2023-2024學(xué)年山東省濰坊市高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2山東省濰坊市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題注意事項：1．答題前，考生務(wù)必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫自己的準(zhǔn)考證號、姓名．2．回答選擇題時，選出每小題〖答案〗后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它〖答案〗標(biāo)號．回答非選擇題時，將〖答案〗寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束，考生必須將試題卷和答題卡一并交回．一、單項選擇題：本大題共8個小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.記為等比數(shù)列的前n項和，若，，則公比（）A. B. C.3 D.2〖答案〗D〖解析〗若，，則，解得，符合題意.故選：D.2.已知隨機變量服從正態(tài)分布，且，則（）A.0.9 B.0.8 C.0.4 D.0.1〖答案〗A〖解析〗因為，所以，所以，故選：A3.函數(shù)的圖象如圖所示，且是的導(dǎo)函數(shù)，記，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)點則可以把看成兩點的斜率，把看成曲線在點的切線斜率，把看成曲線在點的切線斜率，再作出圖形進行數(shù)形結(jié)合分析：由圖可得，即.故選：B.4.若銀行的儲蓄卡密碼由六位數(shù)字組成，小王在銀行自助取款機上取錢時，忘記了密碼的最后一位數(shù)字，但記得密碼的最后一位是奇數(shù)，則不超過2次就按對密碼的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗記“小王第一次按對”=,“第二次按對”,；小王1次就按對的概率即為，小王恰好需要2次才按對的概率.所以小王不超過2次就按對的概率為.故選：B.5.記數(shù)列的前n項和為，若，則（）A.301 B.101 C. D.〖答案〗C〖解析〗數(shù)列中，，則，所以故選：C6.函數(shù)在處取得極大值9，則（）A.3 B. C.或3 D.0〖答案〗B〖解析〗由題意，函數(shù)，可得，因為在處取得極大值9，可得，解得或，檢驗知，當(dāng)時，可得，當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞增，所以在處取得極小值9，與題意矛盾，故不符題意；當(dāng)時，可得，當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值9，故符合題意；所以.故選：B.7.設(shè)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，為其導(dǎo)函數(shù)．當(dāng)時，，，則不等式的解集為（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗當(dāng)時，令，則，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，即，當(dāng)時，，即，因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以不等式的解集為.故選：D.8.某高校為研究學(xué)生每周平均體育運動時間進行了一次抽樣調(diào)查，已知被抽取的男、女生人數(shù)相同．調(diào)查顯示：抽取的男生中每周平均體育運動時間超過4小時的人數(shù)占比為，抽取的女生中每周平均體育運動時間超過4小時的人數(shù)占比為，若在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，可以認為該校學(xué)生每周平均體育運動時間與性別有關(guān)，則被抽取的男生人數(shù)至少為（）附：0.0500.0100.0050.001k3.8416.6357.87910.828A.60 B.65 C.70 D.75〖答案〗C〖解析〗設(shè)男生總?cè)藬?shù)為，依題意可得列聯(lián)表如下：每周平均體育運動時間超過4小時人數(shù)每周平均體育運動時間不超過4小時合計男生人數(shù)女生人數(shù)合計若在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，可以認為該校學(xué)生每周平均體育運動時間與性別有關(guān)，則，解得，則被抽取的男生人數(shù)至少為70人.故選：C.二、多項選擇題：本大題共3個小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分9.下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運算正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗對于A,,故A對.對于B,,故B對.對于C,,故C錯.對于D,,故D對.綜上所得,正確的是：ABD.故選:ABD.10.有6個相同的小球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回地隨機取兩次，每次取1個球.用表示第一次取到的小球的標(biāo)號，用表示第二次取到的小球的標(biāo)號，記事件：為偶數(shù)，：為偶數(shù)，C：，則（）A. B.與相互獨立C.與相互獨立 D.與相互獨立〖答案〗ACD〖解析〗對A：，故A正確；對B：，，則，故與不相互獨立，故B錯誤；對C：，，則，故與相互獨立，故C正確；對D：，則，故與相互獨立，故D正確；故選：ACD.11.