M為“天真數(shù)”．如：四位數(shù)7311，∵，，∴7311是“天真數(shù)”；四位數(shù)8421，∵，∴8421不是“天真數(shù)”，則最小的“天真數(shù)”為；一個(gè)“天真數(shù)”M的千位數(shù)字為a，百位數(shù)字為b，十位數(shù)字為c，個(gè)位數(shù)字為d，記，，若能被10整除，則滿足條件的M的最大值為．3．（2022·重慶·統(tǒng)考中考真題）特產(chǎn)專(zhuān)賣(mài)店銷(xiāo)售桃片、米花糖、麻花三種特產(chǎn)，其中每包桃片的成本是麻花的2倍，每包桃片、米花糖、麻花的售價(jià)分別比其成本高20%、30%、20%．該店五月份銷(xiāo)售桃片、米花糖、麻花的數(shù)量之比為1∶3∶2，三種特產(chǎn)的總利潤(rùn)是總成本的25%，則每包米花糖與每包麻花的成本之比為．4．（2022·重慶·統(tǒng)考中考真題）為進(jìn)一步改善生態(tài)環(huán)境，村委會(huì)決定在甲、乙、丙三座山上種植香樟和紅楓．初步預(yù)算，這三座山各需兩種樹(shù)木數(shù)量和之比為，需香樟數(shù)量之比為，并且甲、乙兩山需紅楓數(shù)量之比為．在實(shí)際購(gòu)買(mǎi)時(shí)，香樟的價(jià)格比預(yù)算低，紅楓的價(jià)格比預(yù)算高，香樟購(gòu)買(mǎi)數(shù)量減少了，結(jié)果發(fā)現(xiàn)所花費(fèi)用恰好與預(yù)算費(fèi)用相等，則實(shí)際購(gòu)買(mǎi)香樟的總費(fèi)用與實(shí)際購(gòu)買(mǎi)紅楓的總費(fèi)用之比為．5．（2021·重慶·統(tǒng)考中考真題）某銷(xiāo)售商五月份銷(xiāo)售A、B、C三種飲料的數(shù)量之比為3：2：4，A、B、C三種飲料的單價(jià)之比為1：2：1．六月份該銷(xiāo)售商加大了宣傳力度，并根據(jù)季節(jié)對(duì)三種飲料的價(jià)格作了適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，預(yù)計(jì)六月份三種飲料的銷(xiāo)售總額將比五月份有所增加，A飲料增加的銷(xiāo)售占六月份銷(xiāo)售總額的，B、C飲料增加的銷(xiāo)售額之比為2：1．六月份A飲料單價(jià)上調(diào)20%且A飲料的銷(xiāo)售額與B飲料的銷(xiāo)售額之比為2：3，則A飲料五月份的銷(xiāo)售數(shù)量與六月份預(yù)計(jì)的銷(xiāo)售數(shù)量之比為．6．（2021·重慶·統(tǒng)考中考真題）盲盒為消費(fèi)市場(chǎng)注入了活力，既能夠營(yíng)造消費(fèi)者購(gòu)物過(guò)程中的趣味體驗(yàn)，也為商家實(shí)現(xiàn)銷(xiāo)售額提升拓展了途徑．某商家將藍(lán)牙耳機(jī)、多接口優(yōu)盤(pán)、迷你音箱共22個(gè)，搭配為A，B，C三種盲盒各一個(gè)，其中A盒中有2個(gè)藍(lán)牙耳機(jī)，3個(gè)多接口優(yōu)盤(pán)，1個(gè)迷你音箱；B盒中藍(lán)牙耳機(jī)與迷你音箱的數(shù)量之和等于多接口優(yōu)盤(pán)的數(shù)量，藍(lán)牙耳機(jī)與迷你音箱的數(shù)量之比為3：2；C盒中有1個(gè)藍(lán)牙耳機(jī)，3個(gè)多接口優(yōu)盤(pán)，2個(gè)迷你音箱．經(jīng)核算，A盒的成本為145元，B盒的成本為245元（每種盲盒的成本為該盒中藍(lán)牙耳機(jī)、多接口優(yōu)盤(pán)、迷你音箱的成本之和），則C盒的成本為元．7．（2023·重慶沙坪壩·重慶八中?？家荒＃┮粋€(gè)數(shù)位大于等于4的多位數(shù)n，規(guī)定其末三位數(shù)與末三位數(shù)以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差記為，則；若能被11整除，則這個(gè)多位數(shù)就一定能被11整除，反之，一個(gè)數(shù)位大于等于4的多位數(shù)n能被11整除，則n的末三位數(shù)與末三位數(shù)以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差一定能被11整除．若兩個(gè)四位數(shù)s，t，其中s能被11整除，且，t的千位數(shù)字為，百位數(shù)字為4，十位數(shù)字為3，個(gè)位數(shù)字為（a，b，c均為整數(shù)），規(guī)定，當(dāng)時(shí)，則的最小值為．8．（2023·重慶沙坪壩·重慶一中?？家荒＃┮粋€(gè)四位正整數(shù)，其中，，，，且，，，均為整數(shù)．的千位數(shù)字與十位數(shù)字之和等于百位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字之和，將的千位數(shù)字和百位數(shù)字組成的兩位數(shù)記為，十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字組成的兩位數(shù)記為．記的千位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字的乘積為，百位數(shù)字與十位數(shù)字的乘積為．若被7除余4，則，在此條件下，當(dāng)（為整數(shù)）時(shí)，最大的四位正整數(shù)．9．（2023·重慶九龍坡·重慶市育才中學(xué)?？家荒＃┤粢粋€(gè)四位數(shù)的千位與百位之差等于2，十位與個(gè)位之差等于4，稱(chēng)這個(gè)四位數(shù)是“差2倍數(shù)”，若四位數(shù)的千位與百位之差等于3，十位與個(gè)位之差等于6，稱(chēng)這個(gè)四位數(shù)是“差3倍數(shù)”，若數(shù)p，q分別為“差2倍數(shù)”和“差3倍數(shù)”，它們的個(gè)位數(shù)字均為3，p，q的各數(shù)位數(shù)字之和分別記為和，，若為整數(shù)，此時(shí)的最大值為．10．（2023·重慶九龍坡·重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考一模）對(duì)于一個(gè)各數(shù)位數(shù)字均不為零的四位自然數(shù)m，若千位與百位數(shù)字之和等于十位與個(gè)數(shù)位數(shù)字之和，則稱(chēng)m為“一致數(shù)”．設(shè)一個(gè)“一致數(shù)”滿足且，將m的千位與十位數(shù)字對(duì)調(diào)，百位與個(gè)位數(shù)字對(duì)調(diào)得到新數(shù)，并記；一個(gè)兩位數(shù)，將N的各個(gè)數(shù)位數(shù)字之和記為；當(dāng)（k為整數(shù)）時(shí)，則所有滿足條件的“一致數(shù)”m中，滿足為偶數(shù)時(shí)，k的值為，m的值為．11．（2023·重慶南岸·統(tǒng)考一模）如果兩個(gè)兩位數(shù)和，將它們各自的十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字交換位置后得到兩個(gè)完全不同的新和，這兩個(gè)兩位數(shù)的乘積與交換后的兩個(gè)兩位數(shù)的乘積相等，則稱(chēng)這樣的兩個(gè)兩位數(shù)為一對(duì)“友誼數(shù)對(duì)”，例如：，所以，26和93是一對(duì)“友誼數(shù)對(duì)”．（1）若和是一對(duì)“友誼數(shù)對(duì)”，則a，b，c，d之間滿足的等量關(guān)系為；（2）若和是一對(duì)“友誼數(shù)對(duì)”，其中，，，，則這兩個(gè)兩位數(shù)分別是．12．（2023·重慶沙坪壩·統(tǒng)考一模）一個(gè)各位數(shù)字都不為0且互不相等的四位自然數(shù)，若千位與個(gè)位數(shù)字之和等于百位與十位數(shù)字之和，則稱(chēng)這個(gè)四位數(shù)為“均衡數(shù)”．將“均衡數(shù)”的千位與百位數(shù)字對(duì)調(diào)，十位與個(gè)位數(shù)字對(duì)調(diào)得到新數(shù)．記，，，均為整數(shù)，求滿足條件的的最大值是．13．（2023·重慶開(kāi)州·校聯(lián)考一模）如果一個(gè)四位自然數(shù)M的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字均不為0，且滿足千位數(shù)字與十位數(shù)字的和為10，百位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字的差為1，那么稱(chēng)M為“和差數(shù)”．