專題28 軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn) 知識精講-一輪復(fù)習(xí)（解析版）

專題28軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)核心知識點(diǎn)精講1.理解軸對稱圖形與中心對稱圖形概念；2.掌握圖形的平移的性質(zhì)及有關(guān)計算；3.掌握圖形的旋轉(zhuǎn)性質(zhì)并運(yùn)用其性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)的計算；4.掌握位似的性質(zhì)?？键c(diǎn)1：軸對稱圖形與軸對稱軸對稱圖形軸對稱圖形定義如果一個圖形沿著某條直線對折后，直線兩旁的部分能夠完全重合，那么這個圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸如果兩個圖形對折后，這兩個圖形能夠完全重合，那么我們就說這兩個圖形成軸對稱，這條直線叫做對稱軸性質(zhì)對應(yīng)線段相等AB=ACAB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′對應(yīng)角相等∠B=∠C∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′對應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對稱軸垂直平分區(qū)別(1)軸對稱圖形是一個具有特殊形狀的圖形，只對一個圖形而言；(2)對稱軸不一定只有一條(1)軸對稱是指兩個圖形的位置關(guān)系，必須涉及兩個圖形；(2)只有一條對稱軸關(guān)系(1)沿對稱軸對折，兩部分重合；(2)如果把軸對稱圖形沿對稱軸分成“兩個圖形”，那么這“兩個圖形”就關(guān)于這條直線成軸對稱(1)沿對稱軸翻折，兩個圖形重合；(2)如果把兩個成軸對稱的圖形拼在一起，看成一個整體，那么它就是一個軸對稱圖形1．常見的軸對稱圖形:等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圓．2．折疊的性質(zhì):折疊的實(shí)質(zhì)是軸對稱，折疊前后的兩圖形全等，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等．3．作某點(diǎn)關(guān)于某直線的對稱點(diǎn)的一般步驟1）過已知點(diǎn)作已知直線（對稱軸）的垂線，標(biāo)出垂足；2）在這條直線另一側(cè)從垂足除法截取與已知點(diǎn)到垂足的距離相等的線段，那么截點(diǎn)就是這點(diǎn)關(guān)于該直線的對稱點(diǎn)．4．作已知圖形關(guān)于某直線的對稱圖形的一般步驟1）作出圖形的關(guān)鍵點(diǎn)關(guān)于這條直線的對稱點(diǎn)；2）把這些對稱點(diǎn)順次連接起來，就形成了一個符合條件的對稱圖形．考點(diǎn)2：圖形的平移1．定義：在平面內(nèi)，一個圖形由一個位置沿某個方向移動到另一個位置，這樣的圖形運(yùn)動叫做平移．平移不改變圖形的形狀和大?。?．三大要素：一是平移的起點(diǎn)，二是平移的方向，三是平移的距離．3．性質(zhì)：1）平移前后，對應(yīng)線段平行且相等、對應(yīng)角相等；2）各對應(yīng)點(diǎn)所連接的線段平行(或在同一條直線上)且相等；3）平移前后的圖形全等．4．作圖步驟：1）根據(jù)題意，確定平移的方向和平移的距離；2）找出原圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；3）按平移方向和平移距離平移各個關(guān)鍵點(diǎn)，得到各關(guān)鍵點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)；4）按原圖形依次連接對應(yīng)點(diǎn)，得到平移后的圖形．考點(diǎn)3：圖形的旋轉(zhuǎn)1．定義：在平面內(nèi)，一個圖形繞一個定點(diǎn)沿某個方向(順時針或逆時針)轉(zhuǎn)過一個角度，這樣的圖形運(yùn)動叫旋轉(zhuǎn)．這個定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)過的這個角叫做旋轉(zhuǎn)角．2．三大要素：旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角度．3．性質(zhì)：1）對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；2）每對對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；3）旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等．4．作圖步驟：1）根據(jù)題意，確定旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向及旋轉(zhuǎn)角；2）找出原圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；3）連接關(guān)鍵點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心，按旋轉(zhuǎn)方向與旋轉(zhuǎn)角將它們旋轉(zhuǎn)，得到各關(guān)鍵點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)；4）按原圖形依次連接對應(yīng)點(diǎn)，得到旋轉(zhuǎn)后的圖形．【注意】旋轉(zhuǎn)是一種全等變換，旋轉(zhuǎn)改變的是圖形的位置，圖形的大小關(guān)系不發(fā)生改變，所以在解答有關(guān)旋轉(zhuǎn)的問題時，要注意挖掘相等線段、角，因此特殊三角形性質(zhì)的運(yùn)用、銳角三角函數(shù)建立的邊角關(guān)系起著關(guān)鍵的作用．