7高中數(shù)學(xué)新教材課堂導(dǎo)學(xué)案（直線的交點(diǎn)過定點(diǎn)對(duì)稱問題）及答案

課堂導(dǎo)學(xué)（直線的交點(diǎn)，動(dòng)直線過定點(diǎn)，對(duì)稱問題）例1．求證：不論為何實(shí)數(shù)，直線恒過定點(diǎn)．【答案】詳見解析.【解析】【分析】由，可得，即得.【詳解】由，解得，故當(dāng)時(shí)，不論為何實(shí)數(shù)，恒成立，即不論為何實(shí)數(shù)，直線恒過定點(diǎn).例2．已知直線和點(diǎn)、，試在上找一點(diǎn)，使得的值最小，并求出這個(gè)最小值.解：設(shè)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則，即，解得例3．已知的頂點(diǎn)，AB邊上的高所在的直線方程為．(1)求直線AB的方程；(2)在兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中．①角A的平分線所在直線方程為②BC邊上的中線所在的直線方程為______，求直線AC的方程．【答案】(1)；(2)若選①：直線AC的方程為；若選②：直線AC的方程為.【解析】【分析】（1）由兩直線垂直時(shí)，其斜率間的關(guān)系求得直線AB的斜率為，再由直線的點(diǎn)斜式方程可求得答案；（2）若選①：由，求得點(diǎn)，再求得點(diǎn)B關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，由此可求得直線AC的方程；若選②：由，求得點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，由BC的中點(diǎn)在直線上，和點(diǎn)C在直線上，求得點(diǎn)，由此可求得直線AC的方程.(1)解：因?yàn)锳B邊上的高所在的直線方程為，所以直線AB的斜率為，又因?yàn)榈捻旤c(diǎn)，所以直線AB的方程為：，所以直線AB的方程為：；(2)解：若選①：角A的平分線所在直線方程為，由，解得，所以點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)B關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，則，解得，所以，又點(diǎn)在直線AC上，所以，所以直線AC的方程為，所以直線AC的方程為；若選②：BC邊上的中線所在的直線方程為，由，解得，所以點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，則BC的中點(diǎn)在直線上，所以，即，所以點(diǎn)C在直線上，又點(diǎn)C在直線上，由解得，即，所以，所以直線AC的方程為，所以直線AC的方程為.【作業(yè)】一、選擇題1．兩條直線與的交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的實(shí)數(shù)解，給出以下三種說法：①若方程組無解，則兩直線平行；②若方程組只有一解，則兩直線相交；③若方程組有無數(shù)多解，則兩直線重合．其中說法正確的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．0【答案】C【解析】【分析】根據(jù)兩直線交點(diǎn)即方程組的解，則方程組的解的個(gè)數(shù)即兩直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，可以判斷每個(gè)選項(xiàng).【詳解】①若方程組無解，則兩條直線無交點(diǎn)，兩直線平行；正確；②若方程組只有一解，說明兩條直線只有一個(gè)交點(diǎn)，則兩直線相交；正確；③若方程組有無數(shù)多解，說明兩條直線有無數(shù)多個(gè)交點(diǎn)，則兩直線重合．正確.故答案為C.【點(diǎn)睛】在同一平面內(nèi)，兩條直線有三種位置關(guān)系，即相交、平行、重合．相應(yīng)地由直線的方程組成的二元一次方程組的解有三種情況，即有唯一解、無解、有無數(shù)解．當(dāng)?shù)慕庵挥幸唤M時(shí)，這兩條直線和有一個(gè)公共點(diǎn)，它們的位置關(guān)系為相交．當(dāng)?shù)慕庥袩o數(shù)組時(shí)，這兩條直線和有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，它們的位置關(guān)系為重合．當(dāng)無解時(shí)，這兩條直線和沒有公共點(diǎn)，它們的位置關(guān)系為平行．2．在下列直線中，與直線相交的直線為()A．