“和差數(shù)”M的千位數(shù)字的二倍與個(gè)位數(shù)字的和記為，百位數(shù)字與十位數(shù)字的和記為，令，當(dāng)為整數(shù)時(shí)，則稱(chēng)M為“整和差數(shù)”．若（其中，，，且a、b、c、d均為整數(shù)）是“整和差數(shù)”，則滿足條件的M的最小值為．14．（2023·重慶合川·?？家荒＃┤粢粋€(gè)四位正整數(shù)滿足：，我們就稱(chēng)該數(shù)是“交替數(shù)”，則最小的“交替數(shù)”是；若一個(gè)“交替數(shù)”m滿足千位數(shù)字與百位數(shù)字的平方差是15，且十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)的和能被5整除．則滿足條件的“交替數(shù)”m的最大值為．15．（2023·重慶九龍坡·統(tǒng)考一模）對(duì)于一個(gè)四位自然數(shù)N，其千位數(shù)字為a，百位數(shù)字為b，十位數(shù)字為c，個(gè)位數(shù)字為d，各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字均不相同且均不為0．將自然數(shù)N的千位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字組成一個(gè)兩位數(shù)，記為A；百位數(shù)字和十位數(shù)字組成另一個(gè)兩位數(shù)字，記為B，若A與B的和等于N的千位數(shù)字與百位數(shù)字之和的11倍，則稱(chēng)N為“坎數(shù)”．例如：6345，，，，，所以6345是“坎數(shù)”．若N為“坎數(shù)”，且，當(dāng)為9的倍數(shù)時(shí)，則所有満足條件的N的最大值為．16．（2023·重慶巴南·統(tǒng)考一模）一個(gè)三位數(shù)，若滿足百位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字之和為10，則稱(chēng)它為“合十?dāng)?shù)”．例如，對(duì)于258，因?yàn)?，所?58是“合十?dāng)?shù)”．在“合十?dāng)?shù)”n中，十位數(shù)字的2倍與個(gè)位數(shù)字之和再減去百位數(shù)字的差記為，百位數(shù)字與十位數(shù)字之和再減去個(gè)位數(shù)字的差記為，若“合十?dāng)?shù)”n滿足，則滿足條件的“合十?dāng)?shù)”n的值為．17．（2023·重慶渝中·重慶巴蜀中學(xué)?？家荒＃┤粢粋€(gè)各位數(shù)字均不為的四位數(shù)（，，，，，，為整數(shù)）滿足：把的千位數(shù)字作為十位數(shù)字，的十位數(shù)字作為個(gè)位數(shù)字組成的兩位數(shù)與的和記作，的千位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字的倍的和記作，如果的各位數(shù)字之和與的和是一個(gè)正整數(shù)的平方，則稱(chēng)這個(gè)四位數(shù)為“賡續(xù)數(shù)”，正整數(shù)稱(chēng)“賡續(xù)元素”；當(dāng)，時(shí)，最小“賡續(xù)數(shù)”為；若“賡續(xù)數(shù)”滿足前兩位數(shù)字之和與后兩位數(shù)字之和相等，且為整數(shù)，則滿足條件的最大為.18．（2023·重慶九龍坡·重慶市育才中學(xué)校聯(lián)考二模）一個(gè)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字均不為0的四位正整數(shù)，若千位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字之和是百位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字之和的2倍，則稱(chēng)這個(gè)四位數(shù)為“倍和數(shù)”，對(duì)于“倍和數(shù)”m，任意去掉一個(gè)數(shù)位上的數(shù)字，得到四個(gè)三位數(shù)，這四個(gè)三位數(shù)的和記為．（1）；（2）若“倍和數(shù)”m千位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字之和為8，且能被7整除，則所有滿足條件的“倍和數(shù)”用的最大值與最小值的差為．19．（2023·重慶渝中·重慶巴蜀中學(xué)校考二模）一個(gè)兩位正整數(shù)，將其個(gè)位與十位上的數(shù)交換位置后，放在原數(shù)的后面組成一個(gè)四位數(shù)m，那么我們把這個(gè)四位數(shù)稱(chēng)為“順利數(shù)”，并規(guī)定為交換位置后組成的兩位數(shù)與原兩位數(shù)的平方差；例如：將27交換位置后為72，則2772是一個(gè)“順利數(shù)”，且．若四位正整數(shù)n，n的千位數(shù)字為a，百位數(shù)字為b，十位數(shù)字為c，個(gè)位數(shù)字為d，其中a，b，c，d為整數(shù)，，且，以n的十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字組成兩位數(shù)，交換位置后放在此兩位數(shù)之后組成的數(shù)為“順利數(shù)”s，若，則的值為；滿足條件的所有數(shù)n的最大值為．20．（2023·重慶·重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考二模）一個(gè)兩位自然數(shù)，若各位數(shù)字之和小于等于9，則稱(chēng)為“完美數(shù)”，將m的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字相加所得的數(shù)放在m的前面，得到一個(gè)新數(shù)，那么稱(chēng)為m的“前置完美數(shù)”；將m的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字相加所得的數(shù)放在m的后面，得到一個(gè)新數(shù)，那么稱(chēng)為m的“后置充美數(shù)”．記，例如：時(shí)，，，．請(qǐng)計(jì)算；已知兩個(gè)“完美數(shù)”，，若是一個(gè)完全平方數(shù)，且，則n的最大值為．21．（2023·重慶大渡口·統(tǒng)考二模）若一個(gè)四位數(shù)M的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字的平方差恰好是M去掉個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字后得到的兩位數(shù)，則這個(gè)四位數(shù)M為“平方差數(shù)”．一個(gè)“平方差數(shù)”M的千位數(shù)字為a，百位數(shù)字為b，十位數(shù)字為c，個(gè)位數(shù)字為d，記，且．當(dāng)均是整數(shù)時(shí)，當(dāng)滿足條件的M取得最大值時(shí)，，最大值為．22．（2023·重慶江津·重慶市江津中學(xué)校?？级＃?duì)于一個(gè)各數(shù)位上的數(shù)字均不為零且互不相等的數(shù)，將它各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字分別平方后取其個(gè)位數(shù)字，得到一個(gè)新的數(shù)，稱(chēng)為的“趣味數(shù)”，并規(guī)定，（其中、為非零常數(shù)）．例如，其各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字分別平方后數(shù)的個(gè)位數(shù)字分別是4、9、6，則234的“趣味數(shù)”，已知，，則，對(duì)于一個(gè)兩位數(shù)和一個(gè)三位數(shù)，在的十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字中間插入一個(gè)數(shù)，得到一個(gè)新的三位數(shù)，若是的9倍，且是的趣味數(shù)，則的最小值＝．23．（2023·重慶九龍坡·重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？