考點(diǎn)4：中心對稱圖形與中心對稱中心對稱圖形中心對稱圖形定義如果一個圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后能與它自身重合，我們就把這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點(diǎn)叫做它的對稱中心如果一個圖形繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后與另一個圖形重合，我們就把這兩個圖形叫做成中心對稱性質(zhì)對應(yīng)點(diǎn)點(diǎn)A與點(diǎn)C，點(diǎn)B與點(diǎn)D點(diǎn)A與點(diǎn)A′，點(diǎn)B與點(diǎn)B′，點(diǎn)C與點(diǎn)C′對應(yīng)線段AB=CD，AD=BCAB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′對應(yīng)角∠A=∠C∠B=∠D∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′區(qū)別中心對稱圖形是指具有某種特性的一個圖形中心對稱是指兩個圖形的關(guān)系聯(lián)系把中心對稱圖形的兩個部分看成“兩個圖形”，則這“兩個圖形”成中心對稱把成中心對稱的兩個圖形看成一個“整體”，則“整體”成為中心對稱圖形常見的中心對稱圖形平行四邊形、矩形、菱形、正方形、正六邊形、圓等．注意：圖形的“對稱”“平移”“旋轉(zhuǎn)”這些變化,是圖形運(yùn)動及延伸的重要途徑,研究這些變換中的圖形的“不變性”或“變化規(guī)律”.考點(diǎn)5：坐標(biāo)變換的規(guī)律（1）P(a，b)關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(a,－b)；（2）P(a，b)關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(－a,b)；（3）P(a，b)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(－a,－b)．【題型1：平移、旋轉(zhuǎn)與軸對稱的識別】【典例1】（2023?蘇州）古典園林中的花窗通常利用對稱構(gòu)圖，體現(xiàn)對稱美．下面四個花窗圖案，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：A、原圖不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項不合題意；B、原圖既不是中心對稱圖形，也不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；C、原圖既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，故此選項符合題意；D、原圖不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項不合題意；故選：C．【變式1-1】（2023?泰州）書法是我國特有的優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，其中篆書具有象形特征，充滿美感．下列“?！弊值乃姆N篆書圖案中，可以看作軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：A，B，D選項中的圖形都不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；C選項中的圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形；故選：C．【變式1-2】（2023?廣西）下列數(shù)學(xué)經(jīng)典圖形中，是中心對稱圖形的是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：A、圖形是中心對稱圖形，符合題意；B、圖形不是中心對稱圖形，不符合題意；C、圖形不是中心對稱圖形，不符合題意；D、圖形不是中心對稱圖形，不符合題意．故選：A．【變式1-3】（2023?宜昌）我國古代數(shù)學(xué)的許多創(chuàng)新與發(fā)明都曾在世界上有重要影響．下列圖形“楊輝三角”“中國七巧板”“劉徽割圓術(shù)”“趙爽弦圖”中，中心對稱圖形是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：選項A、B、C都不能找到一個點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后與原來的圖形重合，所以不是中心對稱圖形．選項D能找到一個點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后與原來的圖形重合，所以是中心對稱圖形．故選：D．【題型2：平移、旋轉(zhuǎn)與軸對稱性質(zhì)的應(yīng)用】【典例2】（2023?無錫）如圖，△ABC中，∠BAC＝55°，將△ABC逆時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜55°），得到△ADE，DE交AC于F．當(dāng)α＝40°時，點(diǎn)D恰好落在BC上，此時∠AFE等于（）A．80° B．85° C．90° D．95°【答案】B【解答】解：∵將△ABC逆時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜55°），得到△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∠BAD＝∠CAE＝40°，AB＝AD，∠C＝∠E，∴∠B＝70°，∴∠C＝∠E＝55°，∴∠AFE＝180°﹣55°﹣40°＝85°，故選：B．【變式2-1】（2023?南充）如圖，將△ABC沿BC向右平移得到△DEF，若BC＝5，BE＝2，則CF的長是（）A．2 B．2.5 C．3 D．5【答案】A【解答】解：由平移的性質(zhì)可知：CF＝BE＝2，故選：A．【變式2-2】（2023?牡丹江）在以“矩形的折疊”為主題的數(shù)學(xué)活動課上，某位同學(xué)進(jìn)行了如下操作：第一步：將矩形紙片的一端，利用圖①的方法折出一個正方形ABEF，然后把紙片展平；第二步：將圖①中的矩形紙片折疊，使點(diǎn)C恰好落在點(diǎn)F處，得到折痕MN，如圖②．根據(jù)以上的操作，若AB＝8，AD＝12，則線段BM的長是（）A．3 B． C．2 D．1【答案】C【解答】解：如圖①，∵四邊形ABCD是矩形，AB＝8，AD＝12，∴DC＝AB＝8，BC＝AD＝12，∠BAD＝∠B＝90°，由折疊得∠AFE＝∠B＝90°，∴四邊形ABEF是矩形，∵AF＝AB＝8，∴四邊形ABEF是正方形，∴BE＝EF＝AB＝8，∠BEF＝90°，如圖②，由折疊得FM＝CM，∵EM2+EF2＝FM2，且EM＝8﹣BM，F(xiàn)M＝CM＝12﹣BM，∴（8﹣BM）2+82＝（12﹣BM）2，解得BM＝2，故選：C．【變式2-3】（2023?寧夏）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝2．點(diǎn)D在BC上，且BD：CD＝1：3．