預(yù)習(xí)01集合的概念（六大考點(diǎn)）（原卷版）

預(yù)習(xí)01集合的概念一、元素與集合的概念1．元素與集合的概念（1）元素：一般地,把研究對(duì)象統(tǒng)稱(chēng)為元素,元素常用小寫(xiě)的拉丁字母表示．（2）集合：把一些元素組成的總體叫做集合（簡(jiǎn)稱(chēng)為集）,集合通常用大寫(xiě)的拉丁字母表示．（3）集合相等：只要構(gòu)成兩個(gè)集合的元素是一樣的,就稱(chēng)這兩個(gè)集合是相等的．2．元素的特性（1）確定性：給定的集合,它的元素必須是確定的．也就是說(shuō),給定一個(gè)集合,那么任何一個(gè)元素在不在這個(gè)集合中就確定了．簡(jiǎn)記為“確定性”．（2）互異性：一個(gè)給定集合中的元素是互不相同的．也就是說(shuō),集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的．簡(jiǎn)記為“互異性”．（3）無(wú)序性：給定集合中的元素是不分先后,沒(méi)有順序的．簡(jiǎn)記為“無(wú)序性”．注意：集合含義中的“研究對(duì)象”指的是集合的元素,研究集合問(wèn)題的核心即研究集合中的元素,因此在解決集合問(wèn)題時(shí),首先要明確集合中的元素是什么．集合中的元素可以是數(shù)、點(diǎn),也可以是一些人或一些物．二、元素與集合的關(guān)系（1）屬于：如果是集合A的元素,就說(shuō)屬于集合A,記作．（2）不屬于：如果不是集合A的元素,就說(shuō)不屬于集合A,記作．（1）符號(hào)刻畫(huà)的是元素與集合之間的關(guān)系．對(duì)于一個(gè)元素與一個(gè)集合A而言,只有“”與“”這兩種結(jié)果．（2）和具有方向性,左邊是元素,右邊是集合,形如是錯(cuò)誤的．三、常用的數(shù)集及其記法常用的數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集記法或四、集合的表示方法1．列舉法把集合的所有元素一一列舉出來(lái)，并用花括號(hào)“”括起來(lái)表示集合的方法叫做列舉法．（1）元素與元素之間必須用“，”隔開(kāi)．（2）集合中的元素必須是明確的．（3）集合中的元素不能重復(fù)．（4）集合中的元素可以是任何事物．2．描述法（1）定義：一般地，設(shè)表示一個(gè)集合，把集合中所有具有共同特征的元素x所組成的集合表示為，這種表示集合的方法稱(chēng)為描述法．有時(shí)也用冒號(hào)或分號(hào)代替豎線(xiàn)．（2）具體方法：在花括號(hào)內(nèi)先寫(xiě)上表示這個(gè)集合元素的一般符號(hào)及取值（或變化）范圍，再畫(huà)一條豎線(xiàn)，在豎線(xiàn)后寫(xiě)出這個(gè)集合中元素所具有的共同特征．注意：（1）寫(xiě)清楚集合中元素的符號(hào)．如數(shù)或點(diǎn)等．（2）說(shuō)明該集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函數(shù)式或幾何圖形等．（3）不能出現(xiàn)未被說(shuō)明的字母．考點(diǎn)01 集合的基本概念【方法點(diǎn)撥】給定一個(gè)集合，那么任何一個(gè)元素在不在這個(gè)集合中就確定了，所謂“確定”，是指所有被“研究的對(duì)象”都是這個(gè)集合的元素，沒(méi)有被“研究的對(duì)象”都不是這個(gè)集合的元素．【例1】下列對(duì)象中不能構(gòu)成一個(gè)集合的是（

）A．某校比較出名的教師 B．方程的根C．不小于3的自然數(shù) D．所有銳角三角形【例2】(多選)下列各組對(duì)象能組成集合的是（

）A．大于6的所有整數(shù)B．高中數(shù)學(xué)的所有難題C．被3除余2的所有整數(shù)D．函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)【變式11】給出下列說(shuō)法：①在一個(gè)集合中可以找到兩個(gè)相同的元素；②好聽(tīng)的歌能組成一個(gè)集合；③高一（1）班所有姓氏能構(gòu)成集合；④把1，2，3三個(gè)數(shù)排列，共有6種情況，因此由這三個(gè)數(shù)組成的集合有6個(gè).其中正確的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【變式12】下列對(duì)象能構(gòu)成集合的是（

）A．本班成績(jī)較好的同學(xué)全體 B．與10接近的實(shí)數(shù)全體C．絕對(duì)值小于5的整數(shù)全體 D．本班興趣廣泛的學(xué)生【變式13】考察下列每組對(duì)象能否構(gòu)成一個(gè)集合.(1)不超過(guò)20的非負(fù)數(shù)；(2)方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的解；(3)某班的所有高個(gè)子同學(xué)；(4)的近似值的全體.考點(diǎn)02 用列舉法表示集合【方法點(diǎn)撥】求出集合的元素，把元素一一列舉出來(lái)，且相同元素只能列舉一次，最后用花括號(hào)括起來(lái)【例3】用列舉法表示小于4的自然數(shù)構(gòu)成的集合，正確的是（

