近五年2024-2025高考數(shù)學真題分類匯編09計數(shù)原理含解析

九、計數(shù)原理一、單選題1．（2024·全國（理））將4個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為（）A． B． C． D．2．（2024·全國（文））將3個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為（）A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.83．（2024·全國（理））將5名北京冬奧會志愿者安排到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項目進行培訓，每名志愿者只安排到1個項目，每個項目至少安排1名志愿者，則不同的安排方案共有（）A．60種 B．120種 C．240種 D．480種4．（2024·海南）要支配3名學生到2個鄉(xiāng)村做志愿者，每名學生只能選擇去一個村，每個村里至少有一名志愿者，則不同的支配方法共有（）A．2種 B．3種 C．6種 D．8種5．（2024·北京）在的綻開式中，的系數(shù)為（）．A． B．5 C． D．106．（2024·海南）6名同學到甲、乙、丙三個場館做志愿者，每名同學只去1個場館，甲場館支配1名，乙場館支配2名，丙場館支配3名，則不同的支配方法共有（）A．120種 B．90種C．60種 D．30種7．（2024·全國（文））如圖，將鋼琴上的12個鍵依次記為a1，a2，…，a12.設1≤i<j<k≤12．若k–j=3且j–i=4，則稱ai，aj，ak為原位大三和弦；若k–j=4且j–i=3，則稱ai，aj，ak為原位小三和弦．用這12個鍵可以構成的原位大三和弦與原位小三和弦的個數(shù)之和為（）A．5 B．8 C．10 D．158．（2024·全國（理））的綻開式中x3y3的系數(shù)為（）A．5 B．10C．15 D．209．（2024·全國（文））兩位男同學和兩位女同學隨機排成一列，則兩位女同學相鄰的概率是A． B． C． D．10．（2024·全國（理））（1+2x2）（1+x）4的綻開式中x3的系數(shù)為A．12 B．16 C．20 D．2411．（2024·全國（理））我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的改變．每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻“——”和陰爻“——”，如圖就是一重卦．在全部重卦中隨機取一重卦，則該重卦恰有3個陽爻的概率是A． B． C． D．12．（2024·全國（理））的綻開式中的系數(shù)為A．10 B．20 C．40 D．8013．（2017·全國（理））(+)(2-)5的綻開式中33的系數(shù)為A．-80 B．-40 C．40 D．8014．（2017·全國（理））（2017新課標全國卷Ⅰ理科）綻開式中的系數(shù)為A．15 B．20C．30 D．3515．（2017·全國（理））支配3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項，每項工作由1人完成，則不同的支配方式共有A．12種 B．18種 C．24種 D．36種16．（2017·全國（理））支配3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項，每項工作由1人完成，則不同的支配方式共有A．12種 B．18種 C．24種 D．36種17．（2024·浙江）已知多項式，則___________，___________.18．（2024·浙江）設，則________；________．19．（2024·浙江）在二項式的綻開式中，常數(shù)項是________；系數(shù)為有理數(shù)的項的個數(shù)是_______.20．（2017·浙江）已知多項式2=，則=________________，=________.二、填空題21．（2024·天津）在的綻開式中，的系數(shù)是_________．22．（2024·全國（理））的綻開式中常數(shù)項是__________（用數(shù)字作答）．