專題01平面及其基本性質(zhì)

【解析版】專題01平面及其基本性質(zhì)本章主要討論三維空間中的直線與平面，從四個(gè)簡單直觀的公理（也稱為“基本事實(shí)”)出發(fā)，通過演繹推理的方法建立起關(guān)于空間的點(diǎn)、直線與平面之間基本關(guān)系的比較系統(tǒng)完整的理論；這方面的要求與“二期課改“教材相比，有明顯的提高，因此課程的難度也略有增大；作這樣變化的目的在于克服學(xué)生空間直觀想象和邏輯推理上的不足；所以，充分利用教材的內(nèi)容但不要超越教材的難度，注意給學(xué)生鋪設(shè)好從平面到立體的臺階，聚焦培養(yǎng)學(xué)生的能力和索養(yǎng)；因此，在學(xué)習(xí)過程中，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念與空間想象能力是學(xué)習(xí)立體幾何的關(guān)鍵；教學(xué)中，應(yīng)關(guān)注空間圖形及其位置關(guān)系的多種表征方式；如實(shí)物、模型、圖形、符號及文字等，并通過不同表征方式的相互轉(zhuǎn)化來幫助學(xué)生理解空間概念、圖形和解決，用好長方體這一直觀的模型；．一、《必修第二冊》目錄與內(nèi)容提要【本章教材目錄】第10章空間直線與平面10.1平面及其基本性質(zhì)10.1.1空間的點(diǎn)、直線與平面；10.1.2相交平面；10.1.3空間圖形的平面直觀圖的畫法；10.2直線與直線的位置關(guān)系10.2.1空間的平行直線；10.2.2異面直線；10.2.3兩條異面直線所成的角；10.3直線與平面的位置關(guān)系10.3.1直線與平面平行；10.3.2直線與平面垂直；10.3.3直線與平面所成的角；10.3.4三垂線定理；10.4平面與平面的位置關(guān)系10.4.1平面與平面平行；10.4.2二面角*10.5異面直線間的距離【本章內(nèi)容提要】1、立體幾何中的公理及其推論（1）公理1如果一條直線上有兩點(diǎn)在一個(gè)平面上，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面上；（2）公理2不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)平面；推論1一條直線和這條直線外的一點(diǎn)確定一個(gè)平面；推論2兩條相交直線確定一個(gè)平面；推論3兩條平行直線確定一個(gè)平面；（3）公理3如果兩個(gè)不同的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線；（4）公理4平行于同一條直線的兩條直線互相平行；2、直線與直線的位置關(guān)系（1）有三種可能的位置關(guān)系：相交、平行、異面；（2）等角定理如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等；推論1如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等或者互補(bǔ)；推論2如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角（或直角）相等；（3）異面直線的定義：不同在任何一個(gè)平面上的兩條直線叫做異面直線；（4）異面直線判定定理：過平面外一點(diǎn)與平面上一點(diǎn)的直線，和此平面上不經(jīng)過該點(diǎn)的任何一條直線是異面直線；（5異面直線所成的角的定義：兩條異面直線平移到相交位置時(shí)所得到的銳角或直角，稱為這兩條異面直線所成的角；3、直線與平面的位置關(guān)系（1）直線與平面平行的判定定理：如果不在平面上的一條直線與這個(gè)平面上的一條直線平行，那么該直線與這個(gè)平面平行；（2）直線與平面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線與一個(gè)平面平行，過這條直線的一個(gè)平面與此平面相交，那么其交線必與該直線平行；（3）線面垂直的定義：如果一條直線與平面上的任意一條直線都垂直，就說這條直線與這個(gè)平面互相垂直；（4）直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線與平面上的兩條相交直線都垂直，那么直線與該平面垂直；（5）直線與平面垂直的性質(zhì)定理：