2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 考點(diǎn)歸納與方法總結(jié) 第13練 函數(shù)與方程及函數(shù)模型的應(yīng)用（精練：基礎(chǔ)+重難點(diǎn)）（含解析）

2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義及高頻考點(diǎn)歸納與方法總結(jié)（新高考通用）第13練函數(shù)與方程及函數(shù)模型的應(yīng)用（精練）1理解函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解的關(guān)系.2.了解函數(shù)零點(diǎn)存在定理，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用.3.了解用二分法求方程的近似解.4.在實(shí)際情境中，會(huì)選擇合適的函數(shù)類(lèi)型刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的變化規(guī)律.5.結(jié)合現(xiàn)實(shí)情境中的具體問(wèn)題，利用計(jì)算工具，比較對(duì)數(shù)函數(shù)、一元一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)速度的差異，理解“對(duì)數(shù)增長(zhǎng)”“直線上升”“指數(shù)爆炸”等術(shù)語(yǔ)的現(xiàn)實(shí)含義.一、多選題1．（2023·全國(guó)·高考真題）噪聲污染問(wèn)題越來(lái)越受到重視．用聲壓級(jí)來(lái)度量聲音的強(qiáng)弱，定義聲壓級(jí)，其中常數(shù)是聽(tīng)覺(jué)下限閾值，是實(shí)際聲壓．下表為不同聲源的聲壓級(jí)：聲源與聲源的距離聲壓級(jí)燃油汽車(chē)10混合動(dòng)力汽車(chē)10電動(dòng)汽車(chē)1040已知在距離燃油汽車(chē)、混合動(dòng)力汽車(chē)、電動(dòng)汽車(chē)處測(cè)得實(shí)際聲壓分別為，則（

）．A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)題意可知，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】由題意可知：，對(duì)于選項(xiàng)A：可得，因?yàn)?，則，即，所以且，可得，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：可得，因?yàn)?，則，即，所以且，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?，即，可得，即，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：由選項(xiàng)A可知：，且，則，即，可得，且，所以，故D正確；故選：ACD.二、填空題2．（2023·天津·高考真題）設(shè),函數(shù),若恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為．【答案】【分析】根據(jù)絕對(duì)值的意義，去掉絕對(duì)值，求出零點(diǎn)，再根據(jù)根存在的條件即可判斷的取值范圍．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，即，若時(shí)，，此時(shí)成立；若時(shí)，或，若方程有一根為，則，即且；若方程有一根為，則，解得：且；若時(shí)，，此時(shí)成立．（2）當(dāng)時(shí)，，即，若時(shí)，，顯然不成立；若時(shí)，或，若方程有一根為，則，即；若方程有一根為，則，解得：；若時(shí)，，顯然不成立；綜上，當(dāng)時(shí)，零點(diǎn)為，；當(dāng)時(shí)，零點(diǎn)為，；當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，零點(diǎn)為，；當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，零點(diǎn)為，；當(dāng)時(shí)，零點(diǎn)為．所以，當(dāng)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，且．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題的解題關(guān)鍵是根據(jù)定義去掉絕對(duì)值，求出方程的根，再根據(jù)根存在的條件求出對(duì)應(yīng)的范圍，然后根據(jù)范圍討論根（或零點(diǎn)）的個(gè)數(shù)，從而解出．3．（2023·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)在區(qū)間有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是．【答案】【分析】令，得有3個(gè)根，從而結(jié)合余弦函數(shù)的圖像性質(zhì)即可得解.【詳解】因?yàn)椋?，令，則有3個(gè)根，令，則有3個(gè)根，其中，結(jié)合余弦函數(shù)的圖像性質(zhì)可得，故，故答案為：.4．（2022·天津·高考真題）設(shè)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，記．若至少有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】設(shè)，，分析可知函數(shù)至少有一個(gè)零點(diǎn)，可得出，求出的取值范圍，然后對(duì)實(shí)數(shù)的取值范圍進(jìn)行分類(lèi)討論，根據(jù)題意可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，綜合可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】設(shè)，，由可得.要使得函數(shù)至少有個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)至少有一個(gè)零點(diǎn)，則，解得或.①當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)、的圖象如下圖所示：此時(shí)函數(shù)只有兩個(gè)零點(diǎn)，不合乎題意；②當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為、，要使得函數(shù)至少有個(gè)零點(diǎn)，則，所以，，解得；③當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)、的圖象如下圖所示：由圖可知，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為，合乎題意；④當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為、，要使得函數(shù)至少有個(gè)零點(diǎn)，則，可得，解得，此時(shí).綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.【A級(jí)

