暑期復習提升綜合測試卷（測試范圍選修二）

暑期復習提升綜合測試卷考試時間：120分鐘滿分：150分測試范圍：空間向量與立體幾何+計數原理+概率統(tǒng)計一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．若，且，則A．10 B．100 C．1000 D．10000【分析】根據二項分布的數學期望計算公式，代入求值即可．【解答】解：因為，且，所以，解得．故選：．【點評】本題考查了二項分布的數學期望計算問題，是基礎題．2．設隨機事件，，已知，則A． B． C． D．【分析】根據條件概率的概率公式，結合互斥事件的概率加法公式即可求解．【解答】解：由題意可知，，，，且事件與互斥，，同理，所以，．故選：．【點評】本題主要考查條件概率公式，屬于基礎題．3．如圖，平行六面體的底面是邊長為1的正方形，且，，則線段的長為A． B． C． D．【分析】先以為基底表示空間向量，再利用數量積運算律求解．【解答】解：，所以，故選：．【點評】本題考查了平面向量數量積的計算，屬于基礎題．4．被9除的余數為A．2 B．4 C．6 D．8【分析】根據已知條件，結合二項式定理，即可求解．【解答】解：，，故被9除的余數為4．故選：．【點評】本題主要考查二項式定理的應用，屬于基礎題．5．托馬斯貝葉斯在研究“逆向概率”的問題中得到了一個公式：，這個公式被稱為貝葉斯公式（貝葉斯定理），其中稱為的全概率．假設甲袋中有3個白球和3個紅球，乙袋中有2個白球和2個紅球．現從甲袋中任取2個球放入乙袋，再從乙袋中任取2個球．已知從乙袋中取出的是2個紅球，則從甲袋中取出的也是2個紅球的概率為A． B． C． D．【分析】根據題意，先分析求解設從甲中取出2個球，其中紅球的個數為個的事件為，事件的概率為，從乙中取出2個球，其中紅球的個數為2個的事件為，事件的概率為（B），再分別分析，1，2三種情況求解即可．【解答】解：設從甲中取出2個球，其中紅球的個數為個的事件為，事件的概率為，從乙中取出2個球，其中紅球的個數為2個的事件為，事件的概率為（B），由題意可知，①，，②，，③，，根據貝葉斯公式可得，從乙袋中取出的是2個紅球，則從甲袋中取出的也是2個紅球的概率為．故選：．【點評】本題主要考查條件概率，熟記概率的計算公式即可，屬于基礎題．6．隨機變量服從正態(tài)分布．若，則A． B． C． D．【分析】根據已知條件，結合正態(tài)分布的對稱性，以及條件概率公式，即可求解．【解答】解：，則，，故．故選：．【點評】本題主要考查正態(tài)分布的對稱性，屬于基礎題．7．為創(chuàng)建良好的生態(tài)環(huán)境，某地大力發(fā)展新能源產業(yè)，近4年該地新能源產業(yè)生產總值情況如下表所示：第年1234生產總值百萬元32527395已知變量與之間具有線性相關關系，設用最小二乘法建立的回歸直線方程為，則利用該模型預測該地第六年的生產總值為A．136.5 B．137.5 C．138.5 D．139.5【分析】根據線性回歸方程過樣本中心點，，計算、，求出回歸方程，再計算時的值即可．【解答】解：根據線性回歸方程必過樣本中心點，，計算，，代入回歸方程得，所以，當時，．故選：．【點評】本題考查了線性回歸方程過樣本中心點的應用問題，是基礎題．8．十二水硫酸鋁鉀是一種無機物，又稱明礬，是一種含有結晶水的硫酸鉀和硫酸鋁的復鹽．我們連接一個正方體各個面的中心，可以得到明礬晶體的結構，即為一個正八面體（如圖）．假設該正八面體的所有棱長均為2，則二面角的余弦為A． B． C． D．【分析】利用定義作出二面角的平面角，在中利用余弦定理即可求解．【解答】解：如圖，連接，交于點，連接，易知過點，取的中點，連接，，根據正八面體的幾何特征，，，又平面，平面，平面平面，所以為二面角的平面角．易知平面，在面內，則，所以是直角三角形，又，，所以，所以．在中，，同理，在中，，故選：．【點評】本題考查二面角的求解，余弦定理的應用，化歸轉化思想，屬中檔題．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分9．某班星期一上午要安排語文、數學、英語、物理4節(jié)課，且該天上午總共4節(jié)課，下列結論正確的是A．若數學課不安排在第一節(jié)，則有18種不同的安排方法 B．若語文課和數學課必須相鄰，且語文課排在數學課前面，則有6種不同的安排方法 C．若語文課和數學課不能相鄰，則有12種不同的安排方法 D．