高中數(shù)學(xué) 2.1.4 第2課時 函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用課后強(qiáng)化作業(yè) 新人教B版必修1

【成才之路】-學(xué)年高中數(shù)學(xué)2.1.4第2課時函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用課后強(qiáng)化作業(yè)新人教B版必修1一、選擇題1．奇函數(shù)y＝f(x)(x∈R)的圖象必定過點(diǎn)()A．(a,f(－a)) B．(－a,f(a))C．(－a,－f(a)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，f\f(1,a)))[答案]C[解析]∵點(diǎn)(a，f(a))在函數(shù)y＝f(x)的圖象上，又∵函數(shù)y＝f(x)是奇函數(shù)，∴其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故點(diǎn)(－a，－f(a))也在函數(shù)y＝f(x)的圖象上．2．定義在R上的偶函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，則()A．f(3)>f(－4)<f(－π)B．f(－π)<f(－4)<f(3)C．f(3)<f(－π)<f(－4)D．f(4)<f(－π)<f(3)[答案]C[解析]∵f(x)在R上是偶函數(shù)，∴f(－π)＝f(π)，f(－4)＝f(4)．而3<π<4，且f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，∴f(3)<f(π)<f(4)，即f(3)<f(－π)<f(－4)．3．(～學(xué)年度湖南師大附中高一月考)已知f(x)＝x7＋ax5＋bx－5，且f(－3)＝5，則f(3)＝()A．－15 B．15C．10 D．－10[答案]A[解析]本題主要考查利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值．設(shè)g(x)＝x7＋ax5＋bx，則g(x)為奇函數(shù)，∵f(－3)＝g(－3)－5＝－g(3)－5＝5，∴g(3)＝－10，∴f(3)＝g(3)－5＝－15，故選A.4．若函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，在(－∞，0]上是減函數(shù)，且f(2)＝0，則使得f(x)<0的x的取值范圍是()A．(－∞，2)B．(2，＋∞)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－2,2)[答案]D[解析]f(x)的對稱軸是y軸，f(x)是(－∞，0]上的減函數(shù)，則f(x)在[0，＋∞)上是增函數(shù)，且f(－2)＝f(2)＝0.如圖所示，使得f(x)<0的x的取值范圍是(－2,2)，D選項(xiàng)是正確的．5．已知函數(shù)y＝f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則下列函數(shù)中是奇函數(shù)的是()A．y＝f(|x|) B．y＝f(x2)C．y＝x·f(x) D．y＝f(x)＋x[答案]D[解析]∵f(x)的定義域?yàn)镽，又∵f(|－x|)＝f(|x|)，∴A是偶函數(shù)；令F(x)＝f(x2)，則F(－x)＝f(x2)＝F(x)，∴F(x)是偶函數(shù)，即B是偶函數(shù)；令M(x)＝x·f(x)，則M(－x)＝－x·f(－x)＝x·f(x)＝M(x)，∴M(x)是偶函數(shù)，即C是偶函數(shù)；令N(x)＝f(x)＋x，則N(－x)＝f(－x)－x＝－f(x)－x＝－[f(x)＋x]＝－N(x)，∴N(x)是奇函數(shù)，即D是奇函數(shù)，故選D.6．函數(shù)f(x)＝eq\f(1,x)－x的圖象關(guān)于()A．y軸對稱 B．直線y＝－x對稱C．坐標(biāo)原點(diǎn)對稱 D．直線y＝x對稱[答案]C[解析]∵f(x)＝eq\f(1,x)－x，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)，∴f(－x)＝－eq\f(1,x)＋x＝－(eq\f(1,x)－x)＝－f(x)，∴f(x)為奇函數(shù)，∴f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故選C.二、填空題7．函數(shù)f(x)＝x(ax＋1)在R上是奇函數(shù)，則a＝________.[答案]0[解析]由奇函數(shù)定義知f(－x)＝－f(x)，∴－x(－ax＋1)＝－x(ax＋1)，∴2ax2＝0，x∈R恒成立，∴a＝0.8．(～學(xué)年度寶雞中學(xué)高一上學(xué)期期中測試)已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，若f(2)＝10，則f(2)＝________.[答案]－26[解析]∵f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，∴f(－2)＝(－2)5＋a(－2)3－2b－8＝－25－8a－2b－8＝－(25＋8a＋2∴25＋8a＋2b∴f(2)＝25＋23a＋2b－8＝25＋8a三、解答題9．已知f(x)是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)，且f(x)＋g(x)＝eq\f(1,x－1)，求函數(shù)f(x)、g(x)的解析式．[解析]∵f(x)是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，∵f(x)＋g(x)＝eq\f(1,x－1)①，用－x代換x得f(－x)＋g(－x)＝eq\f(1,－x－1)，即f(x)－g(x)＝eq\f(1,－x－1)②.由(①＋②)÷2，得f(x)＝eq\f(1,x2－1)；由(①－②)÷2，得g(x)＝eq\f(x,x2－1).一、選擇題1．若函數(shù)f(x)＝eq\f(x,2x＋1x－a)為奇函數(shù)，則a＝()A.eq\f(1,2) B.eq\f(2,3)C.eq\f(3,4) D．