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線互相平行；推論1：過一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與給定的直線垂直；推論:2：過一點(diǎn)有且只有一條直線與給定的平面垂直；（6）線面所成的角的定義：平面的一條斜線和它在平面上的投影所成的銳角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角；（7）三垂線定理：平面上的一條直線和這個(gè)平面的一條斜線垂直的充要條件是它和這條斜線在平面上的投影垂直；4、平面與平面的位置關(guān)系（1）兩個(gè)平面平行的判定定理：如果一個(gè)平面上的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行；（2）兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行；（3）一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，一個(gè)二面角的大小等于它的平面角的大小；（4）平面與平面垂直的判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面垂直；（5）平面與平面垂直的性質(zhì)定理：如果果兩個(gè)平面垂直，那么其中一個(gè)平面上垂直于兩個(gè)平面交線的直線與另一個(gè)平面垂直；*5、異面直線間的距離（1）定理：對于任意給定的兩條異面直線，存在唯一的一條直線與這兩條直線都垂直并且相交；（2）定義：兩條異面直線的公垂線段的長度叫做這兩條異面直線的距離；1、平面文字語言符號語言圖形語言平面1、平面α，平面β等；2、平面ABCD；3、平面AC或平面BD；2、點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系文字語言符號語言圖形語言點(diǎn)A在直線l上，也稱直線l經(jīng)過A點(diǎn)A∈l點(diǎn)A在平面α上，也稱平面α經(jīng)過點(diǎn)AA∈α③直線l在平面α內(nèi)l?α④直線l，m相交于點(diǎn)Al∩m＝A⑤點(diǎn)A不在直線l上，也稱直線l不經(jīng)過點(diǎn)AA?l⑥點(diǎn)A不在平面α上，也稱平面α不經(jīng)過點(diǎn)AA?α⑦直線l不在平面α上也稱平面α不經(jīng)過直線l*l?α⑧平面α，β相交于直線lα∩β＝l3、公理1文字語言符號語言圖形語言如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?l?α4、公理2及其推論文字語言符號語言圖形語言不在一條直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)平面A，B，C三點(diǎn)不共線?確定一個(gè)平面α使A，B，C∈α推論1經(jīng)過一條直線和直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面A?a?確定一個(gè)平面α，使A∈α，且l?α推論2經(jīng)過兩條相交直線確定一個(gè)平面a∩b＝P?確定一個(gè)平面α，使a?α，且b?α推論3經(jīng)過兩條平行直線確定一個(gè)平面a∥b?確定一個(gè)平面α，使a?α，且b?α；5、公理3文字語言符號語言圖形語言如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線;P∈α，且P∈β?α∩β=l，且P∈l6、斜二測畫法畫水平放置的正方形的直觀圖文字語言圖形語言①建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系xO'y，一般要使得平面多邊形盡可能多的頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，以便于畫點(diǎn)，作出坐標(biāo)系x'O'y'，使∠x'O'y'＝45o(或135o)②首先畫與坐標(biāo)軸平行或在坐標(biāo)軸上的線段(平行性不變)，與x軸平行（含x軸上）的線段長度不變，與y軸平行（含y軸上）的線段長度減半;③與坐標(biāo)軸不平行的線段通過與坐標(biāo)軸平行的線段確定它的兩個(gè)端點(diǎn)，然后連接成線段。