23．（2024·全國（理））4名同學到3個小區(qū)參與垃圾分類宣揚活動，每名同學只去1個小區(qū)，每個小區(qū)至少支配1名同學，則不同的支配方法共有__________種.24．（2024·天津（理））綻開式中的常數(shù)項為________.25．（2024·上海）在的二項綻開式中，常數(shù)項的值為__________26．（2024·上海）首屆中國國際進口博覽會在上海實行，某高校擬派4人參與連續(xù)5天的志愿者活動，其中甲連續(xù)參與2天，其他人各參與1天，則不同的支配方法有_____種（結果用數(shù)值表示）27．（2024·上海）在的二項綻開式中，項的系數(shù)為.（結果用數(shù)值表示）．28．（2024·浙江）從1，3，5，7，9中任取2個數(shù)字，從0，2，4，6中任取2個數(shù)字，一共可以組成___________個沒有重復數(shù)字的四位數(shù).(用數(shù)字作答)29．（2024·浙江）二項式的綻開式的常數(shù)項是___________．30．（2024·天津（理））在二項式的綻開式中，的系數(shù)為__________．31．（2024·全國（理））從位女生，位男生中選人參與科技競賽，且至少有位女生入選，則不同的選法共有_____________種．（用數(shù)字填寫答案）32．（2017·天津（理））用數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8，9組成沒有重復數(shù)字，且至多有一個數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)一共有___________個.（用數(shù)字作答）33．（2017·山東（理））已知的綻開式中含有項的系數(shù)是54，則n=_____________.34．（2017·浙江）從6男2女共8名學生中選出隊長1人，副隊長1人，一般隊員2人，組成4人服務隊，要求服務隊中至少有1名女生，共有__________種不同的選法．（用數(shù)字作答）四、解答題35．（2024·江蘇）設.已知.（1）求n的值；（2）設，其中，求的值.近五年（2017-2025）高考數(shù)學真題分類匯編九、計數(shù)原理（答案解析）1．C【分析】采納插空法，4個1產生5個空，分2個0相鄰和2個0不相鄰進行求解.【解析】將4個1和2個0隨機排成一行，可利用插空法，4個1產生5個空，若2個0相鄰，則有種排法，若2個0不相鄰，則有種排法，所以2個0不相鄰的概率為.故選：C.2．C【解析】解：將3個1和2個0隨機排成一行，可以是：，共10種排法，其中2個0不相鄰的排列方法為：，共6種方法，故2個0不相鄰的概率為，故選：C.3．C【分析】先確定有一個項目中安排2名志愿者，其余各項目中安排1名志愿者，然后利用組合，排列，乘法原理求得.【解析】依據(jù)題意，有一個項目中安排2名志愿者，其余各項目中安排1名志愿者，可以先從5名志愿者中任選2人，組成一個小組，有種選法；然后連同其余三人，看成四個元素，四個項目看成四個不同的位置，四個不同的元素在四個不同的位置的排列方法數(shù)有4！種，依據(jù)乘法原理，完成這件事，共有種不同的安排方案，故選：C.4．C【分析】首先將3名學生分成兩個組，然后將2組學生支配到2個村即可.【解析】第一步，將3名學生分成兩個組，有種分法其次步，將2組學生支配到2個村，有種支配方法所以，不同的支配方法共有種故選：C5．C【分析】首先寫出綻開式的通項公式，然后結合通項公式確定的系數(shù)即可.【解析】綻開式的通項公式為：，令可得：，則的系數(shù)為：.故選：C.【小結】二項式定理的核心是通項公式，求解此類問題可以分兩步完成：第一步依據(jù)所給出的條件(特定項)和通項公式，建立方程來確定指數(shù)(求解時要留意二項式系數(shù)中n和r的隱含條件，即n，r均為非負整數(shù)，且n≥r，如常數(shù)項指數(shù)為零、有理項指數(shù)為整數(shù)等)；其次步是依據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項．6．C【分析】分別支配各場館的志愿者，利用組合計數(shù)和乘法計數(shù)原理求解.