1.1.1空間向量及其運(yùn)算（第2課時(shí)空間向量的數(shù)量積）課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版選擇性

第一章空間向量與立體幾何

空間向量及其運(yùn)算第2課時(shí)空間向量的數(shù)量積人教B版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第一冊(cè)課程標(biāo)準(zhǔn)1.理解空間向量夾角的概念;2.掌握空間向量的數(shù)量積的概念、相關(guān)性質(zhì)及數(shù)量積的運(yùn)算律;3.能運(yùn)用向量的數(shù)量積,判斷向量垂直,并用于證明兩直線垂直.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過(guò)關(guān)重難探究·能力素養(yǎng)全提升目錄索引

成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過(guò)關(guān)知識(shí)點(diǎn)1空間向量數(shù)量積的概念(1)空間向量的夾角

定義給定兩個(gè)非零向量a,b,任意在空間中選定一點(diǎn)O,作

=a,=b,則大小在[0,π]內(nèi)的

稱為a與b的夾角,記作<a,b>

范圍

向量垂直如果<a,b>=,則稱向量a與b互相垂直,記作

∠AOB

0≤<a,b>≤πa⊥b(2)向量的投影

一般地,給定空間向量a和空間中的直線l(或平面α),過(guò)a的始點(diǎn)和終點(diǎn)分別作直線l(或平面α)的垂線,假設(shè)垂足為A,B,則向量

稱為a在直線l(或平面α)上的投影.(3)空間向量的數(shù)量積兩個(gè)非零向量a與b的數(shù)量積(也稱為內(nèi)積)定義為a·b=|a||b|cos<a,b>.規(guī)定零向量與任意向量的數(shù)量積為0.向量的投影仍是一個(gè)向量

名師點(diǎn)睛1.空間向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)而不是一個(gè)向量.2.數(shù)量積的正負(fù)取決于向量的夾角,注意兩向量反向時(shí)夾角為π.3.數(shù)量積的幾何意義:向量a在b上投影的數(shù)量與b的模的乘積.過(guò)關(guān)自診判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)[北師大版教材習(xí)題]向量b在a方向上的投影的數(shù)量等于向量a在b方向上的投影的數(shù)量.(

)××知識(shí)點(diǎn)2空間向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算律(1)性質(zhì)①若a,b為非零向量,則

?a·b=0(垂直條件);

④|a·b|≤|a||b|(當(dāng)且僅當(dāng)a,b共線時(shí)等號(hào)成立).a⊥b|a|2(2)運(yùn)算律表示數(shù)乘向量與數(shù)量積的結(jié)合律(λa)·b=λ(a·b),λ∈R交換律a·b=b·a分配律(a+b)·c=a·c+b·c名師點(diǎn)睛1.a⊥b的充要條件是a·b=0,這是用向量證明空間中垂直關(guān)系的根本方法,同時(shí)也說(shuō)明由a·b=0不能得到a=0或b=0.2.向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律.過(guò)關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)對(duì)于非零向量b,由a·b=b·c,可得a=c.(

)(2)若非零向量a,b為共線且同向的向量,則a·b=|a||b|.(

)×√2.對(duì)于空間任意兩個(gè)非零向量a,b,“a∥b”是“<a,b>=0”的(

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件BA.30°

B.60° C.150°

D.120°D4.[人教A版教材習(xí)題]如圖,正方體ABCD-A'B'C'D'的棱長(zhǎng)為1,設(shè)

(1)a·(b+c);(2)a·(a+b+c);(3)(a+b)·(b+c).解

(1)a·(b+c)=a·b+a·c=0+0=0.(2)a·(a+b+c)=a2+a·b+a·c=1+0+0=1.(3)(a+b)·(b+c)=a·b+a·c+b2+b·c=0+0+12+0=1.重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一向量的數(shù)量積的求解【例1】如圖所示,已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線長(zhǎng)都等于1,點(diǎn)E,F分別是AB,AD的中點(diǎn),計(jì)算:規(guī)律方法

求兩個(gè)向量數(shù)量積的方法

變式訓(xùn)練1如圖,在三棱錐P-ABC中,AP,AB,AC兩兩垂直,AP=2,AB=AC=1,MD探究點(diǎn)二數(shù)量積的應(yīng)用角度1.利用數(shù)量積求解夾角和模【例2】如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,點(diǎn)N為AA1的中點(diǎn).求:變式探究2本例中,若CA=CB=AA1=1,其他條件不變,求異面直線CA1與AB所成的角.規(guī)律方法

求向量的夾角和模(1)求兩個(gè)向量的夾角:利用公式cos<a,b>=求cos<a,b>,進(jìn)而確定<a,b>.(2)求線段長(zhǎng)度(距離):①取此線段對(duì)應(yīng)的向量;②用其他已知夾角和模的向量表示該向量;③利用|a|=,計(jì)算出|a|,即得所求長(zhǎng)度(距離).角度2.利用數(shù)量積證明垂直問(wèn)題【例3】如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.求證:PA⊥BD.證明