7、斜二測畫法畫出長方體的直觀圖文字語言圖形語言已知長方體的長、寬、高ABCDA′B′C′D′分別為3cm、2cm、1.5cm，用斜二測畫法畫出它的直觀圖；[畫法]（1）畫軸.畫x軸、y軸、z軸，三軸相交于點(diǎn)O(A)，使∠xOy=45°，∠xOz=90°；（2）畫底面.在x軸正半軸上取線段AB，使AB=3cm;在y軸正半軸上取線段AD，使AD=1cm.過點(diǎn)B作y軸的平行線，過點(diǎn)D作x軸的平行線，設(shè)它們的交點(diǎn)為C，則□ABCD就是長方體的底面ABCD的直觀圖；（3）畫側(cè)棱.在z軸正半軸上取線段AA'，使AA'=1.5cm，過B，C，D各點(diǎn)分別作z軸的平行線，在這些平行線上分別截取1.5cm長的線段BB'，CC'，DD'；（4）成圖.順次連接A′，B'，C'，D'，并加以整理（去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線），就得到長方體的直觀圖了；題型1、準(zhǔn)確把握空間點(diǎn)、線、面的關(guān)系例1、（1）下列說法中正確的是()①幾何中的點(diǎn)、直線都是抽象的概念，在現(xiàn)實(shí)世界中可以說是不存在的；②空間中并沒有孤立的點(diǎn)、線、面，它們只是作為幾何體的組成元素而共存于幾何體中；③幾何中畫出的點(diǎn)，不考慮它的大小，畫出的線，不考慮它的粗細(xì)，畫出的面，不考慮它的厚度和面積；④任何一個(gè)平面圖形都是一個(gè)平面；A．①③ B．②③C．①②③ D．①②③④【提示】從集合視角理解空間點(diǎn)、線、面；【答案】C；【解析】由點(diǎn)、線、面的定義，平面是沒有大小的，一個(gè)平面圖形并不是一個(gè)平面；（2）下面是四個(gè)命題的敘述語（其中A，B表示點(diǎn)，a表示直線，α表示平面）：①∵A?α，B?α，∴AB?α；②∵A∈α，B∈α，∴AB∈α；③∵A?a，a?α，∴A?α；④∵A?α，a?α，∴A?a.其中，敘述方式和推理都正確的命題的序號是________．【答案】④；【解析】①錯(cuò)，點(diǎn)與面的關(guān)系應(yīng)寫成A∈α，B∈α；②錯(cuò)，直線與面的關(guān)系應(yīng)寫為AB?α；③錯(cuò)，推理錯(cuò)誤，A可能在α內(nèi)；④正確；【說明】1、空間中最基本的位置關(guān)系有哪些？【解析】在空間中，點(diǎn)可看作元素，直線和平面可看作點(diǎn)的集合，點(diǎn)與直線、點(diǎn)與平面、直線與直線、直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系是空間中最基本的位置關(guān)系．平時(shí)可借助筆、書本來演示它們的位置關(guān)系；2、在幾何體中應(yīng)仔細(xì)觀察點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系，結(jié)合位置關(guān)系的定義進(jìn)行判斷，不可憑感覺解題；題型2、準(zhǔn)確進(jìn)行三種語言間的相互轉(zhuǎn)化例2、（1）點(diǎn)P在直線l上，而直線l在平面α內(nèi)，用符號表示為()A．P?l?α B．P∈l∈αC．P?l∈α D．P∈l?α【提示】注意：高中立體幾何中“集合視角”下，點(diǎn)、線、面之間關(guān)系；【答案】D；【解析】點(diǎn)與線之間是元素與集合的關(guān)系，用∈表示；線與面之間是集合與集合的關(guān)系，用?表示；（2）用符號語言表示下列語句，并畫出圖形．①三個(gè)平面α，β，γ相交于一點(diǎn)P，且平面α與平面β相交于PA，平面α與平面γ相交于PB，平面β與平面γ相交于PC；②平面ABD與平面BDC相交于BD，平面ABC與平面ADC相交于AC；【提示】注意；三種語言間的等價(jià)轉(zhuǎn)化【解析】①符號語言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC，圖形表示如圖①；②符號語言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC，圖形表示如圖②；【說明】三種語言：解決立體幾何問題首先應(yīng)過好三大語言關(guān)，即實(shí)現(xiàn)這三種語言的相互轉(zhuǎn)換，正確理解集合符號所表示的幾何圖形的實(shí)際意義，恰當(dāng)?shù)赜梅栒Z言描述圖形語言，將圖形語言用文字語言描述出來，再轉(zhuǎn)換為符號語言；文字語言和符號語言在轉(zhuǎn)換的時(shí)候，要注意符號語言所代表的含義，作直觀圖時(shí)，要注意線的實(shí)虛；題型3、準(zhǔn)確理解平面的概念例3、（1）下列敘述中，一定是平面的是()A．