湖南省衡陽市船山英文學(xué)校2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期入學(xué)考試 數(shù)學(xué)試卷含答案

衡陽市船山英文學(xué)校2024~2025年度第一學(xué)期高三年級入學(xué)試卷（數(shù)學(xué)）一?選擇題：（共8小題，每題5分，共40分）1．已知集合，集合，則的真子集個數(shù)為（

）A． B． C． D．2．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限3．在杭州亞運(yùn)會上，我國選手盛李豪奪得射擊第一枚金牌，他射擊的方向向量，另一名選手余浩楠射擊的方向向量，若則（

）A． B． C． D．164．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，求的取值范圍（

）A． B． C． D．5．已知為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，為常數(shù)列，則（

）A．是的充分不必要條件 B．是的必要不充分條件C．是充要條件 D．是的既不充分也不必要條件6．已知，則（

）A． B． C． D．17．已知圓與圓，過動點(diǎn)分別作圓?圓的切線（分別為切點(diǎn)），若，則到圓距離的最小值是（

）A． B． C． D．8．橢圓，若橢圓上存在不同的兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱，則實(shí)數(shù)的取值范圍（

）A． B． C． D．二?多選題：（共3小題，每題6分，共18分）9．有一組樣本數(shù)據(jù)，由這組樣本得到新樣本數(shù)據(jù)，其中，則（

）A．的中位數(shù)為，則的中位數(shù)為B．的平均數(shù)為，則的平均數(shù)為C．的方差為，則的方差為D．的極差為，則的極差為10．2008年世界衛(wèi)生組織的事故調(diào)查顯示，大約的交通事故與酒后駕駛有關(guān).在中國，每年由于酒后駕車引發(fā)的交通事故達(dá)數(shù)萬起；而造成死亡的事故中以上都與酒后駕車有關(guān)，酒后駕車的危害觸目驚心，已經(jīng)成為交通事故的第一大“殺手”.為了保障交通安全，根據(jù)國家有關(guān)規(guī)定：100血液中酒精含量達(dá)到20~79的駕駛員即為酒后駕車，80及以上認(rèn)定為醉酒駕車.假設(shè)某駕駛員喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量會以每小時的速度減少，則（

）A．若血液中的酒精含量為，則在停止喝酒后經(jīng)過了2個小時B．4小時后，血液中的酒精含量可以降低到以下C．5小時后，血液中的酒精含量可以降低到以下D．設(shè)小時后，血液中的酒精含量為，則11．已知函數(shù)的部分圖象如圖，則關(guān)于函數(shù)的描述正確的是（

）

A．關(guān)于對稱B．關(guān)于點(diǎn)對稱C．在區(qū)間上單調(diào)遞增D．在區(qū)間上的最大值為3三?填空題：（共3小題，每題5分，共15分）12．一個詞典里包含個不同的單詞，其中有個以字母“”開頭，其余以其他字母開頭.從中選擇個單詞組成一個新的子集，其中至少包含兩個“”開頭，一共有個這樣的子集.（要求用數(shù)字作答）13．在圓臺中，上底面直徑為6，下底面直徑為12，高為4，則圓臺的表面積為.14．過雙曲線的上焦點(diǎn)，作其中一條漸近線的垂線，垂足為，直線與雙曲線的上?下兩支分別交于，若，則雙曲線的離心率.四?解答題：15．在三角形中，.(1)求；(2)若，求三角形的面積.16．在幾何體中，平面是的中點(diǎn)，在線段BC上運(yùn)動.(1)證明：平面平面.(2)當(dāng)平面時，求平面與平面的夾角的正弦值.17．已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時，不等式對恒成立，求的取值范圍.18．假設(shè)在數(shù)字通信中傳送信號0與1的概率為0.8和0.2.由于隨機(jī)干擾，當(dāng)傳送信號0時，接收到信號為0的概率為0.8，當(dāng)傳送信號1時，接收到信號為1的概率為0.9.求：(1)當(dāng)接收到信號0時傳送的信號是0的概率；(2)在信息傳送過程中，當(dāng)?shù)谝粋€人接收到信息后，將信息發(fā)送給第二個人，這樣依次傳遞下去，在n次傳遞中，0出現(xiàn)的次數(shù)為，求.19．已知橢圓的左焦點(diǎn)，左?右頂點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為.(1)求橢圓的方程；(2)是否存在以原點(diǎn)為圓心的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓恒有兩個交點(diǎn)，且？若存在，求圓的方程以及MN的取值范圍，若不存在，請說明理由.1．C【分析】化簡集合，求，確定的元素個數(shù)，確定的真子集的個數(shù)即可.【詳解】不等式，可化為，所以或，所以或，所以或，所以，所以，不等式可化為，所以，所以，所以的真子集的個數(shù)為.故選：C.2．B【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出復(fù)數(shù)，由其幾何意義判斷在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)所在象限.【詳解】復(fù)數(shù)滿足，則有，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，位于第二象限.故選：B.3．C【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，先求和，再根據(jù)得，可求的值.【詳解】因?yàn)?，，所以?因?yàn)椋运?故選：C.4．B【分析】依題意在上恒成立，求的取值范圍即可.【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞增，則在上恒成立，即在上恒成立，所以，的取值范圍為.故選：B.5．B【詳解】由，可得，所以即，所以an不一定為常數(shù)列；若an為常數(shù)列，則成立，所以是的必要不充分條件，故選：B6．C【分析】由已知求出，倍角公式求【詳解】，又，則有，可得，所以.故選：C7．A【分析】由圓的性質(zhì)結(jié)合已知條件得動點(diǎn)的軌跡為一條直線，進(jìn)而求出圓的圓心到直線距離即可求解所求距離的最小值.【詳解】由題，，因?yàn)?，則，即，化簡得，即動點(diǎn)在直線上，

