5.3.2函數(shù)的極值與最大(小)值（第2課時(shí)）課件高二數(shù)學(xué)人教A版選擇性

第五章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用5.3.2函數(shù)的極值與最大(小)值第2課時(shí)函數(shù)的最大(小)值人教A版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第二冊(cè)課程標(biāo)準(zhǔn)1.了解函數(shù)的最大值、最小值的含義.2.理解導(dǎo)數(shù)與函數(shù)最大(小)值的關(guān)系.3.會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大(小)值.4.了解導(dǎo)數(shù)在解決利潤(rùn)最大、效率最高、用料最省等實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用.5.掌握利用導(dǎo)數(shù)解決最優(yōu)化問(wèn)題的方法基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過(guò)關(guān)知識(shí)點(diǎn)1

函數(shù)在閉區(qū)間上的最大(小)值一般地,如果在區(qū)間[a,b]上函數(shù)y=f(x)的圖象是一條

的曲線,那么它必有最大值和最小值.

不一定在區(qū)間端點(diǎn)處取得,且

最大值和最小值都是唯一的連續(xù)不斷

名師點(diǎn)睛1.給定的區(qū)間必須是閉區(qū)間,如果是開區(qū)間,盡管函數(shù)圖象是連續(xù)的,那么它也不一定有最大值和最小值.例如函數(shù)f(x)=在區(qū)間(0,2)上的圖象是連續(xù)不斷的曲線,但在該區(qū)間上,函數(shù)f(x)既沒(méi)有最大值,也沒(méi)有最小值.2.所給函數(shù)的圖象必須是連續(xù)曲線,否則不一定有最大值和最小值,例如函數(shù)f(x)=在區(qū)間[-1,1]上只有最大值,沒(méi)有最小值.3.函數(shù)的最大(小)值是一個(gè)整體性概念,最大值(最小值)必須是整個(gè)區(qū)間內(nèi)所有函數(shù)值中的最大值(最小值).4.極值只能在函數(shù)區(qū)間的內(nèi)部取得,而最大(小)值可以在區(qū)間的端點(diǎn)取得,有極值的不一定有最大(小)值,有最大(小)值的不一定有極值,極值有可能是最大(小)值,最大(小)值只要不在端點(diǎn)處則一定是極值.過(guò)關(guān)自診1.極值與最值有何區(qū)別和聯(lián)系?提示

(1)函數(shù)的極值表示函數(shù)在某一點(diǎn)附近的局部性質(zhì),是在局部對(duì)函數(shù)值的比較;函數(shù)的最值是表示函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的情況,是對(duì)函數(shù)在整個(gè)區(qū)間上的函數(shù)值的比較.(2)函數(shù)在閉區(qū)間上的極值不一定是最值,需要將極值和區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較.(3)如果連續(xù)函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)只有一個(gè)極值,那么極大值就是最大值,極小值就是最小值.2.下列結(jié)論正確的是(

)A.若f(x)在區(qū)間[a,b]上有極大值,則極大值一定是區(qū)間[a,b]上的最大值B.若f(x)在區(qū)間[a,b]上有極小值,則極小值一定是區(qū)間[a,b]上的最小值C.若f(x)在區(qū)間[a,b]上有極大值,則極大值一定是在x=a和x=b處取得D.若f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),則f(x)在區(qū)間[a,b]上存在最大值和最小值D解析

函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的極值不一定是最值,最值也不一定是極值,極值一定不會(huì)在端點(diǎn)處取得,而若f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),則f(x)在區(qū)間[a,b]上一定存在最大值和最小值.知識(shí)點(diǎn)2

函數(shù)在閉區(qū)間[a,b]上最大(小)值的求法一般地,求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值與最小值的步驟如下:1.求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)的

;

2.將函數(shù)y=f(x)的各極值與

的函數(shù)值f(a),f(b)比較,其中最大的一個(gè)是

,最小的一個(gè)是

.