基礎(chǔ)鞏固練】一、單選題1．（23-24高一下·浙江湖州·階段練習(xí)）函數(shù)的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用零點(diǎn)存在性定理，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性判斷即可.【詳解】因?yàn)?，，且易得在單調(diào)遞增，所以在上有唯一的零點(diǎn)，且零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi).故選：B2．（23-24高一上·北京東城·期末）把長(zhǎng)為的細(xì)鐵絲截成兩段，各自圍成一個(gè)正方形，那么這兩個(gè)正方形面積之和的最小值是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)鐵絲的一段長(zhǎng)度為，則另一段鐵絲長(zhǎng)為，得到，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】設(shè)鐵絲的一段長(zhǎng)度為，（其中），則另一段鐵絲長(zhǎng)為，兩個(gè)正方形的面積之和為，根據(jù)題意，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為.故選：D.3．（23-24高一下·北京·期中）函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．無(wú)窮多個(gè) B．4個(gè) C．2個(gè) D．0個(gè)【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的意義變形，構(gòu)造函數(shù)并探討函數(shù)的最值即可得解.【詳解】當(dāng)時(shí)，由，即，得，當(dāng)時(shí)，恒成立，而恒成立，因此不成立，所以函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0.故選：D4．（23-24高一下·湖南郴州·階段練習(xí)）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】化簡(jiǎn)函數(shù)，利用函數(shù)零點(diǎn)的意義轉(zhuǎn)化成確定函數(shù)與的圖象公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)求解.【詳解】依題意，函數(shù)，由，得，因此函數(shù)的零點(diǎn)即為函數(shù)與的圖象公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)與的圖象，如圖，觀察圖象知，函數(shù)與的圖象只有兩個(gè)公共點(diǎn)，所以函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.故選：B5．（2024·江西·模擬預(yù)測(cè)）酒駕最新標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定：血液中酒精含量達(dá)到的駕駛員即為酒后駕車(chē)，達(dá)到及以上認(rèn)定為醉酒駕車(chē)．如果某駕駛員酒后血液中酒精濃度為，從此刻起停止飲酒，血液中酒精含量會(huì)以每小時(shí)的速度減少，那么他至少經(jīng)過(guò)幾個(gè)小時(shí)才能駕駛？（參考數(shù)據(jù)：）（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【分析】由題意得到不等式，兩邊取對(duì)數(shù)求出答案.【詳解】由．即，兩邊取對(duì)數(shù)可得，，故至少經(jīng)過(guò)7個(gè)小時(shí)才能駕駛.故選：B6．（22-23高一下·江蘇宿遷·期中）函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的值為（

）A．9 B．12 C．0或9 D．0或12【答案】C【分析】令，將函數(shù)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化成方程的根，再對(duì)進(jìn)行分類(lèi)討論即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，令，得到，?dāng)時(shí)，，得到，滿足題意，當(dāng)時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，故，得到，綜上，或.故選：C.7．（2024·廣東湛江·二模）已知函數(shù)，，則（

）A．當(dāng)有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，只有1個(gè)零點(diǎn)B．當(dāng)有3個(gè)零點(diǎn)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)C．當(dāng)有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)D．當(dāng)有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，有4個(gè)零點(diǎn)【答案】D【分析】作出函數(shù)，圖象，兩個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為它們的圖象與的圖象的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，結(jié)合圖象可得答案.【詳解】?jī)蓚€(gè)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為圖象與的圖象的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，作出，的大致圖象，如圖所示.由圖可知，當(dāng)有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，無(wú)零點(diǎn)或只有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)有3個(gè)零點(diǎn)時(shí)，只有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，有4個(gè)零點(diǎn).故選：D8．（23-24高一上·天津紅橋·階段練習(xí)）已知函數(shù)，，若函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為和有兩個(gè)交點(diǎn)，畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖形，結(jié)合函數(shù)的圖象，即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由函數(shù)，因?yàn)?，令，即，由函?shù)有2個(gè)零點(diǎn)，即和有兩個(gè)交點(diǎn)，在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖形，如圖所示，結(jié)合函數(shù)的圖象，要使得函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，則，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：D.二、多選題9．（23-24高一上·遼寧朝陽(yáng)·期末）在用“二分法”求函數(shù)零點(diǎn)的近似值時(shí)，若第一次所取區(qū)間為，則第二次所取區(qū)間可能是（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】利用二分法的定義得到答案.【詳解】由題知第一次所取區(qū)間為，取中間值，則第二次所取區(qū)間可能是或.故選：BD.10．（23-24高一下·廣東茂名·開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，，，，則函數(shù)的一個(gè)誤差不超過(guò)0.05的零點(diǎn)可以為（

