2024-2025學(xué)年湖南省岳陽(yáng)一中高三（上）第二次檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年湖南省岳陽(yáng)一中高三（上）第二次檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合A={x∈Z|?3<x<3},B={x|y=x+1}，則A∩B=A.{?1,0,1,2} B.(?1,3) C.{0,1,2} D.(?1,+∞)2.復(fù)數(shù)2+i1?2i的共軛復(fù)數(shù)是(

)A.?35i B.35i 3.若?sinα+3cosα=2，則tanA.?3 B.3 C.4.已知等比數(shù)列an滿(mǎn)足a1=1,a3A.2 B.4 C.92 D.5.已知函數(shù)f(x)=ex?x2?bA.(0,4e2) B.(0,2e6.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知2acos2C2=b(1?cosA)+a，則A.等腰三角形 B.等邊三角形

C.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形7.函數(shù)f(x)=2sinπx?3x?x2A.6 B.7.5 C.9 D.128.設(shè)a=15,b=2ln(sin110+cos110A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.c<a<b二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知x>0，y>0，且x+2y=2，則(

)A.xy的最小值是1 B.x2+y2的最小值是45

C.2x+10.設(shè)函數(shù)f(x)=x3?xA.當(dāng)a=?1時(shí)，f(x)有三個(gè)零點(diǎn)

B.當(dāng)a≥13時(shí)，f(x)無(wú)極值點(diǎn)

C.?a∈R，使f(x)在R上是減函數(shù)

D.?a∈R，11.形如f(x)=ax+bx(a>0,b>0)的函數(shù)是我們?cè)谥袑W(xué)階段最常見(jiàn)的一個(gè)函數(shù)模型，因其形狀像極了老師給我們批閱作業(yè)所用的“√”，所以也稱(chēng)為“對(duì)勾函數(shù)”.研究證明，對(duì)勾函數(shù)可以看作是焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的雙曲線(xiàn)繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到，即對(duì)勾函數(shù)是雙曲線(xiàn).已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，下列關(guān)于函數(shù)f(x)=x+1A.漸近線(xiàn)方程為x=0和y=x

B.y=f(x)的對(duì)稱(chēng)軸方程為y=(2+1)x和y=(1?2)x

C.M，N是函數(shù)f(x)圖象上兩動(dòng)點(diǎn)，P為MN的中點(diǎn)，則直線(xiàn)MN，OP的斜率之積為定值

D.Q是函數(shù)f(x)圖象上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q作切線(xiàn)，交漸近線(xiàn)于三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知向量a=(1,2)，b=(2?λ,λ)，若a與b的夾角為銳角，則λ的取值范圍是______．13.數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1=1，a14.設(shè)等差數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為整數(shù)，首項(xiàng)a1=3，且對(duì)任意正整數(shù)n，總存在正整數(shù)m，使得a1+a2+???+an=am，則關(guān)于此數(shù)列公差d的論述中，正確的序號(hào)有______．

①公差d可以為1；

②公差d四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題12分)

在銳角△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且cosAa+cosBb=23sinC3a．

(1)求角16.(本小題12分)如圖，在四棱錐P?ABCD中，四邊形ABCD為矩形，AB=3，BC=2.△PAD為等邊三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E為AD的中點(diǎn)．(Ⅰ)求證：PE⊥AB；(Ⅱ)求平面PAC與平面ABCD夾角的余弦值．17.(本小題12分)

已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為12，左、右頂點(diǎn)分別為A、B，左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2.過(guò)右焦點(diǎn)F2的直線(xiàn)l交橢圓于點(diǎn)M、N，且△F1MN的周長(zhǎng)為16．

(1)18.(本小題12分)

設(shè)f(x)=ex．

(1)求證：直線(xiàn)y=x+1與曲線(xiàn)y=f(x)相切；

(2)設(shè)點(diǎn)P在曲線(xiàn)y=f(x)上，點(diǎn)Q在直線(xiàn)y=x?1上，求|PQ|的最小值；

(3)若正實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足：對(duì)于任意x∈R，都有f(x)≥ax+b，求ab19.(本小題12分)

數(shù)列{an}的前n項(xiàng)a1，a2，…，an(n∈N?)組成集合An={a1,a2,…,an}，從集合An中任取k(k=1,2,3,…,n)個(gè)數(shù)，其所有可能的k個(gè)數(shù)的乘積的和為T(mén)k(若只取一個(gè)數(shù)，規(guī)定乘積為此數(shù)本身)，例如：對(duì)于數(shù)列{2n?1}，當(dāng)n=1時(shí)，A1={1}，T1=1；n=2時(shí)，A2={1,3}，T1=1+3，T2=1?3；

(1)若集合An={1,3,5,…,2n?1}，求當(dāng)n=3時(shí)，T1，T2，T3的值；

(2)若集合An={1,3,7,…,參考答案1.A

2.C

3.C

4.B

5.A

6.D

7.C

8.B

9.BC

10.BD

11.ABD

12.(?2,413.1,n=1214.①②③

15.(本題滿(mǎn)分為12

分)

