第五章 突破2 數(shù)列中的構(gòu)造問題

第五章數(shù)列突破2數(shù)列中的構(gòu)造問題命題點(diǎn)1

形如

an

＋1＝

pan

＋

f

(

n

)(

p

≠1)例1

(1)在數(shù)列{

an

}中，

a

1＝1，

an

＋1＝3

an

－2

n

－1，則

an

＝

?.

2

n

－1

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4(2)設(shè)數(shù)列{

an

}滿足

a

1＝3，

an

＋1＝3

an

－4

n

，則

an

＝

?.[解析]由已知可得

an

＋1－(2

n

＋3)＝3[

an

－(2

n

＋1)]，

an

－(2

n

＋1)＝3[

an

－1－(2

n

－1)]，…，

a

2－5＝3(

a

1－3).因?yàn)?/p>

a

1＝3，所以

an

＝2

n

＋1.2

n

＋1

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4命題拓展[變條件]若例1(2)中的

a

1＝4，則

an

＝

?.[解析]設(shè)

an

＋1＋

x

(

n

＋1)＋

y

＝3(

an

＋

xn

＋

y

)，則展開利用對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等可得

出

x

＝－2，

y

＝－1，所以{

an

－2

n

－1}是以

a

1－2－1＝1為首項(xiàng)，3為公比的等比

數(shù)列，所以

an

－2

n

－1＝3

n

－1，所以

an

＝3

n

－1＋2

n

＋1.3

n

－1＋2

n

＋1

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4方法技巧形如

an

＋1＝

pan

＋

f

(

n

)(

p

≠1)的遞推式，一般采用構(gòu)造法求通項(xiàng)：(1)若

f

(

n

)為非零常數(shù)，則一般湊配成

an

＋1＋

x

＝

p

(

an

＋

x

)的形式(利用待定系數(shù)法

求

x

)，構(gòu)造等比數(shù)列；(2)若

f

(

n

)為關(guān)于

n

的一次函數(shù)，則一般湊配成

an

＋1＋

x

(

n

＋1)＋

y

＝

p

(

an

＋

xn

＋

y

)

的形式(利用待定系數(shù)法求

x

，

y

)，構(gòu)造等比數(shù)列；(3)若

f

(

n

)為指數(shù)冪(如

qn

)的形式，則一般兩邊同時(shí)除以

pn

＋1或

qn

＋1，再利用累加法

或構(gòu)造法求通項(xiàng).例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4訓(xùn)練1

在數(shù)列{

an

}中，

a

1＝5，

an

＋1＝3

an

－4，則

an

＝

?.[解析]由

an

＋1＝3

an

－4，可得

an

＋1－2＝3(

an

－2)，又

a

1＝5，所以{

an

－2}是以

a

1－2＝3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以

an

－2＝3

n

，所以

an

＝3

n

＋2.3

n

＋2

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4

C.{an}為遞增數(shù)列ABD例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4方法技巧

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4

C例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4命題點(diǎn)3

形如

an

＋1＝

pan

＋

qan

－1(

n

≥2)例3

已知數(shù)列{

an

}滿足

an

＋1＝5

an

－6

an

－1(

n

≥2)，且

a

1＝1，

a

2＝4，則數(shù)列{

an

}

的通項(xiàng)公式為

?.

an

＝2×3

n

－1－2

n

－1

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4方法技巧形如

an

＋1＝

pan

＋

qan

－1(

n

≥2)的遞推式，一般采用構(gòu)造法求通項(xiàng)，將原式變形為

an

＋1＋λ

an

＝μ(

an

＋λ

an

－1)(

n

≥2)，由待定系數(shù)法求出λ，μ，再依據(jù)相鄰兩項(xiàng)的遞推

關(guān)系求通項(xiàng).例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4訓(xùn)練3已知數(shù)列{

an

}滿足

a

1＝1，

a

2＝2，且對(duì)任意

n

∈N*，都有

an

＋2＝3

an

＋1－2

an

.則{

an

}的通項(xiàng)公式為

?.

an

＝2

n

－1

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4

思維幫·提升思維

快速解題用“不動(dòng)點(diǎn)法”求數(shù)列的通項(xiàng)公式

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4方法技巧利用不動(dòng)點(diǎn)法求數(shù)列通項(xiàng)的步驟對(duì)于一個(gè)函數(shù)

f

(

x

)，我們把滿足

f

(

m

)＝

m

的值

m

稱為函數(shù)

f

(

x

)的“不動(dòng)點(diǎn)”.利用

“不動(dòng)點(diǎn)法”可以構(gòu)造新數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4步驟如下：

iii.解方程得出

an

.

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4

A.0C.1D.2C12345678

12345678

C.{an}為遞減數(shù)列BCD12345678

123456783.[2024河南焦作統(tǒng)考]已知數(shù)列{

an

}滿足

an

＋1＝3

an

＋2，

a

3＋

a

2＝22，則滿足

an

＞160的最小正整數(shù)

n

＝

?.

5

123456784.[2023合肥六中三模]已知在數(shù)列{

an

}中，

a

1＝5，

a

2＝2，

an

＝2

an

－1＋3

an

－2(

n

≥3)，則數(shù)列{

an

}的通項(xiàng)公式為

?.[解析]

∵

an

＝2

an

－1＋3

an

－2(

n

≥3)，∴

an

＋

an

－1＝3(

an

－1＋

an

－2)(

n

≥3)，又

a

1

＋

a

2＝7，∴{

an

＋1＋

an

}是首項(xiàng)為7，公比為3的等比數(shù)列，則

an

＋1＋

an

＝7×3

n

－1

12345678

12345678

12345678

12345678

123456787.[2024名師原創(chuàng)]設(shè)數(shù)列{

an

}的前

n

項(xiàng)和為

Sn

，滿足2

Sn

＝

an

＋1－2

n

＋1＋1(

n

∈N*)，且

a

1，

a

2＋5，

a

3成等差數(shù)列.(1)求

a

1的值；[解析]

(1)2

Sn

＝

an

＋1－2

n

＋1＋1，令

n

＝2得2

S

2＝

a

3－23＋1，即2

a

1＋2

a

2＝

a

3－7

①.因?yàn)?/p>

a

1，

a

2＋5，

a

3成等差數(shù)列，所以2(

a

2＋5)＝

a

1＋

a

3，即

a

3＝2(

a

2＋5)－

a

1

②，將②代入①可得2

a

1＋2

a

2＝2(

a

2＋5)－

a

1－7，解得

a

1＝1，故

a

1的值為1.12345678(2)求數(shù)列{

an

}的通項(xiàng)公式.

123