【解析】首先從名同學中選名去甲場館，方法數(shù)有；然后從其余名同學中選名去乙場館，方法數(shù)有；最終剩下的名同學去丙場館.故不同的支配方法共有種.故選：C【小結】本小題主要考查分步計數(shù)原理和組合數(shù)的計算，屬于基礎題.7．C【分析】依據(jù)原位大三和弦滿意，原位小三和弦滿意從起先，利用列舉法即可解出．【解析】依據(jù)題意可知，原位大三和弦滿意：．∴；；；；．原位小三和弦滿意：．∴；；；；．故個數(shù)之和為10．故選：C．【小結】本題主要考查列舉法的應用，以及對新定義的理解和應用，屬于基礎題．8．C【分析】求得綻開式的通項公式為（且），即可求得與綻開式的乘積為或形式，對分別賦值為3，1即可求得的系數(shù)，問題得解.【解析】綻開式的通項公式為（且）所以的各項與綻開式的通項的乘積可表示為：和在中，令，可得：，該項中的系數(shù)為，在中，令，可得：，該項中的系數(shù)為所以的系數(shù)為故選：C【小結】本題主要考查了二項式定理及其綻開式的通項公式，還考查了賦值法、轉化實力及分析實力，屬于中檔題.9．D【分析】男女生人數(shù)相同可利用整體發(fā)分析出兩位女生相鄰的概率，進而得解.【解析】兩位男同學和兩位女同學排成一列，因為男生和女生人數(shù)相等，兩位女生相鄰與不相鄰的排法種數(shù)相同，所以兩位女生相鄰與不相鄰的概率均是．故選D．【小結】本題考查常見背景中的古典概型，滲透了數(shù)學建模和數(shù)學運算素養(yǎng)．實行等同法，利用等價轉化的思想解題．10．A【分析】本題利用二項綻開式通項公式求綻開式指定項的系數(shù)．【解析】由題意得x3的系數(shù)為，故選A．【小結】本題主要考查二項式定理，利用綻開式通項公式求綻開式指定項的系數(shù)．11．A【分析】本題主要考查利用兩個計數(shù)原理與排列組合計算古典概型問題，滲透了傳統(tǒng)文化、數(shù)學計算等數(shù)學素養(yǎng)，“重卦”中每一爻有兩種狀況，基本領件計算是住店問題，該重卦恰有3個陽爻是相同元素的排列問題，利用干脆法即可計算．【解析】由題知，每一爻有2種狀況，一重卦的6爻有狀況，其中6爻中恰有3個陽爻狀況有，所以該重卦恰有3個陽爻的概率為=，故選A．【小結】對利用排列組合計算古典概型問題，首先要分析元素是否可重復，其次要分析是排列問題還是組合問題．本題是重復元素的排列問題，所以基本領件的計算是“住店”問題，滿意條件事務的計算是相同元素的排列問題即為組合問題．12．C【解析】分析：寫出，然后可得結果解析：由題可得令,則所以故選C.小結：本題主要考查二項式定理，屬于基礎題．13．C【解析】，由綻開式的通項公式可得：當時，綻開式中的系數(shù)為；當時，綻開式中的系數(shù)為，則的系數(shù)為.故選C.14．C【解析】因為，則綻開式中含的項為，綻開式中含的項為，故的系數(shù)為，選C.小結:對于兩個二項式乘積的問題，用第一個二項式中的每項乘以其次個二項式的每項，分析含的項共有幾項，進行相加即可.這類問題的易錯點主要是未能分析清晰構成這一項的詳細狀況，尤其是兩個二項綻開式中的不同.15．D【解析】4項工作分成3組,可得：=6，支配3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項，每項工作由1人完成，可得：種．故選D.16．D【解析】4項工作分成3組,可得：=6，支配3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項，每項工作由1人完成，可得：種．故選D.17．;.【分析】依據(jù)二項綻開式定理，分別求出的綻開式，即可得出結論.【解析】，，所以，，所以.故答案為：.18．【分析】利用二項式綻開式的通項公式計算即可.【解析】的通項為，令，則，故；.故答案為：；.【點晴】本題主要考查利用二項式定理求指定項的系數(shù)問題，考查學生的數(shù)學運算實力，是一道基礎題.19．【分析】本題主要考查二項式定理、二項綻開式的通項公式、二項式系數(shù)，屬于常規(guī)題目.從寫出二項綻開式的通項入手，依據(jù)要求，考察的冪指數(shù)，使問題得解.【解析】的通項為可得常數(shù)項為，因系數(shù)為有理數(shù)，，有共5個項【小結】此類問題解法比較明確，首要的是要精確記憶通項公式，特殊是“冪指數(shù)”不能記混，其次，計算要細心，確保結果正確.20．