離散數(shù)學(xué)試卷及參考答案A

一、選擇題（每題2分，共20分）1.下列哪個(gè)選項(xiàng)是集合論的基本概念之一？A.自然數(shù)B.素?cái)?shù)C.空集D.整數(shù)A.交集是兩個(gè)集合的并集B.交集是兩個(gè)集合的差集C.交集是兩個(gè)集合中共同存在的元素組成的集合D.交集是兩個(gè)集合的補(bǔ)集A.邊是圖中的頂點(diǎn)B.邊是圖中的路徑C.邊是圖中的環(huán)D.邊是圖中的連接兩個(gè)頂點(diǎn)的線(xiàn)段A.排列是從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素進(jìn)行組合的不同方式B.排列是從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素進(jìn)行排列的不同方式C.排列是從n個(gè)相同元素中取出m個(gè)元素進(jìn)行組合的不同方式D.排列是從n個(gè)相同元素中取出m個(gè)元素進(jìn)行排列的不同方式A.命題是能夠判斷真假的疑問(wèn)句B.命題是能夠判斷真假的陳述句C.命題是能夠判斷真假的命令句D.命題是能夠判斷真假的感嘆句A.頂點(diǎn)是圖中的邊B.頂點(diǎn)是圖中的路徑C.頂點(diǎn)是圖中的環(huán)D.頂點(diǎn)是圖中的點(diǎn)A.組合是從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素進(jìn)行排列的不同方式B.組合是從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素進(jìn)行組合的不同方式C.組合是從n個(gè)相同元素中取出m個(gè)元素進(jìn)行組合的不同方式D.組合是從n個(gè)相同元素中取出m個(gè)元素進(jìn)行排列的不同方式A.邏輯運(yùn)算是對(duì)命題進(jìn)行加、減、乘、除等操作B.邏輯運(yùn)算是對(duì)命題進(jìn)行與、或、非等操作C.邏輯運(yùn)算是對(duì)命題進(jìn)行大小比較等操作D.邏輯運(yùn)算是對(duì)命題進(jìn)行賦值等操作A.路徑是圖中的頂點(diǎn)B.路徑是圖中的邊C.路徑是圖中的環(huán)D.路徑是連接兩個(gè)頂點(diǎn)的一系列邊A.并集是兩個(gè)集合的交集B.并集是兩個(gè)集合的差集C.并集是兩個(gè)集合中至少一個(gè)的元素組成的集合D.并集是兩個(gè)集合的補(bǔ)集二、填空題（每題2分，共20分）11.在集合論中，如果一個(gè)集合A中的每個(gè)元素都屬于集合B，那么稱(chēng)A是B的_________。12.在圖論中，一個(gè)無(wú)向圖中邊的數(shù)量稱(chēng)為圖的_________。13.在組合數(shù)學(xué)中，從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素進(jìn)行排列的不同方式的數(shù)量稱(chēng)為_(kāi)________。14.在邏輯學(xué)中，命題的真值是指命題的_________。15.在圖論中，一個(gè)無(wú)向圖中頂點(diǎn)的數(shù)量稱(chēng)為圖的_________。16.在組合數(shù)學(xué)中，從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素進(jìn)行組合的不同方式的數(shù)量稱(chēng)為_(kāi)________。17.在邏輯學(xué)中，邏輯運(yùn)算符“與”通常用符號(hào)_________表示。18.在圖論中，一個(gè)無(wú)向圖中邊的數(shù)量稱(chēng)為圖的_________。19.在集合論中，如果一個(gè)集合A中的每個(gè)元素都不屬于集合B，那么稱(chēng)A是B的_________。20.在邏輯學(xué)中，邏輯運(yùn)算符“非”通常用符號(hào)_________表示。二、填空題（每題2分，共20分）11.在集合論中，如果一個(gè)集合A中的每個(gè)元素都屬于集合B，那么稱(chēng)A是B的子集。12.在圖論中，一個(gè)無(wú)向圖中邊的數(shù)量稱(chēng)為圖的邊數(shù)。13.在組合數(shù)學(xué)中，從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素進(jìn)行排列的不同方式的數(shù)量稱(chēng)為排列數(shù)。14.在邏輯學(xué)中，命題的真值是指命題的真假。15.在圖論中，一個(gè)無(wú)向圖中頂點(diǎn)的數(shù)量稱(chēng)為圖的頂點(diǎn)數(shù)。16.在組合數(shù)學(xué)中，從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素進(jìn)行組合的不同方式的數(shù)量稱(chēng)為組合數(shù)。