第四章數(shù)列全章總結(jié)提升課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

第四章數(shù)列全章總結(jié)提升人教A版

數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)·整合構(gòu)建重難探究·能力素養(yǎng)速提升專題突破·素養(yǎng)提升專題一等差與等比數(shù)列的基本運(yùn)算1.數(shù)列的基本運(yùn)算以小題居多,但也可作為解答題第一步命題,主要考查利用數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式來(lái)求數(shù)列中的項(xiàng)、公差、公比及前n項(xiàng)和等,一般試題難度較小.2.通過等差、等比數(shù)列的基本運(yùn)算,培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng).【例1】

[2024安徽阜陽(yáng)高二期末]已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,且a2=-25,2a3+a5=-50.(1)求{an}的通項(xiàng)公式;(2)若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,求Sn的最小值及取得最小值時(shí)n的值.所以當(dāng)n=6或n=7時(shí),Sn取得最小值,最小值為-105.規(guī)律方法

等差數(shù)列或等比數(shù)列的通項(xiàng)公式an與前n項(xiàng)和公式Sn,共涉及五個(gè)量:a1,d,an,Sn,n或a1,q,an,Sn,n,其中a1,d,n或a1,q,n為基本量,“知三求二”是指將已知條件轉(zhuǎn)換成關(guān)于a1,d或q,an,Sn,n的方程組,利用方程的思想求出需要的量,當(dāng)然在求解中若能運(yùn)用等差(比)數(shù)列的性質(zhì)會(huì)更好,這樣可以化繁為簡(jiǎn),減少運(yùn)算量,同時(shí)還要注意整體代入思想方法的運(yùn)用.變式訓(xùn)練1[2024全國(guó)甲,文17]已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且2Sn=3an+1-3.(1)求{an}的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列{Sn}的通項(xiàng)公式.解

(1)∵2Sn=3an+1-3,①∴當(dāng)n≥2時(shí),2Sn-1=3an-3.②專題二等差、等比數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用【例2】

(1)[2024新疆伊犁高二統(tǒng)考]記等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若S11=33,則a4+a6+a8=(

)A.6 B.7

C.8

D.9D(2)[2024河南周口高二校聯(lián)考]設(shè)等差數(shù)列{an},{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn,Tn,D規(guī)律方法

等差、等比數(shù)列的常用性質(zhì)(1)如果數(shù)列{an}為等差(比)數(shù)列,那么數(shù)列an,an+k,an+2k,an+3k,…仍為等差(比)數(shù)列.(2)如果m+n=p+q,在等差數(shù)列{an}中,有am+an=ap+aq;在等比數(shù)列{an}中,有aman=apaq.(3)如果數(shù)列{an}為等差(比)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,那么數(shù)列Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…仍為等差(比)數(shù)列.變式訓(xùn)練2[2024云南昆明高三模擬]已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若

A.8 B.9

C.16

D.17A專題三等差、等比數(shù)列的判定1.判斷等差或等比數(shù)列是數(shù)列中的重點(diǎn)內(nèi)容,經(jīng)常在解答題中出現(xiàn),對(duì)給定條件進(jìn)行變形是解題的關(guān)鍵所在,經(jīng)常利用此類方法構(gòu)造等差或等比數(shù)列.2.通過等差、等比數(shù)列的判定與證明,培養(yǎng)邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).【例3】

[2024江蘇連云港高二期末]若數(shù)列{an}滿足:a1=2,a2=8,對(duì)任意的又由a1=2,a2=8,得a2-3a1=2≠0,規(guī)律方法

判斷和證明數(shù)列是等差(比)數(shù)列的方法(1)定義法:對(duì)于n≥1的任意自然數(shù),驗(yàn)證an+1-an(或

)為同一個(gè)常數(shù).(2)中項(xiàng)公式法:①若2an=an-1+an+1(n∈N*,n≥2),則{an}為等差數(shù)列.②若

=an-1·an+1(n∈N*,n≥2且an≠0),則{an}為等比數(shù)列.(3)通項(xiàng)公式法:an=kn+b(k,b是常數(shù))?{an}是等差數(shù)列;an=c·qn(c,q為非零常數(shù))?{an}是等比數(shù)列.(4)前n項(xiàng)和公式法:Sn=An2+Bn(A,B為常數(shù),n∈N*)?{an}是等差數(shù)列;Sn=Aqn-A(A,q為常數(shù),且A≠0,q≠0,q≠1,n∈N*)?{an}是公比不為1的等比數(shù)列.(2)試問a1a2是否是數(shù)列{an}中的項(xiàng)?如果是,是第幾項(xiàng)?如果不是,請(qǐng)說明理由.專題四數(shù)列求和1.數(shù)列求和一直是高考考查的熱點(diǎn),并且多以與不等式的證明或求解相結(jié)合的形式出現(xiàn).一般數(shù)列的求和,主要是將其轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和問題.2.通過數(shù)列求和,培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng).【例4】