）A． B．C． D．【例4】用列舉法表示下列給定的集合：(1)大于1且小于6的整數(shù)組成的集合A；(2)方程的實(shí)數(shù)根組成的集合B；(3)一次函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)組成的集合C.【變式21】大于小于的正整數(shù)用列舉法表示.【變式22】英文單詞good的所有字母組成的集合記為，用列舉法表示集合．【變式23】用合適的方法表示下列集合：(1)方程的解集；(2)大于1且小于7的所有整數(shù)組成的集合.考點(diǎn)03 用描述法表示集合【方法點(diǎn)撥】（1）用描述法表示集合，首先應(yīng)弄清楚集合的屬性，是數(shù)集、點(diǎn)集還是其他的類(lèi)型．一般地，數(shù)集用一個(gè)字母代表其元素，而點(diǎn)集則用一個(gè)有序數(shù)對(duì)來(lái)表示；（2）用描述法表示集合時(shí)，若描述部分出現(xiàn)元素記號(hào)以外的字母，要對(duì)新字母說(shuō)明其含義或取值范圍；（3）多層描述時(shí)，應(yīng)當(dāng)準(zhǔn)確使用“且”和“或”，所有描述的內(nèi)容都要寫(xiě)在集合內(nèi)．【例5】已知集合，則（

）A． B． C． D．【例6】試用描述法表示下列集合.(1)方程的所有實(shí)數(shù)根組成的集合；(2)由大于10且小于20的所有整數(shù)組成的集合；(3)二次函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)組成的集合.【變式31】集合，用列舉法表示是.【變式32】用描述法表示下列集合：(1)不等式的解組成的集合；(2)被除余的正整數(shù)的集合；(3)；(4)平面直角坐標(biāo)系中第二象限內(nèi)的點(diǎn)組成的集合．【變式33】用描述法表示下列集合；(1)不等式的解集．(2)所有的偶數(shù)組成的集合．考點(diǎn)04 判斷元素與集合的關(guān)系【方法點(diǎn)撥】判斷元素與集合關(guān)系：（1）直接法：如果集合中的元素是直接給出，只要判斷該元素在已知集合中是否出現(xiàn)即可；（2）推理法：對(duì)于一些沒(méi)有直接表示的集合，只要判斷該元素是否滿(mǎn)足集合中元素所具有的特征即可，此時(shí)應(yīng)首先明確已知集合中的元素具有什么特征．【例7】已知集合，則與集合的關(guān)系為（

）A． B． C． D．【例8】若集合，，則中所有元素的和為（

）A． B． C． D．【變式41】以下選項(xiàng)中，不是集合的元素的是（

）A． B． C． D．【變式42】(多選)已知集合，，且，，則下列判斷正確的是（

）A． B． C． D．【變式43】用“”或“”填空：（1）若，則1A，1A；（2）若，則1B，1.5B；（3）若，則0.2C，3C．考點(diǎn)05 常用的數(shù)集【方法點(diǎn)撥】給定一個(gè)集合，那么任何一個(gè)元素在不在這個(gè)集合中就確定了，所謂“確定”，是指所有被“研究的對(duì)象”都是這個(gè)集合的元素，沒(méi)有被“研究的對(duì)象”都不是這個(gè)集合的元素．【例9】已知，且，則（

）A．0 B．1 C．2 D．3【例10】已知集合，則集合為.【變式51】下列關(guān)系中正確的個(gè)數(shù)為（

）①，②，③，④A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式52】使用“”“”和數(shù)集符號(hào)來(lái)替代下列自然語(yǔ)言：（1）“255是正整數(shù)”即()；（2）“不是有理數(shù)”即()；（3）“3.1416是正有理數(shù)”即()；（4）“是整數(shù)”即()；（5）“是負(fù)實(shí)數(shù)”即()．【變式53】用列舉法表示集合且為．考點(diǎn)06 根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)【方法點(diǎn)撥】利用集合元素的特性求參數(shù)問(wèn)題時(shí)，先利用確定性解出字母所有可能值，再根據(jù)互異性對(duì)集合中元素進(jìn)行檢驗(yàn)，要注意分類(lèi)討論思想的應(yīng)用．【例11】已知集合，若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．2 B． C．2或 D．4【例12】若，用列舉法表示集合.【變式61】已知，若，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式62】已知含有兩個(gè)元素的集合，其中．(1)實(shí)數(shù)m不能取哪些數(shù)？(2)若，求實(shí)數(shù)m的值．【變式63】若，則．一、單選題1．下列給出的對(duì)象能構(gòu)成集合的有（

）①某校2023年入學(xué)的全體高一年級(jí)新生；②的所有近似值；③某個(gè)班級(jí)中學(xué)習(xí)成績(jī)較好的所有學(xué)生；④不等式的所有正整數(shù)解A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．已知集合，那么下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．3．若集合，，則B中元素的最小值為（

）A． B． C． D．324．下列命題中正確的（

）①與表示同一個(gè)集合；②由組成的集合可表示為或；③方程的所有解的集合可表示為；④集合可以用列舉法表示．A．只有①和④ B．只有②和③C．只有② D．以上語(yǔ)句都不對(duì)5．已知集合只有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．1或0 B．0 C．1 D．1或2二、多選題6．下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．7．若以集合A中的四個(gè)元素為邊長(zhǎng)構(gòu)成一個(gè)四邊形，則這個(gè)四邊形不可能是（

）A．梯形 B．平行四邊形C．菱形 D．矩形三、填空題8．已知①；②；③④，其中正確的為（填序號(hào)）.9．已知集合，若，則實(shí)數(shù)的值為四、解答題10．用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?1)大于1且不大于17的質(zhì)數(shù)組成的集合；(2