一條直線平行移動(dòng)形成的面B．三角形經(jīng)過延展得到的面C．組成圓錐的面D．正方形圍繞一條邊旋轉(zhuǎn)形成的面【答案】B；【解析】直線平行移動(dòng)可以形成平面或曲面，只有在不變方向的情況下才能得到平面，∴A不正確；C，D顯然不是平面；（2）下列說法中正確的是________．①平行四邊形是一個(gè)平面；②到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡是圓；③直線平行移動(dòng)，可以形成平面或曲面；④空間圖形中先畫的線是實(shí)線，后畫的線是虛線．【答案】③【解析】①平行四邊形是平面圖形，它是不能無限延展的，所以①不正確；②在空間到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡是球面，所以②不正確；③正確；④在空間圖形中，我們一般是把能夠看得見的線畫成實(shí)線，把被平面遮住看不見的線畫成虛線，所以④不正確；【說明】平面是一個(gè)原始概念，它是從生活中抽象出來的，具有以下特點(diǎn)：①平面是絕對平的；②平面具有無限延展性；③平面沒有厚薄；題型4、理解與證明共面問題例4、（1）下列說法正確的是()①任意三點(diǎn)確定一個(gè)平面②圓上的三點(diǎn)確定一個(gè)平面③任意四點(diǎn)確定一個(gè)平面④兩條平行線確定一個(gè)平面A．①②B．②③C．②④D．③④【提示】注意理解公理2及其推論；【答案】C；【解析】不在同一條直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)平面．圓上三個(gè)點(diǎn)不會在同一條直線上，故可確定一個(gè)平面，∴①不正確，②正確．當(dāng)四點(diǎn)在一條直線上時(shí)不能確定一個(gè)平面，③不正確．根據(jù)平行線的定義知，兩條平行直線可確定一個(gè)平面，故④正確；（2）已知直線a∥b，直線l與a、b都相交，求證：a、b、l共面．【提示】注意理解公理2、公理1及其簡單交匯；【證明】如圖．∵a∥b，∴a、b確定平面α.又∵l與a交于點(diǎn)A，l與b交于點(diǎn)B，∴A∈α，B∈α.又A∈l，B∈l，∴l(xiāng)?α，即a、b、l共面；【說明】證明線共面問題，一種思路是先確定一個(gè)平面，再證明其他直線都在這個(gè)平面內(nèi)；另一種思路是先由一部分直線確定一個(gè)平面α，另一部分直線確定平面β，再證明α與β重合即可；題型5、點(diǎn)共線問題例5、（1）已知E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD(四條線段首尾相接，且連接點(diǎn)不在同一平面內(nèi)，這樣的空間圖形叫空間四邊形)各邊AB，AD，CB，CD上的點(diǎn)，且直線EF和GH交于點(diǎn)P，如圖所示；求證：點(diǎn)B，D，P在同一條直線上．【證明】∵EF∩GH＝P，∴P∈EF，P∈GH；又∵E∈平面ABD，F(xiàn)∈平面ABD，∴EF?平面ABD，∴P∈平面ABD.同理：P∈平面CBD.即點(diǎn)P是平面ABD與平面CBD的公共點(diǎn)．由題意可得B、D也是平面ABD與平面CBD的公共點(diǎn)．由公理3知P，B，D在兩平面的交線上，即B，D，P在同一條直線上．（2）已知三角形ABC在平面α外，其三邊所在的直線滿足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如圖所示．求證：P，Q，R三點(diǎn)共線．【證明】證法1：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又AB?平面ABC，∴P∈平面ABC.∴由公理3可知：點(diǎn)P在平面ABC與平面α的交線上，同理可證Q，R也在平面ABC與平面α的交線上．∴P，Q，R三點(diǎn)共線．證法2：∵AP∩AR＝A，∴直線AP與直線AR確定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC?平面APR.