預習01集合的概念（六大考點）（原卷版）

預習01集合的概念一、元素與集合的概念1．元素與集合的概念（1）元素：一般地,把研究對象統(tǒng)稱為元素,元素常用小寫的拉丁字母表示．（2）集合：把一些元素組成的總體叫做集合（簡稱為集）,集合通常用大寫的拉丁字母表示．（3）集合相等：只要構(gòu)成兩個集合的元素是一樣的,就稱這兩個集合是相等的．2．元素的特性（1）確定性：給定的集合,它的元素必須是確定的．也就是說,給定一個集合,那么任何一個元素在不在這個集合中就確定了．簡記為“確定性”．（2）互異性：一個給定集合中的元素是互不相同的．也就是說,集合中的元素是不重復出現(xiàn)的．簡記為“互異性”．（3）無序性：給定集合中的元素是不分先后,沒有順序的．簡記為“無序性”．注意：集合含義中的“研究對象”指的是集合的元素,研究集合問題的核心即研究集合中的元素,因此在解決集合問題時,首先要明確集合中的元素是什么．集合中的元素可以是數(shù)、點,也可以是一些人或一些物．二、元素與集合的關系（1）屬于：如果是集合A的元素,就說屬于集合A,記作．（2）不屬于：如果不是集合A的元素,就說不屬于集合A,記作．（1）符號刻畫的是元素與集合之間的關系．對于一個元素與一個集合A而言,只有“”與“”這兩種結(jié)果．（2）和具有方向性,左邊是元素,右邊是集合,形如是錯誤的．三、常用的數(shù)集及其記法常用的數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集記法或四、集合的表示方法1．列舉法把集合的所有元素一一列舉出來，并用花括號“”括起來表示集合的方法叫做列舉法．（1）元素與元素之間必須用“，”隔開．（2）集合中的元素必須是明確的．（3）集合中的元素不能重復．（4）集合中的元素可以是任何事物．2．描述法（1）定義：一般地，設表示一個集合，把集合中所有具有共同特征的元素x所組成的集合表示為，這種表示集合的方法稱為描述法．有時也用冒號或分號代替豎線．（2）具體方法：在花括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值（或變化）范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征．注意：（1）寫清楚集合中元素的符號．如數(shù)或點等．（2）說明該集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函數(shù)式或幾何圖形等．（3）不能出現(xiàn)未被說明的字母．考點01 集合的基本概念【方法點撥】給定一個集合，那么任何一個元素在不在這個集合中就確定了，所謂“確定”，是指所有被“研究的對象”都是這個集合的元素，沒有被“研究的對象”都不是這個集合的元素．【例1】下列對象中不能構(gòu)成一個集合的是（

）A．某校比較出名的教師 B．方程的根C．不小于3的自然數(shù) D．所有銳角三角形【例2】(多選)下列各組對象能組成集合的是（

）A．大于6的所有整數(shù)B．高中數(shù)學的所有難題C．被3除余2的所有整數(shù)D．函數(shù)圖象上所有的點【變式11】給出下列說法：①在一個集合中可以找到兩個相同的元素；②好聽的歌能組成一個集合；③高一（1）班所有姓氏能構(gòu)成集合；④把1，2，3三個數(shù)排列，共有6種情況，因此由這三個數(shù)組成的集合有6個.其中正確的個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【變式12】下列對象能構(gòu)成集合的是（

）A．本班成績較好的同學全體 B．與10接近的實數(shù)全體C．絕對值小于5的整數(shù)全體 D．本班興趣廣泛的學生【變式13】考察下列每組對象能否構(gòu)成一個集合.(1)不超過20的非負數(shù)；(2)方程在實數(shù)范圍內(nèi)的解；(3)某班的所有高個子同學；(4)的近似值的全體.考點02 用列舉法表示集合【方法點撥】求出集合的元素，把元素一一列舉出來，且相同元素只能列舉一次，最后用花括號括起來【例3】用列舉法表示小于4的自然數(shù)構(gòu)成的集合，正確的是（