連接AD，線段AD繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE，連接BE，DE．則△BDE的面積是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：∵線段AD繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE，∴AD＝AE，∠DAE＝90°，∴∠EAB+∠BAD＝90°，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠BAD+∠CAD＝90°，∠C＝∠ABC＝45°，∴∠EAB＝∠CAD，∴△EAB≌△DAC（SAS），∴∠C＝∠ABE＝45°，CD＝BE，∴∠EBC＝∠EBA+∠ABC＝90°，∵BC＝2，BD：CD＝1：3，∴BD＝，CD＝BE＝，∴＝，故選：B．【題型3：圖形變化與點(diǎn)坐標(biāo)變化】【典例3】（2023?海南）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，0），將△ABO繞著點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△DBC，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是（）A．（3，3） B．（3，3） C．（6，3） D．（3，6）【答案】B【解答】解：作CM⊥x軸于M，∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，0），∴BC＝OB＝6，∵∠OBC＝60°，∴BM＝，CM＝＝3，∴OM＝OB﹣BM＝6﹣3＝3，∴C（3，3）．故選：B．【變式3-1】（2023?金華）如圖，兩盞燈籠的位置A，B的坐標(biāo)分別是（﹣3，3），（1，2），將點(diǎn)B向右平移2個單位，再向上平移1個單位得到點(diǎn)B′，則關(guān)于點(diǎn)A，B′的位置描述正確的是（）A．關(guān)于x軸對稱 B．關(guān)于y軸對稱 C．關(guān)于原點(diǎn)O對稱 D．關(guān)于直線y＝x對稱【答案】B【解答】解：∵點(diǎn)B′由點(diǎn)B（1，2）向右平移2個單位，再向上平移1個單位得到∴此時B′坐標(biāo)為（3，3）．∴A與B′關(guān)于y軸對稱．故選：B．【變式3-2】（2023?青島）如圖，將線段AB先向左平移，使點(diǎn)B與原點(diǎn)O重合，再將所得線段繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到線段A′B′，則點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)是（）A．（2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（3，﹣2） D．（﹣3，2）【答案】A【解答】解：如圖，由題意可知，點(diǎn)A（0，3），B（2，0），由平移的性質(zhì)得：A''（﹣2，3），點(diǎn)B'（0，0），由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：點(diǎn)A'與A''關(guān)于原點(diǎn)對稱，∴A′（2，﹣3），故選：A．【變式3-3】（2023?聊城）如圖，在直角坐標(biāo)系中，△ABC各點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（﹣2，1），B（﹣1，3），C（﹣4，4）．先作△ABC關(guān)于x軸成軸對稱的△A1B1C1，再把△A1B1C1平移后得到△A2B2C2．若B2（2，1），則點(diǎn)A2坐標(biāo)為（）A．（1，5） B．（1，3） C．（5，3） D．（5，5）【答案】B【解答】解：∵A（﹣2，1），B（﹣1，3），C（﹣4，4）關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為A1（﹣2，﹣1），B1（﹣1，﹣3），C1（﹣4，﹣4），又∵B2（2，1），∴平移規(guī)律為向右平移3個單位，向上平移4個單位，∴點(diǎn)A2坐標(biāo)為（﹣2+3，﹣1+4），即（1，3）．故選：B．【變式3-4】（2023?朝陽）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（2，2），B（4，1），以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為2，把△OAB放大，則點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)是（）A．（1，1） B．（4，4）或（8，2） C．（4，4） D．（4，4）或（﹣4，﹣4）【答案】D【解答】解：∵以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為2，把△OAB放大，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，2），∴點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（2×2，2×2）或（2×（﹣2），2×（﹣2）），即（4，4）或（﹣4，﹣4），故選：D．【題型4：與平移、旋轉(zhuǎn)與軸對稱相關(guān)的網(wǎng)格作圖】【典例4】（2023?達(dá)州）如圖，網(wǎng)格中每個小正方形的邊長均為1，△ABC的頂點(diǎn)均在小正方形的格點(diǎn)上．（1）將△ABC向下平移3個單位長度得到△A1B1C1，畫出△A1B1C1；（2）將△ABC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)90度得到△A2B2C2，畫出△A2B2C2；（3）在（2）的運(yùn)動過程中請計算出△ABC掃過的面積．【答案】（1）見解答；（2）見解答；（3）+．【解答】解：（1）△A1B1C1如圖所示；（2）△A2B2C2如圖所示；（3）＝，∵AC＝，∴＝＝，∴在（2）的運(yùn)動過程中△ABC掃過的面積＝＝+．【變式4-1】（2023?宜昌）如圖，在方格紙中按要求畫圖，并完成填空．（1）畫出線段OA繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到的線段OB，連接AB；（2）畫出與△AOB關(guān)于直線OB對稱的圖形，點(diǎn)A的對稱點(diǎn)是C；（3）填空：∠OCB的度數(shù)為45°．【答案】（1）（2）見解答；（3）45°．