計算機輔助中學數(shù)學數(shù)學實驗教學案例

計算機輔助中學數(shù)學數(shù)學實驗教學案例

通過對計算機輔助中學數(shù)學實驗教學內(nèi)容選擇原則的分析，對高中數(shù)學實驗教學類型及

特點的歸納，對優(yōu)化數(shù)學實驗教學的建議，作者對計算機輔助高中數(shù)學實驗教學有更深的理

解。在高中教學實踐中結(jié)合教學常規(guī)嘗試性實行數(shù)學實驗教學。以下是在平面解析幾何教學

過程中展開的探索性數(shù)學實驗——關(guān)于圓錐曲線的一個切線性質(zhì)探索的教學課例。

在平面解析幾何教學中教學內(nèi)容相對較為抽象需要直觀的觀察，視覺的感知，特別是平

面幾何的圖形展示，圖形的動態(tài)變化過程對解決問題起著不可忽視的作用。通過實驗理解幾

何并探索幾何圖形的性質(zhì)的過程。在數(shù)學教學中，特別是開放性教學或探索性教學中，符合

條件的圖形或所求的結(jié)論往往是不直觀的。要將不直觀的圖形的變化過程和隱藏其中的不變

性直觀地體現(xiàn)給學生，傳統(tǒng)教學無法做到。利用計算機的《幾何畫板》軟件能較好地解決上

述問題，它能對動態(tài)的對象實行“跟蹤”，并能顯示對象的“軌跡”，這為開放性軌跡教學提供

了極好的工具。利用這個功能，能夠使學生預(yù)先猜測軌跡的形狀，看到軌跡形成的過程及軌

跡變化的過程，為學生觀察現(xiàn)象，發(fā)現(xiàn)結(jié)論，探討問題創(chuàng)設(shè)了較好的“環(huán)境”，從而激發(fā)學生

的創(chuàng)新意識，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維和創(chuàng)新水平。

因為“幾何畫板''不能直接畫出圓錐曲線的軌跡，不能直接構(gòu)造軌跡與直線的交點，所以

教師在課前要先作好圓錐曲線、圓錐曲線焦點弦，圓錐曲線的切線，及直線與圓錐曲線交點

的自定義工具。

因為對例題習題實行變通推廣、重新理解的過程要限制在學生水平的“最近發(fā)展區(qū)“，要

在學生已有的認知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)之上，否則會使學生產(chǎn)生畏難情緒，影響問題解決，降低學習