黎曼函數(shù)（Riemannfunction）在高等數(shù)學(xué)中有著廣泛應(yīng)用，其一種定義為：時，，若數(shù)列，，則（）A. B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗對于A，，故A錯誤；對于B，當(dāng)時，是相鄰的偶數(shù)和奇數(shù)，所以是既約分數(shù)，所以，所以，即，故B正確；對于C，當(dāng)時，，若當(dāng)時，成立，則時，，故C正確；對于D，當(dāng)時，，若當(dāng)時，成立，則時，，要使，而，，只需，只需，顯然，故只需，當(dāng)時，該式子為，顯然成立，若當(dāng)時，有，當(dāng)時，，從而對任意正整數(shù)均有，綜上所述，，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本大題共3個小題，每小題5分，共15分．12.從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，則所選3人中至少有1名女生的概率是_____________．〖答案〗〖解析〗任選3人的方法數(shù)為，其中至少有1名女生的方法數(shù)為．所以概率為．故〖答案〗為：．13.記公差不為0的等差數(shù)列的前n項和為，若，則______．〖答案〗12〖解析〗設(shè)首項、公差分別為，則，所以，因為，所以.故〖答案〗為：12.14.已知函數(shù)，設(shè)，若只有一個零點，則實數(shù)a的取值范圍是______；若不等式的解集中有且只有三個整數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是______．〖答案〗①②〖解析〗，，當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減；∴；當(dāng)時，；當(dāng)時，；．據(jù)此可作出圖象如圖所示：令，則或，由，可得；又∵只有一個零點，∴無解，或，∴，或，∴的取值范圍是．令，則．①當(dāng)時，則或，由，可得，無整數(shù)解，∴中有3個整數(shù)解，結(jié)合的圖象可知此三個整數(shù)解為，∵，∴；②當(dāng)時，，由，得，不滿足題意；③當(dāng)時，由，得或，∵的解集中無整數(shù)，的解集中有若干個整數(shù)，不滿足題意；綜上，的取值范圍為．故〖答案〗為：；．四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）求在區(qū)間上的最值．解：（1）函數(shù)的定義域為,．令得,或（舍去）,當(dāng)時,,函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時,,函數(shù)單調(diào)遞增,所以函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為,函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為．函數(shù)的極小值為,無極大值．（2）由（1）知,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以,,,又因為,所以函數(shù)在區(qū)間的最小值為,最大值為2．16.某高中學(xué)校組織乒乓球比賽，經(jīng)過一段時間的角逐，甲、乙兩名同學(xué)進入決賽．決賽采取7局4勝制，假設(shè)每局比賽中甲獲勝的概率均為，且各局比賽的結(jié)果相互獨立．（1）求比賽結(jié)束時恰好打了5局的概率；（2）若前三局比賽甲贏了兩局，記還需比賽的局數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．解：（1）比賽結(jié)束時，恰好打了5局，甲獲勝的概率為，恰好打了5局，乙獲勝的概率為，所以比賽結(jié)束時恰好打了5局概率為；（2）由題意可知，X取值范圍是．，，，所以X的分布列如下：X234P數(shù)學(xué)期望．17.已知數(shù)列滿足．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，設(shè)數(shù)列的前n項和為，若不等式對恒成立，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）因為，所以時，，所以當(dāng)時，，又滿足上式，所以；（2）由（1）知，所以，所以，即不等式對恒成立，令，，令，可得，當(dāng)時，，此時，即此時有，數(shù)列的最大項為，所以．18.近年來，中國新能源汽車產(chǎn)業(yè)，不僅技術(shù)水平持續(xù)提升，市場規(guī)模也持續(xù)擴大，取得了令人矚目的成就．以小米SU7、問界M9等為代表的國產(chǎn)新能源汽車，正逐步引領(lǐng)全球新能源汽車的發(fā)展潮流，某新能源汽車制造企業(yè)對某地區(qū)新能源汽車的銷售情況進行了調(diào)研，數(shù)據(jù)如下：時間2023年12月2024年1月2024年2月2024年3月2024年4月月份代碼x12345銷量y/千輛1415161819（1）已知y與x線性相關(guān)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程，并估計該地區(qū)新能源汽車在2024年5月份的銷量；（2）該企業(yè)為宣傳推廣新能源汽車，計劃在宣傳部門開展人工智能工具使用的培訓(xùn)．該次培訓(xùn)分為四期，每期培訓(xùn)的結(jié)果是否“優(yōu)秀”相互獨立，且每期培訓(xùn)中員工達到“優(yōu)秀”標(biāo)準(zhǔn)的概率均為．該企業(yè)規(guī)定：員工至少兩期培訓(xùn)達到“優(yōu)秀”標(biāo)準(zhǔn)．才能使用人工智能工具，（i）記某員工經(jīng)過培訓(xùn)后，恰好兩期達到“優(yōu)秀”標(biāo)準(zhǔn)的概率為．求的最大值點；（ii）該企業(yè)宣傳部現(xiàn)有員工100人，引進人工智能工具后，需將宣傳部的部分員工調(diào)整至其他部門，剩余員工進行該次培訓(xùn)已知開展培訓(xùn)前，員工每人每年平均為企業(yè)創(chuàng)造利潤12萬元，開展培訓(xùn)后，能使用人工智能工具的員工預(yù)計每人每年平均為企業(yè)創(chuàng)造利潤16萬元，本次培訓(xùn)費每人1萬元．現(xiàn)要求培訓(xùn)后宣傳部員工創(chuàng)造的年利潤不低于調(diào)整前的年利潤，以（i）中確定的作為p的值．預(yù)計最多可以調(diào)多少人到其他部門？參考公式：，．