第二講人造衛(wèi)星與宇宙航行(原卷版+解析)

第二講人造衛(wèi)星與宇宙航行知識梳理1．天體(衛(wèi)星)運行問題分析將天體或衛(wèi)星的運動看成勻速圓周運動，其所需向心力由萬有引力提供．2．物理量隨軌道半徑變化的規(guī)律Geq\f(Mm,r2)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ma→a＝\f(GM,r2)→a∝\f(1,r2),m\f(v2,r)→v＝\r(\f(GM,r))→v∝\f(1,\r(r)),mω2r→ω＝\r(\f(GM,r3))→ω∝\f(1,\r(r3)),m\f(4π2,T2)r→T＝\r(\f(4π2r3,GM))→T∝\r(r3)))即r越大，v、ω、a越小，T越大．(越高越慢)3．人造衛(wèi)星衛(wèi)星運行的軌道平面一定通過地心，一般分為赤道軌道、極地軌道和其他軌道，同步衛(wèi)星的軌道是赤道軌道．(1)極地衛(wèi)星運行時每圈都經過南北兩極，由于地球自轉，極地衛(wèi)星可以實現(xiàn)全球覆蓋．(2)同步衛(wèi)星①軌道平面與赤道平面共面，且與地球自轉的方向相同．②周期與地球自轉周期相等，T＝24h.③高度固定不變，h＝3.6×107m.④運行速率均為v＝3.1km/s.(3)近地衛(wèi)星：軌道在地球表面附近的衛(wèi)星，其軌道半徑r＝R(地球半徑)，運行速度等于第一宇宙速度v＝7.9km/s(人造地球衛(wèi)星的最大圓軌道運行速度)，T＝85min(人造地球衛(wèi)星的最小周期)．注意：近地衛(wèi)星可能為極地衛(wèi)星，也可能為赤道衛(wèi)星．4．宇宙速度(1)第一宇宙速度①第一宇宙速度又叫環(huán)繞速度，其數(shù)值為7.9km/s。②第一宇宙速度是物體在地球附近繞地球做勻速圓周運動時的速度。③第一宇宙速度是人造衛(wèi)星的最小發(fā)射速度，也是人造衛(wèi)星的最大環(huán)繞速度。④第一宇宙速度的計算方法由Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v2,R)得v＝eq\r(\f(GM,R))；由mg＝meq\f(v2,R)得v＝eq\r(gR)．(2)第二宇宙速度：使物體掙脫地球引力束縛的最小發(fā)射速度，其數(shù)值為11.2km/s．(3)第三宇宙速度：使物體掙脫太陽引力束縛的最小發(fā)射速度，其數(shù)值為16.7km/s．考點一、衛(wèi)星運行參量的分析1．公式中r指軌道半徑，是衛(wèi)星到中心天體球心的距離，R通常指中心天體的半徑，有r＝R＋h.2．同一中心天體，各行星v、ω、a、T等物理量只與r有關；不同中心天體，各行星v、ω、a、T等物理量與中心天體質量M和r有關．3．地球同步衛(wèi)星的特點4．衛(wèi)星的各物理量隨軌道半徑變化的規(guī)律例1、如圖所示，a為地球赤道上的物體，b為沿地球表面附近做勻速圓周運動的人造衛(wèi)星，c為地球同步衛(wèi)星。關于a、b、c做勻速圓周運動的說法中正確的是()A．角速度的大小關系為ωa＝ωb>ωcB．向心加速度的大小關系為aa>ab>acC．線速度的大小關系為vb>vc>vaD．周期關系為Ta＝Tb>Tc例2、(2020·江蘇高考)(多選)甲、乙兩顆人造衛(wèi)星質量相等，均繞地球做圓周運動，甲的軌道半徑是乙的2倍。下列應用公式進行的推論正確的有()A．由v＝eq\r(gR)可知，甲的速度是乙的eq\r(2)倍B．由a＝ω2r可知，甲的向心加速度是乙的2倍C．由F＝Geq\f(Mm,r2)可知，甲的向心力是乙的eq\f(1,4)D．由eq\f(r3,T2)＝k可知，甲的周期是乙的2eq\r(2)倍例3、(多選)(2022·莆田4月模擬)2020年7月31日，北斗三號全球衛(wèi)星導航系統(tǒng)正式建成開通，我國向世界莊嚴宣告，中國自主建設和運營的全球衛(wèi)星導航系統(tǒng)全面建成，成為國際上第一個將多功能融為一體的全球衛(wèi)星導航系統(tǒng)。北斗衛(wèi)星導航系統(tǒng)中三個衛(wèi)星的圓軌道示意圖如圖，其中A為地球赤道同步軌道；軌道B為傾斜同步軌道，軌道半徑與地球赤道同步軌道半徑相同；軌道C為一中地球軌道。則下列說法中正確的是()A．在軌道A、B、C上運動的衛(wèi)星的線速度大小關系為vA＝vB<vCB．在軌道A、B上運動的衛(wèi)星需要的向心力大小一定相等C．在軌道A、C上運動的衛(wèi)星周期關系為TA<TCD．在軌道A、B、C上運動的衛(wèi)星周期的平方和軌道半徑三次方的比值相等例4、中國繞月衛(wèi)星“龍江二號”是全球首個獨立完成地月轉移、近月制動、環(huán)月飛行的微衛(wèi)星，2019年2月4日，“龍江二號”成功拍下月球背面和地球的完整合照。已知“龍江二號”距離月球表面h處環(huán)月做圓周運動的周期為T，月球半徑為R，萬有引力常量為G，據(jù)此不可求的物理量是()A．“龍江二號”的質量B．“龍江二號”的線速度大小C．月球的質量D．月球表面的重力加速度大小課堂隨練訓練1、(2021·高考河北卷，T4)“祝融號”火星車登陸火星之前，“天問一號”探測器沿橢圓形的停泊軌道繞火星飛行，其周期為2個火星日。假設某飛船沿圓軌道繞火星飛行，其周期也為2個火星日。已知一個火星日的時長約為一個地球日，火星質量約為地球質量的eq\f(1,10)，則該飛船的軌道半徑與地球同步衛(wèi)星的軌道半徑的比值約為()A．B．C．D．訓練2、(2022·廣東省選考模擬)如圖，某中心天體的衛(wèi)星a在較低軌道1上運行，該中心天體的同步衛(wèi)星b在軌道2上運行。某時刻a、b在同一直線上，已知a繞中心天體運行一個周期的時間，b第一次到達虛線所示位置。若b的軌道半徑為r，則a的軌道半徑為()A．eq\f(r,2) B．eq\f(r,4)C．eq\f(r,8) D．eq\f(r,16)訓練3、(2022·泰安二輪檢測)2021年2月24日10時22分，我國在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心用長征四號丙運載火箭，成功將遙感三十一號03組衛(wèi)星發(fā)射升空，衛(wèi)星進入預定圓形軌道。該衛(wèi)星繞地球運行示意圖如圖所示，測得衛(wèi)星在t時間內沿逆時針從P點運動到Q點，這段圓弧所對的圓心角為θ。已知地球的半徑為R，地球表面重力加速度為g，則這顆衛(wèi)星離地球表面的高度為()A．eq\r(3,\f(gR2t2,θ2)) B．eq\r(3,\f(gR2θ2,t2))C．eq\r(3,\f(gR2t2,θ2))－R D．eq\r(3,\f(gR2θ2,t2))－R考點二宇宙速度1．第一宇宙速度的推導方法一：由Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v12,R)，得v1＝eq\r(\f(GM,R))＝eq\r(\f(6.67×10－11×5.98×1024,6.4×106))m/s≈7.9×103m/s.方法二：由mg＝meq\f(v12,R)得v1＝eq\r(gR)＝eq\r(9.8×6.4×106)m/s≈7.9×103m/s.第一宇宙速度是發(fā)射人造衛(wèi)星的最小速度，也是人造衛(wèi)星的最大環(huán)繞速度，此時它的運行周期最短，Tmin＝2πeq\r(\f(R,g))＝2πeq\r(\f(6.4×106,9.8))s≈5075s≈85min.2．宇宙速度與運動軌跡的關系(1)v發(fā)＝7.9km/s時，衛(wèi)星繞地球表面做勻速圓周運動．(2)7.9km/s<v發(fā)<11.2km/s，衛(wèi)星繞地球運動的軌跡為橢圓．(3)11.2km/s≤v發(fā)＜16.7km/s，衛(wèi)星繞太陽運動的軌跡為橢圓．(4)v發(fā)≥16.7km/s，衛(wèi)星將掙脫太陽引力的束縛，飛到太陽系以外的空間．例1、(2020·北京卷，5)我國首次火星探測任務被命名為“天問一號”。已知火星質量約為地球質量的10%，半徑約為地球半徑的50%，下列說法正確的是()A．火星探測器的發(fā)射速度應大于地球的第二宇宙速度B．火星探測器的發(fā)射速度應介于地球的第一和第二宇宙速度之間C．火星的第一宇宙速度大于地球的第一宇宙速度D．