∵Q∈BC，∴Q∈平面APR，又Q∈α，∴Q∈PR，∴P，Q，R三點(diǎn)共線；【說明】證明多點(diǎn)共線問題常用思路：1、證明這些點(diǎn)分別在兩個(gè)相交平面內(nèi)，根據(jù)公理3知，它們一定在兩個(gè)平面的交線上；2、先由其中兩點(diǎn)確定一條直線，再證其它點(diǎn)也在此直線上；題型6、線共點(diǎn)問題例6、（1）在空間四邊形ABCD中，在AB，BC，CD，DA上分別取E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)，如果GH，EF交于一點(diǎn)P，則()A．P一定在直線BD上B．P一定在直線AC上C．P在直線AC或BD上D．P既不在直線BD上，也不在AC上【答案】B；【解析】由題意知GH?平面ADC.因?yàn)镚H，EF交于一點(diǎn)P，所以P∈平面ADC.同理，P∈平面ABC.因?yàn)槠矫鍭BC∩平面ADC＝AC，由公理3可知點(diǎn)P一定在直線AC上；（2）已知平面α，β，γ兩兩相交于三條直線l1，l2，l3，且l1，l2不平行．求證：l1，l2，l3相交于一點(diǎn)．【證明】如圖，α∩β＝l1，β∩γ＝l2，α∩γ＝l3.∵l1?β，l2?β，且l1，l2不平行，∴l(xiāng)1與l2必相交．設(shè)l1∩l2＝P，則P∈l1?α，P∈l2?γ，∴P∈α∩γ＝l3，∴l(xiāng)1，l2，l3相交于一點(diǎn)P.【說明】三線（或若干條線）共點(diǎn)：證明三線共點(diǎn)問題可把其中一條作為分別過其余兩條直線的兩個(gè)平面的交線，然后再證兩條直線的交點(diǎn)在此直線上，此外還可先將其中一條直線看作某兩個(gè)平面的交線，證明該交線與另兩條直線分別交于兩點(diǎn)，再證點(diǎn)重合，從而得三線共點(diǎn)；題型7、水平放置的平面圖形的直觀圖的畫法例7、（1）如圖所示，在三角形ABC中，BC＝8cm，BC邊上的高AD＝6cm，試用斜二測畫法畫出其直觀圖；【提示】注意理解畫法與步驟；【解析】1、在三角形ABC中建立如圖①所示的直角坐標(biāo)系xOy，再建立如圖②所示的直角坐標(biāo)系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°；2、在坐標(biāo)系x′O′y′中，在x′軸上截取O′B′＝OB，O′C′＝OC；在y′軸上截取O′A′，使O′A′＝eq\f(1,2)OA；3、連接A′B′，B′C′，C′A′，得到△A′B′C′，即為△ABC的直觀圖；（2）用斜二測畫法畫出如圖所示的正五邊形的直觀圖．【解析】1、取正五邊形的中心O為原點(diǎn)，對稱軸FA所在直線為y軸，過O與y軸垂直的直線為x軸，建立如圖①所示的直角坐標(biāo)系，再建立如圖②所示的坐標(biāo)系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.2、在圖①中作BG⊥x軸于G，EH⊥x軸于H，在坐標(biāo)系x′O′y′中作O′H′＝OH，O′G′＝OG，O′A′＝eq\f(1,2)OA，O′F′＝eq\f(1,2)OF，以F′為中點(diǎn)作C′D′∥x′軸且C′D′＝CD.3、在平面x′O′y′中，過G′作G′B′∥y′軸，且G′B′＝eq\f(1,2)GB，過H′作H′E′∥y′軸，且H′E′＝eq\f(1,2)HE，連接A′B′、B′C′、C′D′、D′E′、E′A′得五邊形A′B′C′D′E′.擦去輔助線x′軸、y′軸、B′G′、E′H′，擦去輔助點(diǎn)O′、F′、G′、H′所得的圖形即為正五邊形的直觀圖．如圖③所示．【說明】1、畫直觀圖建坐標(biāo)系時(shí)，要使平面圖形盡可能多的頂點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上，方便畫點(diǎn)．建系不合適，會導(dǎo)致下一步畫圖時(shí)比較麻煩；2、原圖中的某些點(diǎn)若既不在坐標(biāo)軸上，也不在與坐標(biāo)軸平行的直線上時(shí)，我們可經(jīng)過這些點(diǎn)作坐標(biāo)軸的平行線段與坐標(biāo)軸相交，然后先確定這些平行線段在坐標(biāo)軸上的端點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)，再確定這些點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)；題型8、立體圖形的直觀圖的畫法例8、（1）畫出底面是邊長為1.2cm的正方形，側(cè)棱均相等且高為1.5cm的四棱錐的直觀圖．