【解答】解：（1）如圖，OB為所作；（2）如圖，△COB為所作；（3）∵線段OA繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到的線段OB，∴OB＝OA，∠AOB＝90°，∴△OAB為等腰直角三角形，∴∠OAB＝45°，∵△COB與△AOB關(guān)于直線OB對稱，∴∠OCB＝∠OAB＝45°．故答案為：45°．【變式4-2】（2023?寧波）在4×4的方格紙中，請按下列要求畫出格點(diǎn)三角形（頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上）．（1）在圖1中先畫出一個以格點(diǎn)P為頂點(diǎn)的等腰三角形PAB，再畫出該三角形向右平移2個單位后的△P′A′B′．（2）將圖2中的格點(diǎn)△ABC繞點(diǎn)C按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，畫出經(jīng)旋轉(zhuǎn)后的△A′B′C．【答案】圖形見解答．【解答】解：（1）如圖1，△P′A′B′即為所求；（2）如圖2，△A′B′C即為所求．【變式4-3】（2023?黑龍江）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC的三個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A（2，﹣1），B（1，﹣2），C（3，﹣3）．（1）將△ABC向上平移4個單位，再向右平移1個單位，得到△A1B1C1，請畫出△A1B1C1；（2）請畫出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A2B2C2；（3）將△A2B2C2繞著原點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△A3B3C3，求線段A2C2在旋轉(zhuǎn)過程中掃過的面積（結(jié)果保留π）．【答案】（1）圖形見解答；（2）圖形見解答；（3）．【解答】解：（1）如圖所示，△A1B1C1即為所求；（2）如圖所示，△A2B2C2即為所求；（3）將△A2B2C2繞著原點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△A3B3C3，如圖，連接OC3交于D，連接OC2交于E，∵A2（﹣2，﹣1），B2（﹣1，﹣2），C2（﹣3，﹣3），∴OA2＝＝，OB2＝＝，OC2＝＝3，∴OA2＝OB2＝OD＝OE＝，由旋轉(zhuǎn)得：OA2＝OA3，OB2＝OB3，OC2＝OC3，A2C2＝A3C3，∠C2OC3＝∠DOE＝90°，∴△OA2C2≌△OA3C3（SSS），∴＝，∴線段A2C2在旋轉(zhuǎn)過程中掃過的面積＝S﹣S扇形DOE＝﹣＝．一．選擇題（共8小題）1．在學(xué)習(xí)圖案與設(shè)計這一節(jié)課時，老師要求同學(xué)們利用圖形變化設(shè)計圖案，下列設(shè)計的圖案中既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（）A．B． C．D．【答案】B【解答】解：A、既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；B、既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故此選項符合題意；C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；D、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；故選：B．2．在《生活中的平移現(xiàn)象》的數(shù)學(xué)討論課上，小明和小紅先將一塊三角板描邊得到△ABC，后沿著直尺BC方向平移3cm，再描邊得到到△DEF，連接AD．如圖，經(jīng)測量發(fā)現(xiàn)△ABC的周長為16cm，則四邊形ABFD的周長為（）A．16cm B．22cm C．20cm D．24cm【答案】B【解答】解：∵△ABC沿BC方向平移3cm得到△DEF，∴CF＝AD＝3cm，AC＝DF，∵△ABC的周長為16cm，∴AB+BC+AC＝16cm，∴四邊形ABFD的周長＝AB+BC+CF+DF+AD＝AB+BC+AC+CF+AD＝16+3+3＝22（cm）．故選：B．3．如圖，△ABC與△A'B'C'關(guān)于直線l對稱，連接AA'，BB'，CC'，其中BB′分別交AC，A′C于點(diǎn)D，D'，下列結(jié)論：①AA'∥BB'；②∠ADB＝∠A′D′B′；③直線l垂直平分AA'；④直線AB與A'B'的交點(diǎn)不一定在直線l上．其中正確的是（）A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④【答案】A【解答】解：∵△ABC和△A'B'C'關(guān)于直線l對稱，∴AA'∥BB'，故A正確，∴∠ADD′＝∠A′D′D，∴∠ADB＝∠A′D′B′，故B正確，；∵△ABC和△A'B'C'關(guān)于直線l對稱，∴線段AA′、BB′、CC'被直線l垂直平分，正確，不符合題意；∵△ABC和△A'B'C'關(guān)于直線l對稱，∴直線l垂直平分AA'，故C正確；∵△ABC和△A'B'C'關(guān)于直線l對稱，∴線段AC、A'C'所在直線的交點(diǎn)一定在直線l上，故D錯誤，故選：A．4．如圖，在長方形ABCD中，AB＝5，BC＝3，將長方形沿BE折疊，使得點(diǎn)A落在CD邊上F處，則AE的長是（）A． B． C． D．2【答案】B【解答】解：∵將長方形沿BE折疊，使得點(diǎn)A落在CD邊上F處，∴AB＝BF＝5，AE＝EF，∴CF＝＝4，∴DF＝1，∴AE＝EF＝＝，解得AE＝，故選：B．5．如圖，將△ABC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)30°得到△AB′C′，若∠C′＝45°，且AB′⊥BC于點(diǎn)E，則∠BAC的度數(shù)為（）A．60° B．75° C．45° D．50°【答案】B【解答】解：∵將△ABC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)30°得到△AB′C′，∴∠BAE＝30°，∠C＝∠C'＝45°，又∵AB′⊥BC，∴∠EAC＝45°，∴∠BAC＝75°，故選：B．6．如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD的邊DC上一點(diǎn)，把△ADE繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°到△ABF的位置．