既＃┮粋€(gè)四位數(shù)，若千位上的數(shù)字與百位上的數(shù)字之和與十位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字之和的積等于60，則稱(chēng)這個(gè)四位數(shù)為“六秩數(shù)”，例如，對(duì)于四位數(shù)1537，∵，∴1537為“六秩數(shù)”．若，，記，則；若N是一個(gè)“六秩數(shù)”，且是一個(gè)完全平方數(shù)，記，則的最大值與最小值的差為．24．（2023·重慶·三模）若一個(gè)四位數(shù)M的個(gè)位數(shù)字、十位數(shù)字、百位數(shù)字之和為12，則稱(chēng)這個(gè)四位數(shù)M為“永恒數(shù)”．將“永恒數(shù)”M的千位數(shù)字與百位數(shù)字交換順序，十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字交換順序得到一個(gè)新的四位數(shù)N，并規(guī)定．若一個(gè)“永恒數(shù)”M的百位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字之差恰為千位數(shù)字，且為整數(shù)，則的最大值為．25．（2023·重慶沙坪壩·重慶一中?？既＃┤粢粋€(gè)四位自然數(shù)M的千位數(shù)字的平方恰好等于百位數(shù)字、十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字的和，則稱(chēng)這個(gè)四位數(shù)M為“君和數(shù)”．若“君和數(shù)”且，將“君和數(shù)”M的千位與百位數(shù)字對(duì)調(diào)，十位與個(gè)位數(shù)字對(duì)調(diào)得到新數(shù)N，規(guī)定，，若，均為整數(shù)，則的值為，M的值為．26．（2023·重慶渝中·重慶巴蜀中學(xué)?？既＃?duì)于四位數(shù)，若千位上的數(shù)字與百位上的數(shù)字的差的兩倍等于十位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字的差，則把叫做“雙倍差數(shù)”，將“雙倍差數(shù)”的個(gè)位數(shù)字去掉得到的數(shù)記為，將千位數(shù)字去掉得到的數(shù)記為，并規(guī)定，則；若一個(gè)四位數(shù)（，，，，a，b，c，d均為整數(shù)）是“雙倍差數(shù)”，且除以13余1，則滿足條件的M的最大值為．27．（2023·重慶九龍坡·重慶市育才中學(xué)校聯(lián)考三模）對(duì)任意一個(gè)四位數(shù)m，如果m各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字都不為零且互不相同，滿足個(gè)位與千位上的數(shù)字的和等于十位與百位上的數(shù)字和，那么稱(chēng)這個(gè)數(shù)為“同和數(shù)”，將一個(gè)“同和數(shù)”m的個(gè)位與千位兩個(gè)數(shù)位上的數(shù)字對(duì)調(diào)后得到一個(gè)新的四位數(shù)，將m的十位與百位兩個(gè)數(shù)位上的數(shù)字對(duì)調(diào)后得到另一個(gè)新四位數(shù)，記．若s，t都是“同和數(shù)”，其中，（，y，e，），且x，y，e，f都是正整數(shù)，規(guī)定：，用含“x，f”的代數(shù)式表示，當(dāng)能被20整除時(shí)，k的所有取值之積為．28．（2023·重慶渝中·統(tǒng)考二模）“回文詩(shī)”即正念倒念都有意思，均成文章的詩(shī)，如：云邊月影沙邊雁，水外天光山外樹(shù)．倒過(guò)來(lái)念即“樹(shù)外山光天外水，雁邊沙影月邊云”，其意境與韻味讀起來(lái)都是一種美的享受，在數(shù)學(xué)中也有這樣一類(lèi)數(shù)有這樣的特征，即正讀倒讀都一樣的自然數(shù)，我們稱(chēng)之為“回文數(shù)”．例如11，232，3443等．如果一個(gè)“回文數(shù)”m是另外一個(gè)正整數(shù)n的平方，則稱(chēng)m為“平方回?cái)?shù)”．若x是一個(gè)千位數(shù)字為2的四位數(shù)的“回文數(shù)”，記．若是一個(gè)“平方回?cái)?shù)”，則x的值為．

專(zhuān)題04填空壓軸題：數(shù)字問(wèn)題一、填空題（28題）1．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）如果一個(gè)四位自然數(shù)的各數(shù)位上的數(shù)字互不相等且均不為0，滿足，那么稱(chēng)這個(gè)四位數(shù)為“遞減數(shù)”．例如：四位數(shù)4129，∵，∴4129是“遞減數(shù)”；又如：四位數(shù)5324，∵，∴5324不是“遞減數(shù)”．若一個(gè)“遞減數(shù)”為，則這個(gè)數(shù)為；若一個(gè)“遞減數(shù)”的前三個(gè)數(shù)字組成的三位數(shù)與后三個(gè)數(shù)字組成的三位數(shù)的和能被9整除，則滿足條件的數(shù)的最大值是．【答案】8165【分析】根據(jù)遞減數(shù)的定義進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵是遞減數(shù)，∴，∴，∴這個(gè)數(shù)為；故答案為：∵一個(gè)“遞減數(shù)”的前三個(gè)數(shù)字組成的三位數(shù)與后三個(gè)數(shù)字組成的三位數(shù)的和能被9整除，∴，∵，∴，∵，能被整除，∴能被9整除，∵各數(shù)位上的數(shù)字互不相等且均不為0，∴，∵最大的遞減數(shù)，∴，∴，即：，∴最大取，此時(shí)，∴這個(gè)最大的遞減數(shù)為8165．故答案為：8165．【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程和二元一次方程的應(yīng)用．理解并掌握遞減數(shù)的定義，是解題的關(guān)鍵．2．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）對(duì)于一個(gè)四位自然數(shù)M，若它的千位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字多6，百位數(shù)字比十位數(shù)字多2，則稱(chēng)M為“天真數(shù)”．如：四位數(shù)7311，∵，，∴7311是“天真數(shù)”；四位數(shù)8421，∵，∴8421不是“天真數(shù)”，則最小的“天真數(shù)”為；一個(gè)“天真數(shù)”M的千位數(shù)字為a，百位數(shù)字為b，十位數(shù)字為c，個(gè)位數(shù)字為d，記，，若能被10整除，則滿足條件的M的最大值為．【答案】62009313【分析】根據(jù)題中“天真數(shù)”可求得最小的“天真數(shù)”；先根據(jù)題中新定義得到，進(jìn)而，若M最大，只需千位數(shù)字a取最大，即，再根據(jù)能被10整除求得，進(jìn)而可求解．【詳解】解：根據(jù)題意，只需千位數(shù)字和百位數(shù)字盡可能的小，所以最小的“天真數(shù)”為6200；根據(jù)題意，，，，，則，∴，∴，若M最大，只需千位數(shù)字a取最大，即，∴，∵能被10整除，∴，∴滿足條件的M的最大值為9313，故答案為：6200，9313．【點(diǎn)睛】本題是一道新定義題，涉及有理數(shù)的運(yùn)算、整式的加減、數(shù)的整除等知識(shí)，理解新定義是解答的關(guān)鍵．3．（2022·重慶·統(tǒng)考中考真題）特產(chǎn)專(zhuān)賣(mài)店銷(xiāo)售桃片、米花糖、麻花三種特產(chǎn)，其中每包桃片的成本是麻花的2倍，每包桃片、米花糖、麻花的售價(jià)分別比其成本高20%、30%、20%．該店五月份銷(xiāo)售桃片、米花糖、麻花的數(shù)量之比為1∶3∶2，三種特產(chǎn)的總利潤(rùn)是總成本的25%，則每包米花糖與每包麻花的成本之比為．【答案】4：3【分析】設(shè)每包麻花的成本為x元，每包米花糖的成本為y元，桃片的銷(xiāo)售量為m包，則每包桃片的成本為2x元，米花糖的銷(xiāo)售量為3m包，麻花的銷(xiāo)售量為2m包，根據(jù)三種特產(chǎn)的總利潤(rùn)是總成本的25%列得，計(jì)算可得．