火星表面的重力加速度大于地球表面的重力加速度例2、(多選)(2021·湖南衡陽市聯(lián)考)2020年11月24日，長征五號運載火箭搭載“嫦娥五號”探測器成功發(fā)射升空并將其送入預定軌道，11月28日，“嫦娥五號”進入環(huán)月軌道飛行，12月17日凌晨，“嫦娥五號”返回器攜帶月壤著陸地球。假設“嫦娥五號”環(huán)繞月球飛行時，在距月球表面高度為h處，繞月球做勻速圓周運動(不計周圍其他天體的影響)，測出飛行周期T，已知萬有引力常量G和月球半徑R。則下列說法正確的是()課堂隨練訓練1、2019年4月10日，事件視界望遠鏡(EHT)項目團隊發(fā)布了人類歷史上的首張黑洞照片，我國科學家也參與其中做出了巨大貢獻。經典的“黑洞”理論認為，當恒星收縮到一定程度時，會變成密度非常大的天體，這種天體的逃逸速度非常大，大到光從旁邊經過時都不能逃逸，也就是其第二宇宙速度大于等于光速，此時該天體就變成了一個黑洞。若太陽演變成一個黑洞后的密度為ρ、半徑為R，設光速為c，第二宇宙速度是第一宇宙速度的eq\r(2)倍，引力常量為G，則ρR2的最小值是()A.eq\f(3c2,4πG) B．eq\f(3c2,8πG)C.eq\f(4πG,3c2) D．eq\f(8πG,3c2)訓練2、地球的近地衛(wèi)星線速度大小約為8km/s，已知月球質量約為地球質量的eq\f(1,81)，地球半徑約為月球半徑的4倍，下列說法正確的是()A．在月球上發(fā)射衛(wèi)星的最小速度約為8km/sB．月球衛(wèi)星的環(huán)繞速度可能達到4km/sC．月球的第一宇宙速度約為1.8km/sD．“近月衛(wèi)星”的線速度比“近地衛(wèi)星”的線速度大考點三、衛(wèi)星變軌問題1．變軌原理（從低軌道到高軌道）(1)為了節(jié)省能量，在赤道上順著地球自轉方向發(fā)射衛(wèi)星到圓軌道Ⅰ上，如圖所示．(2)在A點(近地點)點火加速，由于速度變大，萬有引力不足以提供衛(wèi)星在軌道Ⅰ上做圓周運動的向心力，衛(wèi)星做離心運動進入橢圓軌道Ⅱ．(3)在B點(遠地點)再次點火加速進入圓形軌道Ⅲ．從高軌道到低軌道變軌，上述過程加速變減速．2．變軌過程分析(1)速度：設衛(wèi)星在圓軌道Ⅰ和Ⅲ上運行時的速率分別為v1、v3，在軌道Ⅱ上過A點和B點時速率分別為vA、vB.在A點加速，則vA>v1，在B點加速，則v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB．(2)加速度：因為在A點，衛(wèi)星只受到萬有引力作用，故不論從軌道Ⅰ還是軌道Ⅱ上經過A點，衛(wèi)星的加速度都相同，同理，衛(wèi)星在軌道Ⅱ或軌道Ⅲ上經過B點的加速度也相同．(3)周期：設衛(wèi)星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ軌道上的運行周期分別為T1、T2、T3，軌道半徑分別為r1、r2(半長軸)、r3，由開普勒第三定律eq\f(r3,T2)＝k可知T1<T2<T3．(4)機械能：在一個確定的圓(橢圓)軌道上機械能守恒．若衛(wèi)星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ軌道的機械能分別為E1、E2、E3，從軌道Ⅰ到軌道Ⅱ，從軌道Ⅱ到軌道Ⅲ，都需要點火加速，則E1<E2<E3．例1、(多選)(2022·南平第二次質檢)2020年11月24日，長征五號遙五運載火箭托舉“嫦娥五號”向著月球飛馳而去。12月17日，在闖過月面著陸、自動采樣、月面起飛、月軌交會對接、再入返回等多個難關后，歷經重重考驗的“嫦娥五號”返回器攜帶月球樣品，成功返回地面?！版隙鹞逄枴卑l(fā)射到達環(huán)月軌道的行程示意圖如圖，下列說法正確的是()A．在地月轉移軌道上無動力奔月時，動能不斷減小B．接近環(huán)月軌道時，需要減速才能進入環(huán)月軌道C．“嫦娥五號”在地月轉移軌道上運動的最大速度小于11.2km/sD．“嫦娥五號”在地球表面加速升空過程中地球引力越來越小，處于失重狀態(tài)例2、(多選)(2022·岳陽質檢)“天問一號”火星探測器于2020年7月23日，在中國文昌航天發(fā)射場由長征五號遙四運載火箭發(fā)射升空。如圖所示，設地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g0，“天問一號”在半徑為R的近地圓形軌道Ⅰ上運動，到達軌道的A點時點火變軌進入橢圓軌道Ⅱ，到達軌道Ⅱ的遠地點B時，再次點火進入軌道半徑為4R的圓形軌道Ⅲ，繞地球做圓周運動，設“天問一號”質量保持不變。則()A．“天問一號”在軌道Ⅰ、Ⅲ上運行的周期之比為1∶8B．“天問一號”在軌道Ⅲ上的運行速率大于eq\r(g0R)C．“天問一號”在軌道Ⅰ上的加速度小于在軌道Ⅲ上的加速度D．“天問一號”在軌道Ⅰ上的機械能小于在軌道Ⅲ上的機械能課堂隨練訓練1、(2022·湖北八市3月聯(lián)考)2021年2月，“天問一號”探測器成功實施近火制動，進入環(huán)火橢圓軌道，并于2021年5月軟著陸火星表面，開展巡視探測等工作，探測器經過多次變軌后登陸火星的軌跡示意圖如圖所示，其中軌道Ⅰ、Ⅲ為橢圓，軌道Ⅱ為圓。探測器經軌道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ運動后在Q點登陸火星，O點是軌道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的切點，O、Q還分別是橢圓軌道Ⅲ的遠火星點和近火星點。關于探測器，下列說法正確的是()A．由軌道Ⅰ進入軌道Ⅱ需在O點減速B．在軌道Ⅱ上運行的周期小于在軌道Ⅲ上運行的周期C．在軌道Ⅱ上運行的線速度大于火星的第一宇宙速度D．在軌道Ⅲ上，探測器運行到O點的線速度大于運行到Q點的線速度訓練2、嫦娥五號完美完成中國航天史上最復雜任務后于2020年12月17日成功返回，最終收獲1731克樣本．圖中橢圓軌道Ⅰ、100公里環(huán)月軌道Ⅱ及月地轉移軌道Ⅲ分別為嫦娥五號從月球返回地面過程中所經過的三個軌道示意圖，下列關于嫦娥五號從月球返回過程中有關說法正確的是()A．在軌道Ⅱ上運行時的周期小于在軌道Ⅰ上運行時的周期B．在軌道Ⅰ上運行時的加速度大小始終大于在軌道Ⅱ上時的加速度大小C．在N點時嫦娥五號經過點火加速才能從Ⅱ軌道進入Ⅲ軌道返回D．在月地轉移軌道上飛行的過程中可能存在不受萬有引力的瞬間訓練3、(2022·河北“五個一名校聯(lián)盟”二模)如圖所示為嫦娥五號著陸月球前部分軌道的簡化示意圖，Ⅰ是地月轉移軌道，Ⅱ、Ⅲ是繞月球運行的橢圓軌道，Ⅳ是繞月球運行的圓形軌道。P、Q分別為橢圓軌道Ⅱ的遠月點和近月點。已知圓軌道Ⅳ到月球表面的高度為h，月球半徑為R，月球表面的重力加速度為g，不考慮月球的自轉，下列關于嫦娥五號的說法正確的是()A．由Ⅰ軌道進入Ⅱ軌道需在P點減速，由Ⅱ軌道進入Ⅲ軌道需在Q點加速B．在Ⅱ軌道上穩(wěn)定運行時經過P點的加速度大于經過Q點的加速度C．在Ⅲ軌道上穩(wěn)定運行時經過Q點的加速度等于在Ⅳ軌道上經過Q點的加速度D．在Ⅲ軌道上繞月運行經過Q點的速度大小為eq\r(\f(gR2,R＋h))考點四、天體的“追及”問題天體“相遇”指兩天體相距最近，以地球和行星“相遇”為例(“行星沖日”)，某時刻行星與地球最近，此時行星、地球與太陽三者共線且行星和地球的運轉方向相同(圖甲)，根據(jù)eq\f(GMm,r2)＝mω2r可知，地球公轉的速度較快，從初始時刻到之后“相遇”，地球與行星距離最小，三者再次共線，有兩種方法可以解決問題：1．角度關系ω1t－ω2t＝n·2π(n＝1、2、3…)2．圈數(shù)關系eq\f(t,T1)－eq\f(t,T2)＝n(n＝1、2、3…)解得t＝eq\f(nT1T2,T2－T1)(n＝1、2、3…)同理，若兩者相距最遠(行星處在地球和太陽的延長線上)(圖乙)，有關系式：ω1t－ω2t＝(2n－1)π(n＝1、2、3…)或eq\f(t,T1)－eq\f(t,T2)＝eq\f(2n－1,2)(n＝1、2、3…)例1、當?shù)厍蛭挥谔柡湍拘侵g且三者幾乎排成一條直線時，稱之為“木星沖日”，若2022年9月26日出現(xiàn)一次“木星沖日”．已知木星與地球幾乎在同一平面內沿同一方向繞太陽近似做勻速圓周運動，木星到太陽的距離大約是地球到太陽距離的5倍．則下列說法正確的是()A．下一次的“木星沖日”時間肯定在2024年B．下一次的“木星沖日”時間肯定在2023年C．木星運行的加速度比地球的大D．木星運行的周期比地球的小例2、(多選)如圖，在萬有引力作用下，a、b兩衛(wèi)星在同一平面內繞某一行星c沿逆時針方向做勻速圓周運動，已知軌道半徑之比為ra∶rb＝1∶4，則下列說法中正確的有()A．