1[答案]A[解析]∵f(－x)＝－f(x)，∴eq\f(－x,－2x＋1－x－a)＝－eq\f(x,2x＋1x－a)，∴(2a－1)x＝0，∴a＝eq\f(1,2).2．(～學(xué)年度湖南長沙一中高一期中測試)若偶函數(shù)f(x)在(－∞，－1]上是增函數(shù)，則下列關(guān)系式中成立的是()A．f(－eq\f(3,2))<f(－1)<f(2)B．f(－1)<f(－eq\f(3,2))<f(2)C．f(2)<f(－1)<f(－eq\f(3,2))D．f(2)<f(－eq\f(3,2))<f(－1)[答案]D[解析]本題主要考查利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性比較函數(shù)值的大?。?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，所以f(2)＝f(－2)，又－2<－eq\f(3,2)<－1，且函數(shù)f(x)在(－∞，－1]上是增函數(shù)，所以f(－2)<f(－eq\f(3,2))<f(－1)，即f(2)<f(－eq\f(3,2))<f(－1)，故選D.3．已知函數(shù)y＝f(x)是偶函數(shù)，其圖象與x軸有四個交點(diǎn)，則方程f(x)＝0的所有實(shí)根之和是()A．4 B．2C．1 D．0[答案]D[解析]∵偶函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，∴f(x)與x軸的四個交點(diǎn)也關(guān)于y軸對稱．因此，若一根為x1，則它關(guān)于y軸對稱的根為－x1；若另一根為x2，則它關(guān)于y軸對稱的根為－x2.∴f(x)＝0的四根之和為x1＋(－x1)＋x2＋(－x2)＝0.4．設(shè)f(x)是定義在R上單調(diào)遞減的奇函數(shù)，若x1＋x2>0，x2＋x3>0，x3＋x1>0，則()A．f(x1)＋f(x2)＋f(x3)<0B．f(x1)＋f(x2)＋f(x3)>0C．f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＝0D．f(x1)＋f(x2)>f(x3)[答案]A[解析]∵f(x)是定義在R上單調(diào)遞減的奇函數(shù)，又∵x1＋x2>0，∴x2＋x3>0，x3＋x1>0，∴x1>－x2，x2>－x3，x3>－x1，即f(x1)<f(－x2)＝－f(x2)，f(x2)<f(－x3)＝－f(x3)，f(x3)<f(－x1)＝－f(x1)，∴f(x1)＋f(x2)＋f(x3)<－f(x2)－f(x3)－f(x1)，∴2[f(x1)＋f(x2)＋f(x3)]<0，∴f(x1)＋f(x2)＋f(x3)<0.二、填空題5．設(shè)奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇－5,5]．若當(dāng)x∈[0,5]時，f(x)的圖象如圖所示，則不等式f(x)<0的解是______________．[答案](－2,0)∪(2,5][解析]由于f(x)是奇函數(shù)，∴圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱，畫出f(x)在定義域范圍內(nèi)的圖象如圖所示，易得f(x)<0的解集是(－2,0)∪(2,5]．6．已知函數(shù)f(x)和g(x)均為奇函數(shù)，h(x)＝af(x)＋bg(x)＋2在區(qū)間(0，＋∞)上有最大值5，那么h(x)在(－∞，0)上的最小值為________．[答案]－1[解析]由題意，知af(x)＋bg(x)，在(0，＋∞)上有最大值3，由奇函數(shù)圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，知af(x)＋bg(x)在(－∞，0)上有最小值－3，故af(x)＋bg(x)＋2在(－∞，0)上有最小值－1.三、解答題7．若f(x)是偶函數(shù)，其定義域?yàn)?－∞，＋∞)，且在[0，＋∞)上是單調(diào)減函數(shù)，試比較feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))與feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2＋2a＋\f(5,2)))的大小關(guān)系．[解析]∵a2＋2a＋eq\f(5,2)＝(a＋1)2＋eq\f(3,2)≥eq\f(3,2)，又∵函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，∴f(－eq\f(3,2))＝f(eq\f(3,2))，又∵f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞減，∴f(eq\f(3,2))≥f(a2＋2a＋eq\f(5,2))．即f(－eq\f(3,2))≥f(a2＋2a＋eq\f(5,2))．8．已知函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0，＋∞)時，f(x)＝x－1，求滿足f(x－1)<0的x的取值范圍．[解析]設(shè)x<0，則－x>0，∴f(－x)＝－x－1，∵f(x)為偶函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)，即f(x)＝－x－1(x<0)，∴f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1x≥0,－x－1x<0)).∴f(x－1)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2x≥1,－xx<1)).當(dāng)x≥1時，由f(x－1)＝x－2<0，得x<2，∴1≤x<2；當(dāng)x<1時，由f(x－1)＝－x<0，得x>0，∴0<x<1，綜上可知，滿足f(x－1)<0的x的取值范圍為{x|0<x<2}．9．定義在(－1,1)上的函數(shù)f(x)滿足：①對于任意x，y∈(－1,1)都有f(x)＋f(y)＝f(eq\f(x＋y,1＋xy))；②f(x)在(－1,1)是單調(diào)遞增函數(shù)，且f(eq\f(1,2))＝1.(1)求f(0)；(2)證明f(x)為奇函數(shù)；(3)解不等式f(2x－1)<1.[解析](1)令x＝y(tǒng)＝0，則f(0)＋f(0)＝f(0)，∴f(0)＝0.(2)令y＝