由底面ABCD為平行四邊形,∠DAB=60°,AB=2AD,知DA⊥BD,規(guī)律方法

1.由數(shù)量積的性質(zhì)a⊥b?a·b=0(a,b是非零向量)可知,要證兩直線垂直,可構(gòu)造與兩直線分別平行的非零向量,只要證明這兩個(gè)向量的數(shù)量積為0即可.2.用向量法證明線面(面面)垂直,需將線面(面面)垂直轉(zhuǎn)化為線線垂直,然后利用向量法證明線線垂直.變式訓(xùn)練2如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,O為AC與BD的交點(diǎn),G為CC1的中點(diǎn),求證:A1O⊥平面GBD.又OG∩BD=O,OG?平面GBD,BD?平面GBD,∴A1O⊥平面GBD.成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練12345678910111213141.[探究點(diǎn)二(角度1)]如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,下列各組向量的夾角為45°的是(

)A12345678910111213142.[探究點(diǎn)一]已知向量a和b的夾角為120°,且|a|=2,|b|=5,則(2a-b)·a等于(

)A.12 B.8+

C.4

D.13D解析

(2a-b)·a=2a2-b·a=2|a|2-|a||b|·cos

120°=2×4-2×5×(-)=13.故選D.12345678910111213143.[探究點(diǎn)二(角度2)]已知e1,e2為單位向量,且e1⊥e2,若a=2e1+3e2,b=ke1-4e2,a⊥b,則實(shí)數(shù)k的值為(

)A.-6 B.6

C.3

D.-3B解析

由題意可得a·b=0,e1·e2=0,|e1|=|e2|=1,所以(2e1+3e2)·(ke1-4e2)=0,所以2k-12=0,所以k=6.故選B.12345678910111213144.[探究點(diǎn)一·2023山東濰坊高二階段練習(xí)](多選題)下列說(shuō)法一定正確的是(

)A.設(shè)a,b是兩個(gè)空間向量,則a,b一定共面B.設(shè)a,b,c是三個(gè)空間向量,則a,b,c一定不共面C.設(shè)a,b是兩個(gè)空間向量,則a·b=b·aD.設(shè)a,b,c是三個(gè)空間向量,則(a·b)c=a(b·c)AC1234567891011121314解析

對(duì)于A,兩個(gè)空間向量一定共面,故A正確;對(duì)于B,三個(gè)空間向量可能共面也可能不共面,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,因?yàn)閍,b是兩個(gè)空間向量,則a·b=b·a,故C正確;對(duì)于D,因?yàn)閍,b,c是三個(gè)空間向量,則a(b·c)與向量a共線,(a·b)c與向量c共線,兩向量不一定相等,故D錯(cuò)誤.故選AC.12345678910111213145.[探究點(diǎn)二(角度1)]已知|a|=13,|b|=19,|a+b|=24,則|a-b|=

.

22解析

∵|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=132+2a·b+192=242,∴2a·b=46,∴|a-b|2=(a-b)2=a2-2a·b+b2=530-46=484,故|a-b|=22.12345678910111213146.[探究點(diǎn)二(角度1)]已知空間向量a,b,c中兩兩夾角都是,且|a|=4,|b|=6,|c|=2,則|a+b+c|=

.

10解析

∵|a|=4,|b|=6,|c|=2,且<a,b>=<a,c>=<b,c>=,∴|a+b+c|2=(a+b+c)2=|a|2+|b|2+|c|2+2a·b+2a·c+2b·c=|a|2+|b|2+|c|2+2|a||b|·cos<a,b>+2|a||c|·cos<a,c>+2|b||c|·cos<b,c>=42+62+22+4×6+4×2+6×2=100,∴|a+b+c|=10.12345678910111213147.[探究點(diǎn)一、二(角度1)·北師大版教材例題]如圖,已知四棱柱ABCD-A'B'C'D'的底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形,且∠C'CB=∠C'CD=∠BCD1234567891011121314B級(jí)關(guān)鍵能力提升練1234567891011121314△ABC一定是(

)A.直角三角形

B.等腰三角形C.等腰直角三角形

D.等邊三角形B12345678910111213149.已知空間向量a,b,c滿足a+b+c=0,|a|=3,|b|=1,|c|=4,則a·b+b·c+c·a的值為(

)A.-13 B.-5 C.5 D.13A解析

∵a+b+c=0,∴(a+b+c)2=0,∴a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)=0,123456789101112131410.已知空間向量a,b,c滿足a+b+c=0,|a|=1,|b|=2,|c|=,則a與b的夾角為(

)A.30°

B.45° C.60°

D.90°C解析

設(shè)a與b的夾角為θ,由a+b+c=0,得a+b=-c,兩邊平方,得a2+2a·b+b2=c2,所以1+2×1×2cos

θ+4=7,解得cos

θ=.又θ∈[0,π],所以θ=60°.故選C.123456789101112131411.已知空間向量a,b,|a|=3,|b|=5,m=a+b,n=a+λb,<a