a、b運動的周期之比為Ta∶Tb＝1∶8B．a、b運動的周期之比為Ta∶Tb＝1∶4C．從圖示位置開始，在b轉動一周的過程中，a、b、c共線12次D．從圖示位置開始，在b轉動一周的過程中，a、b、c共線14次課堂隨練訓練1、如圖所示，A、B為地球的兩個軌道共面的人造衛(wèi)星，運行方向相同，A為地球同步衛(wèi)星，A、B衛(wèi)星的軌道半徑的比值為k，地球自轉周期為T0．某時刻A、B兩衛(wèi)星距離達到最近，從該時刻起到A、B間距離最遠所經歷的最短時間為()A． B．eq\f(T0,\r(k3)－1)C． D．eq\f(T0,\r(k3)＋1)訓練2、(多選)如圖,三個質點a、b、c的質量分別為m1、m2、M(M遠大于m1及m2),在萬有引力作用下，a、b在同一平面內繞c沿逆時針方向做勻速圓周運動，已知軌道半徑之比為ra∶rb=1∶4，則下列說法中正確的是()A．a、b運動的周期之比為Ta∶Tb=1∶8B．a、b運動的周期之比為Ta∶Tb=1∶4C．從圖示位置開始，在b轉動一周的過程中，a、b、c共線12次D．從圖示位置開始，在b轉動一周的過程中，a、b、c共線14次考點五、雙星或多星模型1．雙星模型(1)定義：繞公共圓心轉動的兩個星體組成的系統(tǒng)，我們稱之為雙星系統(tǒng)．如圖所示．(2)特點①各自所需的向心力由彼此間的萬有引力提供，即eq\f(Gm1m2,L2)＝m1ω12r1，eq\f(Gm1m2,L2)＝m2ω22r2.②兩顆星的周期、角速度相同，即T1＝T2，ω1＝ω2.③兩顆星的軌道半徑與它們之間的距離關系為r1＋r2＝L.④兩顆星到圓心的距離r1、r2與星體質量成反比，即eq\f(m1,m2)＝eq\f(r2,r1).⑤雙星的運動周期T＝2π.⑥雙星的總質量m1＋m2＝eq\f(4π2L3,T2G).2．多星模型(1)定義：所研究星體的萬有引力的合力提供做圓周運動的向心力，除中央星體外，各星體的角速度或周期相同．(2)常見的三星模型①三顆星體位于同一直線上，兩顆質量相等的環(huán)繞星圍繞中央星在同一半徑為R的圓形軌道上運行(如圖甲所示)．②三顆質量均為m的星體位于等邊三角形的三個頂點上(如圖乙所示)．(3)常見的四星模型①四顆質量相等的星體位于正方形的四個頂點上，沿著外接于正方形的圓形軌道做勻速圓周運動(如圖丙所示)．②三顆質量相等的星體始終位于正三角形的三個頂點上，另一顆位于中心O，外圍三顆星繞O做勻速圓周運動(如圖丁所示)．例1、(2018·全國卷Ⅰ)(多選)2017年，人類第一次直接探測到來自雙中子星合并的引力波。根據(jù)科學家們復原的過程，在兩顆中子星合并前約100s時，它們相距約400km，繞二者連線上的某點每秒轉動12圈。將兩顆中子星都看作是質量均勻分布的球體，由這些數(shù)據(jù)、萬有引力常量并利用牛頓力學知識，可以估算出這一時刻兩顆中子星()A．質量之積 B．質量之和C．速率之和 D．各自的自轉角速度例2、(2022·東北三省三校4月第二次聯(lián)考)太空中存在一些離其他恒星很遠的、由四顆星體組成的四星系統(tǒng)，可忽略其他星體對它們的引力作用?，F(xiàn)有這樣一種穩(wěn)定運行的正三角形四星系統(tǒng)，四顆星分別位于某一正三角形三個頂點和其幾何中心上。四顆星質量均為m，正三角形邊長為L，引力常量為G。則下列說法中正確的是()A．位于頂點的三顆星運動的角速度與它們質量的大小無關B．該四星系統(tǒng)做圓周運動的半徑為eq\f(\r(3),2)LC．每個處于頂點處的星體所受向心力大小為eq\f(\r(3)Gm2,L2)D．該四星系統(tǒng)的運動周期為2πLeq\r(\f(L,（3＋3\r(3)）Gm))例3、由三顆星體構成的系統(tǒng)，忽略其他星體對它們的作用，其中有一種運動形式：三顆星體在相互之間的萬有引力作用下，分別位于一等邊三角形的三個頂點上，繞某一共同的圓心O在等邊三角形所在的平面內做角速度相同的圓周運動，如圖所示。已知A星體的質量為2m，B、C兩星體的質量均為m，AD為BC邊的中垂線，下列說法正確的是()A．圓心O在中垂線AD的中點處B．A星體的軌道半徑最大C．A星體的線速度最大D．A星體的加速度最大課堂隨練訓練1、(2022·南京秦淮中學檢測)如圖，“食雙星”是指在相互引力作用下繞連線上O點做勻速圓周運動，彼此掩食(像月亮擋住太陽)而造成亮度發(fā)生周期性變化的兩顆恒星。在地球上通過望遠鏡觀察這種雙星，視線與雙星軌道共面。觀測發(fā)現(xiàn)每隔時間T兩顆恒星與望遠鏡共線一次，已知兩顆恒星A、B間距為d，引力常量為G，則可推算出雙星的總質量為()A．eq\f(π2d2,GT2) B．eq\f(π2d3,GT2)C．eq\f(2π2d2,GT2) D．eq\f(4π2d3,GT2)訓練2、(2022·梧州3月聯(lián)考)宇宙中兩顆靠得比較近的恒星，只受到彼此之間的萬有引力作用互相繞轉，稱之為雙星系統(tǒng)。設某雙星系統(tǒng)A、B繞其連線上的某固定點O點做勻速圓周運動，如圖所示。若A、B兩星球到O點的距離之比為3∶1，則()A．星球A與星球B所受引力大小之比為1∶3B．星球A與星球B的線速度大小之比為1∶3C．星球A與星球B的質量之比為3∶1D．星球A與星球B的動能之比為3∶1訓練3、(多選)如圖為一種四顆星體組成的穩(wěn)定系統(tǒng)，四顆質量均為m的星體位于邊長為L的正方形四個頂點，四顆星體在同一平面內圍繞同一點做勻速圓周運動，忽略其他星體對它們的作用，引力常量為G.下列說法中正確的是()A．星體做勻速圓周運動的圓心不一定是正方形的中心B．每個星體做勻速圓周運動的角速度均為C．若邊長L和星體質量m均是原來的兩倍，星體做勻速圓周運動的加速度大小是原來的兩倍D．若邊長L和星體質量m均是原來的兩倍，星體做勻速圓周運動的線速度大小不變同步訓練1、(多選)地球的某衛(wèi)星的工作軌道為圓軌道，軌道高度為h，運行周期為T。若還知道引力常量G和地球半徑R，僅利用以上條件能求出的是()A．地球表面的重力加速度B．地球對該衛(wèi)星的吸引力C．該衛(wèi)星繞地球運行的速度D．該衛(wèi)星繞地球運行的加速度2、(多選)2019年9月23日，我國在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心用長征三號乙運載火箭以“一箭雙星”方式成功發(fā)射第47、48顆北斗導航衛(wèi)星，兩顆衛(wèi)星均屬于“中圓地球軌道”衛(wèi)星?！爸袌A地球軌道”衛(wèi)星是指衛(wèi)星軌道距離地面高為2×103km至2×104km并且繞地球做勻速圓周運動的地球衛(wèi)星。若第47顆北斗導航衛(wèi)星軌道距地面的高度約為1.92×104km，已知地球半徑為6400km，地球表面重力加速度取9.8m/s2，則下列說法中正確的是()A．該衛(wèi)星的發(fā)射速度應大于7.9km/s而小于11.2km/sB．該衛(wèi)星每天環(huán)繞地球大約運行三圈C．該衛(wèi)星環(huán)繞地球做勻速圓周運動的線速度約為4km/sD．該衛(wèi)星環(huán)繞地球做勻速圓周運動的向心加速度約為2.45m/s23、(多選)2018年12月8日發(fā)射成功的“嫦娥四號”探測器經過約110小時奔月飛行，到達月球附近，成功實施近月制動，順利完成“太空剎車”，被月球捕獲并順利進入環(huán)月軌道。若將過程簡化如下：“嫦娥四號”探測器從地球表面發(fā)射后，進入地月轉移軌道，經過M點時變軌進入距離月球表面100km的圓形軌道Ⅰ，在軌道Ⅰ上經過P點時再次變軌進入橢圓軌道Ⅱ，之后將擇機在Q點著陸月球表面。下列說法正確的是()A．“嫦娥四號”沿軌道Ⅱ運行時，在P點的加速度大于在Q點的加速度B．“嫦娥四號”沿軌道Ⅱ運行的周期大于沿軌道Ⅰ運行的周期C．“嫦娥四號”在軌道Ⅰ上的運行速度小于月球的第一宇宙速度D．“嫦娥四號”在地月轉移軌道上M點的速度大于在軌道Ⅰ上M點的速度4、(2019·全國卷Ⅲ)金星、地球和火星繞太陽的公轉均可視為勻速圓周運動，它們的向心加速度大小分別為a金、a地、a火，它們沿軌道運行的速率分別為v金、v地、v火。已知它們的軌道半徑R金<R地<R火，由此可以判定()A．a金>a地>a火 B．a火>a地>a金C．v地>v火>v金 D．v火>v地>v金5、(2019·江蘇高考)1970年成功發(fā)射的“東方紅一號”是我國第一顆人造地球衛(wèi)星，該衛(wèi)星至今仍沿橢圓軌道繞地球運動。