17.在邏輯學(xué)中，邏輯運(yùn)算符“與”通常用符號(hào)∧表示。18.在圖論中，一個(gè)無(wú)向圖中邊的數(shù)量稱(chēng)為圖的邊數(shù)。19.在集合論中，如果一個(gè)集合A中的每個(gè)元素都不屬于集合B，那么稱(chēng)A是B的補(bǔ)集。20.在邏輯學(xué)中，邏輯運(yùn)算符“非”通常用符號(hào)?表示。三、簡(jiǎn)答題（每題5分，共20分）21.請(qǐng)簡(jiǎn)述集合論中的冪集概念。22.請(qǐng)簡(jiǎn)述圖論中的連通圖概念。23.請(qǐng)簡(jiǎn)述組合數(shù)學(xué)中的二項(xiàng)式定理。24.請(qǐng)簡(jiǎn)述邏輯學(xué)中的德摩根定律。四、計(jì)算題（每題10分，共30分）25.設(shè)集合A={1,2,3,4,5}，集合B={3,4,5,6,7}，求A和B的交集、并集、差集和補(bǔ)集。26.設(shè)有6個(gè)不同的球，求從這6個(gè)球中取出3個(gè)球的排列數(shù)和組合數(shù)。27.設(shè)有一個(gè)邏輯表達(dá)式P∧(?Q)∨(R∧S)，其中P、Q、R、S是命題，求該表達(dá)式的真值表。五、證明題（每題10分，共20分）28.請(qǐng)證明：對(duì)于任意集合A，A的冪集的基數(shù)是2的A的基數(shù)次方。29.請(qǐng)證明：在一個(gè)連通圖中，任意兩個(gè)頂點(diǎn)之間都存在路徑。一、選擇題答案：1.C2.C3.D4.B5.B6.D7.B8.B9.D10.C二、填空題答案：11.子集12.邊數(shù)13.排列數(shù)14.真假15.頂點(diǎn)數(shù)16.組合數(shù)17.∧18.邊數(shù)19.補(bǔ)集20.?三、簡(jiǎn)答題答案：21.冪集是指一個(gè)集合的所有子集組成的集合。例如，集合A={1,2}的冪集是{{},{1},{2},{1,2}}。22.連通圖是指圖中任意兩個(gè)頂點(diǎn)之間都存在路徑的圖。例如，一個(gè)無(wú)向圖中有三個(gè)頂點(diǎn)，每?jī)蓚€(gè)頂點(diǎn)之間都有一條邊，那么這個(gè)圖是連通圖。23.二項(xiàng)式定理是指一個(gè)二項(xiàng)式的n次冪可以展開(kāi)為n+1項(xiàng)的和，其中每一項(xiàng)都是二項(xiàng)式系數(shù)與相應(yīng)項(xiàng)的乘積。例如，(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3。24.德摩根定律是指邏輯運(yùn)算中的否定律。例如，?(P∧Q)等價(jià)于(?P)∨(?Q)。四、計(jì)算題答案：25.A∩B={3,4,5}，A∪B={1,2,3,4,5,6,7}，AB={1,2}，BA={6,7}。26.排列數(shù)是6×5×4=120，組合數(shù)是6×5×4/3×2×1=20。27.真值表如下：|P|Q|R|S|P∧(?Q)∨(R∧S)||||||||T|T|T|T|T||T|T|T|F|T||T|T|F|T|T||T|T|F|F|F||T|F|T|T|T||T|F|T|F|T||T|F|F|T|T||T|F|F|F|F||F|T|T|T|F||F|T|T|F|F||F|T|F|T|F||F|T|F|F|F||F|F|T|T|F||F|F|T|F|F||F|F|F|T|F||F|F|F|F|F|五、證明題答案：28.證明：設(shè)集合A的基數(shù)為n，那么A的冪集包含2^n個(gè)子集。因?yàn)槊總€(gè)元素都有兩種選擇：要么屬于某個(gè)子集，要么不屬于。所以，對(duì)于每個(gè)元素，都有2種選擇，總共有n個(gè)元素，所以總共有2^n種選擇，即冪集的基數(shù)為2^n。29.證明：假設(shè)存在一個(gè)頂點(diǎn)v0，使得從v0出發(fā)無(wú)法到達(dá)圖中的另一個(gè)頂點(diǎn)v1。那么，v0和v1之間不存在路徑，這與圖是連通圖的定義相矛盾。因此，假設(shè)不成立，即圖中任意兩個(gè)頂點(diǎn)之間都存在路徑。五、證明題答案（續(xù)）：28.證明：設(shè)集合A的基數(shù)為n，那么A的冪集包含2^n個(gè)子集。因?yàn)槊總€(gè)元素都有兩種選擇：要么屬于某個(gè)子集，要么不屬于。所以，對(duì)于每個(gè)元素，都有2種選擇，總共有n個(gè)元素，所以總共有2^n種選擇，即冪集的基數(shù)為2^n。29.證明：假設(shè)存在一個(gè)頂點(diǎn)v0，使得從v0出發(fā)無(wú)法到達(dá)圖中的另一個(gè)頂點(diǎn)v1。那么，v0和v1之間不存在路徑，這與圖是連通圖的定義相矛盾。因此，假設(shè)不成立，即圖中任意兩個(gè)