第八章 突破4 圓錐曲線中的證明、探索性問(wèn)題

第八章平面解析幾何突破4圓錐曲線中的證明、探索性問(wèn)題

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2

①

M

在

AB

上；②

PQ

∥

AB

；③｜

MA

｜＝｜

MB

｜.訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2方法技巧有關(guān)證明問(wèn)題的解題策略圓錐曲線中的證明問(wèn)題多涉及幾何量的證明，比如涉及線段或角相等以及位置關(guān)系

的證明，證明時(shí)，常把幾何量用坐標(biāo)表示，建立關(guān)于某個(gè)變量的函數(shù)，用代數(shù)方法

證明.訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2方法技巧探索性問(wèn)題的解題策略此類(lèi)問(wèn)題一般分為探究條件、探究結(jié)論兩種.若探究條件，則可先假設(shè)條件成立，再

驗(yàn)證結(jié)論是否成立，成立則存在，否則不存在；若探究結(jié)論，則應(yīng)先求出結(jié)論的表

達(dá)式，再針對(duì)其表達(dá)式進(jìn)行討論，往往涉及對(duì)參數(shù)的討論.訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2

(1)求

C

的方程.

12(2)斜率為－3的直線

l

與

C

交于

A

，

B

兩點(diǎn)，點(diǎn)

B

關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為

D

.

若直線

PA

，

PD

的斜率存在且分別為

k

1，

k

2，證明：

k

1

k

2為定值.

12

12

12

12

1234

(2)過(guò)點(diǎn)

P

(4，0)作一條斜率不為0的直線與橢圓

C

交于

A

，

B

兩點(diǎn)(

A

在

B

，

P

之

間)，

直線

BF

與橢圓

C

的另一個(gè)交點(diǎn)為

D

，求證：點(diǎn)

A

，

D

關(guān)于

x

軸對(duì)稱(chēng).

1234

[解析]由橢圓

C

的焦距為2，得

c

＝1，則

b

2＝

a

2－1，①

1234(2)經(jīng)過(guò)橢圓右焦點(diǎn)

F

且斜率為

k

(

k

≠0)的動(dòng)直線

l

與橢圓交于

A

，

B

兩點(diǎn)，試問(wèn)

x

軸

上是否存在異于點(diǎn)

F

的定點(diǎn)

T

，使｜

AF

｜·｜

BT

｜＝｜

BF

｜·｜

AT

｜恒成立？若存

在，求出點(diǎn)

T

坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

1234

解得

t

＝4，經(jīng)檢驗(yàn)

t

＝4符合題意，即存在點(diǎn)

T

(4，0)滿(mǎn)足題意.1234

1234

1234

12344.[2024襄陽(yáng)模擬]在平面直角坐標(biāo)系

xOy

中，已知點(diǎn)

F

(0，2)，點(diǎn)

P

為平面內(nèi)一動(dòng)

點(diǎn)，線段

PF

的中點(diǎn)為

M

，點(diǎn)

M

到

x

軸的距離等于｜

MF

｜，點(diǎn)

P

的軌跡為曲線

E

.

(1)求曲線

E

的方程；[解析]

解法一設(shè)點(diǎn)

P

的坐標(biāo)為(

x

，

y

)，因?yàn)辄c(diǎn)

F

(0，2)在

y

軸正半軸，所以當(dāng)點(diǎn)

M

位于

x

軸上或其下方時(shí)，點(diǎn)

M

到

x

軸的距

離小于｜

MF

｜，不滿(mǎn)足題意，所以點(diǎn)

M

位于

x

軸上方.

1234

1234(2)已知經(jīng)過(guò)點(diǎn)

F

的直線與

E

交于

A

，

B

兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)

F

作與直線

AB

的傾斜角互補(bǔ)的直

線與

E

交于

C

，

D

兩點(diǎn)，且點(diǎn)

A

，

C

位于直線

y

＝2的下方，證明：直線

AD

與

BC

交

于定點(diǎn).

1234

1234

同理得

b

2＝－2，所以直線

BC

過(guò)定點(diǎn)(0，－2).(另解：也可根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)性直