第59講 排列與組合

第十單元

排列、組合與二項式定理、概率第59講

排列與組合課前基礎(chǔ)鞏固課堂考點探究作業(yè)手冊教師備用習(xí)題通過實例，理解排列、組合的概念；能利用計數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式.◆

知識聚焦

◆1.排列與組合的概念名稱定義區(qū)別排列按照______________排成一列排列有序，組合無序組合作為一組一定的順序2.排列數(shù)與組合數(shù)名稱定義計算公式性質(zhì)聯(lián)系排列數(shù)不同排列

名稱定義計算公式性質(zhì)聯(lián)系組合數(shù)（2）應(yīng)用時一般是先選（元素）后排，先分組后分配不同組合

續(xù)表常用結(jié)論排列的常用方法：（1）相鄰問題——捆綁法；（2）不相鄰問題——插空法；（3）定序問題（或相同元素）——用除法處理；（4）分排問題——直排法.◆

對點演練

◆題組一

常識題1.［教材改編］

某校文藝部有4名學(xué)生，其中高一、高二年級各2名，從這4名學(xué)生中隨機選2名參加校文藝匯演，要求這2名學(xué)生來自不同年級，則不同的選擇方法共有___種.4

2.［教材改編］

某單位安排7位工作人員在10月1日至10月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在10月1日和2日，則共有_______種不同的安排方法.2400

20

題組二

常錯題◆

索引：題意理解不準確;不能正確運用捆綁法致誤;混淆排列、組合問題致誤;分類標準不清致誤.4.從5名學(xué)生中選出4名去參加學(xué)科競賽,有___種選法;若這4名學(xué)生分別參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、生物四科競賽,則不同的參賽方案種數(shù)為______;若甲不能參加生物競賽,則不同的參賽方案種數(shù)為____.512096

5.已知4個男生，3個女生站成一排，若3個女生必須排在一起，則有______種不同的排法；若甲、乙2人之間恰好有3個人，則有______種不同的排法.（用數(shù)字作答）720720

6.有大小形狀相同的3個紅色小球和5個白色小球排成一排,共有____種不同的排法.56

7.從4臺標清彩電和5臺高清彩電中選購3臺，要求至少有標清彩電與高清彩電各1臺，共有____種不同的選法.70

探究點一

排列問題例1（1）

甲、乙、丙等六人相約到電影院觀看電影，恰好買到了同一排座位號連續(xù)的六張電影票.若甲、乙兩人必須坐在丙的同一側(cè)，則不同的坐法種數(shù)為(

)

BA.360

B.480

C.600

D.720［思路點撥］（1）先求得六人的全排列數(shù)，然后結(jié)合題意，求得甲、乙在丙同側(cè)所占的比例，即可求解.

（2）

[2023·廣東茂名一中三模]

由數(shù)字0,1,2,3,4組成的沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)中，從小到大排列的第88個數(shù)為(

)

CA.42

031

B.42

103

C.42

130

D.42

301［思路點撥］（2）分類討論由數(shù)字0,1,2,3,4組成的沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)的各種情況，進而得到從小到大排列的第88個數(shù)為42

130.

[總結(jié)反思]求排列問題的注意點（1）有些排列的問題，可以根據(jù)機會均等的關(guān)系或每個元素出現(xiàn)的機會所占整個問題的比例關(guān)系使問題得到解決.（2）間接法是解決排列問題常用方法，即遇到直接進行解題步驟多,

不易計算時，可以考慮先計算出總的情況數(shù),然后計算出不滿足要求的情況數(shù),最后用總的情況數(shù)減去不滿足的情況數(shù)即得最后答案.（3）求解排列問題往往有多個不同的思路，若選擇方法得當(dāng)，則求解過程簡單，容易讓人接受，否則復(fù)雜難解且易犯“重復(fù)”或“遺漏”等錯誤，因此，可借助分類討論思想來求解.變式題（1）

甲、乙、丙3位志愿者被安排在周一至周五的5天中參加某項志愿者活動，要求每人參加一天且每天至多安排一人，并要求甲被安排在另外兩位前面，則不同的安排方法共有(

)

AA.20種

B.30種

C.50種

D.60種

DA.10

B.12

C.14

D.16

AA.100

B.120

C.300

D.600

探究點二

組合問題

CA.96種

B.144種

C.192種

D.206種

（2）

[2023·

新課標Ⅰ卷]