【詳解】解：設(shè)每包麻花的成本為x元，每包米花糖的成本為y元，桃片的銷(xiāo)售量為m包，則每包桃片的成本為2x元，米花糖的銷(xiāo)售量為3m包，麻花的銷(xiāo)售量為2m包，由題意得，解得3y=4x，∴y：x=4：3，故答案為：4：3．【點(diǎn)睛】此題考查了三元一次方程的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意確定等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．4．（2022·重慶·統(tǒng)考中考真題）為進(jìn)一步改善生態(tài)環(huán)境，村委會(huì)決定在甲、乙、丙三座山上種植香樟和紅楓．初步預(yù)算，這三座山各需兩種樹(shù)木數(shù)量和之比為，需香樟數(shù)量之比為，并且甲、乙兩山需紅楓數(shù)量之比為．在實(shí)際購(gòu)買(mǎi)時(shí)，香樟的價(jià)格比預(yù)算低，紅楓的價(jià)格比預(yù)算高，香樟購(gòu)買(mǎi)數(shù)量減少了，結(jié)果發(fā)現(xiàn)所花費(fèi)用恰好與預(yù)算費(fèi)用相等，則實(shí)際購(gòu)買(mǎi)香樟的總費(fèi)用與實(shí)際購(gòu)買(mǎi)紅楓的總費(fèi)用之比為．【答案】【分析】適當(dāng)引進(jìn)未知數(shù)，合理轉(zhuǎn)化條件，構(gòu)造等式求解即可．【詳解】設(shè)三座山各需香樟數(shù)量分別為4x、3x、9x．甲、乙兩山需紅楓數(shù)量、．∴，∴，故丙山的紅楓數(shù)量為，設(shè)香樟和紅楓價(jià)格分別為、．∴，∴，∴實(shí)際購(gòu)買(mǎi)香樟的總費(fèi)用與實(shí)際購(gòu)買(mǎi)紅楓的總費(fèi)用之比為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了未知數(shù)的合理引用，熟練掌握未知數(shù)的科學(xué)設(shè)置，靈活構(gòu)造等式計(jì)算求解是解題的關(guān)鍵．5．（2021·重慶·統(tǒng)考中考真題）某銷(xiāo)售商五月份銷(xiāo)售A、B、C三種飲料的數(shù)量之比為3：2：4，A、B、C三種飲料的單價(jià)之比為1：2：1．六月份該銷(xiāo)售商加大了宣傳力度，并根據(jù)季節(jié)對(duì)三種飲料的價(jià)格作了適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，預(yù)計(jì)六月份三種飲料的銷(xiāo)售總額將比五月份有所增加，A飲料增加的銷(xiāo)售占六月份銷(xiāo)售總額的，B、C飲料增加的銷(xiāo)售額之比為2：1．六月份A飲料單價(jià)上調(diào)20%且A飲料的銷(xiāo)售額與B飲料的銷(xiāo)售額之比為2：3，則A飲料五月份的銷(xiāo)售數(shù)量與六月份預(yù)計(jì)的銷(xiāo)售數(shù)量之比為．【答案】【分析】設(shè)銷(xiāo)售A飲料的數(shù)量為3x，銷(xiāo)售B種飲料的數(shù)量2x,銷(xiāo)售C種飲料的數(shù)量4x，A種飲料的單價(jià)y．B、C兩種飲料的單價(jià)分別為2y、y．六月份A飲料單價(jià)上調(diào)20%，總銷(xiāo)售額為m，可求A飲料銷(xiāo)售額為3xy+，B飲料的銷(xiāo)售額為，C飲料銷(xiāo)售額：，可求，六月份A種預(yù)計(jì)的銷(xiāo)售額，六月份預(yù)計(jì)的銷(xiāo)售數(shù)量，A飲料五月份的銷(xiāo)售數(shù)量與六月份預(yù)計(jì)的銷(xiāo)售數(shù)量之比計(jì)算即可【詳解】解：某銷(xiāo)售商五月份銷(xiāo)售A、B、C三種飲料的數(shù)量之比為3：2：4，設(shè)銷(xiāo)售A飲料的數(shù)量為3x，銷(xiāo)售B種飲料的數(shù)量2x,銷(xiāo)售C種飲料的數(shù)量4x，A、B、C三種飲料的單價(jià)之比為1：2：1．,設(shè)A種飲料的單價(jià)y．B、C兩種飲料的單價(jià)分別為2y、y．六月份A飲料單價(jià)上調(diào)20%后單價(jià)為（1+20%）y,總銷(xiāo)售額為m，A飲料增加的銷(xiāo)售占六月份銷(xiāo)售總額的A飲料銷(xiāo)售額為3xy+，A飲料的銷(xiāo)售額與B飲料的銷(xiāo)售額之比為2：3，B飲料的銷(xiāo)售額為B飲料的銷(xiāo)售額增加部分為∴C飲料增加的銷(xiāo)售額為∴C飲料銷(xiāo)售額：∴∴六月份A種預(yù)計(jì)的銷(xiāo)售額，六月份預(yù)計(jì)的銷(xiāo)售數(shù)量∴A飲料五月份的銷(xiāo)售數(shù)量與六月份預(yù)計(jì)的銷(xiāo)售數(shù)量之比故答案為【點(diǎn)睛】本題考查銷(xiāo)售問(wèn)題應(yīng)用題，用字母表示數(shù)，列代數(shù)式，整式的加減法，單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，掌握銷(xiāo)售額=銷(xiāo)售單價(jià)×銷(xiāo)售數(shù)量是解題關(guān)鍵6．（2021·重慶·統(tǒng)考中考真題）盲盒為消費(fèi)市場(chǎng)注入了活力，既能夠營(yíng)造消費(fèi)者購(gòu)物過(guò)程中的趣味體驗(yàn)，也為商家實(shí)現(xiàn)銷(xiāo)售額提升拓展了途徑．某商家將藍(lán)牙耳機(jī)、多接口優(yōu)盤(pán)、迷你音箱共22個(gè)，搭配為A，B，C三種盲盒各一個(gè)，其中A盒中有2個(gè)藍(lán)牙耳機(jī)，3個(gè)多接口優(yōu)盤(pán)，1個(gè)迷你音箱；B盒中藍(lán)牙耳機(jī)與迷你音箱的數(shù)量之和等于多接口優(yōu)盤(pán)的數(shù)量，藍(lán)牙耳機(jī)與迷你音箱的數(shù)量之比為3：2；C盒中有1個(gè)藍(lán)牙耳機(jī)，3個(gè)多接口優(yōu)盤(pán)，2個(gè)迷你音箱．經(jīng)核算，A盒的成本為145元，B盒的成本為245元（每種盲盒的成本為該盒中藍(lán)牙耳機(jī)、多接口優(yōu)盤(pán)、迷你音箱的成本之和），則C盒的成本為元．【答案】155【分析】設(shè)B盒中藍(lán)牙耳機(jī)3a個(gè)，迷你音箱2a個(gè)，列方程求出B盒中各種設(shè)備的數(shù)量，再設(shè)藍(lán)牙耳機(jī)、多接口優(yōu)盤(pán)、迷你音箱的成本分別為x、y、z元，根據(jù)題意列出方程組，再整體求出的值即可．【詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)B盒中藍(lán)牙耳機(jī)3a個(gè)，迷你音箱2a個(gè)，優(yōu)盤(pán)的數(shù)量為3a+2a=5a個(gè)，則，解得，a=1；設(shè)藍(lán)牙耳機(jī)、多接口優(yōu)盤(pán)、迷你音箱的成本分別為x、y、z元，根據(jù)題意列方程組得，②-①得，，③×3-①得，，故答案為：155．【點(diǎn)睛】本題考查了三元一次方程組和一元一次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是找準(zhǔn)題目中的等量關(guān)系列出方程（組），熟練運(yùn)用等式的性質(zhì)進(jìn)行方程變形，整體求值．7．（2023·重慶沙坪壩·重慶八中?？家荒＃┮粋€(gè)數(shù)位大于等于4的多位數(shù)n，規(guī)定其末三位數(shù)與末三位數(shù)以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差記為，則；若能被11整除，則這個(gè)多位數(shù)就一定能被11整除，反之，一個(gè)數(shù)位大于等于4的多位數(shù)n能被11整除，則n的末三位數(shù)與末三位數(shù)以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差一定能被11整除．若兩個(gè)四位數(shù)s，t，其中s能被11整除，且，t的千位數(shù)字為，百位數(shù)字為4，十位數(shù)字為3，個(gè)位數(shù)字為（a，b，c均為整數(shù)），規(guī)定，當(dāng)時(shí)，則的最小值為．