1.1.1空間向量及其運(yùn)算（分層練習(xí)）

1.1.1空間向量及其運(yùn)算分層練習(xí)一、單選題1．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）在平行六面體中，與向量相等的向量共有（

）A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【詳解】由圖，與向量大小相等，方向相同的向量有共3個(gè).故選：C2．（2021秋·全國·高二專題練習(xí)）在長方體中，為與的交點(diǎn).若，，，則下列向量中與相等的向量是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：在長方體中，為與的交點(diǎn).，，，.故選：B.3．（2022秋·安徽合肥·高二?？计谥校┮阎叫辛骟w中，，，，，．則的長為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】記，，，則，同理，，由空間向量加法法則得，∴，∴，即．故選：A．二、多選題4．（2022·高二單元測試）如圖，在正方體中，下列各式中運(yùn)算的結(jié)果為向量的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【詳解】A，，B，，C，，D，.故選：ABC5．（2021·高二課時(shí)練習(xí)）在平行六面體中，下列各式中運(yùn)算結(jié)果為的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【詳解】，故A錯(cuò)誤；，故B正確；，故C正確；，故D正確.故選：BCD.三、填空題6．（2020·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，在長方體ABCD—A1B1C1D1中，O為AC的中點(diǎn).用表示，則＝________.【答案】【詳解】因?yàn)?，所?故答案為：.7．（2021秋·北京豐臺(tái)·高二校考期中）如圖，已知四面體的所有棱長都等于2，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，則________.【答案】1【詳解】解：因?yàn)樗拿骟wABCD的每條棱長都等于2，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，則，所以，故答案為：1.四、解答題8．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在120°的二面角中，AC?α，BD?β且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分別為A，B，已知AC＝AB＝BD＝6，試求線段CD的長．

【答案】12【詳解】∵AC⊥AB，BD⊥AB，∴，又∵二面角的平面角為120°，∴，∴∴CD＝12．9．（2022·高二單元測試）如圖，已知空間四邊形，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，點(diǎn)，分別是，上的點(diǎn)，且，.用向量法求證：四邊形是梯形.【答案】證明見解析.【詳解】證明：連接.點(diǎn)E，H分別是邊，的中點(diǎn)，且，，，且.又不在上，四邊形是梯形.10．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在空間四邊形OABC中，已知E是線段BC的中點(diǎn)，G在AE上，且，試用向量，，表示向量．【答案】【詳解】，即一、單選題1．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在長方體中，化簡（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由長方體的結(jié)構(gòu)特征，有，則.故選：B2．（2021·全國·高一專題練習(xí)）下列關(guān)于空間向量的命題中，正確命題的個(gè)數(shù)是（

）（1）長度相等、方向相同的兩個(gè)向量是相等向量（2）若，則（3）兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)與終點(diǎn)相同（4）平行且模相等的兩個(gè)向量是相等向量A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【詳解】對(duì)于①，根據(jù)向量定義知，長度相等、方向相同的兩個(gè)向量是相等向量，所以①對(duì)；對(duì)于②，如兩垂直的單位向量不相等，但模都等于1，所以②錯(cuò)；對(duì)于③，根據(jù)向量定義知，相同向量是可以移動(dòng)的，所以③錯(cuò)；對(duì)于④，可能兩向量方向相反，所以④錯(cuò)；故選：B.3．（2022秋·安徽滁州·高二校考階段練習(xí)）四棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱長均為1，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD＝60°，則線段A1C的長度是（

）A． B． C．3 D．【答案】A【詳解】因?yàn)?，，所以，，，因?yàn)?，所以，所以，即線段的長度是.故選：A.4．（2021秋·北京豐臺(tái)·高二北京市第十二中學(xué)校考期中）如圖，在正方體中，點(diǎn)E是側(cè)面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)E滿足，則點(diǎn)E的軌跡為（

）A．圓 B．半圓 C．直線 D．線段【答案】B【詳解】如圖，設(shè)與交點(diǎn)為，取中點(diǎn)，連接，是中點(diǎn)，，而平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，則，，則，所以，設(shè)正方體棱條為，則，顯然，所以，在正方形內(nèi)點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，其軌跡是以為圓心的半圓，故選：B．5．（2020·高二課時(shí)練習(xí)）已知a、b是異面直線，且，，分別為直線，上的單位向量，且，，，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B．6 C．3 D．【答案】B【詳解】由題意知，由得，∴，∴，∴．故選：B6．（2023春·高一課時(shí)練習(xí)）已知空間任一點(diǎn)和不共線的三點(diǎn)、、，下列能得到、、、四點(diǎn)共面的是（

）A． B．C． D．以上都不對(duì)【答案】B【詳解】設(shè)且，則，，則，所以，、、為共面向量，則、、、四點(diǎn)共面.對(duì)于A選項(xiàng)，，，、、、四點(diǎn)不共面；對(duì)于B選項(xiàng)，，，、、、四點(diǎn)共面；對(duì)于C選項(xiàng)，，，、、、四點(diǎn)不共面.故選：B.二、多選題7．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）若是空間任意三個(gè)向量，，下列關(guān)系中，不成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【詳解】由向量加法的平行四邊形法則，只有，即時(shí)，都有，A不成立；由數(shù)量積的運(yùn)算律有，，與不一定相等，B不成立；向量數(shù)乘法則，C一定成立；只有共線且時(shí)，才存在，使得，D這成立．故選：ABD．8．（2021秋·福建福州·高二?？茧A段練習(xí)）在平行六面體ABCD—A1B1C1D1中，∠BAD=∠A1AB=∠A1AD=，各棱長均為1.則下列命題中正確的是（