某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有____種（用數(shù)字作答）.64

［思路點撥］（2）按選修2門或3門課進行分類討論，結(jié)合組合知識求解.[總結(jié)反思]解決組合問題的注意點:（1）“含有”或“不含有”某些元素的組合題型:“含”則先將這些元素取出,再由另外元素補足;“不含”則先將這些元素剔除,再從剩下的元素中選取.（2）“至少”或“至多”含有幾個元素的組合題型:用直接法和間接法都可以求解,通常用直接法分類復(fù)雜時,用間接法處理.（3）成雙成對的元素一般是先取雙再取單.變式題（1）

（多選題）從4名男生和3名女生中選出4人去參加一項創(chuàng)新大賽，下列說法正確的是(

)

ADA.若4人中男、女生各2人，則有18種選法B.若男生甲和女生乙必選，則有12種選法C.若男生甲和女生乙至少有1人被選，則有15種選法D.若4人中既有男生又有女生，則有34種選法

（2）

[2024·山東泰安肥城模擬]

現(xiàn)有6名志愿者報名參加某項暑期公益活動，此項公益活動為期兩天，每天從這6人中安排3人參加，則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式有______種.

探究點三

排列與組合的綜合應(yīng)用角度1

相鄰、相間及特殊元素（位置）問題例3（1）

有3名男生，4名女生站成一排，則下列說法錯誤的是(

)

CA.從7人中任選3人相互調(diào)整位置，其余4人位置不變，則不同的調(diào)整方案有70種B.全體站成一排，男生互不相鄰的站法有1440種C.全體站成一排，女生必須站在一起的站法有144種D.全體站成一排，甲不站排頭，乙不站排尾的站法有3720種［思路點撥］（1）根據(jù)兩個計數(shù)原理和排列組合的知識，逐項判斷即可.

BA.48

B.36

C.24

D.12

［思路點撥］（2）根據(jù)甲跑的棒次進行分類討論，由此求得不同棒次安排方案種數(shù).[總結(jié)反思]（1）對于有限制條件的排列組合問題，分析問題時有位置分析法、元素分析法.在實際進行排列時一般采用特殊元素優(yōu)先原則，即先安排有限制條件的元素或有限制條件的位置，對于分類過多的問題可以采用間接法.（2）有限制條件的排列問題的常用方法：相鄰問題采用捆綁法，不相鄰問題采用插空法.變式題（1）

[2023·河北保定一中二模]

某班級選出甲、乙、丙等六人分別擔(dān)任語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、化學(xué)、生物六門學(xué)科的課代表，已知甲只能擔(dān)任語文或英語課代表，乙不能擔(dān)任生物或化學(xué)課代表，且乙、丙兩人中必有一人要擔(dān)任數(shù)學(xué)課代表，則不同的安排方式有(

)

CA.56種

B.64種

C.72種

D.86種

（2）

琴、棋、書、畫、詩、酒、花、茶被稱為中國傳統(tǒng)八雅.為弘揚中國優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某校決定從“八雅”中挑選“六雅”，于某周末開展知識講座，每雅安排一節(jié)，連排六節(jié).若“琴”“棋”“書”“畫”必選，且要求“琴”“棋”相鄰，“書”與“畫”不相鄰，則不同的排課方法共有______種.（用數(shù)字作答）

角度2

定序問題例4

“燈籠”是中國傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)時代的文化產(chǎn)物，兼具生活功能與藝術(shù)特色.如圖，現(xiàn)有懸掛著的2串共6盞不同的花燈需要從下往上依次取下，每次取1盞，則不同取法的種數(shù)為____.20［思路點撥］

先對6盞不同的花燈進行全排列，結(jié)合定序問題的解決方法，即可求解.

[總結(jié)反思]定序問題用除法：對于某幾個元素順序一定的排列問題，可先把這幾個元素與其他元素一同進行排列，然后用總的排列數(shù)除以這幾個元素的全排列數(shù).變式題

[2023·長沙雅禮中學(xué)一模]

六個身高不同的人排成兩排三列，每一列后面的那個人比他（她）前面的那個人高，則共有_____種排法.

角度3

相同元素分配問題例5

某高校舉行一場智能機器人大賽，該高校理學(xué)院獲得8個參賽名額.已知理學(xué)院共有4個班，每個班至少要有一個參賽名額，則理學(xué)院參賽名額的分配方法共有(

)

DA.20種

B.21種

C.28種

D.35種［思路點撥］

利用隔板法可得答案.

變式題

某農(nóng)戶用2400元的資金購買良種羊羔，共有肉用山羊、毛用綿羊、產(chǎn)奶山羊三種羊羔，價格均為每只300元，若要求每種羊羔至少買1只，則所有可能的購買方案種數(shù)為_____.