解：（1）由題意得，，，，，所以y關(guān)于x的線性回歸方程為，當(dāng)時，，所以估計該地區(qū)新能源汽車在2024年5月份的銷量是20.3千輛；（2）（i）恰好兩期達到“優(yōu)秀”標(biāo)準(zhǔn)的概率為，，因此，令，得，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，的最大值點．（ⅱ）設(shè)“員工經(jīng)過培訓(xùn)，能使用人工智能工具”為事件B，所以，設(shè)宣傳部調(diào)人至其他部門，則參加培訓(xùn)的人數(shù)為，為培訓(xùn)后能使用人工智能工具的人數(shù)，則，因此，調(diào)整后年利潤萬元，令，解得，所以最多可以調(diào)12人到其他部門．19.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求函數(shù)在處的切線方程；（2）若在上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；（3）證明：．解：（1）當(dāng)時，，所以，所以，，所以函數(shù)在處的切線方程為即；（2）若在上恒成立，則在上恒成立，設(shè)，，所以，，①當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，所以，即在不恒成立．②當(dāng)時，，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，又，此時，綜上所述，所求m的取值范圍是；（3）由（2）知，當(dāng)時，在上恒成立，取，得即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，令，，則，所以，所以，所以．山東省濰坊市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題注意事項：1．答題前，考生務(wù)必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫自己的準(zhǔn)考證號、姓名．2．回答選擇題時，選出每小題〖答案〗后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它〖答案〗標(biāo)號．回答非選擇題時，將〖答案〗寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束，考生必須將試題卷和答題卡一并交回．一、單項選擇題：本大題共8個小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.記為等比數(shù)列的前n項和，若，，則公比（）A. B. C.3 D.2〖答案〗D〖解析〗若，，則，解得，符合題意.故選：D.2.已知隨機變量服從正態(tài)分布，且，則（）A.0.9 B.0.8 C.0.4 D.0.1〖答案〗A〖解析〗因為，所以，所以，故選：A3.函數(shù)的圖象如圖所示，且是的導(dǎo)函數(shù)，記，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)點則可以把看成兩點的斜率，把看成曲線在點的切線斜率，把看成曲線在點的切線斜率，再作出圖形進行數(shù)形結(jié)合分析：由圖可得，即.故選：B.4.若銀行的儲蓄卡密碼由六位數(shù)字組成，小王在銀行自助取款機上取錢時，忘記了密碼的最后一位數(shù)字，但記得密碼的最后一位是奇數(shù)，則不超過2次就按對密碼的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗記“小王第一次按對”=,“第二次按對”,；小王1次就按對的概率即為，小王恰好需要2次才按對的概率.所以小王不超過2次就按對的概率為.故選：B.5.記數(shù)列的前n項和為，若，則（）A.301 B.101 C. D.〖答案〗C〖解析〗數(shù)列中，，則，所以故選：C6.函數(shù)在處取得極大值9，則（）A.3 B. C.或3 D.0〖答案〗B〖解析〗由題意，函數(shù)，可得，因為在處取得極大值9，可得，解得或，檢驗知，當(dāng)時，可得，當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞增，所以在處取得極小值9，與題意矛盾，故不符題意；當(dāng)時，可得，當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值9，故符合題意；所以.故選：B.7.設(shè)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，為其導(dǎo)函數(shù)．當(dāng)時，，，則不等式的解集為（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗當(dāng)時，令，則，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，即，當(dāng)時，，即，因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以不等式的解集為.故選：D.8.某高校為研究學(xué)生每周平均體育運動時間進行了一次抽樣調(diào)查，已知被抽取的男、女生人數(shù)相同．調(diào)查顯示：抽取的男生中每周平均體育運動時間超過4小時的人數(shù)占比為，抽取的女生中每周平均體育運動時間超過4小時的人數(shù)占比為，若在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，可以認為該校學(xué)生每周平均體育運動時間與性別有關(guān)，則被抽取的男生人數(shù)至少為（）附：0.0500.0100.0050.001k3.8416.6357.87910.828A.60 B.65 C.70 D.75〖答案〗C〖解析〗設(shè)男生總?cè)藬?shù)為，依題意可得列聯(lián)表如下：每周平均體育運動時間超過4小時人數(shù)每周平均體育運動時間不超過4小時合計男生人數(shù)女生人數(shù)合計若在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，可以認為該校學(xué)生每周平均體育運動時間與性別有關(guān)，則，解得，則被抽取的男生人數(shù)至少為70人.