若四邊形AECF的面積為36，DE＝2，則AF的長為（）A．6 B． C．8 D．【答案】D【解答】解：∵把△ADE順時針旋轉(zhuǎn)△ABF的位置，∴△ADE≌△ABF，∴AE＝AF，四邊形AECF的面積等于正方形ABCD的面積等于36，∴AD＝DC＝6，∵DE＝2，∴Rt△ADE中，AE＝，∴AE＝AF＝，故選：D．7．如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝3，將△ABC繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)得△A'BC'，若點(diǎn)C'在AB上，則AA'的長為（）A． B．4 C． D．5【答案】A【解答】解：如圖，連接AA'，∵將△ABC繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)得△A′BC'，∴∠A'C'B＝∠C＝90°，A'C'＝AC＝3，AB＝A'B，根據(jù)勾股定理得：AB＝＝5，∴A'B＝AB＝5，∴AC'＝AB﹣BC'＝1，在Rt△AA'C'中，由勾股定理得：AA'＝＝，故選：A．8．如圖，在等腰△AOB中，OA＝AB，∠OAB＝120°，OA邊在x軸上，將△AOB繞原點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)120°，得到△A'OB'，若，則點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A'的坐標(biāo)為（）A．（﹣1，﹣1） B．（﹣1，） C．（﹣1，2） D．（﹣1，）【答案】B【解答】解：過B作BC⊥OA于C，直線A'B'交y軸于D，∵OA＝AB，∠OAB＝120°，∴∠AOB＝30°，∴∠DOB＝60°，∵，∴，∴OA＝AB＝2，∵將△AOB繞原點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)120°，得到△A'OB'，∴∠B'＝30°，A'O＝OA＝2，，∠BOB'＝120°，∴∠DOB'＝60°，∴∠ODB'＝90°，∴，∴B'D＝3，∴A'D＝B'D﹣A'B'＝1，∴點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A'的坐標(biāo)為，故選：B．二．填空題（共7小題）9．若點(diǎn)A（2，﹣3）關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對稱點(diǎn)是B，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣2，3）．【答案】（﹣2，3）．【解答】解：∵點(diǎn)A（2，﹣3）關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對稱，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣2，3），故答案為：（﹣2，3）．10．如圖，已知四邊形ABCD是長方形，點(diǎn)E、F分別在線段AB、CD上，將四邊形AEFD沿EF翻折得到四邊形A'EFD'，若∠CFD'＝36°，則∠DFE＝108°．【答案】108°．【解答】解：∵∠CFD'＝36°，∴∠DFD′＝180°﹣∠CFD′＝180°﹣36°＝144°，由翻折得∠D′FE＝∠DFE，∴2∠DFE+144°＝360°，∴∠DFE＝108°，故答案為：108°．11．如圖，將長為6，寬為4的長方形ABCD先向右平移2，再向下平移1，得到長方形A'B'CD'，則陰影部分的面積為12．【答案】12．【解答】解：由題意可得，陰影部分是矩形，長B'C＝6﹣2＝4，寬A'B'＝4﹣1＝3，∴陰影部分的面積＝4×3＝12，故答案為：12．12．線段AB兩端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（2，4），B（5，2），若將線段AB平移，使得點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C（3，﹣1）．則平移后點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，1）．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵B（5，2），點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C（3，﹣1）．∴變化規(guī)律是橫坐標(biāo)減2，縱坐標(biāo)減3，∵A（2，4），∴平移后點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，1），故答案為（0，1）．13．如圖，有一塊長方形區(qū)域，AD＝2AB，現(xiàn)在其中修建兩條長方形小路，每條小路的寬度均為1米，設(shè)AB邊的長為x米，則圖中空白區(qū)域的面積為2x2﹣3x+1．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：AD＝2AB，設(shè)AB邊的長為x米，則AD＝2x米，空白區(qū)域的面積為：（x﹣1）（2x﹣1）＝2x2﹣3x+1，故答案為：2x2﹣3x+1，14．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝3，將△ABC繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△AB′C′，則BB′＝6．【答案】6．【解答】解：∵在△ABC中，BC＝3，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴AB＝2BC＝6，∵將△ABC繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△AB′C′，∴∠∠BAB′＝90°，AB＝AB′＝6，∴BB′＝＝6．故答案為：6．15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)P（2，3）繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)P′，則點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（3，﹣2）或（﹣3，2）．【答案】（3，﹣2）或（﹣3，2）．