理論力學(xué)-課件第8章

第8章

質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程本章內(nèi)容1動(dòng)力學(xué)引言

2動(dòng)力學(xué)的基本定律

3質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程

4質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的兩類問題第一節(jié)

動(dòng)力學(xué)引言動(dòng)力學(xué)則對(duì)物體的機(jī)械運(yùn)動(dòng)進(jìn)行全面的分析，它研究作用于物體上的力和物體運(yùn)動(dòng)之間的關(guān)系，建立物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)的普遍規(guī)律。動(dòng)力學(xué)研究的力學(xué)模型是質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系。質(zhì)點(diǎn)是具有一定質(zhì)量而幾何形狀和尺寸可以忽略不計(jì)的物體。它是一般物體的抽象，當(dāng)物體的幾何形狀和尺寸對(duì)所研究的問題影響很小時(shí)，就可以把該物體看成是質(zhì)點(diǎn)。這樣做不僅使問題簡(jiǎn)化，而且便于抓住問題的本質(zhì)。如果物體的幾何形狀和尺寸不可忽略，則物體應(yīng)抽象為質(zhì)點(diǎn)系。質(zhì)點(diǎn)系是由有限個(gè)或無(wú)限個(gè)有聯(lián)系的質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)。質(zhì)點(diǎn)系包含極為廣泛的物體及其組合。第二節(jié)

動(dòng)力學(xué)的基本定律第一定律（慣性定律）

不受力作用的質(zhì)點(diǎn)，將保持靜止或做勻速直線運(yùn)動(dòng)。不受力作用的質(zhì)點(diǎn)，不是處于靜止?fàn)顟B(tài)，就是保持其原有的速度（包括大小和方向）不變，這種性質(zhì)稱為慣性。第一定律闡述了物體做慣性運(yùn)動(dòng)的條件，故又稱為慣性定律。第二定律（力與加速度之間的關(guān)系定律）

質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與加速度的乘積，等于作用于質(zhì)點(diǎn)的力的大小，加速度的方向與力的方向相同，即（8-1）式（8-1）是第二定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式，它是質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的基本方程，建立了質(zhì)點(diǎn)的加速度、質(zhì)量與作用力之間的定量關(guān)系。該式表明：圖8-1（1）質(zhì)點(diǎn)的加速度矢

與力矢

的方向相同，如圖8-1所示。式（8-1）是矢量形式。其中，力應(yīng)理解為作用于質(zhì)點(diǎn)的合力，即（2）力與加速度的關(guān)系是瞬時(shí)的關(guān)系，即只要某瞬時(shí)有力作用于質(zhì)點(diǎn)，則該瞬時(shí)質(zhì)點(diǎn)必有確定的加速度。（3）如在某一段時(shí)間內(nèi)，沒有力作用于質(zhì)點(diǎn)，則在這段時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)沒有加速度，質(zhì)點(diǎn)速度的大小和方向保持不變，質(zhì)點(diǎn)在這段時(shí)間內(nèi)做慣性運(yùn)動(dòng)，這與第一定律是相符合的。（4）對(duì)質(zhì)量相等的質(zhì)點(diǎn)，作用于質(zhì)點(diǎn)的力大，則其加速度也大；如用大小相等的力作用在質(zhì)量不同的質(zhì)點(diǎn)上，則質(zhì)量大的質(zhì)點(diǎn)加速度小，質(zhì)量小的質(zhì)點(diǎn)加速度大。這說明質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量越大，保持原來(lái)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的能力越強(qiáng)，即質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量越大，質(zhì)點(diǎn)的慣性也越大。因此，質(zhì)量是質(zhì)點(diǎn)慣性的度量。由上可知，物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的改變，不僅決定于作用于物體的力，同時(shí)也與物體的慣性有關(guān)。在重力作用下得到的加速度稱為重力加速度，用

表示。根據(jù)第二定律有（8-2）式中：P——物體所受的重力；

g——物體所受的重力加速度。在國(guó)際單位制中，長(zhǎng)度、質(zhì)量和時(shí)間的單位是基本單位，分別取為m，kg和s；力的單位是導(dǎo)出單位。質(zhì)量為1kg的質(zhì)點(diǎn)，獲得

的加速度時(shí)，作用于該質(zhì)點(diǎn)的力為一個(gè)國(guó)際單位，稱為N，即在工程中常用工程單位制。在工程單位制中，長(zhǎng)度、力和時(shí)間的單位是基本單位，分別取為m，kgf和s，并把1kg質(zhì)量所受重力作為力的單位，即第三定律（作用力與反作用力定律）