極值

端點(diǎn)處最大值最小值名師點(diǎn)睛如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上恰好是單調(diào)函數(shù),那么函數(shù)的最大(小)值恰好在兩個(gè)端點(diǎn)處取到.當(dāng)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增時(shí),f(a)是最小值,f(b)是最大值;當(dāng)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞減時(shí),f(a)是最大值,f(b)是最小值.過(guò)關(guān)自診[北師大版教材例題]求函數(shù)f(x)=x3-2x2+5在區(qū)間[-2,2]上的最值.解

f'(x)=3x2-4x.解方程f'(x)=0,比較這4個(gè)數(shù)的大小,可知:函數(shù)f(x)=x3-2x2+5在區(qū)間[-2,2]上的最大值是5,最小值是-11.知識(shí)點(diǎn)3

生活中的優(yōu)化問(wèn)題在實(shí)際生產(chǎn)生活中,求利潤(rùn)最大、用料最省、效率最高等問(wèn)題,通常稱為優(yōu)化問(wèn)題.名師點(diǎn)睛用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際生活問(wèn)題的基本思路過(guò)關(guān)自診1.在實(shí)際問(wèn)題中,若在定義域內(nèi)函數(shù)只有一個(gè)極值點(diǎn),則函數(shù)在該點(diǎn)處取最大(小)值嗎?你能列舉幾個(gè)關(guān)于利潤(rùn)的等量關(guān)系嗎?提示

根據(jù)函數(shù)的極值與單調(diào)性的關(guān)系可以判斷,函數(shù)在該點(diǎn)處取最大(小)值,并且極小值點(diǎn)對(duì)應(yīng)最小值,極大值點(diǎn)對(duì)應(yīng)最大值.舉例:利潤(rùn)=收入-成本,利潤(rùn)=每件產(chǎn)品的利潤(rùn)×銷售件數(shù).2.要做一個(gè)圓錐形漏斗,其母線長(zhǎng)為20cm,要使其體積最大,則高應(yīng)為(

)B重難探究·能力素養(yǎng)全提升重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一求函數(shù)的最大(小)值角度1.求函數(shù)在閉區(qū)間上的最大(小)值【例1】

求下列函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的最大值與最小值:(1)f(x)=x3-3x2-10,x∈[-1,1];分析

求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),得到函數(shù)的極值點(diǎn),先求出極值,再結(jié)合定義域,將所有極值與區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較求得最大(小)值.x-1(-1,0)0(0,1)1f'(x)

+0-

f(x)-14單調(diào)遞增極大值-10單調(diào)遞減-12所以當(dāng)x=-1時(shí),函數(shù)取最小值f(-1)=-14,當(dāng)x=0時(shí),函數(shù)取最大值f(0)=-10.解

(1)f'(x)=3x2-6x=3x(x-2),令f'(x)=0,得x=0(x=2舍去).當(dāng)x變化時(shí),f'(x),f(x)的變化情況如下表:規(guī)律方法

求解函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,需注意以下三點(diǎn):1對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),并檢驗(yàn)f'(x)=0的根是否在給定區(qū)間內(nèi)2研究函數(shù)的單調(diào)性,確定極值和端點(diǎn)函數(shù)值3比較極值與端點(diǎn)函數(shù)值的大小,確定最值變式訓(xùn)練1求下列函數(shù)在所給區(qū)間上的最大值與最小值:當(dāng)x變化時(shí),f'(x),f(x)的變化情況如下表:x-6(-6,-3)-3(-3,-1)-1f'(x)

-0+

f(x)45單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增55所以當(dāng)x=-3時(shí),f(x)取得極小值,也就是最小值,故f(x)的最小值為f(-3)=27,當(dāng)x=-1時(shí),f(x)取得最大值f(-1)=55.角度2.求函數(shù)在開區(qū)間或無(wú)窮區(qū)間上的最大(小)值【例2】

求下列函數(shù)的最大值與最小值:分析

沒(méi)有給定相應(yīng)的閉區(qū)間,因此應(yīng)分析函數(shù)在其定義域上的單調(diào)性與極值情況,根據(jù)單調(diào)性與極值畫出函數(shù)的大致圖象,結(jié)合圖象求出最大值與最小值.極小值,在x=3處取得極大值,又當(dāng)x=1時(shí),f(x)=0;當(dāng)x<1時(shí),f(x)<0;當(dāng)x>1時(shí),f(x)>0.據(jù)此可以畫出函數(shù)的大致圖象,如圖所示.(2)函數(shù)f(x)的定義域是R,且f'(x)=2x·ex+(x2-3)ex=ex(x2+2x-3),令f'(x)>0,得x>1或x<-3;令f'(x)<0,得-3<x<1.所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,-3)和(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間(-3,1)內(nèi)單調(diào)遞減,因此函數(shù)f(x)在x=-3處取得極大值,極大值f(-3)=6e-3;在x=1處取得極小值,極小值f(1)=-2e.從函數(shù)圖象可得函數(shù)f(x)的最小值就是函數(shù)的極小值f(1)=-2e,而函數(shù)f(x)無(wú)最大值.規(guī)律方法