【解答】解：將點(diǎn)P（2，3）繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)P′，如圖：分別過點(diǎn)P和P′作PM⊥y軸于點(diǎn)M，作P′N⊥x軸于點(diǎn)N，∵將點(diǎn)P繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)P′，∴∠POM+∠P′OM＝90°，∴∠P′OM+∠P′ON＝90°，∴∠POM+∠P′ON，在△POM和△P′OM中，，∴△POM≌△P′OM（AAS），∴OM＝ON＝3，PM＝P′N＝2，由圖可知：點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（3，﹣2）或（﹣3，2）；故答案為：（3，﹣2）或（﹣3，2）．三．解答題（共3小題）16．如圖，△ABC三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（2，4），B（1，1），C（4，3）．（1）請畫出△ABC繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)90°后的△A1B1C1，并寫出A1的坐標(biāo)；（2）求（1）中C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到C1點(diǎn)所經(jīng)過的路徑長（結(jié)果保留π）．【答案】（1）畫圖見解答；A1（﹣4，2）．（2）．【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求．點(diǎn)A1的坐標(biāo)為（﹣4，2）．（2）由勾股定理得，OC＝＝5，∴C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到C1點(diǎn)所經(jīng)過的路徑長為＝．17．如圖所示，點(diǎn)O是等邊△ABC內(nèi)的任一點(diǎn)，連接OA，OB，OC，∠AOB＝150°，∠BOC＝120°，將△BOC繞點(diǎn)C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ADC．（1）求∠DAO的度數(shù)；（2）用等式表示線段OA，OB，OC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】（1）90°；（2）OA2+OB2＝OC2．【解答】解：（1）∵∠AOB＝150°，∠BOC＝120°，∴∠AOC＝90°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，∠OCD＝60°，∠ADC＝∠BOC＝120°，∴∠DAO＝360°﹣60°﹣90°﹣120°＝90°；（2）線段OA，OB，OC之間的數(shù)量關(guān)系是OA2+OB2＝OC2．如圖，連接OD．∵△BOC繞點(diǎn)C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ADC，∴△ADC≌△BOC，∠OCD＝60°．∴CD＝OC，∠ADC＝∠BOC＝120°，AD＝OB，∴△OCD是等邊三角形，∴OC＝OD＝CD，∠COD＝∠CDO＝60°，∵∠AOB＝150°，∠BOC＝120°，∴∠AOC＝90°，∴∠AOD＝30°，∠ADO＝60°．∴∠DAO＝90°．在Rt△ADO中，∠DAO＝90°，∴OA2+AD2＝OD2．∴OA2+OB2＝OC2．18．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB邊上一點(diǎn)（點(diǎn)D與A，B不重合），連結(jié)CD，將線段CD繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CE，連結(jié)DE交BC于點(diǎn)F，連接BE．（1）求證：△ACD≌△BCE；（2）當(dāng)∠BDE＝25°時，求∠BEF的度數(shù)．【答案】（1）見解析過程；（2）65°．【解答】（1）證明：∵將線段CD繞點(diǎn)C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段CE，∴CD＝CE，∠DCE＝90°＝∠ACB，∴∠ACD＝∠BCE，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），（2）解：∵△ACD≌△BCE，∴∠CBE＝∠CAD＝45°，∴∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°，∵∠BDE＝25°，∴∠BEF＝65°．一．選擇題（共7小題）1．如圖，將長方形ABCO放置于平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O與原點(diǎn)重合，點(diǎn)A，C分別在y軸和x軸上，點(diǎn)B（8，4），連接BO，并將△ABO沿BO翻折至長方形ABCO所在平面，點(diǎn)A的對稱點(diǎn)為點(diǎn)E，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：設(shè)BE交OC于點(diǎn)F，作EH⊥OF于點(diǎn)H，則∠OHE＝90°，∵四邊形ABCO是矩形，B（8，4），∴OA＝BC＝4，OC＝AB＝8，AB∥OC，∴∠ABO＝∠FOB，由翻折得EB＝AB＝8，OE＝OA＝4，∠ABO＝∠FBO，∠OEB＝∠OAB＝90°，∴∠FOB＝∠FBO，∴BF＝OF，∴EF＝8﹣BF＝8﹣OF，∵OE2+EF2＝OF2，∴42+（8﹣OF）2＝OF2，解得OF＝5，∴EF＝8﹣5＝3，∵OF?EH＝OE?EF＝S△OEF，∴×5EH＝×4×3，解得EH＝，∴OH＝＝＝，∴E（，），故選：A．2．如圖，將周長為8的△ABC沿BC方向向右平移2個單位長度得到△DEF，則四邊形ABFD的周長為（）A．10 B．12 C．14 D．16【答案】B【解答】解：∵△ABC沿BC方向平移2個單位長度得到△DEF，∴DF＝AC，AD＝CF＝2，∴四邊形ABFD的周長＝AB+BF+DF+AD＝AB+BC+CF+AC+AD＝△ABC的周長+AD+CF＝8+2+2＝12．故選：B．3．如圖，正方形ABCD，邊長AB＝2，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，將直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，三角板兩邊足夠長，與BC、CD交于E、F兩點(diǎn)，當(dāng)三角板繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時，線段EF的最小值為（）A．1 B．2 C． D．