）A．0.6 B．0.68 C．0.7 D．0.72【答案】BCD【分析】由函數(shù)的零點(diǎn)判斷定理得出結(jié)果即可.【詳解】因?yàn)椋?，，所以函?shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為，而，所以函數(shù)的一個(gè)誤差不超過(guò)0.05的零點(diǎn)可以為0.68或0.7或0.72.故選：BCD.11．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）（多選）小菲在學(xué)校選修課中了解到艾賓浩斯遺忘曲線，為了解自己記憶一組單詞的情況，她記錄了隨后一個(gè)月的有關(guān)數(shù)據(jù)，繪制圖象，擬合了記憶保持量f（x）與時(shí)間x（天）之間的函數(shù)關(guān)系f（x）＝則下列說(shuō)法正確的是（）A．隨著時(shí)間的增加，小菲的單詞記憶保持量降低B．第一天小菲的單詞記憶保持量下降最多C．9天后，小菲的單詞記憶保持量低于40%D．26天后，小菲的單詞記憶保持量不足20%【答案】ABC【詳解】解析：由函數(shù)解析式可知f（x）隨著x的增加而減少，故A正確；由圖象可得B正確；當(dāng)1<x≤30時(shí)，f（x）＝＋x－，則f（9）＝＋×9－＝0.35，即9天后，小菲的單詞記憶保持量低于40%，故C正確；f（26）＝＋×26－>，故D錯(cuò)誤．故選ABC.12．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）放射性物質(zhì)在衰變中產(chǎn)生輻射污染逐步引起了人們的關(guān)注，已知放射性物質(zhì)數(shù)量隨時(shí)間的衰變公式，表示物質(zhì)的初始數(shù)量，是一個(gè)具有時(shí)間量綱的數(shù)，研究放射性物質(zhì)常用到半衰期，半衰期指的是放射性物質(zhì)數(shù)量從初始數(shù)量到衰變成一半所需的時(shí)間，已知，右表給出了鈾的三種同位素τ的取值：若鈾234、鈾235和鈾238的半衰期分別為，，，則（