的效率。故要求學生課前完成以下兩個問題：

問題1、過拋物線，=2px（p〉0）焦點仍/2,0）的一條直線與它交于兩點A、B,經(jīng)過點A和

B分別做拋物線的切線AC和BD,求兩切線的交點軌跡。

問題2、設(shè)拋物線中=2°尤伊>0）的焦點為尸，經(jīng)過準線上任意一點P做拋物線的兩條切

線，切點為A,及求證：AB直線過拋物線焦點尸（7>/2,0）。

教師用事先準備好的課件用幾何畫板動態(tài)演示，學生經(jīng)過觀察發(fā)現(xiàn)兩切線的軌跡是一條

直線上，而且直線與X軸交點與焦點關(guān)于原點對稱。使學生對問題1和2有感性理解，同時

歸納學生證明問題1與2的方法，大都借助過拋物線上的點的切線方程聯(lián)立，借助A3直線

過焦點的特點解方程得到。能將上述問題實行推廣和引申嗎？（激勵學生發(fā)現(xiàn)問題的意識和

提出問題的勇氣，鼓勵學生發(fā)現(xiàn)提出一些猜想并用技術(shù)檢驗猜想）

學生經(jīng)過討論后

Si：在橢圓、雙曲線中應(yīng)該有相似結(jié)論：

22

猜想1過橢圓點+方=1俗>5>0）右焦點RC,0）的一條直線與它交于兩點A、B,經(jīng)過

點A和8做橢圓的兩條切線，兩切線交點軌跡為橢圓右準線*=

C

22

猜想2過雙曲線二-2=1（〃>0">0,右焦點尸的一條直線與它交于兩點A、B,經(jīng)過點

a~b~

2

A和8做橢圓切線，兩切線交點軌跡為雙曲線右準線x=—。

C

222

猜想3設(shè)橢圓二+4=l（a?>0）的右焦點為F,經(jīng)過右準線x=上上任意一點P做橢

a~bc

圓的兩條切線，切點為A,Bo求證：AB直線過橢圓右焦點~C,0）。

222

猜想4設(shè)雙曲線2=1佃>0,/?0）的右焦點為F,經(jīng)過右準線x=土上任意一點P

abc

做雙曲線右支的兩條切線，切點為A,B。求證：A3直線過雙曲線右焦點F（C,0）。

沒有大膽的猜想就沒有偉大的發(fā)現(xiàn)，但猜想總是準確的嗎？下面請同學們利用幾何畫板

對4個猜想實行實驗、討論。（每生一臺電腦，分四個大組，每組一個猜想，每大組又分四個

小組）

隨著實驗的實行，各組學生持續(xù)地反饋回同一信息，這樣的猜想是準確的。教師即時點

拔，在用幾何法證明問題1、2時主要是采用哪種方法，學生馬上發(fā)現(xiàn)證明的思路和方法與拋

物線相同。

反思是對自己的思維過程、思維結(jié)果實行再理解的檢驗過程，它是學習中不可缺少的重

要環(huán)節(jié)。學生通過反思對問題及解決問題的思維過程實行全面地考察、分析和思考，從而深

化對問題的理解，優(yōu)化思維過程，揭示問題本質(zhì)，探索一般規(guī)律，溝通知識間的相互聯(lián)系，

促動知識的同化和遷移，并進而產(chǎn)生新的發(fā)現(xiàn)。

面對學生高漲的熱情和再探究的欲望，教師即時引導學生反思整個“猜想-實驗一修正，，的學

習過程，提出：歸納三種圓錐曲線的切線具有相同的幾何性質(zhì)，但共同點是直線是過焦

點的直線，切線焦點軌跡是焦點對應(yīng)的準線。問題1、2除了剛才改變圓錐曲線的類型，還可

作怎樣的思考，得到更一般的命題。

S2：上述問題其實是一類焦點弦問題。我想應(yīng)該把直線A3一般化，即直線AB不經(jīng)過圓

錐曲線的焦點。如果得到的6個新命題成立，那么以上命題就成了新命題的一個特例。（我追

問：能說說你的新命題嗎？）不好說，還是先實驗吧，我想會有結(jié)果的。

S3：我認為還是有個方案才好，這樣目標才更明確，才不致于走彎路。比如說，前面4

個猜想的驗證方法基本相同，所以我們只要給出前面六個命題中一個命題的推廣，再加以驗

證，并總結(jié)經(jīng)驗，再探求另五個命題就容易多了。

T：兩同學真棒，分析得好極了，我們不妨計劃試試，你們認為推廣哪個命題更容易些？

通過討論，認為推廣問題2較好。

大家分成三組各研究一類曲線，動手實驗來解決這個問題吧！

學生馬上根據(jù)提示猜想討論一般性結(jié)論，并動手借助幾何畫板的動畫功能將直線AB平

移后，分別做橢圓切線，找兩切線的交點，追蹤交點軌跡實行實驗。（教師下班輔導即時引

導防止實驗中斷）

研究拋物線的第一組學生。如何將直線一般化呢？學生對比剛才教師實驗演示，發(fā)現(xiàn)直

線AB是以X軸上的定點和曲線上的動點構(gòu)造的，類比之下可將焦點改變?yōu)槠渌鸛軸上的定

點，讓拋物線上動點A創(chuàng)建動畫，實驗結(jié)果馬上表現(xiàn)切線軌跡還是一條垂直于對稱軸的直線。

軌跡直線與X軸交點和直線與X軸的交點的移動保持同步，通過度量兩點關(guān)于原點對稱,

很快得到討論和實驗結(jié)果。很快得到兩個猜想：

猜想5過拋物線對稱軸上定點（C,0）的一條直線與它交于兩點A、B,經(jīng)過點A和B分

別做拋物線的切線AC和BD,求兩切線的交點軌跡為直線X=-C。

猜想6設(shè)拋物線y2=2px（p〉0）,經(jīng)過直線X=-C上任意一點P做拋物線的兩條切線，

切點為A,B。求證：直線過拋物線對稱軸上定點（C,0）。

研究橢圓性質(zhì)的第二組學生的研究發(fā)方法和第一組相似。要使直線AB一般化，不能隨

意變動，仍需保持一定的規(guī)律性。所以我們也使AB平移為過對稱軸定點的動直線。同樣的

方法得到切線交點軌跡是一條直線，但此直線和定點在同側(cè)，不具備一組同學所說的定點與

軌跡直線的對稱性。那這條直線與定點無關(guān)嗎？那就沒有特殊性了？實驗陷入困難境地。此

時教師引導學生分析已經(jīng)證明的相關(guān)命題，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律尋求突破？很快有學生孔猜想：既