求函數(shù)在開區(qū)間或無(wú)窮區(qū)間上最大(小)值的方法求函數(shù)在無(wú)窮區(qū)間或開區(qū)間上的最大(小)值,不僅要研究其極值情況,還要研究其單調(diào)性,并通過(guò)單調(diào)性和極值情況,畫出函數(shù)的大致圖象,然后借助圖象觀察得到函數(shù)的最大(小)值.A探究點(diǎn)二含參數(shù)的最大(小)值問(wèn)題角度1.求含參數(shù)的函數(shù)的最大(小)值

解

(1)f(x)的定義域是(0,+∞).①當(dāng)a>0時(shí),令f'(x)>0,解得0<x<a,令f'(x)<0,解得x>a,故f(x)在區(qū)間(0,a)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(a,+∞)上單調(diào)遞減.②當(dāng)a≤0時(shí),f'(x)<0,f(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減.綜上,當(dāng)a>0時(shí),f(x)在區(qū)間(0,a)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(a,+∞)上單調(diào)遞減;當(dāng)a≤0時(shí),f(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減.規(guī)律方法

求解函數(shù)在區(qū)間上的最大(小)值,需注意以下幾點(diǎn):(1)對(duì)函數(shù)進(jìn)行準(zhǔn)確求導(dǎo),并檢驗(yàn)f'(x)=0的根是否在給定區(qū)間內(nèi).(2)根據(jù)極值點(diǎn)與所給區(qū)間的相對(duì)位置關(guān)系(即極值點(diǎn)是否在區(qū)間內(nèi))確定分類討論的標(biāo)準(zhǔn)后確定函數(shù)的極值.(3)分類討論后比較極值與端點(diǎn)函數(shù)值的大小,確定最大(小)值.變式訓(xùn)練3已知a是實(shí)數(shù),函數(shù)f(x)=x2(x-a),求f(x)在區(qū)間[0,2]上的最大值.角度2.與函數(shù)最大(小)值和參數(shù)有關(guān)的綜合問(wèn)題【例4】

設(shè)函數(shù)f(x)=tx2+2t2x+t-1(x∈R,t>0).(1)求f(x)的最小值h(t);(2)若h(t)<-2t+m對(duì)t∈(0,2)恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.分析(1)利用配方法,即可求出二次函數(shù)f(x)的最小值h(t);(2)構(gòu)造函數(shù)g(t)=h(t)-(-2t+m),只需使g(t)在區(qū)間(0,2)內(nèi)的最大值小于零即可求得m的取值范圍.解

(1)∵f(x)=t(x+t)2-t3+t-1(x∈R,t>0),∴當(dāng)x=-t時(shí),f(x)取最小值,即f(-t)=-t3+t-1,即h(t)=-t3+t-1.(2)令g(t)=h(t)-(-2t+m)=-t3+3t-1-m,0<t<2,由g'(t)=-3t2+3=0,得t=1或t=-1(不合題意,舍去).當(dāng)t變化時(shí),g'(t),g(t)的變化情況如下表:t(0,1)1(1,2)g'(t)+0-g(t)單調(diào)遞增極大值1-m單調(diào)遞減∴g(t)在區(qū)間(0,2)內(nèi)有極大值也是最大值g(1)=1-m.h(t)<-2t+m在區(qū)間(0,2)內(nèi)恒成立等價(jià)于g(t)<0在區(qū)間(0,2)內(nèi)恒成立,即等價(jià)于1-m<0,即m>1.∴m的取值范圍為(1,+∞).變式探究若將本例(2)的條件改為“存在t∈(0,2],使h(t)<-2t+m成立”,則實(shí)數(shù)m的取值范圍如何求解?解

令g(t)=h(t)-(-2t+m)=-t3+3t-1-m,由g'(t)=-3t2+3=0,得t=1或t=-1(不合題意,舍去).當(dāng)t變化時(shí),g'(t),g(t)的變化情況如下表:t(0,1)1(1,2)2g'(t)+0-

g(t)單調(diào)遞增極大值1-m單調(diào)遞減-3-m易知g(t)在(0,2]上有最小值g(2)=-3-m,存在t∈(0,2],使h(t)<-2t+m成立,等價(jià)于g(t)的最小值g(2)<0.∴-3-m<0,∴m>-3,故實(shí)數(shù)m的取值范圍為(-3,+∞).規(guī)律方法