如圖所示，設衛(wèi)星在近地點、遠地點的速度分別為v1、v2，近地點到地心的距離為r，地球質量為M，引力常量為G。則()A．v1>v2，v1＝eq\r(\f(GM,r)) B．v1>v2，v1>eq\r(\f(GM,r))C．v1<v2，v1＝eq\r(\f(GM,r)) D．v1<v2，v1>eq\r(\f(GM,r))6、2020年7月23日我國首顆火星探測器“天問一號”宇宙飛船發(fā)射成功，開啟火星探測之旅。假設飛船從“地—火軌道”到達火星近地點P短暫減速，進入軌道Ⅲ，再經過兩次變軌進入圓軌道Ⅰ。軌道Ⅰ的半徑近似等于火星半徑。已知萬有引力常量為G。則下列說法正確的是()A．在P點進入軌道Ⅲ時，飛船應向后噴氣B．在軌道Ⅱ上運動時，飛船在Q點的機械能大于在P點的機械能C．飛船在軌道Ⅱ上運動的周期大于在軌道Ⅲ上運動的周期D．測出飛船在軌道Ⅰ上運動的周期，就可以推知火星的密度7、(2021·全國甲卷·18)2021年2月，執(zhí)行我國火星探測任務的“天問一號”探測器在成功實施三次近火制動后，進入運行周期約為1.8×105s的橢圓形停泊軌道，軌道與火星表面的最近距離約為2.8×105m．已知火星半徑約為3.4×106m，火星表面處自由落體的加速度大小約為3.7m/s2，則“天問一號”的停泊軌道與火星表面的最遠距離約為()A．6×105m B．6×106mC．6×107m D．6×108m8、如圖所示，我國空間站核心艙“天和”在離地高度約為h＝400km的圓軌道上運行期間，聶海勝等三名宇航員在軌工作．假設“天和”做勻速圓周運動，地球半徑R＝6400km，引力常量為G，則可知()A．“天和”核心艙內的宇航員不受地球引力作用B．聶海勝在軌觀看蘇炳添東奧百米決賽比賽時間段內飛行路程可能超過79kmC．考慮到h遠小于R，聶海勝可以記錄連續(xù)兩次經過北京上空的時間間隔T，利用公式ρ＝eq\f(3π,GT2)估算地球密度D．“天和”核心艙軌道平面內可能存在一顆與地球自轉周期相同的地球衛(wèi)星9、利用三顆位置適當?shù)牡厍蛲叫l(wèi)星，可使地球赤道上任意兩點之間保持無線電通訊．目前，地球同步衛(wèi)星的軌道半徑約為地球半徑的6.6倍．假設地球的自轉周期變小，若仍僅用三顆同步衛(wèi)星來實現(xiàn)上述目的，則地球自轉周期的最小值約為()A．1hB．4hC．8hD．16h10、如圖所示，某雙星系統(tǒng)的兩星A和B各自繞其連線上的O點做勻速圓周運動，已知A星和B星的質量分別為m1和m2，相距為d.下列說法正確的是()A．A星的軌道半徑為eq\f(m1,m1＋m2)dB．A星和B星的線速度之比為m1∶m2C．若在O點放一個質點，它受到的合力一定為零D．若A星所受B星的引力可等效為位于O點處質量為m′的星體對它的引力，則m′＝11、(多選)假設在赤道平面內有一顆偵察衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動，某一時刻恰好處在一顆同步衛(wèi)星的正下方．已知地球半徑為R，同步衛(wèi)星的離地高度h1＝5.6R，偵察衛(wèi)星的離地高度h2＝0.65R，則有()A．同步衛(wèi)星和偵察衛(wèi)星的線速度之比為2∶1B．同步衛(wèi)星和偵察衛(wèi)星的周期之比為8∶1C．再經過eq\f(6,7)h兩顆衛(wèi)星距離最遠D．再經過eq\f(12,7)h兩顆衛(wèi)星距離最遠12、“玉兔號”月球車與月球表面的第一次接觸實現(xiàn)了中國人“奔月”的偉大夢想?！坝裢锰枴痹虑蜍囋谠虑虮砻孀隽艘粋€自由下落實驗，測得物體從靜止自由下落h高度的時間為t，已知月球半徑為R，自轉周期為T，引力常量為G。求：(1)月球表面的重力加速度；(2)月球的質量和月球的第一宇宙速度；(3)月球同步衛(wèi)星離月球表面的高度。第二講人造衛(wèi)星與宇宙航行知識梳理1．天體(衛(wèi)星)運行問題分析將天體或衛(wèi)星的運動看成勻速圓周運動，其所需向心力由萬有引力提供．2．物理量隨軌道半徑變化的規(guī)律Geq\f(Mm,r2)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ma→a＝\f(GM,r2)→a∝\f(1,r2),m\f(v2,r)→v＝\r(\f(GM,r))→v∝\f(1,\r(r)),mω2r→ω＝\r(\f(GM,r3))→ω∝\f(1,\r(r3)),m\f(4π2,T2)r→T＝\r(\f(4π2r3,GM))→T∝\r(r3)))即r越大，v、ω、a越小，T越大．(越高越慢)3．人造衛(wèi)星衛(wèi)星運行的軌道平面一定通過地心，一般分為赤道軌道、極地軌道和其他軌道，同步衛(wèi)星的軌道是赤道軌道．(1)極地衛(wèi)星運行時每圈都經過南北兩極，由于地球自轉，極地衛(wèi)星可以實現(xiàn)全球覆蓋．(2)同步衛(wèi)星①軌道平面與赤道平面共面，且與地球自轉的方向相同．②周期與地球自轉周期相等，T＝24h.③高度固定不變，h＝3.6×107m.④運行速率均為v＝3.1km/s.(3)近地衛(wèi)星：軌道在地球表面附近的衛(wèi)星，其軌道半徑r＝R(地球半徑)，運行速度等于第一宇宙速度v＝7.9km/s(人造地球衛(wèi)星的最大圓軌道運行速度)，T＝85min(人造地球衛(wèi)星的最小周期)．注意：近地衛(wèi)星可能為極地衛(wèi)星，也可能為赤道衛(wèi)星．4．宇宙速度(1)第一宇宙速度①第一宇宙速度又叫環(huán)繞速度，其數(shù)值為7.9km/s。②第一宇宙速度是物體在地球附近繞地球做勻速圓周運動時的速度。③第一宇宙速度是人造衛(wèi)星的最小發(fā)射速度，也是人造衛(wèi)星的最大環(huán)繞速度。④第一宇宙速度的計算方法由Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v2,R)得v＝eq\r(\f(GM,R))；由mg＝meq\f(v2,R)得v＝eq\r(gR)．(2)第二宇宙速度：使物體掙脫地球引力束縛的最小發(fā)射速度，其數(shù)值為11.2km/s．(3)第三宇宙速度：使物體掙脫太陽引力束縛的最小發(fā)射速度，其數(shù)值為16.7km/s．考點一、衛(wèi)星運行參量的分析1．公式中r指軌道半徑，是衛(wèi)星到中心天體球心的距離，R通常指中心天體的半徑，有r＝R＋h.2．同一中心天體，各行星v、ω、a、T等物理量只與r有關；不同中心天體，各行星v、ω、a、T等物理量與中心天體質量M和r有關．3．地球同步衛(wèi)星的特點4．衛(wèi)星的各物理量隨軌道半徑變化的規(guī)律例1、如圖所示，a為地球赤道上的物體，b為沿地球表面附近做勻速圓周運動的人造衛(wèi)星，c為地球同步衛(wèi)星。關于a、b、c做勻速圓周運動的說法中正確的是()A．角速度的大小關系為ωa＝ωb>ωcB．向心加速度的大小關系為aa>ab>acC．線速度的大小關系為vb>vc>vaD．周期關系為Ta＝Tb>Tc【答案】C【解析】衛(wèi)星c為地球同步衛(wèi)星，所以Ta＝Tc，則ωa＝ωc；對于b和c，由萬有引力提供向心力，得：ω＝eq\r(\f(GM,r3))，因為rb<rc，可知ωc<ωb，即ωb>ωc＝ωa，故A錯誤。因a、c有相同的角速度，由a＝ω2r得：aa<ac；對b和c，由萬有引力提供向心力，得：a＝eq\f(GM,r2)，因為rb<rc，可知ab>ac，即ab>ac>aa，故B錯誤。因a、c有相同的角速度，由v＝ωr可知va<vc；對b和c，由萬有引力提供向心力，得：v＝eq\r(\f(GM,r))，因為rb<rc，可知vb>vc，即vb>vc>va，故C正確。對b和c，由萬有引力提供向心力，得：T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，因為rb<rc，可知Tc>Tb，即Ta＝Tc>Tb，故D錯誤。例2、(2020·江蘇高考)(多選)甲、乙兩顆人造衛(wèi)星質量相等，均繞地球做圓周運動，甲的軌道半徑是乙的2倍。下列應用公式進行的推論正確的有()A．由v＝eq\r(gR)可知，甲的速度是乙的eq\r(2)倍B．由a＝ω2r可知，甲的向心加速度是乙的2倍C．由F＝Geq\f(Mm,r2)可知，甲的向心力是乙的eq\f(1,4)D．