【答案】13/【分析】先求出根據(jù)定義求出，即可求解；由題意可知，，，s，t均為四位數(shù)，，，由，得，在根據(jù)s能被11整除，得，則，即，再根據(jù)，，，為整數(shù)，可得，為整數(shù)，再結(jié)合可知當(dāng)越大，越小，依次可求解．【詳解】解：由題意可得，∴；由題意可得：，，，，∵s能被11整除，，∴能被11整除，則能被11整除，t能被11整除，則，即：，∴，∵能被11整除，且，為整數(shù)，∴，則，即∵能被11整除，且，，，為整數(shù)，即：，，∵，∴，∴，，為整數(shù)，當(dāng)越大，越小，即：當(dāng)時(shí)，有最小值，，故答案為：13；．【點(diǎn)睛】此題主要考查了整除問(wèn)題，能被11整除的數(shù)的特征，求出是解本題的關(guān)鍵．8．（2023·重慶沙坪壩·重慶一中校考一模）一個(gè)四位正整數(shù)，其中，，，，且，，，均為整數(shù)．的千位數(shù)字與十位數(shù)字之和等于百位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字之和，將的千位數(shù)字和百位數(shù)字組成的兩位數(shù)記為，十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字組成的兩位數(shù)記為．記的千位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字的乘積為，百位數(shù)字與十位數(shù)字的乘積為．若被7除余4，則，在此條件下，當(dāng)（為整數(shù)）時(shí)，最大的四位正整數(shù)．【答案】【分析】（1）根據(jù)題意，找出千位數(shù)字，百位數(shù)字b，十位數(shù)字，個(gè)位數(shù)字，再根據(jù)條件列數(shù)相關(guān)算式，即可解決問(wèn)題；（2）先通過(guò)算式分別表示和，在通過(guò)條件化簡(jiǎn)整式，利用條件找出符合題意的最大的A．【詳解】解：（1）由題干可得：千位數(shù)字，百位數(shù)字b，十位數(shù)字，個(gè)位數(shù)字可得：∵，且為整數(shù)，∴，∴，解得，又∵為11的倍數(shù)，且為整數(shù)，∴只有當(dāng)時(shí)符合題意，此時(shí)；故答案為：5；（2）∵，，∴由可得：，∴，，∵，，∴，或時(shí)可使為整數(shù)，當(dāng)時(shí)，若，，則，，四位數(shù)為；若，，則，，四位數(shù)為；當(dāng)時(shí)，若，，則，，四位數(shù)為；若，，則，，，不符合題意；所以最大值為；故答案為：6226．【點(diǎn)睛】本題屬于數(shù)與式中的新定義問(wèn)題，理解題意，正確掌握整式的化簡(jiǎn)是解題的關(guān)鍵．9．（2023·重慶九龍坡·重慶市育才中學(xué)?？家荒＃┤粢粋€(gè)四位數(shù)的千位與百位之差等于2，十位與個(gè)位之差等于4，稱(chēng)這個(gè)四位數(shù)是“差2倍數(shù)”，若四位數(shù)的千位與百位之差等于3，十位與個(gè)位之差等于6，稱(chēng)這個(gè)四位數(shù)是“差3倍數(shù)”，若數(shù)p，q分別為“差2倍數(shù)”和“差3倍數(shù)”，它們的個(gè)位數(shù)字均為3，p，q的各數(shù)位數(shù)字之和分別記為和，，若為整數(shù)，此時(shí)的最大值為．【答案】【分析】根據(jù)定義和已知條件分別設(shè)，，再根據(jù)定義進(jìn)行計(jì)算，由為整數(shù)，以及的最大值，得出符合條件的取值為或，進(jìn)而解題．【詳解】解：∵數(shù)p，q分別為“差2倍數(shù)”和“差3倍數(shù)”，它們的個(gè)位數(shù)字均為3，故數(shù)p的十位數(shù)是，數(shù)q的十位數(shù)是，設(shè)數(shù)p，q的百位數(shù)分別m、n，則數(shù)p的千位數(shù)是，數(shù)q的千位數(shù)是，而且，，∴，，∴，，∴，，∴，∴∵為整數(shù)，∴為的約數(shù)，而要使的最大值則有∴或，當(dāng)時(shí)，即，，此時(shí)，當(dāng)，時(shí)，的最大值為，當(dāng)時(shí)，即，，此時(shí)，當(dāng)，時(shí)，的最大值為，綜上所述：當(dāng)，時(shí)，的最大值為，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查新定義運(yùn)算，數(shù)的整除、分式的化簡(jiǎn)，整式的加減運(yùn)算等，有一定難度，解題的關(guān)鍵是通過(guò)為整數(shù)推出為的約數(shù)．10．（2023·重慶九龍坡·重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？家荒＃?duì)于一個(gè)各數(shù)位數(shù)字均不為零的四位自然數(shù)m，若千位與百位數(shù)字之和等于十位與個(gè)數(shù)位數(shù)字之和，則稱(chēng)m為“一致數(shù)”．設(shè)一個(gè)“一致數(shù)”滿足且，將m的千位與十位數(shù)字對(duì)調(diào)，百位與個(gè)位數(shù)字對(duì)調(diào)得到新數(shù)，并記；一個(gè)兩位數(shù)，將N的各個(gè)數(shù)位數(shù)字之和記為；當(dāng)（k為整數(shù)）時(shí)，則所有滿足條件的“一致數(shù)”m中，滿足為偶數(shù)時(shí)，k的值為，m的值為．【答案】【分析】設(shè)一個(gè)“一致數(shù)”滿足且，得出，然后分類(lèi)討論即可求解．【詳解】解：設(shè)一個(gè)“一致數(shù)”滿足且，則，∴，一個(gè)兩位數(shù)，將N的各個(gè)數(shù)位數(shù)字之和記為，則，∵即∴∴，∵滿足為偶數(shù)時(shí)，為偶數(shù)，∵，∴且為偶數(shù)，當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)，時(shí)，（，舍去）當(dāng)，時(shí)，（，舍去）當(dāng)，時(shí)，，則，∴，故答案為：；．【點(diǎn)睛】本題考查了整除，整式的加減，求不等式組的整數(shù)解，理解題意解題的關(guān)鍵．11．（2023·重慶南岸·統(tǒng)考一模）如果兩個(gè)兩位數(shù)和，將它們各自的十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字交換位置后得到兩個(gè)完全不同的新和，這兩個(gè)兩位數(shù)的乘積與交換后的兩個(gè)兩位數(shù)的乘積相等，則稱(chēng)這樣的兩個(gè)兩位數(shù)為一對(duì)“友誼數(shù)對(duì)”，例如：，所以，26和93是一對(duì)“友誼數(shù)對(duì)”．（1）若和是一對(duì)“友誼數(shù)對(duì)”，則a，b，c，d之間滿足的等量關(guān)系為；（2）若和是一對(duì)“友誼數(shù)對(duì)”，其中，，，，則這兩個(gè)兩位數(shù)分別是．【答案】42，36【分析】（1）根據(jù)“友誼數(shù)對(duì)”的定義即可得到，，，之間滿足的等量關(guān)系，化簡(jiǎn)得；（2）根據(jù)列等式，化簡(jiǎn)解方程可得的值，可得這兩個(gè)兩位數(shù)．【詳解】解：（1）∵和是一對(duì)“友誼數(shù)對(duì)”，∴，∴，故答案為；（2）∵和是一對(duì)“友誼數(shù)對(duì)”，，，，，，∴，∴，解得或（舍去），∴，，，，∴兩個(gè)兩位數(shù)分別是，，故答案為，．【點(diǎn)睛】本題考查多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式和新定義“友誼數(shù)對(duì)”，理解和掌握新定義是解題的關(guān)鍵，需要學(xué)生具備一定的分析能力．12．（2023·重慶沙坪壩·統(tǒng)考一模）一個(gè)各位數(shù)字都不為0且互不相等的四位自然數(shù)，若千位與個(gè)位數(shù)字之和等于百位與十位數(shù)字之和，則稱(chēng)這個(gè)四位數(shù)為“均衡數(shù)”．將“均衡數(shù)”的千位與百位數(shù)字對(duì)調(diào)，十位與個(gè)位數(shù)字對(duì)調(diào)得到新數(shù)．記，，，均為整數(shù)，求滿足條件的的最大值是．