[2024江西校級(jí)高二月考]已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=3,其前n項(xiàng)和為Sn,且

=3Sn+2n+3(n∈N*).(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an;(2)設(shè)bn=n(an+1),求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.上式可化為an+1+1=3(an+1),所以{an+1}是首項(xiàng)為4,公比為3的等比數(shù)列,則an+1=4×3n-1,即an=4×3n-1-1.規(guī)律方法

數(shù)列求和的常用類型(1)錯(cuò)位相減法:適用于各項(xiàng)由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)的乘積組成的數(shù)列.把Sn=a1+a2+…+an兩邊同乘以相應(yīng)等比數(shù)列的公比q,得到qSn=a1q+a2q+…+anq,兩式錯(cuò)位相減即可求出Sn.(2)裂項(xiàng)相消法:即將數(shù)列的通項(xiàng)分成兩個(gè)式子的代數(shù)和的形式,然后通過累加抵消中間若干項(xiàng)的方法.(3)拆項(xiàng)分組法:把數(shù)列的每一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)(或多項(xiàng)),再重新組合成兩個(gè)(或多個(gè))簡(jiǎn)單的數(shù)列,最后分別求和.(4)并項(xiàng)求和法:與拆項(xiàng)分組相反,并項(xiàng)求和是把數(shù)列的兩項(xiàng)(或多項(xiàng))組合在一起,重新構(gòu)成一個(gè)數(shù)列再求和,一般適用于正負(fù)相間排列的數(shù)列求和,注意對(duì)數(shù)列項(xiàng)數(shù)(是奇數(shù)還是偶數(shù))的討論.變式訓(xùn)練4[2024吉林高三校級(jí)模擬]在公差不為0的等差數(shù)列{an}中,a4=5,且a2,a3,a6成等比數(shù)列.(1)求{an}的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和Sn;解

(1)由題知,等差數(shù)列{an}的公差d≠0,a4=5,又a2,a3,a6成等比數(shù)列,重難探究·能力素養(yǎng)速提升易錯(cuò)易混·銜接高考1234561.[人教B版教材習(xí)題改編]求和:1+4+7+…+(3n+1)=

.

1234562.已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若S9=3S3,則該數(shù)列的公比q=

.

1234563.已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足an+1=Sn+1(n∈N*),求首項(xiàng)a1的值及{an}的通項(xiàng)公式.解

當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-1+1,an+1=Sn+1,兩式相減得an+1-an=Sn-Sn-1,即an+1=2an(n≥2),因?yàn)閿?shù)列{an}是等比數(shù)列,所以公比為2,當(dāng)n=1時(shí),a2=a1+1,即2a1=a1+1,所以a1=1,且a2=2a1滿足題意,所以{an}的通項(xiàng)公式為an=2n-1.1234564.[2023全國(guó)新高考卷Ⅰ,7]設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,設(shè)甲:{an}為等差數(shù)列;乙:{}為等差數(shù)列,則(

)A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件C123456當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=A(2n-1)+B=2An-A+B.當(dāng)n=1時(shí)也符合上式,故an=2An-A+B,故{an}為等差數(shù)列,則甲是乙的必要條件.綜上,甲是乙的充要條件.故選C.1234565.[2023全國(guó)乙,理15]已知{an}為等比數(shù)列,a2a4a5=a3a6,a9a10=-8,則a7=

.

-2解析(方法1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,則由a2a4a5=a3a6,a9a10=-8,(方法2)設(shè){an}的公比為q.由a2a4a5=a3a6,可得a2=1.又因?yàn)閍9a10=a2q7·a2q8=-8,即q15=-8,得q5=-2,則a7=a2·q5=-2.1234566.[2023全國(guó)新高考卷Ⅱ,18]已知{an}為等差數(shù)列,bn=記Sn,Tn分別為數(shù)列{an},{bn}的前n項(xiàng)和,S4=32,T3=16.(1)求{an}的通項(xiàng)公式;(2)證明:當(dāng)n>5時(shí),Tn>Sn.123456123456當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),Tn=a1-6+2a2+a3-6+2a4+a5-6+2a6+…+an-2-6+2an-1+an-6=(-1+14)+(3+22)+(7+30)+…+[(2n-7)+(4n+2)]+2n-3=[-1+3+…+(2n-7)+(2n-3)]+[14+22+…+(4n+2)]所以Tn>Sn.