2024-2025學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市岳麓區(qū)周南梅溪湖中學(xué)九年級(jí)（上）開(kāi)學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市岳麓區(qū)周南梅溪湖中學(xué)九年級(jí)（上）開(kāi)學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.下列方程中，是一元二次方程的是(

)A.4(x+2)=25 B.2x2+3x?1=0 C.2x+y=222.一元二次方程x2?4x=5的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)分別是(

)A.1，4，5 B.0，?4，?5 C.1，?4，5 D.1，?4，?53.用配方法解方程x2?6x?1=0時(shí)，配方結(jié)果正確的是(

)A.(x?3)2=10 B.(x?3)2=84.對(duì)于二次函數(shù)y=2(x?1)2?8，下列說(shuō)法正確的是A.圖象開(kāi)口向下 B.當(dāng)x>1時(shí)，y隨x的增大而減小

C.當(dāng)x<1時(shí)，y隨x的增大而減小 D.圖象的對(duì)稱(chēng)軸是直線x=?15.如圖，在長(zhǎng)為54米、寬為38米的矩形草地上修同樣寬的路，余下部分種植草坪.要使草坪的面積為1800平方米，設(shè)道路的寬為x米，則可列方程為(

)A.(54?x)(38?x)=1800

B.(54?x)(38?x)+x2=1800

C.54×38?54x?38x=18006.某種植物的主干長(zhǎng)出若干數(shù)目的支干，每個(gè)支干又長(zhǎng)出同樣數(shù)目的小分支，主干，支干、小分支的總數(shù)是91.設(shè)每個(gè)支干長(zhǎng)出x個(gè)分支，則可列方程為(

)A.x2+x+1=91 B.(x+1)2=91 7.若a是方程x2?x?1=0的一個(gè)根，則?a3A.2021 B.?2021 C.2020 D.?20208.在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=mx+m和函數(shù)y=mx2+2x+2(m是常數(shù)，且m≠0)的圖象可能是A.B.C.D.9.若點(diǎn)A(?2,y1)，B(2,y2)，C(3,y3)在拋物線y=2(x?1)A.y1<y2<y3 B.10.為了使居住環(huán)境更加美觀，某小區(qū)建造了一個(gè)小型噴泉，水流從地面上的點(diǎn)O噴出，在各個(gè)方向上沿形狀相同的拋物線落到地面，某方向上拋物線的形狀如圖所示，落點(diǎn)A到點(diǎn)O的距離為4，水流噴出的高度y(m)與水平距離x(m)之間近似滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=ax2+245xA.245m B.5m C.112二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。11.將一元二次方程3x(x?1)=2化成ax2+bx+c=0(a>0)12.把二次函數(shù)y=2x2的圖象先向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是______．13.當(dāng)m=______時(shí)，關(guān)于x的方程(m+2)xm+3+6x?9=014.已知方程x2?2x?4=0的兩根分別為x1和x2，則x15.關(guān)于x的一元二次方程(k?1)x2?2x+1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則k16.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示，下列結(jié)論：①bc>0；②x>0時(shí)，y隨x的增大而增大；③a+b+c>0；④不等式ax2+bx+c<0的解集是?1<x<3三、解答題：本題共6小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。17.(本小題20分)

解方程：

(1)x2+3x=0；

(2)3x(x?1)=2(1?x)；

(3)x2?6x+12=018.(本小題8分)

已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2(m+1)x+m2?1=0．

(1)若方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

(2)若方程兩實(shí)數(shù)根分別為x1，x219.(本小題14分)

已知二次函數(shù)y=?x2+2x+3．

(1)函數(shù)的開(kāi)口方向是______，對(duì)稱(chēng)軸是直線______；

(2)函數(shù)的頂點(diǎn)式為_(kāi)_____，與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是______；

(3)當(dāng)x______時(shí)，函數(shù)y隨x的增大而增大；當(dāng)______時(shí)，y的值小于0；

(4)該二次函數(shù)與一次函數(shù)y=x+120.(本小題10分)

2024年是農(nóng)歷甲辰龍年，含有“龍”元素的飾品深受大眾喜愛(ài).商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)一批單價(jià)為70元的“吉祥龍”公仔，并以每個(gè)80元售出.由于銷(xiāo)售火爆，公仔的銷(xiāo)售單價(jià)經(jīng)過(guò)兩次調(diào)整后，上漲到每個(gè)125元，此時(shí)每天可售出75個(gè)．

(1)若銷(xiāo)售單價(jià)每次上漲的百分率相同，求該百分率；

(2)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：銷(xiāo)售單價(jià)每降低1元，其銷(xiāo)售量相應(yīng)增加5個(gè).那么銷(xiāo)售單價(jià)應(yīng)降低多少，才能使每天所獲銷(xiāo)售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？21.(本小題10分)

在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過(guò)A(?4,0)，B(0,?4)，C(2,0)三點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點(diǎn)M為第三象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，△AMB的面積為S．

