第三章 突破1 構(gòu)造法在解決函數(shù)、導(dǎo)數(shù)問(wèn)題中的應(yīng)用

第三章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用突破1構(gòu)造法在解決函數(shù)、導(dǎo)數(shù)問(wèn)題中的應(yīng)用命題點(diǎn)1

利用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算構(gòu)造函數(shù)角度1

利用

f

(

x

)與

x

構(gòu)造例1

[全國(guó)卷Ⅱ]設(shè)函數(shù)

f

'(

x

)是奇函數(shù)

f

(

x

)(

x

∈R)的導(dǎo)函數(shù)，

f

(－1)＝0，當(dāng)

x

＞0時(shí)，

xf

'(

x

)－

f

(

x

)＜0，則使得

f

(

x

)＞0成立的

x

的取值范圍是(

A

)A.(－∞，－1)∪(0，1)B.(－1，0)∪(1，＋∞)C.(－∞，－1)∪(－1，0)D.(0，1)∪(1，＋∞)A例1例2例3訓(xùn)練1例4訓(xùn)練2

例1例2例3訓(xùn)練1例4訓(xùn)練2方法技巧形式構(gòu)造函數(shù)xf

'(x)＋nf(x)g(x)＝xnf(x)xf

‘(x)－nf(x)例1例2例3訓(xùn)練1例4訓(xùn)練2

C.(0，2)D.(0，＋∞)

B例1例2例3訓(xùn)練1例4訓(xùn)練2方法技巧形式構(gòu)造函數(shù)f

'(x)＋nf(x)g(x)＝enx·f(x)f

'(x)－nf(x)例1例2例3訓(xùn)練1例4訓(xùn)練2

C例1例2例3訓(xùn)練1例4訓(xùn)練2

例1例2例3訓(xùn)練1例4訓(xùn)練2

例1例2例3訓(xùn)練1例4訓(xùn)練2

A.a＞b＞cB.c＞b＞aC.a＞c＞bD.c＞a＞bD例1例2例3訓(xùn)練1例4訓(xùn)練2

例1例2例3訓(xùn)練1例4訓(xùn)練2(2)[2024廣西柳州模擬]設(shè)函數(shù)

y

＝

f

(

x

)，

x

∈R的導(dǎo)函數(shù)為

f

'(

x

)，且

f

(

x

)為偶函數(shù)，

f

'(

x

)＞

f

(

x

)，則不等式成立的是(

B

)A.f(0)＜e－1f(1)＜e2f(2)B.e3f(3)＜f(0)＜e－1f(1)C.e－1f(1)＜f(0)＜e2f(2)D.e2f(2)＜e3f(3)＜f(0)B例1例2例3訓(xùn)練1例4訓(xùn)練2

例1例2例3訓(xùn)練1例4訓(xùn)練2

例1例2例3訓(xùn)練1例4訓(xùn)練2

A.ab＞eC.ab＜e

B例1例2例3訓(xùn)練1例4訓(xùn)練2

例1例2例3訓(xùn)練1例4訓(xùn)練2

A.bea－eb＜aeb－eaC.asinb＋b＜bsina＋aD.sinbcosa＞sinaC例1例2例3訓(xùn)練1例4訓(xùn)練2

例1例2例3訓(xùn)練1例4訓(xùn)練2

例1例2例3訓(xùn)練1例4訓(xùn)練2

例1例2例3訓(xùn)練1例4訓(xùn)練23.3種基本形式基本形式同構(gòu)變形和差型：ea±a＞b±lnb同左：ea±a＞elnb±lnb，構(gòu)造函數(shù)g(x)＝ex±x同右：ea±lnea＞b±lnb，構(gòu)造函數(shù)f(x)＝x±lnx乘積型：aea≤blnb同左：aea≤(lnb)elnb，構(gòu)造函數(shù)g(x)＝xex同右：ealnea≤blnb，構(gòu)造函數(shù)f(x)＝xlnxa＞0時(shí)，取對(duì)數(shù)：a＋lna＜lnb＋ln(lnb)，構(gòu)造函數(shù)h(x)＝x＋

lnx例1例2例3訓(xùn)練1例4訓(xùn)練2基本形式同構(gòu)變形例1例2例3訓(xùn)練1例4訓(xùn)練2訓(xùn)練2(1)已知函數(shù)

f

(

x

)＝

xa

－

a

lnx

(

a

＞0)，

g

(

x

)＝e

x

－

x

，若

x

∈(1，e2)時(shí)，

f

(

x

)≤

g

(

x

)恒成立，則實(shí)數(shù)

a

的最大值是(

B

)A.1B.eD.e2B例1例2例3訓(xùn)練1例4訓(xùn)練2

例1例2例3訓(xùn)練1例4訓(xùn)練2(2)[多選/2023山東省青島質(zhì)檢]已知0＜

x

1＜

x

2＜1，則下列不等式恒成立的為

(

AC

)B.x1lnx1＜x2lnx2C.x2lnx1＜x1lnx2AC例1例2例3訓(xùn)練1例4訓(xùn)練2

例1例2例3訓(xùn)練1例4訓(xùn)練2

例1例2例3訓(xùn)練1例4訓(xùn)練2

A.a＜c＜bB.c＜a＜bC.a＜b＜cD.b＜a＜cA123456789101112131415

1234567891011121314152.[2023南京市二模]已知

f

(

x

)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f'(

x

).若對(duì)任意

x

∈R有f'(

x

)＞1，

f

(1＋

x

)＋

f

(1－

x

)＝0，且

f

(0)＝－2，則不等式

f

(

x

－1)＞

x

－1的

解集為(

D

)A.(0，＋∞)B.(1，＋∞)C.(2，＋∞)D.(3，＋∞)[解析]