分離參數(shù)求解不等式恒成立問(wèn)題的步驟

探究點(diǎn)三生活中的優(yōu)化問(wèn)題【例5】

某商場(chǎng)銷售某種商品的經(jīng)驗(yàn)表明,該商品每日的銷售量y(單位:千克)與銷售價(jià)格x(單位:元/千克)滿足關(guān)系式y(tǒng)=+10(x-6)2,其中3<x<6,a為常數(shù),已知銷售價(jià)格為5元/千克時(shí),每日可售出該商品11千克.(1)求a的值;(2)若該商品的成本為3元/千克,試確定銷售價(jià)格x的值,使商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)最大.分析

(1)根據(jù)x=5時(shí),y=11求a的值;(2)把每日的利潤(rùn)表示為銷售價(jià)格x的函數(shù),用導(dǎo)數(shù)求最大值.f'(x)=10[(x-6)2+2(x-3)(x-6)]=30(x-4)(x-6),于是當(dāng)x變化時(shí),f'(x),f(x)的變化情況如下表:x(3,4)4(4,6)f'(x)+0-f(x)單調(diào)遞增極大值42單調(diào)遞減由上表可得,x=4是函數(shù)f(x)在區(qū)間(3,6)內(nèi)的極大值點(diǎn),也是最大值點(diǎn),所以,當(dāng)x=4時(shí),函數(shù)f(x)取得最大值,且最大值等于42.故當(dāng)銷售價(jià)格為4元/千克時(shí),商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)最大.規(guī)律方法

利用導(dǎo)數(shù)解決生活中優(yōu)化問(wèn)題的一般步驟(1)分析實(shí)際問(wèn)題中各量之間的關(guān)系,列出實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型,寫出實(shí)際問(wèn)題中變量之間的函數(shù)關(guān)系y=f(x);(2)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f'(x),解方程f'(x)=0;(3)比較函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)和極值點(diǎn)處的函數(shù)值的大小,其中最大(小)者為f(x)在區(qū)間上的最大(小)值.求解時(shí)應(yīng)注意:(1)合理選擇變量,正確寫出函數(shù)解析式,給出函數(shù)定義域;(2)與實(shí)際問(wèn)題相聯(lián)系;(3)必要時(shí)注意分類討論思想的應(yīng)用.變式訓(xùn)練4[北師大版教材例題]如圖①,一邊長(zhǎng)為48cm的正方形鐵皮,四角各截去一個(gè)大小相同的小正方形,然后折起,可以做成一個(gè)無(wú)蓋長(zhǎng)方體容器,如圖②.所得容器的容積V(單位:cm3)是關(guān)于截去的小正方形的邊長(zhǎng)x(單位:cm)的函數(shù).圖①

圖②(1)隨著x的變化,容積V是如何變化的?(2)截去的小正方形的邊長(zhǎng)為多少時(shí),容器的容積最大?最大容積是多少?解

(1)根據(jù)題意,可得V=V(x)=(48-2x)2x.由實(shí)際情況可知函數(shù)V(x)的定義域?yàn)閧x|0<x<24}.所以V'(x)=-4x(48-2x)+(48-2x)2=(48-2x)(-6x+48)=12(x-24)(x-8).解方程V'(x)=0,得x1=8,x2=24.根據(jù)x1,x2列出下表,分析V'(x)的符號(hào)、V(x)的單調(diào)性和極值點(diǎn).x(0,8)8(8,24)V'(x)+0-V=V(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減根據(jù)表可知,x=8是函數(shù)V=V(x)的極大值點(diǎn),相應(yīng)的極大值為V=V(8)=(48-16)2×8=8

192(cm3).V=(48-2x)2x的大致圖象如圖.根據(jù)對(duì)函數(shù)變化規(guī)律的討論可知:當(dāng)0<x≤8時(shí),函數(shù)V=V(x)單調(diào)遞增;當(dāng)8≤x<24時(shí),函數(shù)V=V(x)單調(diào)遞減.(2)區(qū)間(0,24)上任意點(diǎn)的函數(shù)值都不超過(guò)V(8),因此,x=8是函數(shù)的最大值點(diǎn).此時(shí)V=V(8)=8

