高等數(shù)學(xué)上第四講學(xué)習(xí)資料

高等數(shù)學(xué)（上）第四講第一章第二節(jié)數(shù)列的極限（1）教學(xué)內(nèi)容數(shù)列、數(shù)列極限的概念數(shù)列極限的幾何解釋數(shù)列極限的有界性定理備注教學(xué)要求理解數(shù)列、數(shù)列極限的概念，理解數(shù)列極限的“”定義。掌握利用數(shù)列極限的“”定義。證明簡單數(shù)列的極限教學(xué)重點(diǎn)數(shù)列極限的“”定義。利用數(shù)列極限的定義。證明簡單數(shù)列的極限教學(xué)難點(diǎn)數(shù)列極限的“”定義。第二節(jié)數(shù)列的極限有很多實(shí)際問題的精確值，僅僅通過有限次的而必須通過分析一個由此產(chǎn)生了例如一、極限思想算術(shù)運(yùn)算是求不出來的，無限變化過程的變化趨勢才能求得，極限概念和極限方法。(1)我國晉朝時代數(shù)學(xué)家劉徽——割圓術(shù)依次求出圓內(nèi)接正六邊形，正十二邊形，正二十四邊形就接近于對應(yīng)圓的面積.正邊形的面積：……正多邊形的面積An利用圓內(nèi)接正多邊形的面積推算圓的面積當(dāng)正多邊形的邊數(shù)越來越大……(2)1x觀察數(shù)列1.從直觀上看,這個數(shù)列當(dāng)n越來越大時,對應(yīng)的項(xiàng)xn會越來越接近于1。2x1x2x3x4xn如何用精確的,量化的數(shù)學(xué)語言來刻劃這一事實(shí)?三、數(shù)列的極限常數(shù)1就是數(shù)列{xn}當(dāng)n趨向于無窮大時的極限？？(4)

就是說:無論你給一個多么小的正數(shù)

,當(dāng)n充分大時,

要說明“當(dāng)n越來越大時,xn越來越接近于1”

只須說明“當(dāng)n越來越大時,|xn

1|會越來越接近于0”.而要說明“|xn1|越來越接近于0”則只須說明“當(dāng)n充分大時,|xn1|能夠小于任意給定由于

是任意的,從而就說明了|xn

1|會越來越接近于0.的,無論多么小的正數(shù)

”|xn

1|比

還小,(5)事實(shí)上,,給,很小,,只須n>1000即可,數(shù)列中,從第1001項(xiàng)開始,以后各項(xiàng)都有要也即在這個又給,則從第10001項(xiàng)開始,以后各項(xiàng)都有(6)一般,任給

>0,不論多么小,只須.因此,從第項(xiàng)開始,以后各項(xiàng)都有.因

是任意的,這就說明了當(dāng)n越來越大時,xn會越來越接近于1.要使存在一個整正數(shù)N(7)定義:設(shè){xn}是一個數(shù)列,a是一個確定的常數(shù),若

>0,則稱a是數(shù)列{xn}當(dāng)n無限增大時的極限,記作這時,也稱{xn}的極限存在,否則,稱{xn}的極限不存在,或稱{xn}是發(fā)散的.

正整數(shù)N,使得當(dāng)n>N時,

都有|xn

a|<

,或稱{xn}收斂于a,對任意的總存在(8)注1.定義中的

是預(yù)先給定的,任意小的正數(shù)；注2.一般說來,N隨給定的

變化而變化,給不同的

確定的N也不同；注3.定義中“當(dāng)n>N時,有|xn

a|<

”的意思是說,從第N+1項(xiàng)開始,以后各項(xiàng)都有|xn

a

|<

,

至于以前的項(xiàng)是否滿足此式不必考慮.(9)四、幾何解釋:x2x1a-

xN+5axN+1a+

x3x)(xN由于|xn

a

|<

xn以a為極限,

就是對任何以a為中心,以任意小的總能找到一個N,而只有有限項(xiàng)落在U(a,

)外部.a<xn<a

xn(a

,a+

)=U(a,

).正數(shù)

為半徑的

鄰域,從第N+1項(xiàng)開始,以后各項(xiàng)都落在鄰域U(a,

)內(nèi),(10)證明數(shù)列極限的步驟：

>0,由|xn

a|<

,解出n>N(ε)取N=N(ε)關(guān)鍵在于找出N(11)若

>0,正整數(shù)N,使得當(dāng)n>N時,都有|xn

a|<

,則設(shè)數(shù)列{xn}的一般項(xiàng)求出N,使當(dāng)n>N時,xn與其極限之差的絕對值小于正數(shù)

,當(dāng)

0.001時,求出數(shù)N.解

.

.

要使|x

n

0|<

,

則

n>N,有|xn

0|<

.當(dāng)

0.001時,

習(xí)題1—18—1、例1.(12)

>0例2證若

>0,正整數(shù)N,使得當(dāng)n>N時,都有|xn

a|<

,則要使只須即

>0,當(dāng)n>N時,有所以

證明取習(xí)題1—19—2、例3、根據(jù)數(shù)列極限的定義證明:2、3、

>0,要使只須即當(dāng)n>N時,有

證明取所以結(jié)束例2.

證明證:

>0要使則當(dāng)n>N時,有(3)若

>0,正整數(shù)N,使得當(dāng)n>N時,都有|xn

a|<

,則例4.設(shè)q是滿足|q|<1的常數(shù),證明證.若q=0,結(jié)論顯然成立.

>0.設(shè)0<

|q|<1.現(xiàn)在,xn=qn,a=0.因|xn

a|=|qn0|=|qn|=|q

|n,要使|

xn