由eq\f(r3,T2)＝k可知，甲的周期是乙的2eq\r(2)倍【答案】CD【解析】衛(wèi)星繞地球做圓周運動，萬有引力提供向心力，則F＝Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2,T2)r＝ma。因為在不同半徑的軌道處g值不同，故不能由v＝eq\r(gR)得出甲、乙的速度關系，衛(wèi)星的線速度v＝eq\r(\f(GM,r))，可得eq\f(v甲,v乙)＝eq\r(\f(r乙,r甲))＝eq\f(\r(2),2)，故A錯誤；因為在不同半徑的軌道上衛(wèi)星的角速度不同，故不能由a＝ω2r得出兩衛(wèi)星的加速度關系，衛(wèi)星的加速度a＝eq\f(GM,r2)，可得eq\f(a甲,a乙)＝eq\f(r\o\al(2,乙),r\o\al(2,甲))＝eq\f(1,4)，故B錯誤；衛(wèi)星所受的向心力F＝Geq\f(Mm,r2)，兩顆人造衛(wèi)星質量相等，可得eq\f(F甲,F乙)＝eq\f(r\o\al(2,乙),r\o\al(2,甲))＝eq\f(1,4)，故C正確；兩衛(wèi)星均繞地球做圓周運動，由開普勒第三定律eq\f(r3,T2)＝k，可得eq\f(T甲,T乙)＝eq\r(\f(r\o\al(3,甲),r\o\al(3,乙)))＝2eq\r(2)，故D正確。例3、(多選)(2022·莆田4月模擬)2020年7月31日，北斗三號全球衛(wèi)星導航系統(tǒng)正式建成開通，我國向世界莊嚴宣告，中國自主建設和運營的全球衛(wèi)星導航系統(tǒng)全面建成，成為國際上第一個將多功能融為一體的全球衛(wèi)星導航系統(tǒng)。北斗衛(wèi)星導航系統(tǒng)中三個衛(wèi)星的圓軌道示意圖如圖，其中A為地球赤道同步軌道；軌道B為傾斜同步軌道，軌道半徑與地球赤道同步軌道半徑相同；軌道C為一中地球軌道。則下列說法中正確的是()A．在軌道A、B、C上運動的衛(wèi)星的線速度大小關系為vA＝vB<vCB．在軌道A、B上運動的衛(wèi)星需要的向心力大小一定相等C．在軌道A、C上運動的衛(wèi)星周期關系為TA<TCD．在軌道A、B、C上運動的衛(wèi)星周期的平方和軌道半徑三次方的比值相等【答案】AD【解析】在軌道上運動的衛(wèi)星的線速度大小v＝eq\r(\f(GM,r))，在軌道A、B、C上運動的衛(wèi)星半徑rA＝rB>rC，所以有vA＝vB<vC，故A正確；在軌道A、B上運動的衛(wèi)星的向心加速度a相同，而向心力F＝ma，由于在軌道A、B上運動的衛(wèi)星的質量未知，故B錯誤；在軌道上運動的衛(wèi)星的周期T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，由于rA>rC，所以在軌道A、C上運動的衛(wèi)星周期關系為TA>TC，故C錯誤；根據(jù)開普勒第三定律，在軌道A、B、C上運動的衛(wèi)星周期的平方和軌道半徑三次方的比值相等，故D正確。例4、中國繞月衛(wèi)星“龍江二號”是全球首個獨立完成地月轉移、近月制動、環(huán)月飛行的微衛(wèi)星，2019年2月4日，“龍江二號”成功拍下月球背面和地球的完整合照。已知“龍江二號”距離月球表面h處環(huán)月做圓周運動的周期為T，月球半徑為R，萬有引力常量為G，據(jù)此不可求的物理量是()A．“龍江二號”的質量B．“龍江二號”的線速度大小C．月球的質量D．月球表面的重力加速度大小【答案】A【解析】根據(jù)萬有引力提供向心力可知Geq\f(m月m,（R＋h）2)＝m(eq\f(2π,T))2(R＋h)，“龍江二號”的質量不可求出，但月球質量可求出，故A錯誤，C正確；根據(jù)T＝eq\f(2π（R＋h）,v)可求出其運動的線速度，故B正確；根據(jù)Geq\f(m月m0,R2)＝m0g且m月也為已知量，可求出月球表面的重力加速度，故D正確。課堂隨練訓練1、(2021·高考河北卷，T4)“祝融號”火星車登陸火星之前，“天問一號”探測器沿橢圓形的停泊軌道繞火星飛行，其周期為2個火星日。假設某飛船沿圓軌道繞火星飛行，其周期也為2個火星日。已知一個火星日的時長約為一個地球日，火星質量約為地球質量的eq\f(1,10)，則該飛船的軌道半徑與地球同步衛(wèi)星的軌道半徑的比值約為()A．B．C．D．【答案】D【解析】物體繞中心天體做圓周運動，根據(jù)萬有引力提供向心力，可得eq\f(GMm,R2)＝meq\f(4π2,T2)R，則T＝eq\r(\f(4π2R3,GM))，R＝eq\r(3,\f(GMT2,4π2))，由于一個火星日的時長約為一個地球日，火星質量約為地球質量的0.1，則飛船的軌道半徑R飛＝eq\r(3,\f(GM火（2T）2,4π2))＝eq\r(3,\f(G×0.1M地×4×\f(4π2Req\o\al(3,同),GM地),4π2))＝eq\r(3,\f(2,5))R同，則eq\f(R飛,R同)＝eq\r(3,\f(2,5))．訓練2、(2022·廣東省選考模擬)如圖，某中心天體的衛(wèi)星a在較低軌道1上運行，該中心天體的同步衛(wèi)星b在軌道2上運行。某時刻a、b在同一直線上，已知a繞中心天體運行一個周期的時間，b第一次到達虛線所示位置。若b的軌道半徑為r，則a的軌道半徑為()A．eq\f(r,2) B．eq\f(r,4)C．eq\f(r,8) D．eq\f(r,16)【答案】B【解析】設衛(wèi)星a、b的運行周期分別為Ta、Tb，則由題意可知eq\f(Ta,Tb)＝eq\f(1,8)，根據(jù)牛頓第二定律可得Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(4π2,T2)R，解得T＝2πReq\r(\f(R,GM))∝Req\r(R)，設a的軌道半徑為r′，則可得eq\f(r′,r)＝eq\f(1,4)即r′＝eq\f(1,4)r．訓練3、(2022·泰安二輪檢測)2021年2月24日10時22分，我國在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心用長征四號丙運載火箭，成功將遙感三十一號03組衛(wèi)星發(fā)射升空，衛(wèi)星進入預定圓形軌道。該衛(wèi)星繞地球運行示意圖如圖所示，測得衛(wèi)星在t時間內沿逆時針從P點運動到Q點，這段圓弧所對的圓心角為θ。已知地球的半徑為R，地球表面重力加速度為g，則這顆衛(wèi)星離地球表面的高度為()A．eq\r(3,\f(gR2t2,θ2)) B．eq\r(3,\f(gR2θ2,t2))C．eq\r(3,\f(gR2t2,θ2))－R D．eq\r(3,\f(gR2θ2,t2))－R【答案】C【解析】該衛(wèi)星的角速度為ω＝eq\f(θ,t)，在地球表面有mg＝Geq\f(mM,R2)，對于衛(wèi)星，有Geq\f(mM,（R＋h）2)＝mω2(R＋h)，聯(lián)立解得h＝eq\r(3,\f(gR2t2,θ2))－R，故C正確?？键c二宇宙速度1．第一宇宙速度的推導方法一：由Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v12,R)，得v1＝eq\r(\f(GM,R))＝eq\r(\f(6.67×10－11×5.98×1024,6.4×106))m/s≈7.9×103m/s.方法二：由mg＝meq\f(v12,R)得v1＝eq\r(gR)＝eq\r(9.8×6.4×106)m/s≈7.9×103m/s.第一宇宙速度是發(fā)射人造衛(wèi)星的最小速度，也是人造衛(wèi)星的最大環(huán)繞速度，此時它的運行周期最短，Tmin＝2πeq\r(\f(R,g))＝2πeq\r(\f(6.4×106,9.8))s≈5075s≈85min.2．宇宙速度與運動軌跡的關系(1)v發(fā)＝7.9km/s時，衛(wèi)星繞地球表面做勻速圓周運動．(2)7.9km/s<v發(fā)<11.2km/s，衛(wèi)星繞地球運動的軌跡為橢圓．(3)11.2km/s≤v發(fā)＜16.7km/s，衛(wèi)星繞太陽運動的軌跡為橢圓．(4)v發(fā)≥16.7km/s，衛(wèi)星將掙脫太陽引力的束縛，飛到太陽系以外的空間．例1、(2020·北京卷，5)我國首次火星探測任務被命名為“天問一號”。已知火星質量約為地球質量的10%，半徑約為地球半徑的50%，下列說法正確的是()A．火星探測器的發(fā)射速度應大于地球的第二宇宙速度B．火星探測器的發(fā)射速度應介于地球的第一和第二宇宙速度之間C．火星的第一宇宙速度大于地球的第一宇宙速度D．