【答案】【分析】設(shè)的千位，百位，十位，個(gè)位數(shù)字分別為，，，，根據(jù)題意，表示出和，再表示出和，根據(jù)和均為整數(shù)來(lái)確定，，，的值．【詳解】不妨設(shè)的千位，百位，十位，個(gè)位數(shù)字分別為，，，，則有，∵的千位與百位數(shù)字對(duì)調(diào)，十位與個(gè)位數(shù)字對(duì)調(diào)得到新數(shù)，∴，，，不妨設(shè)，則，當(dāng)，即時(shí)，為整數(shù)；，當(dāng)被整除時(shí)為整數(shù)，可得最大等于，∵各位數(shù)字都不為0，∴排除，為和，只能是和，再根據(jù)均衡數(shù)的定義，求得，，∴滿足條件的的最大值是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字問(wèn)題，新定義，四位數(shù)的表示，整式的加減，因式分解，整數(shù)被某數(shù)整除時(shí)求字母的值，難度比較大，能夠理解新定義并熟練掌握所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．13．（2023·重慶開(kāi)州·校聯(lián)考一模）如果一個(gè)四位自然數(shù)M的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字均不為0，且滿足千位數(shù)字與十位數(shù)字的和為10，百位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字的差為1，那么稱(chēng)M為“和差數(shù)”．“和差數(shù)”M的千位數(shù)字的二倍與個(gè)位數(shù)字的和記為，百位數(shù)字與十位數(shù)字的和記為，令，當(dāng)為整數(shù)時(shí)，則稱(chēng)M為“整和差數(shù)”．若（其中，，，且a、b、c、d均為整數(shù)）是“整和差數(shù)”，則滿足條件的M的最小值為．【答案】7231【分析】由“整和差數(shù)”的定義可得，再分情況討論可得滿足條件的所有M的值，再進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵，∴M的千位數(shù)字為，百位數(shù)字為b，十位數(shù)字為c，個(gè)位數(shù)字為d，∵M(jìn)是“整和差數(shù)”，∴，∴，①當(dāng)時(shí)，不為整數(shù)；②當(dāng)時(shí)，不為整數(shù)；③當(dāng)時(shí)，，∴或10，即或7，∴M的值為7231，7736；④當(dāng)時(shí)，，∴或8，即或7，∴M的值為9312，9716．綜上所述，M的值為7231，7736，9312，9716．其中M的最小值為7231故答案為：7231【點(diǎn)睛】本題主要考查因式分解的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵是理解“整和差數(shù)”，明確條件與所求的關(guān)系．14．（2023·重慶合川·?？家荒＃┤粢粋€(gè)四位正整數(shù)滿足：，我們就稱(chēng)該數(shù)是“交替數(shù)”，則最小的“交替數(shù)”是；若一個(gè)“交替數(shù)”m滿足千位數(shù)字與百位數(shù)字的平方差是15，且十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)的和能被5整除．則滿足條件的“交替數(shù)”m的最大值為．【答案】10018778【分析】①根據(jù)“交替數(shù)”的概念結(jié)合求最小時(shí)讓千位、百位、十位、個(gè)位上的數(shù)字盡可能小進(jìn)行判斷即可；②根據(jù)題意列出方程，利用“交替數(shù)”概念以及平方差公式進(jìn)行變形得到二元一次方程組，然后根據(jù)求最大的“交替數(shù)”的要求進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：①∵是四位正整數(shù)，∴最小為1當(dāng)時(shí)，∴是“交替數(shù)”且最小，∴最小的“交替數(shù)”是1001②解;設(shè)由題意得：（為正整數(shù)），或解得：或（為正整數(shù)）或或∴的最大值為8778【點(diǎn)睛】本題主要考查新定義的理解以及運(yùn)用和平方差公式，二元一次方程組的求解，熟練掌握平方差公式變形以及二元一次方程組的解法，對(duì)新定義的概念的充分理解是解決本題的關(guān)鍵．15．（2023·重慶九龍坡·統(tǒng)考一模）對(duì)于一個(gè)四位自然數(shù)N，其千位數(shù)字為a，百位數(shù)字為b，十位數(shù)字為c，個(gè)位數(shù)字為d，各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字均不相同且均不為0．將自然數(shù)N的千位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字組成一個(gè)兩位數(shù)，記為A；百位數(shù)字和十位數(shù)字組成另一個(gè)兩位數(shù)字，記為B，若A與B的和等于N的千位數(shù)字與百位數(shù)字之和的11倍，則稱(chēng)N為“坎數(shù)”．例如：6345，，，，，所以6345是“坎數(shù)”．若N為“坎數(shù)”，且，當(dāng)為9的倍數(shù)時(shí)，則所有満足條件的N的最大值為．【答案】8154【分析】根據(jù)“坎數(shù)”的定義可以得到，可得出，根據(jù)當(dāng)為9的倍數(shù)，且a、b、c、d都是小于10的自然數(shù)，所以可知，則可知，，故，則最大的值為，，即可求解．【詳解】解：根據(jù)“坎數(shù)”的定義可以得到，∴，∵為9的倍數(shù)，且a、b、c、d都是小于10的自然數(shù)，，∴，∴，∴，∴，，∴，當(dāng)，時(shí)，N有最大值，∴，∴N的最大值為8154，故答案為：8154．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，通過(guò)給出的“坎數(shù)”的定義求出對(duì)應(yīng)的各個(gè)數(shù)位的數(shù)字的關(guān)系，通過(guò)給出的式子，求出對(duì)應(yīng)的數(shù)字的結(jié)果，從而求出最后的解．16．（2023·重慶巴南·統(tǒng)考一模）一個(gè)三位數(shù)，若滿足百位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字之和為10，則稱(chēng)它為“合十?dāng)?shù)”．例如，對(duì)于258，因?yàn)?，所?58是“合十?dāng)?shù)”．在“合十?dāng)?shù)”n中，十位數(shù)字的2倍與個(gè)位數(shù)字之和再減去百位數(shù)字的差記為，百位數(shù)字與十位數(shù)字之和再減去個(gè)位數(shù)字的差記為，若“合十?dāng)?shù)”n滿足，則滿足條件的“合十?dāng)?shù)”n的值為．【答案】【分析】根據(jù)“合十?dāng)?shù)”定義，我們可以設(shè)一個(gè)“合十?dāng)?shù)”n的百位數(shù)字是a，十位數(shù)字是b，個(gè)位數(shù)字是c,則有,然后根據(jù)題意得到,，然后通過(guò),進(jìn)行因式分解，然后討論可得對(duì)應(yīng)的值，就可求出n的值.【詳解】設(shè)一個(gè)“合十?dāng)?shù)”n的百位數(shù)字是a，十位數(shù)字是b,個(gè)位數(shù)字是c,則有,則,,∵,∴,,,,,∵a、b、c都是一位正整數(shù),∴也是正整數(shù),當(dāng)時(shí),(不符合條件,舍去),當(dāng)時(shí),(不符合條件,舍去),當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),(不符合條件,舍去),當(dāng)時(shí),(不符合條件,舍去),故,符合題意,則,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，通過(guò)給定的新定義，列出整式，通過(guò)因式分解，得到對(duì)應(yīng)的式子，通過(guò)討論，得到最后的值.17．（2023·重慶渝中·重慶巴蜀中學(xué)?？