2023-2024學(xué)年廣東省珠海一中平沙校區(qū)高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2023-2024學(xué)年廣東省珠海一中平沙校區(qū)高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合M={x|0<x<5}，N={x|?x2?x+6?0}，則M∩N=A.{x|0<x<2} B.{x|0<x<3} C.{x|?2<x<5} D.{x|0<x?2}2.已知角α的終邊過點(diǎn)P(12,?5)，則角α的正弦值為(

)A.?513 B.1213 C.?3.下列四組函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)的是(

)A.y=x與y=x2

B.y=(3x)3與y=x2x4.函數(shù)f(x)=2x+3x?15的零點(diǎn)所在區(qū)間為A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)5.已知tanα=2，則2sinαcosαcosA.22 B.?22 C.6.已知a，b，c∈R，則“2a<2b”是“aA.充要條件 B.充分不必要條件

C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件7.已知函數(shù)f(x)=2x?1,x?2,1f(x?1),x>2,則A.2lg5?1 B.1+2lg5 C.12 D.8.已知x，y是正實(shí)數(shù)，且2x+y=1，則1x+1yA.16+42 B.11+230 C.二、多選題：本題共4小題，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.下列結(jié)論正確的是(

)A.“?n∈N，n2?n+1=0”的否定是“?n∈N，n2?n+1≠0”

B.?a∈R，方程x2?ax?1=0有實(shí)數(shù)根

C.?n∈N，n2+1是4的倍數(shù)10.若lna>lnb，則下列結(jié)論正確的是(

)A.1a<1b B.1a>11.已知函數(shù)f(x)=x2+mx+n(m>0)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是A.m2?n2?4

B.0<m2+1n<4

C.不等式12.已知tanα?tanβ=tan(α?β)，其中α≠kπ2(k∈Z)且A.sinαsinβ=0 B.sin(α?β)=0

C.cos(α?β)=1 三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.tan150°=______．14.寫出函數(shù)y=2?cosx在[0,2π]上的一個(gè)減區(qū)間：______．15.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=ex+sinx?3，則f(x)的解析式為f(x)=16.在數(shù)學(xué)中連乘符號(hào)是“Π”，例如：若x∈N?，則x=110x=1×2×3×?×10.已知函數(shù)f(x)=logx+1(x+2),g(m)=x=1m四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題10分)

計(jì)算：

(1)(?4)2+18.(本小題12分)

已知α，β為銳角，且sin(2π+α)cos(11π2+α)cos(α?π)sin(?α)sin(3π?α)cos(α?19.(本小題12分)

已知函數(shù)f(x)=ax2+15x+c，不等式f(x)>0的解集是(0,5)．

(1)求f(x)的解析式；

(2)若存在x∈[?1,1]，使得不等式tf(x)?3有解，求實(shí)數(shù)t20.(本小題12分)

已知函數(shù)f(x)=ax?3(a>0且a≠1)的圖象過定點(diǎn)M，函數(shù)g(x)=2log2(x+1a)與f(x)的圖象交于點(diǎn)M．

(1)若f(x)+2f(?x)+6=0，求x的值；

21.(本小題12分)

已知冪函數(shù)f(x)=(a2?a?1)xa?1(a∈R)在(0,+∞)上是增函數(shù)．

(1)求f(x)的解析式；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=log22.(本小題12分)

已知函數(shù)f(x)=sinπ3x,g(x)=e?x?ex2．

(1)若f(3απ+1)=23，求f(2?3α答案解析1.D

【解析】解：由?x2?x+6?0，得(x+3)(x?2)?0，

，則M∩N={x|0<x?2}．

故選：D．

由?x22.A

【解析】解：r=x2+y2=123.D

【解析】解：A中兩個(gè)函數(shù)的值域不一樣；

B，C中兩個(gè)函數(shù)的定義域不一樣；

D中兩個(gè)函數(shù)的定義域、值域、對(duì)應(yīng)法則都一樣．

故選：D．

由已知結(jié)合函數(shù)的定義檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷．

本題考查函數(shù)相等的定義，指數(shù)運(yùn)算，零次冪，對(duì)數(shù)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．4.C