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然過焦點C,0）時軌跡方程是直線X=—,那過伽2,0）直線對應(yīng)的切線交點軌跡是不是x=L?

cm

小組成員馬上根據(jù)他的猜想去度量得到肯定的結(jié)果。第二組討論得到的實驗結(jié)果為：

Y22_

猜想7橢圓斗+4V=1（。＞方＞0）,過定點.，0）的一條直線與橢圓交于兩點A、B,經(jīng)過

a~b~

2

點A和8做橢圓的兩條切線，兩切線交點軌跡為直線彳=幺。

m

222

猜想8橢圓當+斗=1俗》＞0）,經(jīng)過直線》=幺上任意一點P做橢圓的兩條切線，切

a~bm

點為A,B。求證：AB直線過定點他,0）。

第三組研究過程和第二組基本相同，得到相同結(jié)論。

22

猜想9雙曲線二-==1過定點的一條直線與雙曲線交于兩點A、8,經(jīng)過點A和

ab

2

8做橢圓的兩條切線，兩切線交點軌跡為直線》=幺。

m

V2y22

猜想10雙曲線二=1,經(jīng)過直線兀=又上任意一點P做雙曲線的兩條切線，切點

a~m

為A,Bo求證：AB直線過定點〃”,0）。

幾分鐘以后各小組開始報告實驗成功，并實行討論總結(jié)，修正猜想形成命題，實行交流。

各小組發(fā)言人分別歸納了小組實驗過程和結(jié)果。馬上大家發(fā)現(xiàn)三組結(jié)果中的相似性，都驚嘆

于圓錐曲線的統(tǒng)一性、奇異性、和諧性，被數(shù)學的內(nèi)在美所震撼。

正當大家沉靜在探索成功的喜悅中時，S5突然發(fā)問：我們推廣A3直線一般性時仍保持

直線過X軸的特點，如果是過丫軸定點呢？任意一定點結(jié)果會這樣呢？探索的熱情又一次被

鼓動，各小組同學馬上開始動手實驗，爭先恐后的上機操作。

又得到猜想：

22

猜想11橢圓二+與過定點（0,m）的一條直線與橢圓交于兩點A、B,經(jīng)過

ab~

2

點A和8做橢圓的兩條切線，兩切線交點軌跡為直線丫=幺。

m

222

猜想12橢圓=+4=im?>o）,經(jīng)過直線>=幺上任意一點p做橢圓的兩條切線，切

am

點為A,Bo求證：A3直線過定點（0,刈。

r22

猜想13雙曲線二-2v=1,過定點（0,刈的一條直線與雙曲線交于兩點A、B,經(jīng)過點

ab

2

A和B做雙曲線的兩條切線，兩切線交點軌跡為直線曠=幺。

m

222

猜想14雙曲線「-斗=1經(jīng)過直線曠=土上任意一點P做的雙曲線兩條切線，切點為

ab~m

A,Bo求證：A3直線過定點（0,機）。

此時的學生，他們的探索精神、創(chuàng)新精神也得到了淋漓盡致的發(fā)揮，從失敗走向成功，

他們體驗到了探索中的艱辛與創(chuàng)新成功的喜悅，這有利于形成準確的數(shù)學觀、創(chuàng)新意識及科

學精神。

“證明是數(shù)學的靈魂”，數(shù)學實驗驗證不等于證明，在教學活動中不能把結(jié)論僅停留在驗

證階段，應(yīng)盡可能地給出它的邏輯證明。因為學生自主地提出猜想，并在“幾何畫板”的支持

下改進了猜想，自然就會有追求證明的渴望，因而此時的數(shù)學探索最具吸引力。T：”提出猜

想-動手實驗-改進猜想-論證猜想”是探索數(shù)學規(guī)律、發(fā)現(xiàn)數(shù)學本質(zhì)的基本過程，而證明或否定

猜想是科學發(fā)現(xiàn)中不可或缺的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。那么，誰能給出這些命題的證明？

S6：我認為這些命題結(jié)構(gòu)相似，證明方法應(yīng)該和問題1、2相似，所以只要證明后面的命

題就能夠了。

T：非常好，S6同學道出了這個串問題的解題規(guī)律，給了我們很好的啟示，那么今天的

作業(yè)就是證明本節(jié)