火星表面的重力加速度大于地球表面的重力加速度【答案】A【解析】火星探測器前往火星，脫離地球引力束縛，還在太陽系內，發(fā)射速度應大于第二宇宙速度，小于第三宇宙速度，故A正確，B錯誤；萬有引力提供向心力，則有eq\f(Gm地m,R2)＝eq\f(mv12,R)，解得地球的第一宇宙速度為v1＝eq\r(\f(Gm地,R))，所以火星的第一宇宙速度為v火＝eq\r(\f(10%,50%))v地＝eq\f(\r(5),5)v地，所以火星的第一宇宙速度小于地球的第一宇宙速度，故C錯誤；萬有引力近似等于重力，則有eq\f(Gm火m,Req\o\al(2,火))＝mg火，解得火星表面的重力加速度，g火＝eq\f(Gm火,R火2)＝eq\f(10%,（50%）2)g地＝eq\f(2,5)g地，所以火星表面的重力加速度小于地球表面的重力加速度，故D錯誤。例2、(多選)(2021·湖南衡陽市聯(lián)考)2020年11月24日，長征五號運載火箭搭載“嫦娥五號”探測器成功發(fā)射升空并將其送入預定軌道，11月28日，“嫦娥五號”進入環(huán)月軌道飛行，12月17日凌晨，“嫦娥五號”返回器攜帶月壤著陸地球。假設“嫦娥五號”環(huán)繞月球飛行時，在距月球表面高度為h處，繞月球做勻速圓周運動(不計周圍其他天體的影響)，測出飛行周期T，已知萬有引力常量G和月球半徑R。則下列說法正確的是()A．“嫦娥五號”繞月球飛行的線速度為eq\f(2π（R＋h）,T)B．月球的質量為eq\f(4π2（R＋h）2,GT2)C．月球的第一宇宙速度為eq\f(2π（R＋h）,T)eq\r(\f(R＋h,R))D．月球表面的重力加速度為eq\f(4π2（R＋h）2,R2T2)【答案】AC【解析】“嫦娥五號”繞月球飛行的軌道半徑為(R＋h)，所以飛行的線速度為v＝eq\f(2π（R＋h）,T)，故A正確；“嫦娥五號”繞月球做勻速圓周運動，由牛頓第二定律得Geq\f(m月m,（R＋h）2)＝m(eq\f(2π,T))2(R＋h)，解得月球的質量為m月＝eq\f(4π2（R＋h）3,GT2)，故B錯誤；月球第一宇宙速度為繞月球表面運行的衛(wèi)星的速度，由牛頓第二定律得Geq\f(m月m,R2)＝meq\f(v2,R)，解得月球的第一宇宙速度為v＝eq\f(2π（R＋h）,T)eq\r(\f(R＋h,R))，故C正確；在月球表面，重力等于萬有引力mg＝Geq\f(m月m,R2)，月球表面的重力加速度為g月＝eq\f(4π2（R＋h）3,R2T2)，故D錯誤。課堂隨練訓練1、2019年4月10日，事件視界望遠鏡(EHT)項目團隊發(fā)布了人類歷史上的首張黑洞照片，我國科學家也參與其中做出了巨大貢獻。經典的“黑洞”理論認為，當恒星收縮到一定程度時，會變成密度非常大的天體，這種天體的逃逸速度非常大，大到光從旁邊經過時都不能逃逸，也就是其第二宇宙速度大于等于光速，此時該天體就變成了一個黑洞。若太陽演變成一個黑洞后的密度為ρ、半徑為R，設光速為c，第二宇宙速度是第一宇宙速度的eq\r(2)倍，引力常量為G，則ρR2的最小值是()A.eq\f(3c2,4πG) B．eq\f(3c2,8πG)C.eq\f(4πG,3c2) D．eq\f(8πG,3c2)【答案】B【解析】根據(jù)萬有引力提供向心力有Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v2,R)，得第一宇宙速度v＝eq\r(\f(GM,R))，則第二宇宙速度v2＝eq\r(2)v＝eq\r(\f(2GM,R))＝eq\r(\f(2Gρ·\f(4,3)πR3,R))≥c，所以ρR2≥eq\f(3c2,8πG)，B正確，A、C、D錯誤。訓練2、地球的近地衛(wèi)星線速度大小約為8km/s，已知月球質量約為地球質量的eq\f(1,81)，地球半徑約為月球半徑的4倍，下列說法正確的是()A．在月球上發(fā)射衛(wèi)星的最小速度約為8km/sB．月球衛(wèi)星的環(huán)繞速度可能達到4km/sC．月球的第一宇宙速度約為1.8km/sD．“近月衛(wèi)星”的線速度比“近地衛(wèi)星”的線速度大【答案】C【解析】根據(jù)第一宇宙速度v＝eq\r(\f(GM,R))，月球與地球的第一宇宙速度之比為eq\f(v2,v1)＝eq\r(\f(M2R1,M1R2))＝eq\r(\f(4,81))＝eq\f(2,9)，月球的第一宇宙速度約為v2＝eq\f(2,9)v1＝eq\f(2,9)×8km/s≈1.8km/s，在月球上發(fā)射衛(wèi)星的最小速度約為1.8km/s，月球衛(wèi)星的環(huán)繞速度小于或等于1.8km/s，“近月衛(wèi)星”的速度為1.8km/s，小于“近地衛(wèi)星”的速度，故C正確．考點三、衛(wèi)星變軌問題1．變軌原理（從低軌道到高軌道）(1)為了節(jié)省能量，在赤道上順著地球自轉方向發(fā)射衛(wèi)星到圓軌道Ⅰ上，如圖所示．(2)在A點(近地點)點火加速，由于速度變大，萬有引力不足以提供衛(wèi)星在軌道Ⅰ上做圓周運動的向心力，衛(wèi)星做離心運動進入橢圓軌道Ⅱ．(3)在B點(遠地點)再次點火加速進入圓形軌道Ⅲ．從高軌道到低軌道變軌，上述過程加速變減速．2．變軌過程分析(1)速度：設衛(wèi)星在圓軌道Ⅰ和Ⅲ上運行時的速率分別為v1、v3，在軌道Ⅱ上過A點和B點時速率分別為vA、vB.在A點加速，則vA>v1，在B點加速，則v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB．(2)加速度：因為在A點，衛(wèi)星只受到萬有引力作用，故不論從軌道Ⅰ還是軌道Ⅱ上經過A點，衛(wèi)星的加速度都相同，同理，衛(wèi)星在軌道Ⅱ或軌道Ⅲ上經過B點的加速度也相同．(3)周期：設衛(wèi)星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ軌道上的運行周期分別為T1、T2、T3，軌道半徑分別為r1、r2(半長軸)、r3，由開普勒第三定律eq\f(r3,T2)＝k可知T1<T2<T3．(4)機械能：在一個確定的圓(橢圓)軌道上機械能守恒．若衛(wèi)星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ軌道的機械能分別為E1、E2、E3，從軌道Ⅰ到軌道Ⅱ，從軌道Ⅱ到軌道Ⅲ，都需要點火加速，則E1<E2<E3．例1、(多選)(2022·南平第二次質檢)2020年11月24日，長征五號遙五運載火箭托舉“嫦娥五號”向著月球飛馳而去。12月17日，在闖過月面著陸、自動采樣、月面起飛、月軌交會對接、再入返回等多個難關后，歷經重重考驗的“嫦娥五號”返回器攜帶月球樣品，成功返回地面?！版隙鹞逄枴卑l(fā)射到達環(huán)月軌道的行程示意圖如圖，下列說法正確的是()A．在地月轉移軌道上無動力奔月時，動能不斷減小B．接近環(huán)月軌道時，需要減速才能進入環(huán)月軌道C．“嫦娥五號”在地月轉移軌道上運動的最大速度小于11.2km/sD．“嫦娥五號”在地球表面加速升空過程中地球引力越來越小，處于失重狀態(tài)【答案】BC【解析】在地月轉移軌道上無動力奔月時，受月球的引力作用，則動能不斷增大，A錯誤；接近環(huán)月軌道時，需要減速制動，才能被月球俘獲，進入環(huán)月軌道，B正確；“嫦娥五號”在地月轉移軌道上沒有脫離地球的引力，則運動的最大速度小于11.2km/s，C正確；“嫦娥五號”在地球表面加速升空過程中，加速度向上，則處于超重狀態(tài)，D錯誤。例2、(多選)(2022·岳陽質檢)“天問一號”火星探測器于2020年7月23日，在中國文昌航天發(fā)射場由長征五號遙四運載火箭發(fā)射升空。如圖所示，設地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g0，“天問一號”在半徑為R的近地圓形軌道Ⅰ上運動，到達軌道的A點時點火變軌進入橢圓軌道Ⅱ，到達軌道Ⅱ的遠地點B時，再次點火進入軌道半徑為4R的圓形軌道Ⅲ，繞地球做圓周運動，設“天問一號”質量保持不變。則()A．“天問一號”在軌道Ⅰ、Ⅲ上運行的周期之比為1∶8B．“天問一號”在軌道Ⅲ上的運行速率大于eq\r(g0R)C．“天問一號”在軌道Ⅰ上的加速度小于在軌道Ⅲ上的加速度D．