圓的圓心為，半徑為，所以圓心到直線的距離為，所以到圓距離的最小值是.故選：A.8．B【分析】設(shè)Ax1,y1,Bx2,【詳解】橢圓，即：，設(shè)橢圓上兩點(diǎn)Ax1,y1,Bx則，，所以，所以，所以，代入直線方程得，即，因?yàn)樵跈E圓內(nèi)部，所以，解得，即的取值范圍是．故選：B．9．ABD【分析】利用中位數(shù)的定義可判定A，利用平均數(shù)、方差的計算方法與性質(zhì)可判定B、C，利用極差的定義可判定D.【詳解】對于A，數(shù)據(jù)從小到大排列對應(yīng)中位數(shù)的順序不變，所以若的中位數(shù)為，則的中位數(shù)為，故A正確；對于B，由平均數(shù)的計算方程與性質(zhì)可知，若原數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，故B正確；對于C，由方差的性質(zhì)可知，若原數(shù)據(jù)的方差為，則新數(shù)據(jù)的方差為，故C錯誤；對于D，新數(shù)據(jù)的最大數(shù)與最小數(shù)與原數(shù)據(jù)的最大數(shù)與最小數(shù)對應(yīng)，即，故D正確.故選：ABD10．ACD【分析】由題意，D選項(xiàng)正確；A選項(xiàng)，當(dāng)時求的值；BC選項(xiàng)，時求的取值.【詳解】設(shè)小時后，血液中的酒精含量為，則，D選項(xiàng)正確；當(dāng)時，由，解得，A選項(xiàng)正確；當(dāng)時，當(dāng)時，所以5小時后，血液中的酒精含量可以降低到以下，B選項(xiàng)錯誤C選項(xiàng)正確.故選：ACD.11．AD【分析】由的圖象，求出函數(shù)解析式，得解析式，由解析式對的對稱性單調(diào)性和最值進(jìn)行討論.【詳解】由函數(shù)的部分圖象，得函數(shù)的最小正周期，則，由，則，有，將點(diǎn)代入函數(shù)解析式可得，即，由，得，所以，當(dāng)時，，有最大值，的圖象關(guān)于對稱，A選項(xiàng)正確；時，，，，的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，B選項(xiàng)錯誤；時，，不是正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，C選項(xiàng)錯誤；時，，則當(dāng)，即時，有最大值，D選項(xiàng)正確.故選：AD.12．【分析】符合要求子集可分為三類，結(jié)合組合的定義求各類子集的個數(shù)，再結(jié)合分類加法計數(shù)原理求出所有的子集的個數(shù).【詳解】從含有個以字母“”開頭的個不同的單詞選擇個單詞，其中至少包含兩個“”開頭的選法可分為類，第一類：所選個單詞中，有且只有兩個“”開頭的單詞，符合要求選法有；第二類：所選個單詞中，有且只有三個“”開頭的單詞，符合要求選法有；第三類：所選個單詞中，有且只有四個“”開頭的單詞，符合要求選法有；由分類加法計數(shù)原理可得，符合要求的子集共有個.故答案為：.13．【分析】利用條件先計算母線長，再根據(jù)臺體的表面積公式計算即可.【詳解】由題意可知圓臺上下底面的半徑分別為，，圓臺的母線長，所以該圓臺的表面積為.故答案為：14．【分析】設(shè)雙曲線右焦點(diǎn)為，，，由題意結(jié)合雙曲線定義可依次求出、、、、和，接著分別在、和中結(jié)合余弦定理求出，進(jìn)而建立等量關(guān)系式求出，從而求得，進(jìn)而由離心率公式即可得解.【詳解】設(shè)雙曲線右焦點(diǎn)為，由題，雙曲線的一條漸近線方程為即，過該漸近線作垂線，則由題，，設(shè)，則由題，，，所以，，所以在中，①，在中，②，在中，③，由①②得，化簡解得，由①③得，化簡解得，所以，故雙曲線的離心率.故答案為：.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：依據(jù)題意設(shè)雙曲線右焦點(diǎn)為，，則結(jié)合雙曲線定義可得、和的邊長均是已知的，接著結(jié)合余弦定理均可求出三個三角形的公共角的余弦值，從而可建立等量關(guān)系式依次求出和，進(jìn)而由離心率公式得解.15．(1)(2)【分析】（1）結(jié)合正弦二倍角公式及輔助角公式可得，即可求解；（2）由正弦定理求得，再由三角形面積公式即可求解.