192(cm3)是函數(shù)V=V(x)在區(qū)間(0,24)上的最大值.即當(dāng)截去的小正方形的邊長(zhǎng)為8

cm時(shí),得到的容器容積最大,最大容積為8

192

cm3.探究點(diǎn)四構(gòu)造函數(shù)證明函數(shù)不等式當(dāng)-1<x<0時(shí),f'(x)>0,即f(x)在(-1,0)上單調(diào)遞增;當(dāng)x>0時(shí),f'(x)<0,即f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減.于是函數(shù)f(x)在(-1,+∞)上的最大值為f(x)max=f(0)=0,因此,當(dāng)x>-1時(shí),f(x)≤f(0)=0,即ln(x+1)-x≤0,即ln(x+1)≤x(右邊不等式得證).當(dāng)x∈(-1,0)時(shí),g'(x)<0;當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),g'(x)>0.即g(x)在(-1,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增,故函數(shù)g(x)在(-1,+∞)上的最小值為g(x)min=g(0)=0,規(guī)律方法

在函數(shù)不等式的證明中,若不等式的兩邊含有自變量時(shí),可移項(xiàng)后構(gòu)造函數(shù),證明所構(gòu)造的函數(shù)的最大(小)值與0的大小關(guān)系,常見(jiàn)的方法是:欲證明f(x)>g(x),可以構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)-g(x),只需要證明函數(shù)F(x)的最小值大于0.形如g(x)<f(x)<h(x)型的不等式的證明,應(yīng)分別證明g(x)<f(x),f(x)<h(x).本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識(shí)清單:(1)函數(shù)最值的定義.(2)求函數(shù)最值.(3)函數(shù)最值在實(shí)際中的應(yīng)用.(4)構(gòu)造函數(shù)證明函數(shù)不等式.2.方法歸納:轉(zhuǎn)化化歸、分類討論.3.常見(jiàn)誤區(qū):忽視函數(shù)的最值與極值的區(qū)別與聯(lián)系.重難探究·能力素養(yǎng)全提升成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)12345678910111213141516A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練171.[探究點(diǎn)一(角度1)]函數(shù)f(x)=x3-3x+1在區(qū)間[-3,0]上的最大值和最小值分別是(

)A.1,-1 B.1,-17 C.3,-17 D.9,-19C解析

f'(x)=3x2-3=3(x-1)·(x+1),令f'(x)=0,得x=±1.又f(-3)=-27+9+1=-17,f(0)=1,f(-1)=-1+3+1=3,1?[-3,0].所以函數(shù)f(x)的最大值為3,最小值為-17.12345678910111213141516172.[探究點(diǎn)三]某城市在發(fā)展過(guò)程中,交通狀況逐漸受到大家的關(guān)注,據(jù)有關(guān)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示,從上午6h到9h,車輛通過(guò)該市某一路段的用時(shí)y(單位:min)與車輛進(jìn)入該路段的時(shí)刻t之間的關(guān)系可近似地用如下函數(shù)表示:A.6h B.7h C.8h D.9hC6≤t<8時(shí),y'>0;當(dāng)8<t≤9時(shí),y'<0,所以當(dāng)

t=8時(shí),y有最大值,即此時(shí)刻通過(guò)該路段用時(shí)最多.1234567891011121314151617A12345678910111213141516174.[探究點(diǎn)四]當(dāng)0<x<1時(shí),f(x)=,則下列大小關(guān)系正確的是(

)A.f2(x)<f(x2)<f(x) B.f(x2)<f2(x)<f(x)C.f(x)<f(x2)<f2(x) D.f(x2)<f(x)<f2(x)D12345678910111213141516175.[探究點(diǎn)一(角度2)]函數(shù)f(x)=(x+1)ex的最小值是

.

解析

函數(shù)f(x)=(x+1)ex的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=(x+2)ex,當(dāng)x>-2時(shí),f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,當(dāng)x<-2時(shí),f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,因此當(dāng)x=-2時(shí),函數(shù)有最小值,最小值為12345678910111213141516176.[探究點(diǎn)二(角度2)·2023山東東營(yíng)期末]若函數(shù)f(x)=x3-3x在區(qū)間(a2-6,a)上有最大值,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

.