家荒＃┤粢粋€(gè)各位數(shù)字均不為的四位數(shù)（，，，，，，為整數(shù)）滿足：把的千位數(shù)字作為十位數(shù)字，的十位數(shù)字作為個(gè)位數(shù)字組成的兩位數(shù)與的和記作，的千位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字的倍的和記作，如果的各位數(shù)字之和與的和是一個(gè)正整數(shù)的平方，則稱(chēng)這個(gè)四位數(shù)為“賡續(xù)數(shù)”，正整數(shù)稱(chēng)“賡續(xù)元素”；當(dāng)，時(shí)，最小“賡續(xù)數(shù)”為；若“賡續(xù)數(shù)”滿足前兩位數(shù)字之和與后兩位數(shù)字之和相等，且為整數(shù)，則滿足條件的最大為.【答案】【分析】當(dāng)，時(shí)，可知，，則，當(dāng)時(shí)，可以取得最小值，且，據(jù)此即可求得答案．根據(jù)和為整數(shù)，可求得為整數(shù)，可得或，分情況逐一討論即可求得答案．【詳解】∵，，∴四位數(shù)．∴，．∴．∴當(dāng)時(shí)，可以取得最小值．又，∴．∵，∴．∵為整數(shù)，∴為整數(shù)．又，，∴或．①當(dāng)時(shí)．根據(jù)題意可知，，，．，．∴．∴．∴不符合題意．②當(dāng)，且，，時(shí)．根據(jù)題意，得，，．∴．∵為正整數(shù)，∴．∴．∴，，，不符合題意．③當(dāng)，且，，時(shí)．根據(jù)題意，得，，．∴．∵為正整數(shù)，∴．∴．∴．綜上所述，符合條件的的最大值為．故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題主要考查實(shí)數(shù)，能采用分類(lèi)討論的思想分析問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．18．（2023·重慶九龍坡·重慶市育才中學(xué)校聯(lián)考二模）一個(gè)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字均不為0的四位正整數(shù)，若千位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字之和是百位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字之和的2倍，則稱(chēng)這個(gè)四位數(shù)為“倍和數(shù)”，對(duì)于“倍和數(shù)”m，任意去掉一個(gè)數(shù)位上的數(shù)字，得到四個(gè)三位數(shù)，這四個(gè)三位數(shù)的和記為．（1）；（2）若“倍和數(shù)”m千位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字之和為8，且能被7整除，則所有滿足條件的“倍和數(shù)”用的最大值與最小值的差為．【答案】21874176【分析】（1）根據(jù)定義，計(jì)算即可．（2）根據(jù)定義，結(jié)合分類(lèi)思想計(jì)算即可．【詳解】（1）∵6312中，∴，∴6312是“倍和數(shù)”，∴任意去掉一個(gè)數(shù)位上的數(shù)字，得到四個(gè)三位數(shù)分別為，∴；故答案為：2187．（2）設(shè)四位數(shù)m為，∵m是“倍和數(shù)”，∴，∴，∴，∴任意去掉一個(gè)數(shù)位上的數(shù)字，得到四個(gè)三位數(shù)分別為，∴，∵，∴，∵各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字均不為0的四位正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，，能被7整除，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，不能被7整除，舍去；當(dāng)時(shí)，，不能被7整除，舍去；當(dāng)時(shí)，，不能被7整除，舍去；當(dāng)時(shí)，，不能被7整除，舍去；當(dāng)時(shí)，，不能被7整除，舍去；當(dāng)時(shí)，，不能被7整除，舍去；當(dāng)時(shí)，，能被7整除，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，不能被7整除，舍去；當(dāng)時(shí)，，不能被7整除，舍去；當(dāng)時(shí)，，不能被7整除，舍去；當(dāng)時(shí)，，不能被7整除，舍去；當(dāng)時(shí)，，不能被7整除，舍去；當(dāng)時(shí)，，不能被7整除，舍去；當(dāng)時(shí)，，能被7整除，；當(dāng)時(shí)，，不能被7整除，舍去；當(dāng)時(shí)，，不能被7整除，舍去；當(dāng)時(shí)，，不能被7整除，舍去；當(dāng)時(shí)，，不能被7整除，舍去；當(dāng)時(shí)，，不能被7整除，舍去；當(dāng)時(shí)，，不能被7整除，舍去；故所有滿足條件的“倍和數(shù)”用的最大值與最小值的差為，故答案為：4176．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的新定義問(wèn)題，正確理解新定義是解題的關(guān)鍵．19．（2023·重慶渝中·重慶巴蜀中學(xué)校考二模）一個(gè)兩位正整數(shù)，將其個(gè)位與十位上的數(shù)交換位置后，放在原數(shù)的后面組成一個(gè)四位數(shù)m，那么我們把這個(gè)四位數(shù)稱(chēng)為“順利數(shù)”，并規(guī)定為交換位置后組成的兩位數(shù)與原兩位數(shù)的平方差；例如：將27交換位置后為72，則2772是一個(gè)“順利數(shù)”，且．若四位正整數(shù)n，n的千位數(shù)字為a，百位數(shù)字為b，十位數(shù)字為c，個(gè)位數(shù)字為d，其中a，b，c，d為整數(shù)，，且，以n的十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字組成兩位數(shù)，交換位置后放在此兩位數(shù)之后組成的數(shù)為“順利數(shù)”s，若，則的值為；滿足條件的所有數(shù)n的最大值為．【答案】95438【分析】由題意知，，整理得，，即，則為91的整數(shù)倍，且，進(jìn)而可得，由得，，是9的整數(shù)倍，由，可得，當(dāng)時(shí)，，即，，不符合要求；當(dāng)時(shí)，，即，，不符合要求；當(dāng)時(shí)，，即，，不符合要求，，，符合要求；根據(jù)為千位數(shù)字，，可知越小，越大，越大，則當(dāng)為5438時(shí)，是滿足條件的最大值，進(jìn)而作答即可．【詳解】解：由題意知，，整理得，，∴，∵a，b，c，d為整數(shù)，，且，∴為91的整數(shù)倍，且，∴，∴，則，是9的整數(shù)倍，∵，∴，∴當(dāng)時(shí)，，即，，不符合要求；當(dāng)時(shí)，，即，，不符合要求；當(dāng)時(shí)，，即，，不符合要求，，，符合要求；∵為千位數(shù)字，，∴越小，越大，越大，∴當(dāng)為5438時(shí)，是滿足條件的最大值，故答案為：9，5438．【點(diǎn)睛】本題考查了平方差，新定義下的實(shí)數(shù)的運(yùn)算．解題的關(guān)鍵在于理解題意．20．（2023·重慶·重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考二模）一個(gè)兩位自然數(shù)，若各位數(shù)字之和小于等于9，則稱(chēng)為“完美數(shù)”，將m的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字相加所得的數(shù)放在m的前面，得到一個(gè)新數(shù)，那么稱(chēng)為m的“前置完美數(shù)”；將m的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字相加所得的數(shù)放在m的后面，得到一個(gè)新數(shù)，那么稱(chēng)為m的“后置充美數(shù)”．記，例如：時(shí)，，，．請(qǐng)計(jì)算；已知兩個(gè)“完美數(shù)”，，若是一個(gè)完全平方數(shù)，且，則n的最大值為．【答案】2385【分析】根據(jù)題目所給新定義即可計(jì)算；根據(jù)題意得出，，結(jié)合完全平方數(shù)的定義和得出，則，根據(jù)得出，根據(jù)，以及n為兩位數(shù)，即可得出或，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意可得：，∵，，∴，，∵是一個(gè)完全平方數(shù)，且是一個(gè)兩位數(shù)，∴．