故選：C.二、多項選擇題：本大題共3個小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分9.下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運算正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗對于A,,故A對.對于B,,故B對.對于C,,故C錯.對于D,,故D對.綜上所得,正確的是：ABD.故選:ABD.10.有6個相同的小球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回地隨機取兩次，每次取1個球.用表示第一次取到的小球的標(biāo)號，用表示第二次取到的小球的標(biāo)號，記事件：為偶數(shù)，：為偶數(shù)，C：，則（）A. B.與相互獨立C.與相互獨立 D.與相互獨立〖答案〗ACD〖解析〗對A：，故A正確；對B：，，則，故與不相互獨立，故B錯誤；對C：，，則，故與相互獨立，故C正確；對D：，則，故與相互獨立，故D正確；故選：ACD.11.黎曼函數(shù)（Riemannfunction）在高等數(shù)學(xué)中有著廣泛應(yīng)用，其一種定義為：時，，若數(shù)列，，則（）A. B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗對于A，，故A錯誤；對于B，當(dāng)時，是相鄰的偶數(shù)和奇數(shù)，所以是既約分數(shù)，所以，所以，即，故B正確；對于C，當(dāng)時，，若當(dāng)時，成立，則時，，故C正確；對于D，當(dāng)時，，若當(dāng)時，成立，則時，，要使，而，，只需，只需，顯然，故只需，當(dāng)時，該式子為，顯然成立，若當(dāng)時，有，當(dāng)時，，從而對任意正整數(shù)均有，綜上所述，，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本大題共3個小題，每小題5分，共15分．12.從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，則所選3人中至少有1名女生的概率是_____________．〖答案〗〖解析〗任選3人的方法數(shù)為，其中至少有1名女生的方法數(shù)為．所以概率為．故〖答案〗為：．13.記公差不為0的等差數(shù)列的前n項和為，若，則______．〖答案〗12〖解析〗設(shè)首項、公差分別為，則，所以，因為，所以.故〖答案〗為：12.14.已知函數(shù)，設(shè)，若只有一個零點，則實數(shù)a的取值范圍是______；若不等式的解集中有且只有三個整數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是______．〖答案〗①②〖解析〗，，當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減；∴；當(dāng)時，；當(dāng)時，；．據(jù)此可作出圖象如圖所示：令，則或，由，可得；又∵只有一個零點，∴無解，或，∴，或，∴的取值范圍是．令，則．①當(dāng)時，則或，由，可得，無整數(shù)解，∴中有3個整數(shù)解，結(jié)合的圖象可知此三個整數(shù)解為，∵，∴；②當(dāng)時，，由，得，不滿足題意；③當(dāng)時，由，得或，∵的解集中無整數(shù)，的解集中有若干個整數(shù)，不滿足題意；綜上，的取值范圍為．故〖答案〗為：；．四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）求在區(qū)間上的最值．解：（1）函數(shù)的定義域為,．令得,或（舍去）,當(dāng)時,,函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時,,函數(shù)單調(diào)遞增,所以函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為,函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為．函數(shù)的極小值為,無極大值．（2）由（1）知,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以,,,又因為,所以函數(shù)在區(qū)間的最小值為,最大值為2．16.某高中學(xué)校組織乒乓球比賽，經(jīng)過一段時間的角逐，甲、乙兩名同學(xué)進入決賽．決賽采取7局4勝制，假設(shè)每局比賽中甲獲勝的概率均為，且各局比賽的結(jié)果相互獨立．（1）求比賽結(jié)束時恰好打了5局的概率；（2）若前三局比賽甲贏了兩局，記還需比賽的局數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．解：（1）比賽結(jié)束時，恰好打了5局，甲獲勝的概率為，恰好打了5局，乙獲勝的概率為，所以比賽結(jié)束時恰好打了5局概率為；（2）由題意可知，X取值范圍是．，，，所以X的分布列如下：X234P數(shù)學(xué)期望．17.已知數(shù)列滿足．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，設(shè)數(shù)列的前n項和為，若不等式對恒成立，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）因為，所以時，，所以當(dāng)時，，又滿足上式，所以；（2）由（1）知，所以，所以，即不等式對恒成立，令，，令，可得，當(dāng)時，，此時，即此時有，數(shù)列的最大項為，所以．18.近年來，中國新能源汽車產(chǎn)業(yè)，不僅技術(shù)水平持續(xù)提升，市場規(guī)模也持續(xù)擴大，取得了令人矚目的成就．以小米SU7、問界M9等為代表的國產(chǎn)新能源汽車，正逐步引領(lǐng)全球新能源汽車的發(fā)展潮流，某新能源汽車制造企業(yè)對某地區(qū)新能源汽車的銷售情況進行了調(diào)研，數(shù)據(jù)如下：時間2023年12月2024年1月2024年2月2024年3月2024年4月月份代碼x12345銷量y/千輛1415161819（1）