【解析】1、畫坐標(biāo)軸．分別畫出x軸、y軸、z軸，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°，如圖①；2、畫底面．以O(shè)為中心在x軸上截取線段EF，使EF＝1.2cm，在y軸上截取線段GH，使GH＝0.6cm.分別過E，F(xiàn)作y軸的平行線，過G，H作x軸的平行線，則交點(diǎn)分別為A，B，C，D，即四邊形ABCD為底面正方形的直觀圖；3、畫頂點(diǎn)．在z軸上截取OP，使OP＝1.5cm；4、成圖．順次連接PA，PB，PC，PD，并擦去輔助線，將被遮住的部分改為虛線，得四棱錐的直觀圖，如圖②；（2）用斜二測畫法畫出棱長為2cm的正方體ABCDA'B'C'D'的直觀圖;【解析】1、畫軸.如圖①，畫x軸、y軸、z軸，三軸相交于點(diǎn)O，使∠xOy=45°，∠xOz=90°.圖①2、畫底面.以點(diǎn)O為中心，在x軸上取線段MN，使MN=2cm;在y軸上取線段PQ，使PQ=1cm.分別過點(diǎn)M和N作y軸的平行線，過點(diǎn)P和Q作x軸的平行線，設(shè)它們的交點(diǎn)分別為A，B，C，D，四邊形ABCD就是正方體的底面ABCD.圖②3、畫側(cè)棱.過A，B，C，D分別作z軸的平行線，并在這些平行線上分別截取2cm長的線段AA'，BB'，CC'，DD'.4、成圖.順次連接A'，B'，C'，D'，并加以整理(去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線)，就得到正方體的直觀圖(如圖②).【說明】畫立體圖形的直觀圖關(guān)鍵是畫好底面的直觀圖，再畫出相應(yīng)的側(cè)棱．直觀圖中被遮擋的部分畫成虛線；題型9、直觀圖還原問題例9、（1）已知斜二測畫法得到的直觀圖三角形A′B′C′是正三角形，畫出原三角形的圖形．【解析】由斜二測畫法知：B′C′不變，即BC與B′C′重合，O′A′由傾斜45°變?yōu)榕cx軸垂直，并且O′A′的長度變?yōu)樵瓉淼?倍，得到OA，由此得到原三角形的圖形三角形ABC.（2）如圖所示是水平放置的某四邊形OABC的直觀圖，其中A′(2，0)，B′(1，1)，C′(0，1)，O′(0，0)，試判斷該四邊形的形狀，并求其面積．【解析】（1）在已知圖形所在平面上建立平面直角坐標(biāo)系xOy.（2）在x軸上取點(diǎn)A(2，0)，在y軸上取點(diǎn)C(0，2)，過C作x軸的平行線，并在此平行線上取|CB|＝|C′B′|.（3）連線得到OABC，并擦去輔助線．∴四邊形OABC為直角梯形，S梯形OABC＝eq\f(1,2)×(1＋2)×2＝3.【說明】由直觀圖恢復(fù)到平面圖形的步驟與斜二測畫法步驟相似，注意角度的改變，長度的變化，平行性不變．由本題可得到結(jié)論：“水平放置的平面圖形的直觀圖的面積是原圖形面積的eq\f(\r(2),4)”；題型10、依據(jù)公理畫平面的交線例10、（1）在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為CC1和AA1的中點(diǎn)，畫出平面BED1F與平面ABCD的交線；【解析】如圖，在平面AA1D1D內(nèi)，延長D1F，∵D1F與DA不平行，∴D1F與DA必相交于一點(diǎn)，設(shè)為P，則P∈FD1，P∈DA.又∵FD1?平面BED1F，AD?平面ABCD，∴P∈平面BED1F，P∈平面ABCD.又B為平面ABCD與平面BED1F的公共點(diǎn)，∴連接PB，PB即為平面BED1F與平面ABCD的交線．（2）如圖，在長方體，P為棱的中點(diǎn)，畫出由，，P三點(diǎn)所確定的平面與長方體表面的交線．

【解析】如圖，由于P是上的點(diǎn)，所以平面，且平面，所以平面平面=，同理，平面平面=，平面平面=，所以平面與長方體表面的交線是，，.作法：連接，，，它們就是平面與長方體表面的交線（如圖）．