“天問一號”在軌道Ⅰ上的機械能小于在軌道Ⅲ上的機械能【答案】AD【解析】由開普勒第三定律得eq\f(R3,Teq\o\al(2,1))＝eq\f(（4R）3,Teq\o\al(2,2))，解得eq\f(T1,T2)＝eq\f(1,8)，故A正確；“天問一號”在軌道Ⅲ上運行時，由萬有引力提供向心力得Geq\f(Mm,（4R）2)＝meq\f(v2,4R)，又GM＝g0R2，聯(lián)立解得v＝eq\f(\r(g0R),2)，故B錯誤；根據(jù)公式eq\f(GMm,r2)＝ma可知，半徑越大加速度越小，則“天問一號”在軌道Ⅰ上的加速度大于在軌道Ⅲ上的加速度，故C錯誤；探測器在A、B點進入高軌道時，都進行了點火加速，機械能增加，則“天問一號”在軌道Ⅰ上的機械能小于在軌道Ⅲ上的機械能，故D正確。課堂隨練訓練1、(2022·湖北八市3月聯(lián)考)2021年2月，“天問一號”探測器成功實施近火制動，進入環(huán)火橢圓軌道，并于2021年5月軟著陸火星表面，開展巡視探測等工作，探測器經過多次變軌后登陸火星的軌跡示意圖如圖所示，其中軌道Ⅰ、Ⅲ為橢圓，軌道Ⅱ為圓。探測器經軌道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ運動后在Q點登陸火星，O點是軌道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的切點，O、Q還分別是橢圓軌道Ⅲ的遠火星點和近火星點。關于探測器，下列說法正確的是()A．由軌道Ⅰ進入軌道Ⅱ需在O點減速B．在軌道Ⅱ上運行的周期小于在軌道Ⅲ上運行的周期C．在軌道Ⅱ上運行的線速度大于火星的第一宇宙速度D．在軌道Ⅲ上，探測器運行到O點的線速度大于運行到Q點的線速度【答案】A【解析】由軌道Ⅰ進入軌道Ⅱ需在O點減速，由高軌道進入低軌道需要點火減速，A正確；根據(jù)周期公式T＝2πeq\r(\f(R3,GM))可知，軌道半徑越大周期越大，所以在軌道Ⅱ上運行的周期大于在軌道Ⅲ上運行的周期，B錯誤；根據(jù)v＝eq\r(\f(GM,R))可知，在軌道Ⅱ上運行的線速度小于火星的第一宇宙速度，C錯誤；根據(jù)開普勒第二定律可知，近地點的線速度大于遠地點的線速度，所以在軌道Ⅲ上，探測器運行到O點的線速度小于運行到Q點的線速度，D錯誤。訓練2、嫦娥五號完美完成中國航天史上最復雜任務后于2020年12月17日成功返回，最終收獲1731克樣本．圖中橢圓軌道Ⅰ、100公里環(huán)月軌道Ⅱ及月地轉移軌道Ⅲ分別為嫦娥五號從月球返回地面過程中所經過的三個軌道示意圖，下列關于嫦娥五號從月球返回過程中有關說法正確的是()A．在軌道Ⅱ上運行時的周期小于在軌道Ⅰ上運行時的周期B．在軌道Ⅰ上運行時的加速度大小始終大于在軌道Ⅱ上時的加速度大小C．在N點時嫦娥五號經過點火加速才能從Ⅱ軌道進入Ⅲ軌道返回D．在月地轉移軌道上飛行的過程中可能存在不受萬有引力的瞬間【答案】C【解析】軌道Ⅱ的半徑大于橢圓軌道Ⅰ的半長軸，根據(jù)開普勒第三定律可知，在軌道Ⅱ上運行時的周期大于在軌道Ⅰ上運行時的周期，故A錯誤；在軌道Ⅰ上的N點和軌道Ⅱ上的N受到的萬有引力相同，所以在兩個軌道上經過N點時的加速度相等，故B錯誤；從軌道Ⅱ到月地轉移軌道Ⅲ做離心運動，在N點時嫦娥五號需要經過點火加速才能從Ⅱ軌道進入Ⅲ軌道返回，故C正確；在月地轉移軌道上飛行的過程中，始終在地球的引力范圍內，不存在不受萬有引力的瞬間，故D錯誤．訓練3、(2022·河北“五個一名校聯(lián)盟”二模)如圖所示為嫦娥五號著陸月球前部分軌道的簡化示意圖，Ⅰ是地月轉移軌道，Ⅱ、Ⅲ是繞月球運行的橢圓軌道，Ⅳ是繞月球運行的圓形軌道。P、Q分別為橢圓軌道Ⅱ的遠月點和近月點。已知圓軌道Ⅳ到月球表面的高度為h，月球半徑為R，月球表面的重力加速度為g，不考慮月球的自轉，下列關于嫦娥五號的說法正確的是()A．由Ⅰ軌道進入Ⅱ軌道需在P點減速，由Ⅱ軌道進入Ⅲ軌道需在Q點加速B．在Ⅱ軌道上穩(wěn)定運行時經過P點的加速度大于經過Q點的加速度C．在Ⅲ軌道上穩(wěn)定運行時經過Q點的加速度等于在Ⅳ軌道上經過Q點的加速度D．在Ⅲ軌道上繞月運行經過Q點的速度大小為eq\r(\f(gR2,R＋h))【答案】C【解析】由Ⅰ軌道進入Ⅱ軌道做近心運動，需在P點減速，同理由Ⅱ軌道進入Ⅲ軌道需在Q點減速，故A錯誤；在Ⅱ軌道上穩(wěn)定運行時，P點為遠月點，Q點為近月點，所以經過P點的加速度小于經過Q點的加速度，故B錯誤；由eq\f(GMm,r2)＝ma可知在Ⅲ軌道上穩(wěn)定運行時經過Q點的加速度等于在Ⅳ軌道上經過Q點的加速度，故C正確；在Ⅳ軌道上繞月運行經過Q點的速度大小為eq\r(\f(gR2,R＋h))，由Ⅲ軌道在Q點進入Ⅳ軌道，做近心運動，需要減速，故D錯誤?？键c四、天體的“追及”問題天體“相遇”指兩天體相距最近，以地球和行星“相遇”為例(“行星沖日”)，某時刻行星與地球最近，此時行星、地球與太陽三者共線且行星和地球的運轉方向相同(圖甲)，根據(jù)eq\f(GMm,r2)＝mω2r可知，地球公轉的速度較快，從初始時刻到之后“相遇”，地球與行星距離最小，三者再次共線，有兩種方法可以解決問題：1．角度關系ω1t－ω2t＝n·2π(n＝1、2、3…)2．圈數(shù)關系eq\f(t,T1)－eq\f(t,T2)＝n(n＝1、2、3…)解得t＝eq\f(nT1T2,T2－T1)(n＝1、2、3…)同理，若兩者相距最遠(行星處在地球和太陽的延長線上)(圖乙)，有關系式：ω1t－ω2t＝(2n－1)π(n＝1、2、3…)或eq\f(t,T1)－eq\f(t,T2)＝eq\f(2n－1,2)(n＝1、2、3…)例1、當?shù)厍蛭挥谔柡湍拘侵g且三者幾乎排成一條直線時，稱之為“木星沖日”，若2022年9月26日出現(xiàn)一次“木星沖日”．已知木星與地球幾乎在同一平面內沿同一方向繞太陽近似做勻速圓周運動，木星到太陽的距離大約是地球到太陽距離的5倍．則下列說法正確的是()A．下一次的“木星沖日”時間肯定在2024年B．下一次的“木星沖日”時間肯定在2023年C．木星運行的加速度比地球的大D．木星運行的周期比地球的小【答案】B【解析】設太陽質量為M，行星質量為m，軌道半徑為r，周期為T，加速度為a.對行星由牛頓第二定律可得Geq\f(Mm,r2)＝ma＝meq\f(4π2,T2)r，解得a＝eq\f(GM,r2)，T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，由于木星到太陽的距離大約是地球到太陽距離的5倍，因此，木星運行的加速度比地球的小，木星運行的周期比地球的大，故C、D錯誤；地球公轉周期T1＝1年，由T＝2πeq\r(\f(r3,GM))可知，木星公轉周期T2＝eq\r(125)T1≈11.2年．設經時間t，再次出現(xiàn)“木星沖日”，則有ω1t－ω2t＝2π，其中ω1＝eq\f(2π,T1)，ω2＝eq\f(2π,T2)，解得t≈1.1年，因此下一次“木星沖日”發(fā)生在2023年，故A錯誤，B正確．例2、(多選)如圖，在萬有引力作用下，a、b兩衛(wèi)星在同一平面內繞某一行星c沿逆時針方向做勻速圓周運動，已知軌道半徑之比為ra∶rb＝1∶4，則下列說法中正確的有()A．a、b運動的周期之比為Ta∶Tb＝1∶8B．a、b運動的周期之比為Ta∶Tb＝1∶4C．從圖示位置開始，在b轉動一周的過程中，a、b、c共線12次D．從圖示位置開始，在b轉動一周的過程中，a、b、c共線14次【答案】AD【解析】根據(jù)開普勒第三定律：半徑的三次方與周期的二次方成正比，則a、b運動的周期之比為1∶8，A對，B錯；設題圖所示位置ac連線與bc連線的夾角為θ<eq\f(π,2)，b轉動一周(圓心角為2π)的時間為Tb，則a、b相距最遠時：eq\f(2π,Ta)Tb－eq\f(2π,Tb)Tb>(π－θ)＋n·2π(n＝0,1,2,3…)，可知n＝0,1,2，…，6，n可取7個值；a、b相距最近時：eq\f(2π,Ta)Tb－eq\f(2π,Tb)Tb>(2π－θ)＋m·2π(m＝0,1,2,3…)，可知m＝0,1,2，…6，m可取7個值，故在b轉動一周的過程中，a、b、c共線14次，C錯，D對．課堂隨練訓練1、如圖所示，A、B為地球的兩個軌道共面的人造衛(wèi)星，運行方向相同，A為地球同步衛(wèi)星，A、B衛(wèi)星的軌道半徑的比值為k，地球自轉周期為T0．某時刻A、B兩衛(wèi)星距離達到最近，從該時刻起到A、B間距離最遠所經歷的最短時間為()A． B．eq\f(T0,\r(k3)－1)C． D．eq\f(T0,\r(k3)＋1)【答案】C【解析】由開普勒第三定律得eq\f(rA3,TA2)＝eq\f(rB3,TB2)，設兩衛(wèi)星至少經過時間t距離最遠，即B比A多轉半圈，eq\f(t,TB)－eq\f(t,TA)＝nB－nA＝eq\f(1,2)，又由A是地球同步衛(wèi)星知TA＝T0，解得t＝．