角度4

分組分配問題

360

[總結(jié)反思]分組分配問題分為三類：

變式題

[2023·廣東佛山二模]

“基礎(chǔ)學(xué)科拔尖學(xué)生培養(yǎng)試驗計劃”簡稱“珠峰計劃”，是國家為回應(yīng)“錢學(xué)森之問”而推出的一項人才培養(yǎng)計劃，旨在培養(yǎng)中國自己的學(xué)術(shù)大師．已知浙江大學(xué)、復(fù)旦大學(xué)、武漢大學(xué)、中山大學(xué)均有開設(shè)數(shù)學(xué)學(xué)科拔尖學(xué)生培養(yǎng)基地.某班級有五位同學(xué)從上述四所學(xué)校中任選一所學(xué)校作為奮斗目標，則每所學(xué)校至少有一位同學(xué)選擇的不同方法共有(

)

CA.120種

B.180種

C.240種

D.300種

教師備用習(xí)題【備選理由】例1考查排列問題，體現(xiàn)創(chuàng)新意識及綜合能力；例2考查組合問題及傳統(tǒng)文化；例3考查相鄰問題，體現(xiàn)整體思想的應(yīng)用；例4考查定序問題，強化對有順序與無順序的理解；例5考查相同元素分配問題，加深對隔板法的應(yīng)用；例6考查分組分配問題及分類討論思想的應(yīng)用.

50

CA.24

B.27

C.36

D.60

平行的橫線與豎線構(gòu)成的矩形的個數(shù)為(

)

例3

［配例3使用］

某個單位安排7位員工在10月1日至10月7日值班，每天安排1人值班，且每人值班1天，若7位員工中的甲、乙排在相鄰的兩天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，則不同的安排方案共有(

)

CA.504種

B.960種

C.1008種

D.1200種

ACD

例5

［配例5使用］

某校社團召開學(xué)生會議，要將11個學(xué)生代表名額分配到高二年級的6個班級中，若高二（1）班至少3個名額，其余5個班每班至少1個名額，則共有____種不同分法.（用數(shù)字作答）56

AA.100

B.110

C.140

D.260

作業(yè)手冊◆

基礎(chǔ)熱身

◆

AA.90

B.42

C.12

D.10

123456789101112131415162.某中學(xué)從4名男生和4名女生中選出4人參加某項社會公益活動，若選出的4人中既有男生又有女生，則不同的選法共有(

)

AA.68種

B.70種

C.240種

D.280種

123456789101112131415163.[2023·湖北襄陽四中模擬]

一排有8個座位，有3人各不相鄰而坐，則不同的坐法共有(

)

AA.120種

B.60種

C.40種

D.20種

123456789101112131415164.[2023·山東濱州模擬]

由3個2,1個0,2個3組成的六位數(shù)中,滿足有相鄰四位恰好是2023的六位數(shù)的個數(shù)為(

)

BA.3

B.6

C.9

D.24

123456789101112131415165.[2023·武漢華中師大第一附中模擬]

某校選拔出甲、乙等四名學(xué)生參加知識競賽，四名學(xué)生按順序作答，要求甲不在第一個出場，乙不在最后一個出場，則不同排法有____種.14

12345678910111213141516

34

12345678910111213141516◆

綜合提升

◆

AA.10

B.20

C.30

D.40

123456789101112131415168.[2024·南京模擬]

將20個完全相同的小球放入編號分別為1，2，3的3個盒子中，要求每個盒子內(nèi)的小球個數(shù)不小于它的編號，則不同的放法共有(

)

AA.120種

B.240種

C.360種

D.720種

123456789101112131415169.近年來喜歡養(yǎng)寵物貓的人越來越多.某貓舍只有5個不同的貓籠，有金漸層貓3只（貓媽媽和2只小貓崽），銀漸層貓4只,布偶貓1只.該貓舍計劃將3只金漸層貓放在一個貓籠里，4只銀漸層貓每2只放在一個貓籠里，布偶貓單獨放在一個貓籠里，則不同的安排方法有(

)

CA.8種

B.30種

C.360種

D.1440種

12345678910111213141516

DA.72

B.84

C.88

D.10012345678910111213141516

1234567891011121314151611.（多選題）[2023·遼寧大連八中月考]

下列各式正確的是(

)

CD

12345678910111213141516

12.（多選題）將9本書分給甲、乙在內(nèi)的3位同學(xué)，下列說法正確的是(

)

ABC

12345678910111213141516

12345678910111213141516

1234567891011121314151613.北京大興國際機場是一座跨地域、超大型的國際航空綜合交通樞紐，目前建有“三縱一橫”4條跑道，分別叫西一跑道、西二跑道、東跑道、北跑道，如圖所示.若有2架飛往不同目的地的