題型11、依據(jù)公理畫截面與相關(guān)計(jì)算例11、（1）如圖所示，G是正方體ABCD－A1B1C1D1的棱DD1延長線上的一點(diǎn)，E，F(xiàn)是棱AB，BC的中點(diǎn)．試分別畫出過下列各點(diǎn)、直線的平面與正方體表面的交線．（1）過點(diǎn)G及AC；（2）過三點(diǎn)E，F(xiàn)，D1.【解析】（1）)畫法：連接GA交A1D1于點(diǎn)M，連接GC交C1D1于點(diǎn)N；連接MN，AC，則MA，CN，MN，AC為所求平面與正方體表面的交線．如圖①所示．（2）畫法：連接EF交DC的延長線于點(diǎn)P，交DA的延長線于點(diǎn)Q；連接D1P交CC1于點(diǎn)M，連接D1Q交AA1于點(diǎn)N；連接MF，NE，則D1M，MF，F(xiàn)E，EN，ND1為所求平面與正方體表面的交線．如圖②所示．（2）如圖所示的正方體的棱長為4，E，F(xiàn)分別為A1D1，AA1的中點(diǎn)，過C1，E，F(xiàn)的截面的周長為．【答案】4eq\r(5)＋6eq\r(2)【解析】由EF∥平面BCC1B1，可知平面BCC1B1與平面EFC1的交線為BC1，平面EFC1與平面ABB1A1的交線為BF，所以截面周長為EF＋FB＋BC1＋C1E＝4eq\r(5)＋6eq\r(2)；答案：4eq\r(5)＋6eq\r(2)；題型12、依據(jù)公理進(jìn)行探究例12、（1）三個(gè)互不重合的平面把空間分成n部分，則n所有可能的值為【答案】4，6，7或8；【解析】若三個(gè)平面互相平行，則可將空間分為4部分;若三個(gè)平面有兩個(gè)平行，第三個(gè)平面與其他兩個(gè)平面相交，則可將空間分成6部分;若三個(gè)平面交于一線，則可將空間分成6部分;若三個(gè)平面兩兩相交且三條交線平行，則可將空間分成7部分;若三個(gè)平面兩兩相交且三條交線交于一點(diǎn)(如墻角三個(gè)墻面的關(guān)系)，則可將空間分成8部分.故n的所有可能值為4，6，7或8.（2）如圖，已知平面α和β相交于直線l，點(diǎn)A∈α，點(diǎn)B∈α，點(diǎn)C∈β，且A?l，B?l，直線AB與l不平行，那么，平面ABC與平面β的交線與l有什么關(guān)系？證明你的結(jié)論．【解析】平面ABC與平面β的交線與l相交．證明如下：∵AB與l不平行，AB?α，l?α，∴AB與l是相交直線．設(shè)AB∩l＝P，則點(diǎn)P∈AB，點(diǎn)P∈l.又∵AB?平面ABC，l?β，∴P∈平面ABC且P∈平面β，即點(diǎn)P是平面ABC與平面β的一個(gè)公共點(diǎn)．而C也是平面ABC與平面β的一個(gè)公共點(diǎn)，又∵P，C不重合，∴直線PC就是平面ABC與平面β的交線，即平面ABC∩平面β＝直線PC.而直線PC∩l＝P，∴平面ABC與平面β的交線與l相交．1、直線l1∥l2，在l1上取3個(gè)點(diǎn)，在l2上取2個(gè)點(diǎn)，由這5個(gè)點(diǎn)能確定平面的個(gè)數(shù)為________個(gè)．【答案】1【解析】由經(jīng)過兩條平行直線有且只有一個(gè)平面可知分別在兩平行直線上的5個(gè)點(diǎn)只能確定一個(gè)平面；2、點(diǎn)A∈α，B?α，C?α，則平面ABC與平面α的交點(diǎn)有________個(gè)．【答案】無數(shù)；【解析】由公理3可知，平面ABC與平面α相交，交點(diǎn)有無數(shù)個(gè)；3、有下列四個(gè)判斷：①兩條相交直線確定一個(gè)平面；②兩條平行直線確定一個(gè)平面；③三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面；④一條直線和一點(diǎn)確定一個(gè)平面.正確的個(gè)數(shù)為個(gè)【答案】2【解析】兩條相交直線確定一個(gè)平面，兩條平行直線確定一個(gè)平面，①②正確.在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)不能確定一個(gè)平面，③錯(cuò)誤.直線和直線上一點(diǎn)不能確定一個(gè)平面，④錯(cuò)誤.所以正確的個(gè)數(shù)為個(gè).4、如圖所示，A′B′C′D′是一平面圖形水平放置的斜二測直觀圖，在斜二測直觀圖中，A′B′C′D′是一直角梯形，A′B′∥C′D′，A′D′⊥C′D′，且B′C′與y′軸平行，若A′B′＝6，D′C′＝4，A′D′＝2，則這個(gè)平面圖形的實(shí)際面積是【答案】20eq\r(2).【解析】原平面圖形設(shè)為ABCD，則由斜二測畫法的規(guī)則知仍是直角梯形，AB∥CD，BC⊥CD，且AB＝6，CD＝4.因?yàn)椤蟲′O′y′＝45°，所以可算得B′C′＝eq\r(2)A′D′＝2eq\r(2)，由斜二測畫法的規(guī)則知BC＝4