2【答案】C【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴OC＝OD，∠ODC＝∠OCB＝45°，OC⊥OD，∵∠EOF＝90°＝∠COD，∴∠DOF＝∠COE，且OC＝OD，∠ODC＝∠OCB＝45°，∴△OEC≌△OFD（ASA）∴OE＝OF，且∠EOF＝90°，∴EF＝OE，∴OE取最小值，EF有最小值，當(dāng)OE⊥BC時，OE有最小值，∵OB＝OC，∠BOC＝90°，OE⊥BC，∴OE＝BC＝1，∴EF的最小值為，故選：C．4．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B在第一象限，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2．將△AOB繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B'的坐標(biāo)是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：如圖，過點(diǎn)B′作B′H⊥y軸于H．在Rt△A′B′H中，∵A′B′＝2，∠B′A′H＝60°，∴A′H＝A′B′cos60°＝1，B′H＝A′B′sin60°＝，∴OH＝2+1＝3，∴B′（﹣，3），故選：A．5．如圖，菱形ABCD，點(diǎn)A，B，C，D均在坐標(biāo)軸上，∠ADC＝120°，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣4，0），點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P是OC上的一動點(diǎn)，則PD+PE的最小值是（）A．4 B． C． D．【答案】A【解答】解：根據(jù)題意得，E點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)是BC的中點(diǎn)E'，連接DE'交AC與點(diǎn)P，此時PD+PE有最小值為DE'，∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，點(diǎn)A（﹣4，0），∴OA＝OC＝4，∠DBC＝60°，∴△BCD是等邊三角形，∴DE'＝OC＝4，即PD+PE的最小值是4，故選：A．6．如圖，將正方形紙片ABCD沿PQ折疊，使點(diǎn)C的對稱點(diǎn)E落在邊AB上，點(diǎn)D的對稱點(diǎn)為點(diǎn)F，EF為交AD于點(diǎn)G，連接CG交PQ于點(diǎn)H，連接CE．下列四個結(jié)論中：①△PBE∽△QFG；②S△CEG＝S△CBE+S四邊形CDQH；③EC平分∠BEG；④EG2﹣CH2＝GQ?GD，正確的是（）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④【答案】B【解答】解：①∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠BCD＝∠D＝90°．由折疊可知：∠GEP＝∠BCD＝90°，∠F＝∠D＝90°．∴∠BEP+∠AEG＝90°，∵∠A＝90°，∴∠AEG+∠AGE＝90°，∴∠BEP＝∠AGE．∵∠FGQ＝∠AGE，∴∠BEP＝∠FGQ．∵∠B＝∠F＝90°，∴△PBE∽△QFG．故①正確；②過點(diǎn)C作CM⊥EG于M，由折疊可得：∠GEC＝∠DCE，∵AB∥CD，∴∠BEC＝∠DCE，∴∠BEC＝∠GEC，在△BEC和△MEC中，，∴△BEC≌△MEC（AAS）．∴CB＝CM，S△BEC＝S△MEC．∵CG＝CG，∴Rt△CMG≌Rt△CDG（HL），∴S△CMG＝S△CDG，∴S△CEG＝S△BEC+S△CDG＞S△BEC+S四邊形CDQH，∴②不正確；③由折疊可得：∠GEC＝∠DCE，∵AB∥CD，∴∠BEC＝∠DCE，∴∠BEC＝∠GEC，即EC平分∠BEG．∴③正確；④連接DH，MH，HE，如圖，∵△BEC≌△MEC，△CMG≌△CDG，∴∠BCE＝∠MCE，∠MCG＝∠DCG，∴∠ECG＝∠ECM+∠GCM＝∠BCD＝45°，∵EC⊥HP，∴∠CHP＝45°．∴∠GHQ＝∠CHP＝45°．由折疊可得：∠EHP＝∠CHP＝45°，∴EH⊥CG．∴EG2﹣EH2＝GH2．由折疊可知：EH＝CH．∴EG2﹣CH2＝GH2．∵CM⊥EG，EH⊥CG，∴∠EMC＝∠EHC＝90°，∴E，M，H，C四點(diǎn)共圓，∴∠HMC＝∠HEC＝45°．在△CMH和△CDH中，，∴△CMH≌△CDH（SAS）．∴∠CDH＝∠CMH＝45°，∵∠CDA＝90°，∴∠GDH＝45°，∵∠GHQ＝∠CHP＝45°，∴∠GHQ＝∠GDH＝45°．∵∠HGQ＝∠DGH，∴△GHQ∽△GDH，∴＝，∴GH2＝GQ?GD，∴GE2﹣CH2＝GQ?GD．∴④正確；綜上可得，正確的結(jié)論有：①③④．故選：B．7．如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝10，點(diǎn)E、F分別是邊AB、BC上一動點(diǎn)，將△BEF沿EF折疊，若點(diǎn)B恰好落在AD邊上的點(diǎn)G處，設(shè)EF＝x，則x的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：當(dāng)點(diǎn)F在C點(diǎn)，將△BEF沿EF折疊，使得點(diǎn)B恰好落在AD邊上的點(diǎn)G處，此時EF最小，如圖，由折疊可知：CG＝BC＝10，BE＝GE，在Rt△DCG中，DC＝8，∴DG＝＝6，∴AG＝AD﹣DG＝10﹣6＝4，設(shè)BE＝t，則EG＝t，AE＝8﹣t，在Rt△AEG中，∵AE2+AG2＝EG2，∴（8﹣t）2+42＝t2，解得t＝5，∴BE＝t＝5，∴EF＝＝＝5；∴此時EF的長為5；②當(dāng)點(diǎn)E在A點(diǎn)，將△BEF沿EF折疊，使得點(diǎn)B恰好落在AD邊上的點(diǎn)G處，此時EF最大，由折疊可知：四邊形ABFG是正方形，∴AB＝BF＝8，∴EF＝＝8，∴x的取值范圍為5≤x≤8．故選：C．二．填空題（共6小題）8．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝65°，將△ABC繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)至△EBD，使點(diǎn)C落在邊AC上的D處，則∠EBA＝50°．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：由旋轉(zhuǎn)可知，BD＝BC，又∵點(diǎn)D落在邊AC上，∠C＝65°，∴∠BDC＝∠C＝65°，∴∠CBD＝180°﹣2×65°＝50°，即旋轉(zhuǎn)角為50°，所以∠EBA＝∠CBD＝50°．