2.2從函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次方程

2.2從函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次方程題型一一元二次方程的解集及其根與系數(shù)的關(guān)系1．關(guān)于的一元二次方程：有實(shí)數(shù)根，若其中一個(gè)根為，則另一個(gè)根為（

）.A． B． C． D．【答案】D【分析】利用韋達(dá)定理求出方程的另一個(gè)根，再檢驗(yàn)即可.【詳解】因?yàn)闉殛P(guān)于的一元二次方程的根，顯然，且，不妨令，則，此時(shí)，方程可化為，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，即方程另一個(gè)根為.故選：D2．已知關(guān)于x的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.若滿足，則實(shí)數(shù)k的取值為（

）A．或6 B．6 C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)條件可知，再結(jié)合韋達(dá)定理即可建立等量關(guān)系，即可得解.【詳解】關(guān)于x的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，解得，實(shí)數(shù)k的取值范圍為，根據(jù)韋達(dá)定理可得，，，，即，解得或(不符合題意，舍去)實(shí)數(shù)k的值為.故選：C.3．已知是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值是.【答案】【分析】由題意可得，，利用可求值.【詳解】∵是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，，∴.故答案為：．4．已知都是實(shí)數(shù)，一元二次方程有兩個(gè)非零實(shí)根，且，則=.【答案】【分析】由根與系數(shù)關(guān)系得，再由及已知即可求值.【詳解】由題設(shè)，且，而，，則.故答案為：5．設(shè)，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則．【答案】【分析】由根與系數(shù)關(guān)系及根的性質(zhì)求目標(biāo)式的值即可.【詳解】由題設(shè)且，所以.故答案為：6．關(guān)于的一元二次方程．(1)如果方程有實(shí)數(shù)根，求的取值范圍；(2)如果是這個(gè)方程的兩個(gè)根，且，求的值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用判別式大于等于零求解即可；（2）由根與系數(shù)的關(guān)系可求解.【詳解】（1）∵，∴，解得，；（2）由題意知，，，∵，∴，∴，解得，，∴的值為．7．已知一元二次方程的兩根為，，求下列各式的值．(1)；(2)；(3)．【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）（2）（3）由根與系數(shù)關(guān)系得，并用它們表示出各式求值即可.【詳解】（1）由題設(shè)，則；（2）；（3）.題型二與二次函數(shù)相關(guān)的問題1．一次函數(shù)與二次函數(shù)在同一坐標(biāo)系中的圖象大致是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】分類討論，和時(shí)，由一次函數(shù)的單調(diào)性與二次函數(shù)圖象的開口方向，排除一些選項(xiàng)，再由的的正負(fù)，確定二次函數(shù)對(duì)稱軸的位置，從而可得最后結(jié)果.【詳解】若，則一次函數(shù)為增函數(shù)，二次函數(shù)的開口向上，故可排除A；若，則一次函數(shù)為減函數(shù)，二次函數(shù)的開口向下，故可排除D；對(duì)于選項(xiàng)C，由直線可知，，從而，而二次函數(shù)的對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)，故應(yīng)排除C.故選：B.2．如果一元二次函數(shù)的對(duì)稱軸是，則當(dāng)時(shí)，（）A．10 B．－10C．－1 D．19【答案】C【分析】由對(duì)稱軸方程求出的值，把代入函數(shù)解析式，可求函數(shù)值.【詳解】對(duì)稱軸為，解得，則，所以當(dāng)時(shí)，.故選：C3．“”是“關(guān)于的方程有兩個(gè)不等實(shí)根”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【分析】根據(jù)“關(guān)于的方程有兩個(gè)不等實(shí)根”解出的范圍，進(jìn)而判斷即可.【詳解】因?yàn)殛P(guān)于的方程有兩個(gè)不等實(shí)根，所以，解得或，所以“”是“關(guān)于的方程有兩個(gè)不等實(shí)根”既不充分也不必要條件.故選：D4．二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則下列判斷中錯(cuò)誤的是（

）

A．圖象的對(duì)稱軸是直線x=1B．一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根是－1，3C．當(dāng)x>1時(shí)，y隨x的增大而減小D．當(dāng)1<x<3時(shí)，y<0【答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象結(jié)合其性質(zhì)判斷．【詳解】由圖象知函數(shù)圖象與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是和3，因此B正確；又，因此A正確；時(shí)，圖象向右下，，y隨x的增大而減小，C正確；在時(shí)，圖象在軸上方，，D錯(cuò)誤．故選：D．5．已知一元二次函數(shù)y＝x2－2x+2，x∈(0，3)，則下列有關(guān)該函數(shù)的最值說法正確的為（

）A．最小值為2，最大值為5 B．最小值為1，最大值為5C．最小值為1，無最大值 D．無最值【答案】C【分析】結(jié)合對(duì)稱軸，函數(shù)的單調(diào)性得出結(jié)論．【詳解】由已知函數(shù)圖象對(duì)稱軸是，在上，函數(shù)是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，因此時(shí)，函數(shù)取得最小值為1，但無最大值，故選：C．6．若函數(shù)y＝x2－3x－4在［0，m］上的最大值和最小值分別為－4，，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.【答案】【分析】作出函數(shù)的圖象（示意圖），根據(jù)函數(shù)圖象分析可得．【詳解】當(dāng)x＝0或3時(shí)，y＝－4；當(dāng)x＝時(shí)，y＝.故由二次函數(shù)圖象可知：m的最小值為，最大值為3.故m的取值范圍是.故答案為：.