兩個(gè)物體間的作用力與反作用力總是大小相等，方向相反，沿著同一直線，且同時(shí)分別作用在這兩個(gè)物體上。第三節(jié)

質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程一、適量形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程如圖8-2所示，設(shè)有質(zhì)點(diǎn)M，質(zhì)量為m，作用于其上各力的合力為

，矢徑為

，加速度為

。由運(yùn)動(dòng)學(xué)有（8-3）代入式（8-1），得（8-4）式（8-4）就是矢量形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程。通過式（8-4）可求作用于質(zhì)點(diǎn)上的力F，也可求質(zhì)點(diǎn)矢量形式的運(yùn)動(dòng)方程

。圖8-2二、直角坐標(biāo)形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程將式（8-4）在直角坐標(biāo)系Oxyz各軸上投影，得（8-5）由動(dòng)運(yùn)學(xué)有（8-6）式中，x，y，z是質(zhì)點(diǎn)M在直角坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo)。將式（8-6）代入式（8-5），得（8-7）式（8-7）就是直角坐標(biāo)形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程。三、自然形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程將式（8-1）投影于自然軸系

，n，b的各軸，得（8-8）式中，

，

，

和

，

，

分別是質(zhì)點(diǎn)M的加速度a和作用于質(zhì)點(diǎn)M上各力的合力F在切線、主法線和副法線上的投影。由運(yùn)動(dòng)學(xué)有（8-9）將式（8-9）代入式（8-8），得（8-10）式（8-10）就是自然形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程。第四節(jié)

質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的兩類問題質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的問題總的來(lái)講可分成兩類：第一類問題是已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，求作用于質(zhì)點(diǎn)上的力；第二類問題是已知作用于質(zhì)點(diǎn)上的力，求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。一、質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)第一類問題的典型例題例8-1重力為P的質(zhì)點(diǎn)M，在有阻尼的介質(zhì)中鉛垂降落，如圖8-3所示。其運(yùn)動(dòng)方程為

，

常數(shù)。求介質(zhì)對(duì)質(zhì)點(diǎn)M的阻力，并表示為速度的函數(shù)。解（1）選取研究對(duì)象。選取質(zhì)點(diǎn)M為研究對(duì)象。圖8-3圖8-3（2）畫受力圖。將質(zhì)點(diǎn)M放在運(yùn)動(dòng)的一般位置上畫出其受力圖。質(zhì)點(diǎn)在此位置上所受的力有重力P和介質(zhì)阻力

，如圖8-3所示。（3）選定坐標(biāo)系。質(zhì)點(diǎn)M做鉛垂直線運(yùn)動(dòng)，選軌跡直線為直角坐標(biāo)軸Ox，并規(guī)定向下為正。（4）建立運(yùn)動(dòng)微分方程。質(zhì)點(diǎn)M直角坐標(biāo)形式的運(yùn)動(dòng)微分方程為式中，

和

分別為P，

在Ox軸上的投影。如圖8-3所示，有，于是運(yùn)動(dòng)微分方程可寫為（5）求阻力

。由運(yùn)動(dòng)微分方程得根據(jù)質(zhì)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)方程，有于是有例8-2如圖8-4所示，半徑為R的偏心輪以勻角速度

繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)，推動(dòng)導(dǎo)板AB沿鉛垂滑道運(yùn)動(dòng)。已知偏心距

，開始時(shí)OC沿水平線。若在導(dǎo)板頂部D處放有一質(zhì)量為m的物塊M。試求：（1）導(dǎo)板對(duì)物塊的最大約束力及此時(shí)偏心C的位置。（2）欲使物塊不離開導(dǎo)板，求角速度

的最大值。圖8-4解（1）選物塊M為研究對(duì)象，選坐標(biāo)軸如圖8-4（a）所示。（2）畫受力圖，如圖8-4（b）所示。

為導(dǎo)板約束力，W為M的自重。（a）

（b）圖8-4（3）分析運(yùn)動(dòng)。由圖8-4（a）可知，M點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為（a）點(diǎn)的加速度應(yīng)為（b）（4）列質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程，求解。由式（8-7）得到（c）所以

（d）當(dāng)

，即C點(diǎn)在最低位置時(shí)，約束力

便可達(dá)到最大值：由式（d）又可知，當(dāng)

時(shí)，即C達(dá)到最高位置時(shí)，

達(dá)到最小值：使物塊M不離開導(dǎo)板的角速度最大值為例8-3已知單擺長(zhǎng)為l，重為G，做小幅角擺動(dòng)的規(guī)律為

，其中

為常量，如圖8-5（a）所示。求單擺經(jīng)過最高位置和最低位置時(shí)繩的拉力。圖8-5（a）解（1）選質(zhì)點(diǎn)M為研究對(duì)象。（2）分析力，畫受力圖，如圖8-5（b）所示。作用于M上的力有重力G和繩的拉力