求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值．

(3)若點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線y=?x上的動(dòng)點(diǎn)，判斷有幾個(gè)位置能夠使得點(diǎn)P、Q、B、O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，直接寫(xiě)出相應(yīng)的點(diǎn)Q的坐標(biāo)．22.(本小題10分)

已知y是關(guān)于x的函數(shù)，若其圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(t,2t)，則稱(chēng)點(diǎn)P為函數(shù)圖象上的“周梅點(diǎn)”.例如：直線y=x?3上存在“周梅點(diǎn)”P(pán)(?3,?6)．

(1)在直線y=?x+1上是否存在“周梅點(diǎn)”？若存在，請(qǐng)求出”周梅點(diǎn)”的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(2)若拋物線y=?12x2+(23a+2)x?29a2?a+1上有“周梅點(diǎn)”，且“周梅點(diǎn)”為A(x1,y1)和B(參考答案1.B

2.D

3.A

4.C

5.A

6.A

7.C

8.D

9.C

10.A

11.3x12.y=2(x+3)13.?1

14.?4

15.k≤2且k≠1

16.①④

17.解：(1)x2+3x=0；

x(x+3)=0，

∴x1=0，x2=?3；

(2)3x(x?1)=2(1?x)；

3x(x?1)+2(x?1)=0，

(x?1)(3x+2)=0，

∴x1=1，x2=?23；

(3)x2?6x+12=0；

∵Δ=36?48=?12<0，18.解：(1)由題意有△=[2(m+1)]2?4(m2?1)≥0，

整理得8m+8≥0，

解得m≥?1，

∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是m≥?1；

(2)由兩根關(guān)系，得x1+x2=?2(m+1)，x1?x2=m2?1，

(x1?x19.解：二次函數(shù)y=?x2+2x+3，

(1)∵a=?1，b=2，c=3，

∴a<0，對(duì)稱(chēng)軸x=?b2a=?22×(?1)=1，

二次函數(shù)的開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為直線x=1，

(2)∵y=?x2+2x+3，

∴y=?(x2?2x+1)+4=?(x?1)2+4，

∴頂點(diǎn)式：y=?(x?1)2+4；

當(dāng)y=0時(shí)，?x2+2x+3=0，

即x2?2x?3=0，

∴(x+1)(x?3)=0，

∴x1=?1，x2=3，

∴與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(?1,0)(3,0)，

(3)∵二次函數(shù)的開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為直線x=1，

∴當(dāng)x≤1時(shí)，函數(shù)y隨x的增大而增大，

∵二次函數(shù)的開(kāi)口向下，與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(?1,0)(3,0)，

∴當(dāng)x<?1或x>3時(shí)，y的值小于0，

(4)y=?x2+2x+3y=x+1，

解得x=?1y=0或x=2y=3，

∴交點(diǎn)坐標(biāo)為(?1,0)，(2,3)．

20.解：(1)由題意，設(shè)每次上漲的百分率為m，

依題意，得：80(1+m)2=125，

解得：m1=0.25=25%，m2=?2.25(不合題意，舍去)21.解：(1)設(shè)此拋物線的函數(shù)解析式為：

y=ax2+bx+c(a≠0)，

將A(?4,0)，B(0,?4)，C(2,0)三點(diǎn)代入函數(shù)解析式得：

16a?4b+c=0c=?44a+2b+c=0

解得a=12b=1c=?4，

所以此函數(shù)解析式為：y=12x2+x?4；

(2)∵M(jìn)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，且點(diǎn)M在這條拋物線上，

∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為：(m,12m2?+m?4)，

∴S=S△AOM+S△OBM?S△AOB

=12×4×(?12m2?m+4)+12×4×(?m)?12×4×4

=?m2?2m+8?2m?8

=?m2?4m，

=?(m+2)2+4，

∵?4<m<0，

當(dāng)m=?2時(shí)，S有最大值為：S=?4+8=4．

答：m=?2時(shí)S有最大值S=4．

(3)設(shè)P(x,12x2+x?4)．

當(dāng)OB為邊時(shí)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)知PQ//OB，且PQ=OB，

∴Q的橫坐標(biāo)等于P的橫坐標(biāo)，

又∵直線的解析式為y=?x，

則Q(x,?x)．

由PQ=OB，得|?x?(12x2+x?4)|=4，

解得x=0，?422.解：(1)在直線y=?x+1上存在“周梅點(diǎn)”；理由如下：

設(shè)點(diǎn)P(t,2t)是直線y=?x+1上的“周梅點(diǎn)”，

∴?t+1=2t，

∴t=13，

∴直線y=x+1上的“周梅點(diǎn)”為(13,23)；

(2)設(shè)拋物線“周梅點(diǎn)”的坐標(biāo)為P(x,2x)，

將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入拋物線y=?12x2+(23a+2)x?29a2?a+1中得：

2x=?12x2+(23a+2)x?29a2?a+1，

?12x2+23ax?29a2?a+1=