）物質(zhì)τ的量綱單位τ的值鈾234萬(wàn)年35.58鈾235億年10.2鈾238億年64.75A． B．與成正比例關(guān)系C． D．【答案】BD【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)半衰期的定義得到，從而得到方程，求出；B選項(xiàng)，由A選項(xiàng)得到結(jié)論；C選項(xiàng)，由B選項(xiàng)可得C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，計(jì)算出，作商得到D正確.【詳解】A選項(xiàng)，由題意得，又，故，兩邊取對(duì)數(shù)得，，，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，由A可知，與成正比例關(guān)系，B正確；C選項(xiàng)，由B可知，與成正比例關(guān)系，由于鈾234的值小于鈾235的值，故，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，，，故，D正確.故選：BD三、填空題13．（23-24高一下·江蘇連云港·期中）函數(shù)的零點(diǎn)為．【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的概念，解方程可得函數(shù)零點(diǎn).【詳解】由.故答案為：14．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)在所有零點(diǎn)之和為【答案】【分析】化簡(jiǎn)函數(shù)為，令，求得方程的根，即可求解.【詳解】由，令，即，解得或，因?yàn)?，所以或或，所以零點(diǎn)之和為.故答案為：.15．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)f（x）＝則使得方程x＋f（x）＝m有解的實(shí)數(shù)m的取值范圍是．【答案】【分析】方程有解，利用求函數(shù)的值域即可得到參數(shù)的范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，，即有解，則；當(dāng)時(shí)，，即有解，則，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是.故答案為：16．（23-24高一上·安徽亳州·期末）若函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則常數(shù)a的取值范圍為．【答案】【分析】判斷函數(shù)單調(diào)性再結(jié)合零點(diǎn)存在定理求解.【詳解】因?yàn)樵谏暇鶠樵龊瘮?shù)，所以函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，且函數(shù)圖象連續(xù)不間斷，故若在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則解得．故常數(shù)a的取值范圍為．故答案為：17．（23-24高三上·上海浦東新·階段練習(xí)）已知函數(shù)的零點(diǎn)有且只有一個(gè)，則實(shí)數(shù)的取值集合為．【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式可知為偶函數(shù)，則只能是，帶入求解即可.【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)?，又，所以為偶函?shù)，因?yàn)楹瘮?shù)的零點(diǎn)有且只有一個(gè)，故，即，即.故答案為：18．（2024·海南省直轄縣級(jí)單位·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)在內(nèi)恰有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是．【答案】【分析】先由的取值范圍求出的取值范圍，再由題意結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】由時(shí)，所以，當(dāng)時(shí)，令，解得，又因?yàn)樵谏蟽H有三個(gè)零點(diǎn)，因此，解得.故答案為：.四、解答題19．（23-24高三下·上?！るA段練習(xí)）某種兒童適用型防蚊液儲(chǔ)存在一個(gè)容器中，該容器由兩個(gè)半球和一個(gè)圓柱組成（其中上半球是容器的蓋子，防蚊液儲(chǔ)存在下半球及圓柱中），容器軸截面如題圖所示，兩頭是半圓形，中間區(qū)域是矩形，其外周長(zhǎng)為100毫米．防蚊液所占的體積為圓柱體體積和一個(gè)半球體積之和．假設(shè)的長(zhǎng)為毫米．(1)求容器中防蚊液的體積（單位：立方毫米）關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；(2)如何設(shè)計(jì)與的長(zhǎng)度，使得最大？【答案】(1)，.(2)為毫米，為毫米【分析】（1）由矩形其外周長(zhǎng)為毫米，又設(shè)的長(zhǎng)為毫米，可得的長(zhǎng)度，再根據(jù)圓柱和球的體積公式即可求得防蚊液的體積關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）對(duì)（1）求得的函數(shù)關(guān)系式求導(dǎo)，從而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性即可確定防毒液體積最大值．【詳解】（1）由得，由且得，所以防蚊液的體積，.（2）由，.所以，令得；令得；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，有最大值，此時(shí)，，所以當(dāng)為毫米，為毫米時(shí)，防蚊液的體積有最大值.【B級(jí)

能力提升練】一、單選題1．（2024·陜西渭南·二模）中國(guó)茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類(lèi)型和水的溫度有關(guān).經(jīng)研究可知：在室溫下，某種綠茶用的水泡制，經(jīng)過(guò)后茶水的溫度為，且.當(dāng)茶水溫度降至?xí)r飲用口感最佳，此時(shí)茶水泡制時(shí)間大約為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A． B． C．8min D．【答案】B【分析】根據(jù)初始條件求得參數(shù)，然后利用已知函數(shù)關(guān)系求得口感最佳時(shí)泡制的時(shí)間．【詳解】由題意可知，當(dāng)時(shí)，，則，解得，所以，當(dāng)時(shí)，，即，則，所以茶水泡制時(shí)間大的為7min.故選：B.2．（2024·甘肅張掖·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為（

）A．0 B．-1 C． D．2【答案】A【分析】令，即，構(gòu)造函數(shù)與函數(shù)，畫(huà)出函數(shù)圖象，可知兩個(gè)函數(shù)圖象相交于兩點(diǎn)，設(shè)為，得，進(jìn)而得到，即【詳解】由零點(diǎn)定義可知，函數(shù)的零點(diǎn)，就是方程的實(shí)數(shù)根，令，則，顯然，所以，構(gòu)造函數(shù)與函數(shù)，則方程的根，可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，根據(jù)圖象可知，兩個(gè)函數(shù)圖象相交于兩點(diǎn)，所以此方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，即函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為，所以，，即，另外發(fā)現(xiàn)，將代入，可得，所以也是函數(shù)的零點(diǎn)，說(shuō)明，即.故選:A.3．（2024·浙江溫州·三模）已知函數(shù)，則關(guān)于方程的根個(gè)數(shù)不可能是（