）A． B．C． D．【例4】用列舉法表示下列給定的集合：(1)大于1且小于6的整數(shù)組成的集合A；(2)方程的實數(shù)根組成的集合B；(3)一次函數(shù)與的圖象的交點組成的集合C.【變式21】大于小于的正整數(shù)用列舉法表示.【變式22】英文單詞good的所有字母組成的集合記為，用列舉法表示集合．【變式23】用合適的方法表示下列集合：(1)方程的解集；(2)大于1且小于7的所有整數(shù)組成的集合.考點03 用描述法表示集合【方法點撥】（1）用描述法表示集合，首先應弄清楚集合的屬性，是數(shù)集、點集還是其他的類型．一般地，數(shù)集用一個字母代表其元素，而點集則用一個有序數(shù)對來表示；（2）用描述法表示集合時，若描述部分出現(xiàn)元素記號以外的字母，要對新字母說明其含義或取值范圍；（3）多層描述時，應當準確使用“且”和“或”，所有描述的內(nèi)容都要寫在集合內(nèi)．【例5】已知集合，則（

）A． B． C． D．【例6】試用描述法表示下列集合.(1)方程的所有實數(shù)根組成的集合；(2)由大于10且小于20的所有整數(shù)組成的集合；(3)二次函數(shù)圖象上的所有點組成的集合.【變式31】集合，用列舉法表示是.【變式32】用描述法表示下列集合：(1)不等式的解組成的集合；(2)被除余的正整數(shù)的集合；(3)；(4)平面直角坐標系中第二象限內(nèi)的點組成的集合．【變式33】用描述法表示下列集合；(1)不等式的解集．(2)所有的偶數(shù)組成的集合．考點04 判斷元素與集合的關系【方法點撥】判斷元素與集合關系：（1）直接法：如果集合中的元素是直接給出，只要判斷該元素在已知集合中是否出現(xiàn)即可；（2）推理法：對于一些沒有直接表示的集合，只要判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征即可，此時應首先明確已知集合中的元素具有什么特征．【例7】已知集合，則與集合的關系為（

）A． B． C． D．【例8】若集合，，則中所有元素的和為（

）A． B． C． D．【變式41】以下選項中，不是集合的元素的是（

）A． B． C． D．【變式42】(多選)已知集合，，且，，則下列判斷正確的是（

）A． B． C． D．【變式43】用“”或“”填空：（1）若，則1A，1A；（2）若，則1B，1.5B；（3）若，則0.2C，3C．考點05 常用的數(shù)集【方法點撥】給定一個集合，那么任何一個元素在不在這個集合中就確定了，所謂“確定”，是指所有被“研究的對象”都是這個集合的元素，沒有被“研究的對象”都不是這個集合的元素．【例9】已知，且，則（

）A．0 B．1 C．2 D．3【例10】已知集合，則集合為.【變式51】下列關系中正確的個數(shù)為（

）①，②，③，④A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式52】使用“”“”和數(shù)集符號來替代下列自然語言：（1）“255是正整數(shù)”即()；（2）“不是有理數(shù)”即()；（3）“3.1416是正有理數(shù)”即()；（4）“是整數(shù)”即()；（5）“是負實數(shù)”即()．【變式53】用列舉法表示集合且為．考點06 根據(jù)元素與集合的關系求參數(shù)【方法點撥】利用集合元素的特性求參數(shù)問題時，先利用確定性解出字母所有可能值，再根據(jù)互異性對集合中元素進行檢驗，要注意分類討論思想的應用．【例11】已知集合，若，則實數(shù)的值為（

）A．2 B． C．2或 D．4【例12】若，用列舉法表示集合.【變式61】已知，若，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式62】已知含有兩個元素的集合，其中．(1)實數(shù)m不能取哪些數(shù)？(2)若，求實數(shù)m的值．【變式63】若，則．一、單選題1．下列給出的對象能構(gòu)成集合的有（

）①某校2023年入學的全體高一年級新生；②的所有近似值；③某個班級中學習成績較好的所有學生；④不等式的所有正整數(shù)解A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．已知集合，那么下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．3．若集合，，則B中元素的最小值為（

）A． B． C． D．324．下列命題中正確的（

）①與表示同一個集合；②由組成的集合可表示為或；③方程的所有解的集合可表示為；④集合可以用列舉法表示．A．只有①和④ B．只有②和③C．只有② D．以上語句都不對5．已知集合只有一個元素，則實數(shù)的值為（

）A．1或0 B．0 C．1 D．1或2二、多選題6．下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．7．若以集合A中的四個元素為邊長構(gòu)成一個四邊形，則這個四邊形不可能是（

）A．梯形 B．平行四邊形C．菱形 D．矩形三、填空題8．已知①；②；③④，其中正確的為（填序號）.9．已知集合，若，則實數(shù)的值為四、解答題10．用適當?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?1)大于1且不大于17的質(zhì)數(shù)組成的集合；(2