若語文課、數學課、英語課按從前到后的順序安排，則有3種不同的安排方法【分析】選項將數學排在后三節(jié)，再將其余3個科目全排列即可；選項采用捆綁法進行求解；選項采用插空法進行求解；選項根據先排語數英，再插空，可得結果．【解答】解：對于，有種排法，故正確；對于，采用捆綁法，有種排法，故正確；對于，采用插空法，有種排法，故正確；對于，先排語文課、數學課、英語，有1種，再在4個空里選一個，有4種排法，故錯誤．故選：．【點評】本題考查排列組合的性質的應用，屬于基礎題．10．“微信搶紅包”自2015年以來異?；鸨?，在某個微信群某次進行的搶紅包活動中，若所發(fā)紅包的總金額為8元，被隨機分配為1.72元，1.83元，2.28元，1.55元，0.62元，供甲、乙等5人搶，每人只能搶一次，則下列事件的概率正確的是A．甲、乙二人搶到的金額之和不低于3元的概率是 B．甲、乙二人搶到的金額之和比另外三人之和多的概率是 C．甲搶到的金額比乙搶到的金額多的概率是 D．甲搶到的金額比乙搶到的金額多1元以上的概率是【分析】對于，甲、乙二人搶紅包的事件數為，二人搶到的金額之和不低于3元的事件數為；對于，甲、乙二人搶到的金額之和比另外三人之和多的事件數為；對于，甲搶到的金額比乙搶到的金額多的事件數為；對于，甲搶到的金額比乙搶到的金額多1元以上的事件數為3．【解答】解：對于，甲、乙二人搶紅包的事件數為，二人搶到的金額之和不低于3元的事件數為，所以甲、乙二人搶到的金額之和不低于3元的概率為，正確；對于，甲、乙二人搶到的金額之和比另外三人之和多的事件數為，其概率為，錯誤；對于，甲搶到的金額比乙搶到的金額多的事件數為，其概率為，正確；對于，甲搶到的金額比乙搶到的金額多1元以上的事件數為3，其概率為，錯誤．故選：．【點評】本題主要考查古典概型及其概率計算公式，屬中檔題．11．已知正方體、的棱長為1，點是對角線、上異于、的動點，則A．當是的中點時，異面直線與所成角的余弦值為 B．當是的中點時，、、、四點共面 C．當平面時， D．當平面時，【分析】連接，，則異面直線與所成角即與所成角為，從而判斷；再根據平面，可判斷；根據線面平行的判定可得平面平面，進而得到當平面時，為與平面的交點，結合線面垂直的判定與性質可得，可判斷；進而結合三角函數的關系求出當平面時，，判斷．【解答】解：當是的中點時，連接，，由題意得，，三點共線，連接，則異面直線與所成角即，，故正確；平面，當是的中點時，、、、四點不共面，故錯誤；連接，，，，由正方體的性質得，，，，，平面平面，平面，為與平面的交點，，，，平面，，同理，，平面，，故正確；，，，故正確．故選：．【點評】本題考查異面直線所成角的定義、線面平行的判定、線面垂直的判定與性質等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．的展開式中的系數為．【分析】求出展開式的通項公式，令的指數為1，進而可以求解．【解答】解：展開式的通項公式為，，1，，5，令，解得，則的系數為，故答案為：．【點評】本題考查了二項式定理的應用，考查了學生的運算求解能力，屬于基礎題．13．假設某市場供應的燈泡中，甲廠產品占，乙廠產品占，甲廠產品的合格率為，乙廠產品的合格率為，若在該市場中隨機購買一個燈泡，則這個燈泡是合格品的概率為0.85．【分析】利用全概率公式求解．【解答】解：由題意可知，這個燈泡是合格品的概率為．故答案為：0.85．【點評】本題主要考查了全概率公式，屬于基礎題．14．正四棱柱中，，，點為側面上一動點（不含邊界），且滿足．記直線與平面所成的角為，則的取值范圍為．【分析】建立空間直角坐標系，設，由，得到，根據，得到或，然后利用向量法求解．【解答】解：建立如圖所示空間直角坐標系：則，設，所以，因為，所以，則，因為，則，解得或，易知平面的一個法向量為，1，，所以，則，所以，故答案為：．【點評】本題考查了直線與平面所成的角，考查了轉化思想，屬于中檔題．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．某校在課外活動課上連續(xù)開展若干項體育游戲，其中一項為“扔沙包”的游戲．其規(guī)則是：將沙包扔向指定區(qū)域內，該區(qū)域共分為，，三個部分．如果扔進部分一次，或者扔進部分兩次，或者扔進部分三次，即視為該項游戲過關，并進入下一項游戲．小楊每次都能將沙包扔進這塊區(qū)域內，若他扔進部分的概率為，扔進部分的概率是扔進部分的概率的兩倍，且每一次扔沙包相互獨立．