【詳解】（1）由可得：，即，所以，又，所以，又，所以，又，所以，所以，所以=（2）由可得：，所以.16．(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用線線垂直可得平面，進(jìn)而可得，即可求證平面，即可由面面垂直的判定求證，（2）根據(jù),故為平面與平面所成角或其補(bǔ)角，即可利用三角形的邊角關(guān)系求解.【詳解】（1）由于平面平面故,又平面，故平面，平面，故,又是中點(diǎn)，故,平面，故平面，又平面，故平面平面（2）平面APQ時，平面，且平面平面，故,結(jié)合是中點(diǎn)，可得是中點(diǎn)，有平面，又平面，故,由于,故為平面與平面所成角或其補(bǔ)角，,故,故平面與平面的夾角的正弦值為17．(1)的單調(diào)增區(qū)間，單調(diào)減區(qū)間(2)【分析】（1）求導(dǎo)，通過和即可求解；（2）同構(gòu)，將原不等式轉(zhuǎn)化成，構(gòu)造函數(shù)通過其單調(diào)性即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時，所以因?yàn)?，所以?dāng)時，，當(dāng)時，，所以的單調(diào)增區(qū)間，單調(diào)減區(qū)間（2）因?yàn)樗钥苫癁椋核詷?gòu)造函數(shù)，顯然此函數(shù)單調(diào)遞增，所以由恒成立可得：對恒成立，當(dāng)時，此不等式為恒成立，當(dāng)時，可得恒成立構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)可得：當(dāng)時，，在單調(diào)遞增；當(dāng)時，，在單調(diào)遞減；所以，所以，綜上所述的取值范圍【點(diǎn)睛】不等式恒成立問題常見方法：①分離參數(shù)恒成立(即可)或恒成立（即可）；②數(shù)形結(jié)合(圖象在上方即可)；③分類討論參數(shù).18．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)貝葉斯公式即可求；（2）由二項(xiàng)分布求.【詳解】（1）記“傳送信號0”，“傳送信號1”，“接收信號0”.可知，，，，由貝葉斯公式得所求的概率為：，即當(dāng)接收到信號0時傳送的信號是0的概率為.（2）在一次傳送中，接收到0的概率為，每次傳送都有相同的傳送概率和接收概率，則有，所以.19．(1)橢圓的方程為.(2)圓的方程為；的取值范圍為.【分析】（1）先由橢圓的幾何性質(zhì)得，再由已知條件結(jié)合余弦定理得，進(jìn)而結(jié)合即可求出橢圓的方程.（2）先假設(shè)存在，接著分圓的切線斜率存在和不存在兩種情況進(jìn)行分析，當(dāng)切線斜率存在時，設(shè)圓切線方程為，聯(lián)立方程得和韋達(dá)定理，進(jìn)而得，從而由得，進(jìn)而由圓心到切線的距離即可求出圓的半徑，得出圓的方程，且由弦長公式結(jié)合導(dǎo)數(shù)工具可求解MN的取值范圍.【詳解】（1）由橢圓的幾何性質(zhì)可得，所以由余弦定理得，化簡得，又，所以，所以橢圓的方程為.（2）假設(shè)存在以原點(diǎn)為圓心的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓恒有兩個交點(diǎn)，且，（i）當(dāng)該圓的切線斜率存在時，設(shè)該圓切線方程為，聯(lián)立方程，則，即，，所以，因?yàn)椋?，所以，所以，滿足，因?yàn)橹本€即為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線，故圓的半徑為即，所以，所以所求圓的方程為，所以，令，，則恒成立，且，令（舍去）或，則當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，又當(dāng)時，當(dāng)時，所以當(dāng)時，有，當(dāng)時，有，所以，所以有.（ii）當(dāng)該圓的切線斜率不存在時，則切線方程為，代入得，所以切線與橢圓的兩個交點(diǎn)坐標(biāo)為或，顯然滿足，即滿足，此時.綜上所述，存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的