故選C．訓練2、(多選)如圖,三個質點a、b、c的質量分別為m1、m2、M(M遠大于m1及m2),在萬有引力作用下，a、b在同一平面內繞c沿逆時針方向做勻速圓周運動，已知軌道半徑之比為ra∶rb=1∶4，則下列說法中正確的是()A．a、b運動的周期之比為Ta∶Tb=1∶8B．a、b運動的周期之比為Ta∶Tb=1∶4C．從圖示位置開始，在b轉動一周的過程中，a、b、c共線12次D．從圖示位置開始，在b轉動一周的過程中，a、b、c共線14次【答案】AD【解析】根據(jù)開普勒第三定律，周期的平方與半徑的三次方成正比，則a、b運動的周期之比為1∶8，A正確，B錯誤；設圖示位置夾角為θ(θ<)，b轉動一周(圓心角為2π)的時間為t=Tb，則a、b相距最遠時，有，可知n<6.75，n可取7個值；a、b相距最近時，有，可知m<6.25，m可取7個值，故在b轉動一周的過程中，a、b、c共線14次，D正確，C錯誤。考點五、雙星或多星模型1．雙星模型(1)定義：繞公共圓心轉動的兩個星體組成的系統(tǒng)，我們稱之為雙星系統(tǒng)．如圖所示．(2)特點①各自所需的向心力由彼此間的萬有引力提供，即eq\f(Gm1m2,L2)＝m1ω12r1，eq\f(Gm1m2,L2)＝m2ω22r2.②兩顆星的周期、角速度相同，即T1＝T2，ω1＝ω2.③兩顆星的軌道半徑與它們之間的距離關系為r1＋r2＝L.④兩顆星到圓心的距離r1、r2與星體質量成反比，即eq\f(m1,m2)＝eq\f(r2,r1).⑤雙星的運動周期T＝2π.⑥雙星的總質量m1＋m2＝eq\f(4π2L3,T2G).2．多星模型(1)定義：所研究星體的萬有引力的合力提供做圓周運動的向心力，除中央星體外，各星體的角速度或周期相同．(2)常見的三星模型①三顆星體位于同一直線上，兩顆質量相等的環(huán)繞星圍繞中央星在同一半徑為R的圓形軌道上運行(如圖甲所示)．②三顆質量均為m的星體位于等邊三角形的三個頂點上(如圖乙所示)．(3)常見的四星模型①四顆質量相等的星體位于正方形的四個頂點上，沿著外接于正方形的圓形軌道做勻速圓周運動(如圖丙所示)．②三顆質量相等的星體始終位于正三角形的三個頂點上，另一顆位于中心O，外圍三顆星繞O做勻速圓周運動(如圖丁所示)．例1、(2018·全國卷Ⅰ)(多選)2017年，人類第一次直接探測到來自雙中子星合并的引力波。根據(jù)科學家們復原的過程，在兩顆中子星合并前約100s時，它們相距約400km，繞二者連線上的某點每秒轉動12圈。將兩顆中子星都看作是質量均勻分布的球體，由這些數(shù)據(jù)、萬有引力常量并利用牛頓力學知識，可以估算出這一時刻兩顆中子星()A．質量之積 B．質量之和C．速率之和 D．各自的自轉角速度【答案】BC【解析】依題意已知兩顆中子星的周期T、距離L，各自的自轉角速度不可求，D錯誤；對m1：Geq\f(m1m2,L2)＝m1ω2r1，對m2：Geq\f(m1m2,L2)＝m2ω2r2，已知幾何關系：r1＋r2＝L，ω＝eq\f(2π,T)，聯(lián)立以上各式可解得：r1＝eq\f(m2,m1＋m2)L，r2＝eq\f(m1,m1＋m2)L，m1＋m2＝eq\f(4π2L3,GT2)，B正確；速率之和v1＋v2＝ωr1＋ωr2＝ω(r1＋r2)＝eq\f(2πL,T)，C正確；質量之積m1m2＝eq\f(ω2L2r2,G)·eq\f(ω2L2r1,G)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2πL,T)))4,G2)·r1r2，r1r2不可求，故m1m2不可求，A錯誤。例2、(2022·東北三省三校4月第二次聯(lián)考)太空中存在一些離其他恒星很遠的、由四顆星體組成的四星系統(tǒng)，可忽略其他星體對它們的引力作用?，F(xiàn)有這樣一種穩(wěn)定運行的正三角形四星系統(tǒng)，四顆星分別位于某一正三角形三個頂點和其幾何中心上。四顆星質量均為m，正三角形邊長為L，引力常量為G。則下列說法中正確的是()A．位于頂點的三顆星運動的角速度與它們質量的大小無關B．該四星系統(tǒng)做圓周運動的半徑為eq\f(\r(3),2)LC．每個處于頂點處的星體所受向心力大小為eq\f(\r(3)Gm2,L2)D．該四星系統(tǒng)的運動周期為2πLeq\r(\f(L,（3＋3\r(3)）Gm))【答案】D【解析】該四星系統(tǒng)做圓周運動的半徑為r＝eq\f(\f(L,2),cos30°)＝eq\f(\r(3),3)L，B錯誤；每個處于頂點處的星體所受向心力大小為F＝eq\f(Gm2,r2)＋2eq\f(Gm2,L2)·cos30°＝eq\f(（3＋\r(3)）Gm2,L2)，C錯誤；根據(jù)牛頓第二定律eq\f(（3＋\r(3)）Gm2,L2)＝mω2r，解得ω＝eq\r(\f(（3＋3\r(3)）Gm,L3))，位于頂點的三顆星運動的角速度與它們質量的大小有關，A錯誤；根據(jù)牛頓第二定律得eq\f(（3＋\r(3)）Gm2,L2)＝meq\f(4π2,T2)r，解得T＝2πLeq\r(\f(L,（3＋3\r(3)）Gm))，D正確。例3、由三顆星體構成的系統(tǒng)，忽略其他星體對它們的作用，其中有一種運動形式：三顆星體在相互之間的萬有引力作用下，分別位于一等邊三角形的三個頂點上，繞某一共同的圓心O在等邊三角形所在的平面內做角速度相同的圓周運動，如圖所示。已知A星體的質量為2m，B、C兩星體的質量均為m，AD為BC邊的中垂線，下列說法正確的是()A．圓心O在中垂線AD的中點處B．A星體的軌道半徑最大C．A星體的線速度最大D．A星體的加速度最大【答案】A【解析】設等邊三角形的邊長為a，由萬有引力公式可知，A星體受到B、C兩星體的引力的大小分別為：FBA＝FCA＝Geq\f(m·2m,a2)＝eq\f(2Gm2,a2)，方向如圖，A受到的合力的大小為：FA＝2FBAcos30°＝eq\f(2\r(3)Gm2,a2)；B星體受到A、C兩星體的引力大小分別為：FAB＝eq\f(2Gm2,a2)，F(xiàn)CB＝eq\f(Gm2,a2)，方向如圖，建立平面直角坐標系，將FAB、FCB沿x軸和y軸分解，沿x軸方向：FBx＝FAB·cos60°＋FCB＝eq\f(2Gm2,a2)，沿y軸方向：FBy＝FABsin60°＝eq\f(\r(3)Gm2,a2)，則B受到的合力大小為：FB＝eq\r(F\o\al(2,Bx)＋F\o\al(2,By))＝eq\f(\r(7)Gm2,a2)；B、C的受力情況相似，則C受到的合力大小為：FC＝eq\f(\r(7)Gm2,a2)。三個星體繞共同的圓心做勻速圓周運動，合力提供向心力，則任意兩星體所受合力的交點即三個星體做圓周運動的圓心，由于B、C的質量相等，則B、C對A的萬有引力的合力方向與BC的中垂線AD方向相同；通過對B的受力分析可知，由于FAB＝eq\f(2Gm2,a2)，F(xiàn)CB＝eq\f(Gm2,a2)，B所受合力的方向經過BC的中垂線AD的中點O，則圓心O一定在BC的中垂線AD的中點處，故A正確。由幾何知識可知：AD＝asin60°＝eq\f(\r(3),2)a，圓心O是AD的中點，則A的軌道半徑rA＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(\r(3),4)a，根據(jù)幾何關系，B、C的軌道半徑rB＝rC＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),4)a))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a))2)＝eq\f(\r(7),4)a，B、C的軌道半徑大于A的軌道半徑，故B錯誤。由于三星體的角速度ω相等，且rB＝rC>rA，根據(jù)v＝ωr，可知vB＝vC>vA，故C錯誤。根據(jù)a＝ω2r，可知aB＝aC>aA，故D錯誤。課堂隨練訓練1、(2022·南京秦淮中學檢測)如圖，“食雙星”是指在相互引力作用下繞連線上O點做勻速圓周運動，彼此掩食(像月亮擋住太陽)而造成亮度發(fā)生周期性變化的兩顆恒星。在地球上通過望遠鏡觀察這種雙星，視線與雙星軌道共面。觀測發(fā)現(xiàn)每隔時間T兩顆恒星與望遠鏡共線一次，已知兩顆恒星A、B間距為d，引力常量為G，則可推算出雙星的總質量為()A．eq