164【解析】由二項式綻開式可得通項公式為：，分別取和可得，取，可得．【小結】本題主要考查二項式定理的通項與系數(shù)，屬于簡潔題．二項綻開式定理的問題也是高考命題熱點之一，關于二項式定理的命題方向比較明確，主要從以下幾個方面命題：（1）考查二項綻開式的通項公式；（可以考查某一項，也可考查某一項的系數(shù)）（2）考查各項系數(shù)和和各項的二項式系數(shù)和；（3）二項式定理的應用．21．10【分析】寫出二項綻開式的通項公式，整理后令的指數(shù)為2，即可求出．【解析】因為的綻開式的通項公式為，令，解得．所以的系數(shù)為．故答案為：．【小結】本題主要考查二項綻開式的通項公式的應用，屬于基礎題．22．【分析】寫出二項式綻開通項，即可求得常數(shù)項.【解析】其二項式綻開通項：當，解得的綻開式中常數(shù)項是：.故答案為：.【小結】本題考查二項式定理，利用通項公式求二項綻開式中的指定項，解題關鍵是駕馭的綻開通項公式，考查了分析實力和計算實力，屬于基礎題.23．【分析】依據(jù)題意，有且只有2名同學在同一個小區(qū)，利用先選后排的思想，結合排列組合和乘法計數(shù)原理得解.【解析】4名同學到3個小區(qū)參與垃圾分類宣揚活動，每名同學只去1個小區(qū)，每個小區(qū)至少支配1名同學先取2名同學看作一組，選法有：現(xiàn)在可看成是3組同學安排到3個小區(qū)，分法有：依據(jù)分步乘法原理，可得不同的支配方法種故答案為：.【小結】本題主要考查了計數(shù)原理的綜合應用，解題關鍵是駕馭分步乘法原理和捆綁法的運用，考查了分析實力和計算實力，屬于中檔題.24．【分析】依據(jù)二項綻開式的通項公式得出通項，依據(jù)方程思想得出的值，再求出其常數(shù)項．【解析】，由，得，所以的常數(shù)項為.【小結】本題考查二項式定理的應用，牢記常數(shù)項是由指數(shù)冪為0求得的．25．15【分析】寫出二項綻開式通項，通過得到，從而求得常數(shù)項.【解析】二項綻開式通項為：當時，常數(shù)項為：本題正確結果：【小結】本題考查二項式定理的應用，屬于基礎題.26．24【分析】首先支配甲，可知連續(xù)天的狀況共有種，其余的人全排列，相乘得到結果.【解析】在天里，連續(xù)天的狀況，一共有種剩下的人全排列：故一共有：種【小結】本題考查基礎的排列組合問題，解題的關鍵在于對排列組合問題中的特殊元素，要優(yōu)先考慮，然后再考慮一般元素.27．21.【分析】利用二項式綻開式的通項公式求得綻開式中x2的系數(shù)．【解析】二項式（1+x）7綻開式的通項公式為Tr+1=?xr，令r=2，得綻開式中x2的系數(shù)為=21．故答案為21．【小結】求二項綻開式有關問題的常見類型及解題策略(1)求綻開式中的特定項.可依據(jù)條件寫出第r＋1項，再由特定項的特點求出r值即可.(2)已知綻開式的某項，求特定項的系數(shù).可由某項得出參數(shù)項，再由通項寫出第r＋1項，由特定項得出r值，最終求出其參數(shù).28．1260.【解析】分析:按是否取零分類探討，若取零，則先排首位，最終依據(jù)分類與分步計數(shù)原理計數(shù).解析：若不取零，則排列數(shù)為若取零，則排列數(shù)為因此一共有個沒有重復數(shù)字的四位數(shù).小結：求解排列、組合問題常用的解題方法：(1)元素相鄰的排列問題——“捆邦法”；(2)元素相間的排列問題——“插空法”；(3)元素有依次限制的排列問題——“除序法”；(4)帶有“含”與“不含”“至多”“至少”的排列組合問題——間接法.29．7【解析】分析:先依據(jù)二項式綻開式的通項公式寫出第r+1項，再依據(jù)項的次數(shù)為零解得r，代入即得結果.解析：二項式的綻開式的通項公式為,令得，故所求的常數(shù)項為小結：求二項綻開式有關問題的常見類型及解題策略：(1)求綻開式中的特定項.可依據(jù)條件寫出第項，再由特定項的特點求出值即可.(2)已知綻開式的某項，求特定項的系數(shù).可由某項得出參數(shù)的值，再由通項寫出第項，由特定項得出值，最終求出特定項的系數(shù).30．.【分析】由題意結合二項式定理綻開式的通項公式得到的值，然后求解的