（1）若小楊第二次扔完沙包后，游戲過關的概率為，求；（2）設小楊第二次扔完沙包后，游戲過關的概率為；設小楊第四次扔完沙包后，恰好游戲過關的概率為，試比較，的大?。痉治觥浚?）由題意可知，恰好游戲過關包含“第一次未扔中部分，第二次扔中部分”和“第一次與第二次均扔中部分”兩個事件，然后求解即可；（2）第四次扔完沙包后，恰好游戲過關后游戲過關需前三次扔完后有一次扔進部分且有兩次扔進部分，根據獨立重復事件的概率計算即可．【解答】解：扔進部分的概率為，扔進部分的概率為，且．（1）小楊第二次扔完沙包后，恰好游戲過關包含“第一次未扔中部分，第二次扔中部分”和“第一次與第二次均扔中部分”兩個事件，則概率為，由，得，解得或者，又，所以．（2）第四次扔完沙包后，恰好游戲過關后游戲過關需前三次扔完后有一次扔進部分且有兩次扔進部分，因此，又，，又，所以，當時，，；當時，，；當時，，．【點評】本題考查概率的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意相互獨立事件概率乘法公式的靈活運用．16．某公司對400名求職員工進行業(yè)務水平測試，根據測試成績評定是否預錄用．公司對400名求職員工的測試得分（測試得分都在，內）進行了統(tǒng)計分析，得分不低于90分為“優(yōu)”，得分低于90分為“良”，得到如下的頻率分布直方圖和列聯表．男女合計優(yōu)（得分不低于90分）80良（得分低于90分）120合計400（1）完成上面的列聯表，并依據的獨立性檢驗，能否認為求職員工的業(yè)務水平優(yōu)良與否與性別有關聯；（2）該公司擬在業(yè)務測試成績?yōu)閮?yōu)秀的求職人員中抽取部分人員進行個人發(fā)展的問卷調查，以獲取求職者的心理需求，進而制定正式錄用的方案．按照表中得分為優(yōu)秀的男女比例分層抽取9個人的樣本，并在9人中再隨機抽取5人進行調查，記5人中男性的人數為，求的分布列以及數學期望．參考公式：，．0.150.10.050.012.0722.7063.8416.635【分析】（1）由已知數據完善列聯表，計算相關系數后與臨界值比較可得；（2）求出9人中男性和女性的人數，然后由求出的各概率得分布列，由期望公式計算期望．【解答】解：（1）得分不低于90分的人數為：，所以填表如下：男女合計優(yōu)（得分不低于90分）8040120良（得分低于90分）160120280合計240160400根據列聯表中的數據，經計算得到．所以依據小概率的獨立性檢驗，不能認為求職員工的業(yè)務水平優(yōu)良與否與性別有關聯．（2）得分為優(yōu)秀的男女比例為，所以9人中男性有6人，女性有3人．因此的可能值為2，3，4，5，；；；．所以的分布列為：2345的數學期望為：．【點評】本題主要考查分布列和獨立性檢驗，屬于中檔題．17．某地區(qū)2015年至2021年農村居民家庭，人均純收入（單位：千元）的數據如下表：年份2015201620172018201920202021年份代號1234567人均純收入1112.413.915.717.318.220（1）求關于的線性回歸方程；（2）利用（1）中的回歸方程，分析2015年至2021年該地區(qū)農村居民家庭人均純收入的變化情況，并預測該地區(qū)2023年農村居民家庭人均純收入．附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：，．【分析】（1）由表中數據求得與，進一步求得與，可得關于的線性回歸方程；（2）在（1）中求得的回歸方程中，取求得得答案．【解答】解：（1），．，，，．關于的線性回歸方程為；（2）由表中數據可知，2015年至2021年該地區(qū)農村居民家庭人均純收入逐年增加，在中，取，可得．預測該地區(qū)2023年農村居民家庭人均純收入23千元．【點評】本題考查線性回歸方程的求法，考查運算求解能力，是基礎題．18．如圖，四棱錐的底面是直角梯形，且，，，，正三角形所在平面與平面相互垂直，、分別為、的中點．（1）求證：；（2）若二面角的余弦值為，求的值．【分析】（1）根據給定條件，證明，再利用線面垂直、面面垂直的性質推理作答．（2）取的中點，連接，以為原點建立空間直角坐標系，借助空間向量求解作答．【解答】（1）證明：在四棱錐中，是正三角形，是的中點，則，又平面平面，平面平面，平面，則有平面，而平面，所以．（2）解：取的中點，連接，在直角梯形中，，、分別為、的中點，則，