(-1,2]解析

由題意,得f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1).由f'(x)>0,得x<-1或x>1,則f(x)在區(qū)間(-∞,-1)和(1,+∞)上單調(diào)遞增,由f'(x)<0,得-1<x<1,則f(x)在區(qū)間(-1,1)上單調(diào)遞減,12345678910111213141516177.[探究點(diǎn)三]對(duì)于企業(yè)來(lái)說(shuō),生產(chǎn)成本、銷售收入和利潤(rùn)之間的關(guān)系是個(gè)重要的問(wèn)題.對(duì)一家藥品生產(chǎn)企業(yè)的研究表明,該企業(yè)的生產(chǎn)成本y(單位:萬(wàn)元)和生產(chǎn)收入z(單位:萬(wàn)元)都是產(chǎn)量x(單位:t)的函數(shù),分別為y=x3-24x2+225x+10,z=180x.(1)試寫出該企業(yè)獲得的生產(chǎn)利潤(rùn)w(單位:萬(wàn)元)與產(chǎn)量x之間的函數(shù)關(guān)系式;(2)當(dāng)產(chǎn)量為多少時(shí),該企業(yè)可獲得最大利潤(rùn)?最大利潤(rùn)為多少?解

(1)因?yàn)榭偫麧?rùn)=總收入-總成本,即w=z-y,所以w=w(x)=180x-(x3-24x2+225x+10),即w=-x3+24x2-45x-10(x≥0).1234567891011121314151617(2)根據(jù)導(dǎo)數(shù)公式表及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則,可得w'(x)=-3x2+48x-45=-3(x-1)(x-15).解方程w'(x)=0,得x1=1,x2=15.比較x=0,x=1和x=15的函數(shù)值w(0)=-10,w(1)=-32,w(15)=1

340可知,函數(shù)w=w(x)在x=15處取得最大值,此時(shí)最大值為1

340.即該企業(yè)的產(chǎn)量為15

t時(shí),可獲得最大利潤(rùn),最大利潤(rùn)為1

340萬(wàn)元.B級(jí)關(guān)鍵能力提升練12345678910111213141516178.某商場(chǎng)從生產(chǎn)廠家以每件20元購(gòu)進(jìn)一批商品,若該商品零售價(jià)定為p元,銷售量為Q件,則銷售量Q與零售價(jià)p有如下關(guān)系:Q=8300-170p-p2.則最大毛利潤(rùn)為(毛利潤(rùn)=銷售收入-進(jìn)貨支出)(

)A.30元

B.60元 C.28000元

D.23000元D解析

設(shè)毛利潤(rùn)為L(zhǎng)(p),由題意知L(p)=Q(p-20)=(8

300-170p-p2)·(p-20)=-p3-150p2+11

700p-166

000,所以L'(p)=-3p2-300p+11

700.令L'(p)=0,解得p=30或p=-130(舍去).此時(shí),L(30)=23

000.因?yàn)樵趐=30附近的左側(cè)L'(p)>0,右側(cè)L'(p)<0,所以L(30)是極大值,根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的意義知,L(30)是最大值,即零售價(jià)定為每件30元時(shí),最大毛利潤(rùn)為23

000元.12345678910111213141516179.函數(shù)f(x)=6-x3+6在[0,4]上的最大值與最小值之和為(

)A.-46 B.-35 C.6

D.5B(0,1)時(shí),f'(x)>0,當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f'(x)<0,所以f(x)的極大值為f(1)=11,又f(0)=6,f(4)=-46,所以f(x)的最大值為11,最小值為-46,所以最大值與最小值之和為-35.故選B.123456789101112131415161710.已知函數(shù)f(x)=-x3+ax2-4在x=2處取得極值,若m,n均屬于[-1,1],則f(m)+f'(n)的最小值是(

)A.-13 B.-15 C.10

D.15A解析

對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo)得f'(x)=-3x2+2ax,由函數(shù)f(x)在x=2處取得極值知f'(2)=0,即-3×4+2a×2=0,∴a=3.由此可得f(x)=-x3+3x2-4,f'(x)=-3x2+6x,易知f(x)在[-1,0)上單調(diào)遞減,在(0,1]上單調(diào)遞增,∴當(dāng)m∈[-1,1]時(shí),f(m)min=f(0)=-4.又f'(x)=-3x2+6x的圖象開口向下,且對(duì)稱軸為x=1,∴當(dāng)n∈[-1,1]時(shí),f'(n)min=f'(-1)=-9,故f(m)+f'(n)的最小值為-13.123456789101112131415161711.（多選題）若函數(shù)f(x)=-x3-3x2+1在[a,+∞)上的最大值為1,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A.[-3,+∞) B.(-3,+∞)C.(-3,0) D.[-3,0]AD123456789101112131415161712.已知f(x)=-x2+mx+1在區(qū)間(-2,-1)上的最大值就是函數(shù)f(x)的極大值,則m的取值范圍是

.

(-4,-2)123456789101112131415161713.已知存在x∈(0,+∞)使不等式2xlnx≤-x2+ax-3成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是