解：(1)銳角△ABC中，cosAa+cosBb=23sinC3a，

∴bcosA+acosB=233bsinC，

由正弦定理得sinBcosA+cosBsinA=233sinBsinC，

∴sin(A+B)=233sinBsinC，

又sin(A+B)=sinC≠0，

∴sinB=32，

又0<B<π2，

∴B=π3…6分

(2)由正弦定理asinA=16.解：(I)因?yàn)椤鱌AD為正三角形，E為AD中點(diǎn)，

所以PE⊥AD．

因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PE?平面PAD，

所以PE⊥平面ABCD．

因?yàn)锳B?平面ABCD，

所以PE⊥AB．

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，PE⊥平面ABCD．

取BC中點(diǎn)F，連結(jié)EF．

因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形，E為AD中點(diǎn)，

所以EF⊥AD．

所以EA，EF，EP兩兩垂直．

分別以EA，EF，EP為x軸，y軸，z軸，建立

空間直角坐標(biāo)系E?xyz．

則E(0,0,0)，A(1,0,0)，P(0,0,3)，C(?1,3,0)

所以PA=(1,0,?3)，AC=(?2,3,0)．

設(shè)平面PAC的法向量n=(x,y,z)，

由n?PA=0,n?AC=0,得x?3z=0,?2x+3y=0.

令z=3，得x=3，y=2．

所以n=(3,2,3).

17.解：(1)由△F1MN的周長(zhǎng)為16，及橢圓的定義，可知：4a=16，即a=4，

又離心率為c=ca=12，所以c=2，

b2=a2?c2=16?4=12．

所以橢圓C的方程為：x216+y212=1．

(2)依題意，直線(xiàn)l與x軸不重合，

設(shè)l的方程為：x=my+2．

聯(lián)立x216+y212=1x=my+2得：(3m2+4)y2+12my?36=0，

因?yàn)镕2在橢圓內(nèi)，所以18.解：(1)證明：設(shè)直線(xiàn)y=x+1與f(x)=ex相切于點(diǎn)(x0,ex0)，

易知f′(x)=ex，則斜率k=f′(x0)=ex0=1，解得x0=0，即切點(diǎn)為(0,1)；

此時(shí)切線(xiàn)方程為y?1=x，即y=x+1，

所以可得直線(xiàn)y=x+1是曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(0,1)處的切線(xiàn)方程；

(2)根據(jù)題意，將直線(xiàn)y=x?1往靠近曲線(xiàn)y=f(x)的方向平移，

當(dāng)平移到直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切時(shí)，切點(diǎn)P與直線(xiàn)間的距離最近，

設(shè)切線(xiàn)方程為y=x+c，

由(1)可知，當(dāng)切線(xiàn)斜率為1時(shí)，切點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1)，此時(shí)切線(xiàn)方程為y=x+1，

此時(shí)P(0,1)，從P點(diǎn)向直線(xiàn)y=x?1作垂線(xiàn)，垂足為Q，此時(shí)|PQ|取最小值，

即|PQ|=21+1=2，

所以|PQ|的最小值為2；

(3)若對(duì)于任意x∈R，都有f(x)≥ax+b，即可得ex?ax?b≥0恒成立，

令g(x)=ex?ax?b，則g′(x)=ex?a，

當(dāng)a≤0時(shí)，g′(x)=ex?a>0恒成立，即g(x)在x∈R上單調(diào)遞增，

顯然當(dāng)x趨近于?∞時(shí)，不等式并不恒成立，不合題意；

當(dāng)a>0時(shí)，令g′(x)=ex?a=0，解得x=lna，

所以當(dāng)x∈(?∞,lna)時(shí)，g′(x)<0，此時(shí)g(x)在(?∞,lna)上單調(diào)遞減，

當(dāng)x∈(lna,+∞)時(shí)，g′(x)>0，此時(shí)g(x)在(lna,+∞)上單調(diào)遞增，

所以g(x)在x=lna處取得最小值，

即滿(mǎn)足g(x)min=g(lna)=elna?alna?b=a?alna?b≥0即可，

即b≤a?alna，

由a>0可得ab≤a19.(1)解：當(dāng)n=3時(shí)，A3={1,3,5}，

T1=1+3+5=9，T2=1×3+1×5+3×5=23，T3=1×3×5=15．

(2)證明：當(dāng)n=k+1時(shí)，集合Ak+1有k+1個(gè)元素，比n=k時(shí)的集合Ak多了一個(gè)元素：ak+1=2k+1?1.∴對(duì)應(yīng)的Tm′包含兩個(gè)部分：

(i)若Tm′中不含ak+1，則Tm′中的任何一項(xiàng)恰好為n=k