【解析】解：f(2)=22+3×2?15=?5<0，f(3)=23+3×3?15=2>0，

由零點(diǎn)存在定理，可知零點(diǎn)所在區(qū)間為(2,3)．

故選：5.B

【解析】解：∵tanα=2，

∴2sinαcosαcos2α?sin2α6.C

【解析】解：由2a<2b，得a<b，

當(dāng)c=0時(shí)，得不到ac2<bc2；

由ac2<bc2，得a<b，所以2a<2b，7.D

【解析】解：因?yàn)?<lg5<1，2024+lg5>2，2+lg5>2，1+lg5<2，

所以f(2024+lg5)=1f(2023+lg5)=f(2022+lg5)=1f(2021+lg5)=f(2020+lg5)=?=f(2+lg5)=1f(1+lg5)=8.B

【解析】解：因?yàn)閤，y是正實(shí)數(shù)，且2x+y=1，

所以1x+1y+2xy=(1x+1y)(2x+y)+29.AB

【解析】解：根據(jù)含有量詞的命題的否定形式，可得“?n∈N，n2?n+1=0”的否定是“?n∈N，n2?n+1≠0”，A正確．

對(duì)于方程x2?ax?1=0，因?yàn)棣?(?a)2?4×(?1)=a2+4>0，所以該方程有實(shí)數(shù)根，故B正確．

當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，顯然n2+1不是4的倍數(shù)；n為奇時(shí)，設(shè)n=2k+1，k∈N，則n2+1=4k2+4k+2，也不是4的倍數(shù)．

因此，不存在n∈N，使n2+1是4的倍數(shù)，故C不正確．

根據(jù)扇形的面積公式，可得半徑為3，且圓心角為π3的扇形的面積S=110.AD

【解析】解：由lna>lnb，得0<b<a，所以1a<1b，A正確，B錯(cuò)誤；

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=(12)x?x在(0,+∞)上單調(diào)遞減且a>b，

則(12)a?a<(12)11.ACD

【解析】解：因?yàn)閒(x)=x2+mx+n(m>0)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，

所以Δ=m2?4n=0，即m2=4n>0．

對(duì)于A，m2?n2?4等價(jià)于n2?4n+4?0，顯然(n?2)2?0，A正確．

對(duì)于B,m2+1n=4n+1n?24n?1n=4，當(dāng)且僅當(dāng)n=12,m=2時(shí)，等號(hào)成立，B錯(cuò)誤．

對(duì)于C，因?yàn)棣?m2?4n=0，所以不等式x2+mx+n<0的解集為?，C正確．

對(duì)于12.BD

【解析】解：因?yàn)閠anα?tanβ=tan(α?β)，其中α≠kπ2(k∈Z)且β≠mπ2(m∈Z)，

所以tanα?tanβ=sinαcosα?sinβcosβ=sinαcosβ?sinβcosαcosαcosβ=sin(α?β)cosαcosβ=sin(α?β)cos(α?β)，

所以sin(α?β)=0或cos(α?β)=cosαcosβ，即sin(α?β)=0或sinαsinβ=0．

因?yàn)棣痢賙π2(k∈Z)且β≠13.?【解析】解：tan150°=tan(180°?30°)=?tan30°=?33．

故答案為：?14.(π,2π)?(答案不唯一)

【解析】解：函數(shù)y=2?cosx的減區(qū)間為y=cosx的增區(qū)間，即[?π+2kπ,2kπ]，k∈Z，

據(jù)此只需寫[π,2π]內(nèi)的任何一個(gè)非空子集，例如(π,2π)．

故答案為：(π,2π)(答案不唯一)．

利用余弦函數(shù)的單調(diào)性求解即可．

本題主要考查三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，屬于基礎(chǔ)題．15.?e【解析】解：因?yàn)閒(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(0)=0，f(?x)=?f(x)．