解法一

∵

f

(1＋

x

)＋

f

(1－

x

)＝0，

f

(0)＝－2，∴令

x

＝1得

f

(2)＝2.設(shè)

g

(

x

)＝

f

(

x

)－

x

，則g'(

x

)＝

f

'(

x

)－1＞0，∴

g

(

x

)在R上單調(diào)遞增，且

g

(2)＝

f

(2)

－2＝0，∴不等式

f

(

x

－1)＞

x

－1可化為

g

(

x

－1)＞0＝

g

(2)，∴

x

－1＞2，解得

x

＞3.故選D.D123456789101112131415解法二設(shè)

f

(

x

)＝2

x

－2，經(jīng)檢驗(yàn)，滿(mǎn)足要求，所以

f

(

x

－1)＞

x

－1即2(

x

－1)－2＞

x

－1，所以

x

＞3.故選D.1234567891011121314153.[2024吉林省長(zhǎng)春市東北師范大學(xué)附屬中學(xué)模擬]已知函數(shù)

f

(

x

)的定義域?yàn)镽，其

導(dǎo)函數(shù)為

f

'(

x

)，

f

'(

x

)－

f

(

x

)＞3e

x

，

f

(2)＝6e2，則不等式

f

(

x

)＞3

x

e

x

的解集為

(

A

)A.(2，＋∞)B.(－∞，2)C.(3，＋∞)D.(－∞，3)A123456789101112131415

123456789101112131415

D123456789101112131415

1234567891011121314155.[條件創(chuàng)新/2023佛山市質(zhì)檢]設(shè)函數(shù)

f

(

x

)的導(dǎo)函數(shù)是f'(

x

)，且

f

(

x

)f'(

x

)＞

x

恒成

立，則(

D

)A.f(1)＜f(－1)B.f(1)＞f(－1)C.｜f(1)｜＜｜f(－1)｜D.｜f(1)｜＞｜f(－1)｜

D1234567891011121314156.[多選/2023重慶名校聯(lián)考]若

m

＞

n

＞1，0＜

t

＜1，則下列不等式成立的是(

BCD

)A.logmt＜logntB.men＜nemC.mnt＞nmtD.mlognt＜nlogmt

BCD123456789101112131415

1234567891011121314157.[多選]若定義在R上的函數(shù)

f

(

x

)滿(mǎn)足

f

(0)＝－1，其導(dǎo)函數(shù)為

f

'(

x

)，且

f

'(

x

)＞

m

＞

1，則下列各式成立的有(

AC

)AC123456789101112131415

123456789101112131415

(－1，0)

1234567891011121314159.[2024福建省漳州市質(zhì)檢]已知函數(shù)

f

(

x

)(

x

∈R)的導(dǎo)函數(shù)為

f

'(

x

)，若2

f

(

x

)＋

f

'(

x

)

＞0，且

f

(0)＝2025，則不等式

f

(

x

)－2025e－2

x

＞0的解集為

?.[解析]令

g

(

x

)＝e2

xf

(

x

)，則g'(

x

)＝2e2

xf

(

x

)＋e2

xf

'(

x

)＝e2

x

[2

f

(

x

)＋

f

'(

x

)].因?yàn)?

f

(

x

)＋

f

'(

x

)＞0，所以g'(

x

)＞0，所以

g

(

x

)在R上單調(diào)遞增，又

f

(0)＝2025，

所以

g

(0)＝e0

f

(0)＝2025，不等式

f

(

x

)－2025e－2

x

＞0，即

f

(

x

)＞2025e－2

x

，即e2

xf

(

x

)＞2025，即

g

(

x

)＞

g

(0)，所以

x

＞0，即不等式

f

(

x

)－2025e－2

x

＞0的解集為

(0，＋∞).(0，＋∞)

12345678910111213141510.[2023山東濟(jì)南一中5月月考]已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)

f

(

x

)的導(dǎo)函數(shù)為

f

'(

x

)，

f

'(

x

)－

f

(

x

)＜0，且

f

(

x

＋1)＝

f

(1－

x

)，

f

(0)＝e，則不等式

f

(

x

)＞e

x

－1的解集是

?.

(－∞，2)

123456789101112131415

(－∞，0)∪(2，＋∞)123456789101112131415

123456789101112131415

123456789101112131415

123456789101112131415

123456789101112131415

12345678910111213141514.[2022新高考卷Ⅰ]已知函數(shù)

f

(

x

)＝e

x

－

ax

和

g

(

x

)＝

ax

－lnx

有相同的最小值.(1)求

a

；

123456789101112131415

∴h'(

a

)在

a

＝1處取得最小值h'(1)＝1＞0，則當(dāng)

a

＞0時(shí)，h'(

a

)＞0恒成立，

h

(

a

)單

調(diào)遞增.又

h

(1)＝0，∴

a

＝1.123456789101112131415(2)證明：存在直線(xiàn)

y

＝

b

，其與兩條曲線(xiàn)

y

＝

f

(

x

)和

y

＝

g

(

x

)共有三個(gè)不同的交

點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.[解析]

(2)由(1)得

f

(

x

)＝e

x

－

x

，

g

(

x

)＝

x

－lnx

，且

f

(

x

)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，

g

(

x