7．已知二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的平方和為15，求該二次函數(shù)的表達(dá)式．【答案】或．【分析】利用給定點(diǎn)求出c，設(shè)出圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求出b得解.【詳解】由二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)知，，設(shè)二次函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則是一元二次方程的兩個(gè)根，由根與系數(shù)的關(guān)系知，，則，解得，所以所求二次函數(shù)的表達(dá)式為或.8．二次函數(shù)的圖象如圖所示，根據(jù)圖象解答下列問題：

(1)寫出方程的兩個(gè)根；(2)若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求的取值范圍．【答案】(1)，；(2).【分析】（1）觀察圖象，求出二次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可.（2）觀察圖象，求出直線與二次函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)的k值范圍.【詳解】（1）觀察圖象知，二次函數(shù)的圖象與軸交于，，所以方程的兩個(gè)根是，．（2）若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則二次函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，觀察圖象知，二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為2，于是，所以的取值范圍是．1．二次函數(shù)的圖象如圖，對(duì)稱軸為直線，若關(guān)于的一元二次方程（為實(shí)數(shù)）在的范圍內(nèi)有解，則的取值范圍是．

【答案】【分析】根據(jù)對(duì)稱軸求出的值，從而得到時(shí)的函數(shù)值，再根據(jù)一元二次方程（為實(shí)數(shù)）在的范圍內(nèi)有解相當(dāng)于與在內(nèi)有交點(diǎn)，依此求解即可得出結(jié)論.【詳解】∵對(duì)稱軸為直線，∴，∴二次函數(shù)解析式為.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.因?yàn)榉匠痰母鶠閳D象與直線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，∴當(dāng)時(shí)，在的范圍內(nèi)有解.故答案為：.2．如圖，已知直線交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，過A、B兩點(diǎn)的拋物線交x軸于另一點(diǎn).若該拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)Q滿足是等腰三角形，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)不可能是（

）

A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)直線的解析式，當(dāng)和時(shí)就可以求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，設(shè)拋物線的解析式為，根據(jù)A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式，將拋物線化為頂點(diǎn)式，求出對(duì)稱軸，設(shè)出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，是等腰三角形的情況分為3種，即A、B、Q分別為等腰三角形的頂點(diǎn)，利用等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)勾股定理、兩點(diǎn)之間的距離公式即可求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】∵，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴，，設(shè)拋物線的解析式為，由題意，得，解得，∴拋物線的解析式為，∴拋物線的對(duì)稱軸為，設(shè)，①當(dāng)時(shí)，如圖，過點(diǎn)作，交對(duì)稱軸于.

由勾股定理可得，，得，解得，∴；②當(dāng)是腰時(shí)，Q是對(duì)稱軸與x軸交點(diǎn)時(shí)，，如圖.

，解得或，當(dāng)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，其在直線AB上，A、B和Q三點(diǎn)共線，舍去，則此時(shí)Q的坐標(biāo)是；③當(dāng)時(shí)，如圖.

，解得，則Q的坐標(biāo)是和，綜上所述：Q的坐標(biāo)可能為．故選：D.3．已知二次函數(shù)的最小值為，并且圖象經(jīng)過點(diǎn)和，(1)求該二次函數(shù)的解析式；(2)若當(dāng)時(shí)，，求t的取值范圍．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的最值得到，再利用待定系數(shù)法即可求出函數(shù)解析式；（2）根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求解.【詳解】（1）因?yàn)槎魏瘮?shù)的最小值為，所以，則①，又因?yàn)閳D象經(jīng)過點(diǎn)和，所以②，①②聯(lián)立可得，，所以二次函數(shù)的解析式為；（2）由（1）知：二次函數(shù)的解析式為，所以，頂點(diǎn)坐標(biāo)為因?yàn)闀r(shí)，，解得或，所以當(dāng)時(shí)，則，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)可知，.4．如下圖，已知拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B的坐標(biāo)為.

(1)求m的值及拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)．(2)點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)，.(2).【分析】（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線求出m的值，配方法求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）連接BC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)為所求P點(diǎn)，求直線BC的解析式，可求P點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】（1）把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線得，解得，所以，所以頂點(diǎn)坐標(biāo)為.（2）點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則，連接BC交拋物線對(duì)稱軸l于點(diǎn)P，

則此時(shí)PA＋PC的值最小，設(shè)直線BC的解析式為，因?yàn)辄c(diǎn)，點(diǎn)，所以，解得，所以直線BC的解析式為，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)PA＋PC的值最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為.5．已知關(guān)于x的方.當(dāng)為何值時(shí)，(1)方程的一個(gè)根大于1，另一個(gè)根小于1?(2)方程的一個(gè)根大于－1且小于1，另一個(gè)根大于2且小