B．

C．

D．【答案】C【解析】【詳解】由題可知：ABD選項(xiàng)直線的斜率與已知直線斜率相同，所以不會(huì)相交，C項(xiàng)直線與已知直線相交故選：C3．已知點(diǎn)P(－1,1)與點(diǎn)Q(3,5)關(guān)于直線l對(duì)稱，則直線l的方程為()A.x－y＋1＝0 B.x－y＝0C.x＋y－4＝0 D.x＋y＝0【答案】C【解析】中點(diǎn)，直線斜率，所以直線為，即，故選C．4．點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)關(guān)于線對(duì)稱的特點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式及兩直線垂直的斜率的關(guān)系即可求解.【詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，解得.所以點(diǎn)的坐標(biāo)為故選：A.5．一束光線從點(diǎn)處射到y(tǒng)軸上一點(diǎn)后被y軸反射，則反射光線所在直線的方程是（）A．B．C．D．6．（2022·江蘇·高二）直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】設(shè)對(duì)稱的直線方程上的一點(diǎn)的坐標(biāo)為,則其關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為,代入已知直線即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)對(duì)稱的直線方程上的一點(diǎn)的坐標(biāo)為,則其關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，以代換原直線方程中的得，即.故選：D.7．與直線關(guān)于軸對(duì)稱的直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，據(jù)此即可求解.【詳解】設(shè)(x，y)是與直線關(guān)于軸對(duì)稱的直線上任意一點(diǎn)，則(x，－y)在上，故，∴與直線關(guān)于軸對(duì)稱的直線的方程為.故選：D.8．唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”詩中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營所在位置為，若將軍從點(diǎn)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為（

）A．5 B． C．45 D．【答案】B【解析】【分析】先求出點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，則線段的長度即為最短總路程，再利用兩點(diǎn)間的距離公式進(jìn)行求解.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，所以即為“將軍飲馬”的最短總路程，則“將軍飲馬”的最短總路程為．故選：B．二、填空題9．（2021·全國·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)直線經(jīng)過和的交點(diǎn)，且與兩坐標(biāo)軸圍成等腰直角三角形，則直線的方程為___________.【答案】或【解析】【分析】由題可求交點(diǎn)，結(jié)合條件即可求出；或設(shè)直線系方程，結(jié)合已知即求.【詳解】方法一：由，得，所以兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（14，10）,由題意可得直線的斜率為1或-1，所以直線的方程為或，即或.方法二：設(shè)直線的方程為，整理得，由題意，得，解得或，所以直線的方程為或.故答案為：或.10．（2022·江蘇·高二）已知直線：（）．求證：直線恒過定點(diǎn)，并求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】證明見解析，【解析】【分析】整理原方程，利用直線系列出方程組，即可得到直線恒過定點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】證明：原方程整理為，則由得所以點(diǎn)坐標(biāo)為．11．（2022·江蘇·高二）點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是______．【答案】【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是，根據(jù)垂直和中點(diǎn)列方程組可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是，則，解得，所以點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是.故答案為：12．如圖所示，在中，，，，，，CN與BM交于點(diǎn)P，則的值為______．【答案】【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，進(jìn)而通過直線的交點(diǎn)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后得到的坐標(biāo)，最后通過平面向量夾角的坐標(biāo)運(yùn)算求得答案.【詳解】如圖，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AC分別為x,y軸建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意可知.于是，，聯(lián)立，則.所以.故答案為：.13．已知直線方程為.（1）證明：直線恒過定點(diǎn)；（2）為何值時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最大，最大值為多少？【詳解】（1）證明：直線方程為，可化為，對(duì)任意都成立，所以，解得，所以直線恒過定點(diǎn)；（2）解：點(diǎn)到直線的距離最大，可知點(diǎn)與定點(diǎn)的連線的距離就是所求最大值，即.，的斜率為，可得，解得.14．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線，求：(1)直線l關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線的方程；(2)直線關(guān)于直線l對(duì)稱的直線的方程．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）設(shè)直線關(guān)于的對(duì)稱直線上任意一點(diǎn)為，求得點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，代入直線，即可求解；（2）由，兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，再在直線上取一點(diǎn)，求得關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，結(jié)