。圖8-5（b），（3）分析運(yùn)動(dòng)，列質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程，求解。質(zhì)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)微分為由于

，因此有，，代入運(yùn)動(dòng)微分方程，得第二個(gè)方程可用于求繩的拉力

，由此方程解得當(dāng)單擺處于最高位置時(shí)，

，

，于是有當(dāng)單擺處于最低位置時(shí)，

，此時(shí)的

為當(dāng)

時(shí)（最低位置），有于是有二、質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)第二類問題的典型例題例8-4重力2000N的帆船以速度1.5m/s沿直線運(yùn)動(dòng)，如圖8-6所示。在取下風(fēng)帆后，船克服水的阻力而繼續(xù)向前運(yùn)動(dòng)。設(shè)水的阻力

（其中，

為船的速度，單位為m/s，

的單位為N），問在多少時(shí)間內(nèi)船的速度減小到原速度的四分之一，并求在這段時(shí)間內(nèi)船航行的距離。圖8-6解（1）選帆船為研究對(duì)象。（2）受力分析，畫受力圖。船在鉛垂方向的重力和浮力相平衡，故只需畫出水平方向的阻力F。（3）選固定坐標(biāo)軸Ox，并建立運(yùn)動(dòng)微分方程。設(shè)船重為G，則船的運(yùn)動(dòng)微分方程為式中，

，

分別為阻力F和船的速度

在軸Ox上的投影，于是有為了求出速度v與時(shí)間t的關(guān)系，可將

寫為代入運(yùn)動(dòng)微分方程，得分離變量后寫為根據(jù)已知條件，當(dāng)

時(shí)，

，定積分可寫為積分后得解得當(dāng)

時(shí)，所經(jīng)過的時(shí)間為為求出v與x的關(guān)系，將

寫為代入運(yùn)動(dòng)微分方程，有或時(shí)，，于是有積分后得當(dāng)

時(shí)，船的航行距離為例8-5彈性線系于A點(diǎn)，并穿過一固定光滑小環(huán)O，線的另一端系一質(zhì)量為

的小球M，線未被拉長(zhǎng)時(shí)的長(zhǎng)度

，每將線拉長(zhǎng)一個(gè)單位長(zhǎng)度，需要加力

，其中彈性線的剛度系數(shù)k為常數(shù)，今沿AB方向?qū)⒕€拉長(zhǎng)，使其長(zhǎng)度增加一倍，并給小球沿與AB垂直方向的初速度為

，如圖8-7所示。設(shè)小球重力不計(jì)，線的拉力與線的伸長(zhǎng)成正比，小球在鉛直面Oxy平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。求小球的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。圖8-7解（1）選小球M為研究對(duì)象，建立直角坐標(biāo)系Oxy，如圖8-7所示。（2）分析力，畫受力圖。小球M的作用力F（a）（3）分析運(yùn)動(dòng)。在彈性線恢復(fù)力F的作用下，小球M將做曲線運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)規(guī)律及運(yùn)動(dòng)軌跡將由小球M的運(yùn)動(dòng)微分方程來(lái)確定。（4）列運(yùn)動(dòng)微分方程，求解。設(shè)小球M在Oxy平面內(nèi)的坐標(biāo)為

，則由式（8-5）可得小球的運(yùn)動(dòng)微分方程為（b）將式（a）代入式（b），得或（c）式（c）的兩個(gè)方程均為二階常系數(shù)齊次線性微分方程，其通解為（d）運(yùn)動(dòng)開始時(shí)，小球M位于點(diǎn)B，其坐標(biāo)為

，，則有（e）將式（d）對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)，得（f）將初始條件式（e）代入式（f），可得（g）（h）（i）（j）聯(lián)立求解式（g）～式（j），可得再將積分常數(shù)代入式（d），可得小球M的運(yùn)動(dòng)方程為（k）（l）最后由式（k）、式（l）求得小球的軌跡方程為（m）例8-6在鉛垂平面內(nèi)，質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)M自O(shè)點(diǎn)拋出，其初速度為

，方向角為

，如圖8-8所示。設(shè)空氣阻力

的大小為mkv（k為常數(shù)），方向始終與質(zhì)點(diǎn)M的速度

方向相反。求該質(zhì)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)方程。圖8-8解

（1）選質(zhì)點(diǎn)M為研究對(duì)象，選取如圖8-8所示的直角坐標(biāo)系。（2）分析力，