第40講 空間幾何體

第七單元

立體幾何第40講

空間幾何體課前基礎(chǔ)鞏固課堂考點探究作業(yè)手冊教師備用習(xí)題1.利用實物、計算機(jī)軟件等觀察空間圖形,認(rèn)識柱、錐、臺、球及簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征,能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結(jié)構(gòu).2.知道球、柱、錐、臺的表面積和體積的計算公式,能用公式解決簡單的實際問題.3.能用斜二測畫法畫出簡單空間圖形（長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱及其簡單組合）的直觀圖.◆

知識聚焦

◆1.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征（1）

多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱棱柱棱錐棱臺圖形底面互相_______且_______多邊形互相_______平行全等平行名稱棱柱棱錐棱臺側(cè)棱______________相交于_______，但不一定相等延長線交于_________側(cè)面形狀______________________________平行且相等一點平行四邊形三角形梯形續(xù)表一點（2）

旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱圓柱圓錐圓臺球圖形母線互相平行且相等，_______于底面相交于_______延長線交于_____________垂直一點一點名稱圓柱圓錐圓臺球軸截面全等的_______全等的___________________全等的_____________________側(cè)面展開圖_____________________矩形

等腰三角形

等腰梯形圓矩形扇形扇環(huán)續(xù)表2.斜二測畫法

平行于坐標(biāo)軸不變原來的一半3.圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式名稱圓柱圓錐圓臺側(cè)面展開圖側(cè)面積公式

4.空間幾何體的表面積與體積公式名稱幾何體表面積體積柱體（棱柱和圓柱）錐體（棱錐和圓錐）臺體（棱臺和圓臺）球

◆

對點演練

◆題組一

常識題1.［教材改編］

下列說法中錯誤的是____.①經(jīng)過不共面的四點的球有且僅有一個；②平行六面體的每個面都是平行四邊形；③正棱柱的每條側(cè)棱均與上下底面垂直；④棱臺的每條側(cè)棱均與上下底面不垂直.④[解析]

對于①，經(jīng)過不共面的四點的球，即為由這四個點組成的四面體的外接球，有且僅有一個，故①中說法正確；對于②，平行六面體的每個面都是平行四邊形，故②中說法正確；對于③，正棱柱的每條側(cè)棱均與上下底面垂直，故③中說法正確；對于④，棱臺的每條側(cè)棱延長后交于一點，側(cè)棱有可能與底面垂直，故④中說法錯誤.

3.［教材改編］

長、寬、高分別為1，2，3的長方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為______.

題組二

常錯題◆

索引：對空間幾何體的相關(guān)公式掌握不牢致誤；對空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征認(rèn)識不到位致誤;幾何體形狀不確定時,不會分類討論致誤.

5.如圖所示，將一個長方體用過同一頂點的三條棱中點的平面截出一個棱錐，則該棱錐的體積與剩下的幾何體體積的比為______.

探究點一

基本立體圖形與直觀圖角度1

直觀圖

C

［思路點撥］

分析可知，原平面圖形為一個直角梯形,根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則求出上底、下底、高,最后利用梯形的面積公式求解即可.

①②[總結(jié)反思]用斜二測畫法畫幾何體的直觀圖,掌握線段位置、長度兩要素的變化規(guī)律即可.幾何體的直觀圖和原幾何體的關(guān)系（形狀和數(shù)量關(guān)系）是解題重點.

D

AD

角度2

展開圖

B

［思路點撥］（1）根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖的特點即可得到方程，求出結(jié)果.

B

①②［思路點撥］（2）作出圖形,將原問題轉(zhuǎn)化為平面上兩點間的距離最短問題,進(jìn)而得解.[總結(jié)反思]利用空間幾何體的展開圖可以解決以下問題:（1）求幾何體的表面積或側(cè)面積;（2）求幾何體表面上任意兩個點的最短表面距離.