∵，∴．∴，則，∵，∴，整理得：，∵，∴，∴或14，∴或，當(dāng)時(shí)，，∵，n為兩位數(shù)，∴當(dāng)時(shí)，n有最大值85；當(dāng)時(shí)，，∵，n為兩位數(shù)，∴當(dāng)時(shí)，n有最大值83；綜上：n的最大值為85，故答案為：23，85．【點(diǎn)睛】本題考查的是新定義情境下的有理數(shù)的混合運(yùn)算，二元一次方程組的整數(shù)解，整式的加減運(yùn)算，不等式的基本性質(zhì)，理解新定義的含義是解題的關(guān)鍵．21．（2023·重慶大渡口·統(tǒng)考二模）若一個(gè)四位數(shù)M的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字的平方差恰好是M去掉個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字后得到的兩位數(shù)，則這個(gè)四位數(shù)M為“平方差數(shù)”．一個(gè)“平方差數(shù)”M的千位數(shù)字為a，百位數(shù)字為b，十位數(shù)字為c，個(gè)位數(shù)字為d，記，且．當(dāng)均是整數(shù)時(shí)，當(dāng)滿足條件的M取得最大值時(shí)，，最大值為．【答案】96318【分析】根據(jù)為“平方差數(shù)”可得，則，，進(jìn)而得到是整數(shù)，設(shè)，（為整數(shù)且），因此，得到或8，當(dāng)時(shí)，對(duì)，進(jìn)行取值，并求出此時(shí)；當(dāng)時(shí)，對(duì)，進(jìn)行取值，并求出此時(shí)，即可求解．【詳解】解：，且，四位數(shù)為“平方差數(shù)”，，，，是整數(shù)，是整數(shù)，由為整數(shù)可知，，設(shè)（為整數(shù)且），，，或8，當(dāng)時(shí)，①若，則，此時(shí)，不符合題意；②若，則，此時(shí)，；③若，則，此時(shí)，；④若，則，此時(shí)，；⑤若，則，不符合題意；當(dāng)時(shí)，①若，則，此時(shí)，；②若，則，不符合題意．綜上，符合條件的有1224，2736，4848，6318，其中最大值為6318，此時(shí)．故答案為：①9；②6318．【點(diǎn)睛】本題考查因式分解的應(yīng)用，涉及整除、新定義等知識(shí)，理解新定義，并用含，的代數(shù)式表示出是解題關(guān)鍵．22．（2023·重慶江津·重慶市江津中學(xué)校校考二模）對(duì)于一個(gè)各數(shù)位上的數(shù)字均不為零且互不相等的數(shù)，將它各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字分別平方后取其個(gè)位數(shù)字，得到一個(gè)新的數(shù)，稱(chēng)為的“趣味數(shù)”，并規(guī)定，（其中、為非零常數(shù)）．例如，其各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字分別平方后數(shù)的個(gè)位數(shù)字分別是4、9、6，則234的“趣味數(shù)”，已知，，則，對(duì)于一個(gè)兩位數(shù)和一個(gè)三位數(shù)，在的十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字中間插入一個(gè)數(shù)，得到一個(gè)新的三位數(shù)，若是的9倍，且是的趣味數(shù)，則的最小值＝．【答案】77275【分析】（1）分別求出7與12的“趣味數(shù)”，代入中，聯(lián)立方程組即可求出a、b的值，從而確定的表達(dá)式，再求出的“趣味數(shù)”是，代入所求的表達(dá)式即可；（2）設(shè)s的十位數(shù)字為a，個(gè)位數(shù)字為b，分別表達(dá)出，由題意可得等式，再根據(jù)b的取值與等式成立的條件確定，由此列式計(jì)算，從而確定；再結(jié)合t是的“趣味數(shù)”，進(jìn)一步確定t的值，從而求解．【詳解】解：（1）7的“趣味數(shù)”是9，∴；12的“趣味數(shù)”是14，∴；∵，∴，∴，∵的“趣味數(shù)”是，∴；故答案為：77；（2）設(shè)s的十位數(shù)字為a，個(gè)位數(shù)字為b，由題意可知，，∵是s的9倍，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴滿足條件的a與k為：或或，∵，∴s'為135，315，∵t是的“趣味數(shù)”，∴t為195，915，“趣味數(shù)”為115，∵，∴，∴的最小值為275．故答案為：275．【點(diǎn)睛】本題考查因式分解的應(yīng)用；準(zhǔn)確理解題意，根據(jù)三位數(shù)的特點(diǎn)，能用字母表示數(shù)，再結(jié)合數(shù)的特點(diǎn)逐步確定各位數(shù)字的具體數(shù)是解題的關(guān)鍵．23．（2023·重慶九龍坡·重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？既＃┮粋€(gè)四位數(shù)，若千位上的數(shù)字與百位上的數(shù)字之和與十位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字之和的積等于60，則稱(chēng)這個(gè)四位數(shù)為“六秩數(shù)”，例如，對(duì)于四位數(shù)1537，∵，∴1537為“六秩數(shù)”．若，，記，則；若N是一個(gè)“六秩數(shù)”，且是一個(gè)完全平方數(shù)，記，則的最大值與最小值的差為．【答案】6，8，4，3，【分析】根據(jù)題意用表示這個(gè)四位數(shù)，根據(jù)定義推出可能的值，計(jì)算比較出最大值和最小值，計(jì)算即可．【詳解】設(shè)∵即整理得故根據(jù)題意N是一個(gè)“六秩數(shù)”，且是一個(gè)完全平方數(shù)則滿足，且是一個(gè)完全平方數(shù)∵是一個(gè)完全平方數(shù)故或當(dāng)時(shí)，，根據(jù)進(jìn)行推算：①，，此時(shí)，故若，，則若，，則若，，則若，，則的最大值與最小值的差為②，，此時(shí)，故若，，則若，，舍去若，，則若，，舍去若，，舍去若，，舍去若，，則若，，舍去若，，則的最大值與最小值的差為③，，此時(shí)，故，舍去④，，此時(shí)，故若，，則若，，舍去若，，舍去若，，舍去若，，則的最大值與最小值的差為⑤，，此時(shí)，故若，，則若，，則若，，則若，，則的最大值與最小值的差為⑥，，此時(shí)，故，舍去⑦，，此時(shí)，故，舍去當(dāng)時(shí)，，根據(jù)進(jìn)行推算：①，，此時(shí)，故若，，舍去若，，則若，，舍去若，，則若，，舍去的最大值與最小值的差為綜上，的最大值與最小值的差為6，8，4，3，故答案為：；6，8，4，3，【點(diǎn)睛】本題考查新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是通過(guò)且是一個(gè)完全平方數(shù)，結(jié)合進(jìn)行推算，得到可能性的數(shù)值，計(jì)算．24．（2023·重慶·三模）若一個(gè)四位數(shù)M的個(gè)位數(shù)字、十位數(shù)字、百位數(shù)字之和為12，則稱(chēng)這個(gè)四位數(shù)M為“永恒數(shù)”．將“永恒數(shù)”M的千位數(shù)字與百位數(shù)字交換順序，十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字交換順序得到一個(gè)新的四位數(shù)N，并規(guī)定．若一個(gè)“永恒數(shù)”M的百位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字之差恰為千位數(shù)字，且為整數(shù)，則的最大值為．【答案】9【分析】設(shè)，則，再利用能被9整除得到d與b的值，即可求解．【詳解】解：設(shè)，則，∴，又∵，∴，，且，∴，要使最大，必使，且為整數(shù)，則，∴最大為9，故答案為：9．【點(diǎn)睛】本題以新定義為背景，考查了整式的運(yùn)算、因式分解，解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用“永恒數(shù)”的定義計(jì)算