）A．不是空間的一個(gè)基底 B．C． D．BD⊥平面ACC1A1【答案】ACD【詳解】對(duì)于A，由，所以向量共面，所以不是空間的一個(gè)基底，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)椋?，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，所以，故C正確；對(duì)于D，連接交于點(diǎn)O，連接,由題意可得四邊形為菱形，，所以，，由可得BD⊥平面ACC1A1，故D正確.故選：ACD.三、填空題9．（2022秋·福建福州·高二校聯(lián)考期中）如圖，兩條異面直線a，b所成的角為，在直線a，b上分別取點(diǎn)和點(diǎn)A，F(xiàn)，使，且（稱為異面直線a，b的公垂線）．已知，，，則公垂線______________．【答案】【詳解】解：因?yàn)楫惷嬷本€a，b所成的角為，則與得夾角為或，則，由，得，即，所以，即公垂線.故答案為：.四、解答題10．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）已知長方體中，是對(duì)角線中點(diǎn)，化簡下列表達(dá)式：(1)；(2)；(3).【答案】(1)(2)(3)【詳解】(1)解：(2)解：(3)解：一、單選題1．（2018秋·山西晉城·高二?？计谀┰谄叫辛骟w中，若分別為的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】如圖，.故選：C.2．（2023秋·安徽蚌埠·高二統(tǒng)考期末）在三棱錐中，為的中點(diǎn)，則等于（

）A．1 B．0 C．1 D．3【答案】C【詳解】因?yàn)?，所以，，，因?yàn)椋?故選：C.

3．（2023秋·福建南平·高二統(tǒng)考期末）如圖，在平行六面體中，M為與的交點(diǎn)．記，，則下列正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】由題意可知：在平行六面體中，M為與的交點(diǎn)，所以為的中點(diǎn)，則，所以，故選：.4．（2021·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在四面體ABCD中，為等邊三角形，，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】依題意，，因?yàn)闉榈冗吶切?，，，，，所以，，，，所以?故選：D.5．（2022秋·福建·高二校聯(lián)考期中）已知正四面體的棱長為6，P是四面體外接球的球面上任意一點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】如圖，設(shè)分別為正四面體棱中點(diǎn)，作平面，垂足為，所以，由正四面體的性質(zhì)知三點(diǎn)共線，且，且其外接球的球心在上，記為，因?yàn)檎拿骟w的棱長為6，所以，，設(shè)四面體外接球的半徑為，即，所以，，即，解得，所以，，因?yàn)镻是四面體外接球的球面上任意一點(diǎn)，所以，因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，所以故選：B二、多選題6．（2021秋·福建福州·高二?？茧A段練習(xí)）在平行六面體ABCD—A1B1C1D1中，∠BAD=∠A1AB=∠A1AD=，各棱長均為1.則下列命題中正確的是（

）A．不是空間的一個(gè)基底 B．C． D．BD⊥平面ACC1A1【答案】ACD【詳解】對(duì)于A，由，所以向量共面，所以不是空間的一個(gè)基底，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，所以，故C正確；對(duì)于D，連接交于點(diǎn)O，連接,由題意可得四邊形為菱形，，所以，，由可得BD⊥平面ACC1A1，故D正確.故選：ACD.三、填空題7．（2022秋·河北石家莊·高二河北師范大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在正方體中，________．【答案】【詳解】.故答案為：8．（2021·高二單元測試）如圖，四面體中，、分別是線段、的中點(diǎn)，已知，（1）；（2）；（3）；（4）存在實(shí)數(shù)，，使得．則其中正確的結(jié)論是_______．（把你認(rèn)為是正確的所有結(jié)論的序號(hào)都填上）．【答案】（1）（3）【詳解】解：（1）是線段的中點(diǎn)，，正確；（2）取的中點(diǎn)，連接，．則，因此不正確；（3），因此正確；（4）、分別是線段、的中點(diǎn)，，與平面不平行，不存在實(shí)數(shù)，，使得．綜上可得：只有（1）（3）正確．故答案為：（1）（3）．四、解答題9．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在棱長為1的正方體中，為棱上任意一點(diǎn)．試確定向量在直線上的投影向量，并求．【答案】，1【詳解】在正方體中，，且，因此，即為在直線上的投影向量，所以．10．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在空間幾何體ABCD－A1B1C1D1中，各面為平行四邊形，設(shè)，，，M，N，P分別是AA1，BC，C1D1的中點(diǎn)，試用表示以下各向量：（1）；（2）【答案】（1）；（2）【詳解】（1）因?yàn)镻是C1D1的中點(diǎn)，所以（2）因?yàn)镸是AA1的中點(diǎn)，所以又11．（2020·高二課時(shí)練習(xí)）直三棱柱的各棱長都為，、分別是、的中點(diǎn)，求的長.【答案】【詳解】如下圖所示，設(shè)，，，則，由題意可得，，又、分別為、的中點(diǎn)，，所以，，因此，.12．（2022·全國·高二期中）如圖所示，三棱柱中，所有棱長均為2，，，分別在，上（不包括兩端），．（1）求證：平面；（2）設(shè)與平面所成角為，求的