D

探究點二

簡單幾何體的表面積與體積角度1

側(cè)面積與表面積

［思路點撥］（1）根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形求出圓錐的母線長和底面半徑，即可求出圓錐的側(cè)面積．（2）

如圖，將正四面體沿相交于同一個頂點的三條棱上的3個點截去一個正四面體，如此共截去4個全等的正四面體，得到一個由正三角形與正六邊形圍成的幾何體，且正六邊形的面積為2，則原正四面體的表面積為____.12

[總結(jié)反思]計算空間幾何體的表面積的一般步驟:（1）根據(jù)題目給出的背景，確定幾何體的形狀；（2）選擇正確的平面圖形的面積公式求解.注意表面積與底面積、側(cè)面積的區(qū)別.

C

D

角度2

體積

C

［思路點撥］（1）由展開圖的相關(guān)數(shù)據(jù)求出上下底面的半徑，進(jìn)而求出圓臺的母線、高，最后由圓臺的體積公式求解.（2）

[2023

·新課標(biāo)Ⅱ卷]

底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個底面邊長為2，高為3的正四棱錐，所得棱臺的體積為____.28

［思路點撥］（2）思路一：由大正四棱錐的體積減去小正四棱錐的體積可解；思路二：分析得出正四棱臺的高與上、下底面的邊長，再代入體積公式計算即可.

［思路點撥］（3）將四面體補(bǔ)成平行六面體，再用等體積法求解．

[總結(jié)反思]簡單幾何體的體積可用體積公式直接求解,一些組合體的體積需用轉(zhuǎn)換法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解.

D

（2）

[2023·云南昆明一中一模]

沙漏也叫作沙鐘，是一種測量時間的裝置，它由兩個形狀完全相同的容器和一個狹窄的連接管道組成，開始時細(xì)沙全部在上部容器中，細(xì)沙通過連接管道全部流到下部容器所需要的時間稱為該沙漏的一個沙時．如圖，某沙漏由上下兩個相同的圓錐組成，B

AC

教師備用習(xí)題【備選理由】例1結(jié)合圓錐的側(cè)面展開圖考查最短路程問題;例2是圓臺的側(cè)面展開圖問題;

例3考查利用割補(bǔ)法求多面體的體積，涉及平面與平面的夾角和垂直關(guān)系，有比較強(qiáng)的綜合性.

A

C

C

作業(yè)手冊◆

基礎(chǔ)熱身

◆

DA.等腰三角形

B.鈍角三角形

C.等腰直角三角形

D.直角三角形

1234567891011121314151617

A

12345678910111213141516173.某種壺的壺體可以近似看成一個圓臺，如圖給出了一個此種壺的相關(guān)數(shù)據(jù)，那么一個此種壺的最大盛水量為(

)

B

1234567891011121314151617

BA.3

B.4

C.5

D.61234567891011121314151617

12345678910111213141516175.

[2024·九省聯(lián)考]已知軸截面為正三角形的圓錐MM'的高與球O的直徑相等,則圓錐MM'的體積與球O的體積的比值是

,圓錐MM'的表面積與球O的表面積的比值是

.

1234567891011121314151617

12345678910111213141516176.如圖，已知一個圓錐的底面半徑與高均為2，且在這個圓錐中有一個內(nèi)接圓柱．當(dāng)此圓柱的側(cè)面積最大時，此圓柱的體積等于___.

1234567891011121314151617◆

綜合提升

◆

C

1234567891011121314151617

1234567891011121314151617

B①②

1234567891011121314151617

1234567891011121314151617①②

B

1234567891011121314151617

1234567891011121314151617

ABC

1234567891011121314151617

1234567891011121314151617

AD

1234567891011121314151617

1234567891011121314151617

1234567891011121314151617

CD

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1234567891011121314151617

51234567891011121314151617

1234567891011121314151617

1234567891011121314151617

1234567891011121314151617

1234567891011121314151617◆

能力拓展

◆

BC

去這4個小四棱錐，得到一個新的幾何體（如圖②），則該幾何體(