故答案為：50°．9．如圖，將△ABC繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AED，若線段AB＝5，則BE的長度為5．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵△ABC繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AED，∴AB＝AE，∠BAE＝60°，∴△AEB是等邊三角形，∴BE＝AB，∵AB＝5，∴BE＝5．故答案為：5．10．如圖，△ABC中，∠CAB＝70°，在同一平面內(nèi)，將△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△AED的位置，使CD∥AB，則∠BAE的度數(shù)為40°．【答案】40°．【解答】解：∵DC∥AB，∴∠ACD＝∠CAB＝70°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，AD＝AC，∠DAE＝∠CAB＝70°，∴∠ADC＝∠CAB＝70°，∴∠CAD＝40°，∴∠CAE＝30°，∴∠BAE＝40°，故答案為：40°．11．如圖，在等邊△ABC中，AB＝6，點(diǎn)P是邊BC上的動點(diǎn)，將△ABP繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ACQ，點(diǎn)D是AC邊的中點(diǎn)，連接DQ，則DQ的最小值是．【答案】．【解答】解：如圖，由旋轉(zhuǎn)可得∠ACQ＝∠B＝60°，又∵∠ACB＝60°，∴∠BCQ＝120°，∵點(diǎn)D是AC邊的中點(diǎn)，∴CD＝3，當(dāng)DQ⊥CQ時，DQ的長最小，此時，∠CDQ＝30°，∴CQ＝CD＝，∴DQ＝＝，∴DQ的最小值是，故答案為：．12．如圖，正方形ABCD中，AB＝4，點(diǎn)P為射線AD上一個動點(diǎn)．連接BP，把△ABP沿BP折疊，當(dāng)點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A'剛好落在線段BC的垂直平分線上時，AP的長為或．【答案】或．【解答】解：點(diǎn)P在射線AD上運(yùn)動，故分兩種情況；情況一：當(dāng)點(diǎn)A'落在圖①的位置時，由正方形ABCD可知，BC＝AB＝4，∵點(diǎn)A'落在BC的垂直平分線EF上，∴，由折疊可知，A'B＝AB＝4．在Rt△A'FB中，由勾股定理可得，，∴，∵∠PEA′＝∠PA′B＝∠A′FB＝90°，∴∠EA′P+∠BA′F＝90°，∠FBA′+∠BA′F＝90°，∴∠EA′P＝∠FBA′，∴△PEA'∽△A'FB，∴，∴解得，∴．情況二：當(dāng)點(diǎn)A'若在圖②的位置時，由正方形ABCD可知，BC＝AB＝4，∵點(diǎn)A'落在BC的垂直平分線上，∴，由折疊可知，A'B＝AB＝4，在Rt△A'FB中，由勾股定理可得，，∴．由折疊可知，AP＝A'P，設(shè)AP＝A'P＝x，則EP＝x﹣2．在Rt△A'EP中，由勾股定理可得，A′P2＝A′E2+EP2，即，解得x＝，∴，∴．綜上，AP＝或．13．如圖，已知四邊形ABCD是邊長為4的正方形，點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，連接DE，將△DCE沿DE翻折得到△DC'E，連接AC′，則AC′的長為．【答案】．【解答】解：如圖，連接BC′，CC′，過點(diǎn)C′作C′G⊥AB于點(diǎn)G，∵正方形ABCD的邊長為4，E是BC邊的中點(diǎn)，∴BE＝CE＝2，在Rt△CDE中，根據(jù)勾股定理得DE＝＝2，由翻折可知：DE垂直平分CC′，∴DE?CH＝CE?CD，∴2CH＝2×4，∴CH＝，∴CC′＝，由折疊可得，CE＝C′E＝BE，∴△BCC′是直角三角形，∴BC′＝＝，BC′⊥CC′，∴∠C′BG＝90°﹣∠CBC′＝∠BCC′，∵∠C′GB＝∠CC′B＝90°，∴△C′GB∽△BC′C，∴＝＝，∴＝＝，∴C′G＝，BG＝，∴AG＝AB﹣BG＝，∴AC′＝＝．故答案為：．三．解答題（共2小題）14．如圖，在△ABC中，∠ACB＝30°，將△ABC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△DEC，連接AE．求證：AB＝AE．【答案】證明見解析．【解答】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BC＝EC，∠DCE＝∠ACB＝30°，∠ACD＝60°，∴∠ACE＝∠ACD﹣∠DCE＝30°，∴∠ACE＝∠ACB＝30°，又∵AC＝AC，∴△ACE≌△ACB（SAS），∴AB＝AE．15．[教材呈現(xiàn)]下面是華師版九年級上冊數(shù)學(xué)教材第76頁的部分內(nèi)容．如圖，E是矩形ABCD的邊CB上的一點(diǎn)，AF⊥DE于點(diǎn)F，AB＝3，AD＝2，CE＝1，證明△AFD∽△DCE，并計算點(diǎn)A到直線DE的距離（結(jié)果保留根號）．結(jié)合圖①，完成解答過程．[拓展]（1）在圖①的基礎(chǔ)上，延長線段AF交邊CD于點(diǎn)G，如圖②，則FG的長為；（2）如圖③，E、F是矩形ABCD的邊AB、CD上的點(diǎn)，連結(jié)EF，將矩形ABCD沿EF翻折，使點(diǎn)D的對稱點(diǎn)D'與點(diǎn)B重合，點(diǎn)A的對稱點(diǎn)為點(diǎn)A'．若AB＝4，AD＝3，則EF的長為．【答案】[教材呈現(xiàn)]證明見解答過程，點(diǎn)A到直線DE的距離AF＝；[拓展]（1）；（2）．【解答】解：[教材呈現(xiàn)]∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ADC＝∠C＝90°，CD＝AB＝3，BC＝AD＝2，∴DE＝＝，∵AF⊥DE，∴∠AFD＝∠C＝90°，∴∠DAF+∠ADF＝∠ADF+∠CDE＝90°，∴∠DAF＝∠CDE，∴△ADF∽△DCE，∴，即，∴點(diǎn)A到直線DE的距離AF＝；[拓展]（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ADC＝∠C＝90°，CD＝AB＝3，BC＝AD＝2，∴DE＝＝，∵AF⊥DE，∴∠AFD＝∠CDA＝90°，∴∠CDE+∠ADE＝∠DAG+∠ADE＝90°，∴∠DAG＝∠CDE，∴△ADG∽△DCE，得∴，即，∴AG＝，∴FG＝AG﹣AF＝﹣＝；故答案為：；（2）如圖③，作FG⊥AD于G，設(shè)DF＝BF＝x，則CF＝4﹣x，∵將矩形ABCD沿EF翻折，使點(diǎn)D的對稱點(diǎn)D'與點(diǎn)B重合，∴