當(dāng)x<0時(shí)，?x>0，f(?x)=e?x+sin(?x)?3=e?x?sinx?3，

所以當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=?f(?x)=?e?x+sinx+3．

16.8

【解析】解：由題意得，g(m)=lg3lg2×lg4lg3×?×lg(m+2)lg(m+1)=lg(m+2)lg2=log2(m+2)．

要使g(m)為整數(shù)，則m+2=2n，n∈N?．

∵m∈(2,2024]，∴2n=m+2∈(4,2026]．

∵22=4，23=8，?，210=1024，21117.解：(1)原式=(?4)2+3(?5)3+[(?1)4]π+8×2

【解析】(1)結(jié)合指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)即可求解；

(2)結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求解．

本題考查指數(shù)運(yùn)算，對(duì)數(shù)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．18.解：(1)∵sin(2π+α)cos(11π2+α)cos(α?π)sin(?α)sin(3π?α)cos(α?π2)=sinα?sinα?(?cosα)?sinα?sinα?sinα=cosαsinα=3，

∴cosα=3sinα．

∵sin2α+cos【解析】(1)利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求得sinα，cosα的值，則答案可求；

(2)由sinβ=sin[(α+β)?α]，展開兩角差的正弦求解．19.解：(1)因?yàn)椴坏仁絝(x)>0的解集是(0,5)，

所以a<0，且0，5是一元二次方程ax2+15x+c=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

可得c=0,25a+75+c=0,得a=?3,c=0,，

所以f(x)=?3x2+15x．

(2)由tf(x)?3，得t(?3x2+15x)?3，即tx2?5tx+1?0．

令g(x)=tx2?5tx+1，x∈[?1,1]，

由題可知g(x)?0有解，即g(x)min?0即可．

當(dāng)t=0時(shí)，g(x)=1<0，顯然不合題意．

當(dāng)t≠0時(shí)，g(x)圖象的對(duì)稱軸為直線x=52．

①當(dāng)t>0時(shí)，g(x)在[?1,1]上單調(diào)遞減，

所以g(x)min=g(1)=?4t+1?0【解析】(1)由已知結(jié)合二次不等式與二次方程的轉(zhuǎn)化關(guān)系及方程的根與系數(shù)關(guān)系可求a，c，進(jìn)而可求函數(shù)解析式；

(2)由已知結(jié)合存在性問題與最值關(guān)系的轉(zhuǎn)化即可求解．

本題考查一元二次不等式的解，二次函數(shù)與一元二次方程，二次函數(shù)與一元二次不等式的關(guān)系，二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)等，屬于中檔題．20.解：(1)因?yàn)閷?duì)任意的a>0且a≠1，都有f(0)=?2，

所以f(x)的圖象過定點(diǎn)M(0,?2)，

又因?yàn)辄c(diǎn)M(0,?2)在y=g(x)的圖象上，

所以g(0)=2log21a=?2，解得a=2，

所以f(x)=2x?3，g(x)=2log2(x+12)，

由f(x)+2f(?x)+6=0，得2x+2×2?x?3=0，

令2x=t，則t>0，且t+2t?3=0，整理得t2?3t+2=0，即(t?1)(t?2)=0，

所以t=1或2，即2x=1或2x=2，解得x=0或1．

(2)f(g(x))=2log2(x+12)【解析】(1)利用指數(shù)為零時(shí)，冪恒為1求出定點(diǎn)M的坐標(biāo)，進(jìn)而求出a的值，然后利用換元法解方程；

(2)分離參數(shù)k，然后研究函數(shù)φ(x)=4x221.解：(1)因?yàn)閒(x)=(a2?a?1)xa?1是冪函數(shù)，

所以a2?a?1=1，

解得a=2或a=?1．

又f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù)，則a?1>0，即a>1，

所以a=2，則f(x)=x．

(2)由(1)得a=2，所以g(x)=log2(x+2)?log2(x?1)=log2x+2x?1=log2(1+3x?1)【解析】(1)由冪函數(shù)可得a值，可得解析式．

(2)根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可求出最小值．

本題考查冪函數(shù)的解析式及性質(zhì)，對(duì)數(shù)的簡(jiǎn)單運(yùn)算，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性與最值的求解，屬于中檔題．22.解：(1)由f(3απ+1)=23，得sin(α+π3)=23，

∴f(2?3απ)=sin(2π