）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】C【分析】將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，作出的圖象，分、、三種情況，結(jié)合圖象求解即可．【詳解】作出函數(shù)的圖象，如圖所示：

將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線（過(guò)定點(diǎn)）與函數(shù)的圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象沒(méi)有交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)；所以直線與函數(shù)的圖象不可能有兩個(gè)交點(diǎn)．故選：C．4．（2024·黑龍江·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程的不同實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為6，則a的取值范圍為（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】方程因式分解得，所以或，根據(jù)函數(shù)的草圖，判斷的解的個(gè)數(shù)，從而確定解的個(gè)數(shù)，可得的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，，由此可知在單調(diào)遞減，且當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，如圖所示．得，即或，由與有兩個(gè)交點(diǎn)，則必有四個(gè)零點(diǎn)，即，得.故選：C二、多選題5．（23-24高三下·重慶·階段練習(xí)）已知函數(shù)的零點(diǎn)為，的零點(diǎn)為，則（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】將零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為交點(diǎn)問(wèn)題，根據(jù)互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】∵函數(shù)的零點(diǎn)為，的零點(diǎn)為，∴函數(shù)與函數(shù)圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，函數(shù)與函數(shù)圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，作函數(shù)、函數(shù)、函數(shù)的圖象如圖6，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為，∵函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，∴點(diǎn)A、B關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，又∵點(diǎn)A、B在直線上，∴點(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，對(duì)于A：∴，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B：易知，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C：∵，，，∴，即選項(xiàng)C正確；對(duì)于D：由零點(diǎn)存在定理易知，，∴，即，，故選項(xiàng)D正確，故選:BCD．6．（2024·貴州畢節(jié)·三模）函數(shù)，下列關(guān)于函數(shù)的敘述正確的是（

）A．，使得的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)B．若，則方程有大于2的實(shí)根C．若，則方程至少有兩個(gè)實(shí)根D．若，則方程有三個(gè)實(shí)根【答案】AB【分析】由已知可得為奇函數(shù)，作出圖象，當(dāng)時(shí)，為奇函數(shù)，可判斷A；由已知可得，依據(jù)與的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)可判斷B；由與至多有2個(gè)交點(diǎn)，可判斷C；當(dāng)時(shí)，可得與只有一交點(diǎn)，可判斷D.【詳解】由，可得為奇函數(shù)，圖象如圖所示：對(duì)于A：當(dāng)時(shí)，為奇函數(shù)，故，使得的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故A正確；對(duì)于B：若，則，由，可得，由圖象，若與有三個(gè)交點(diǎn)，存在交點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于2，所以方程有大于2的實(shí)根，故B正確；對(duì)于C:若，則由圖象上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍可得的圖象，由，可得，由圖象，若與至多有2個(gè)交點(diǎn)，所以方程至多有兩個(gè)實(shí)根，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：當(dāng)時(shí)，由，可得，由圖象可得與只有一交點(diǎn)，故方程只有一個(gè)實(shí)根，故D錯(cuò)誤.故選：AB.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查奇函數(shù)的圖象特征及函數(shù)與的奇偶性關(guān)系，同時(shí)考查方程的根的個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化方法．三、填空題7．（2024·天津·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．【答案】【分析】是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，再分段去絕對(duì)值符號(hào)，探討零點(diǎn)個(gè)數(shù)即得.【詳解】顯然是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，由，得，因?yàn)楹瘮?shù)有3個(gè)零點(diǎn)，必有，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故答案為：8．（2024·上海青浦·二模）對(duì)于函數(shù)，其中，若關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】將方程有兩個(gè)不同的根，轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，觀察圖象可得答案.【詳解】將函數(shù)向右平移1個(gè)單位得到，作出函數(shù)的圖象如下：要關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的根，則函數(shù)和函數(shù)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，，所以當(dāng)函數(shù)和函數(shù)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，.故答案為：.9．（2024·安徽黃山·二模）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】．【分析】令，則有，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為半圓與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，作出圖象，結(jié)合圖象求解即可．【詳解】令，則，所以，又因?yàn)?，即為，表示單位圓位于軸上及上方部分；而，表示過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線，所以將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為半圓與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)直線與半圓相切時(shí)；，解得，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，則有，解得，綜上，．故答案為：．【C級(jí)

拓廣探索練】一、單選題1．（2024·遼寧葫蘆島·二模）已知函數(shù)，，若關(guān)于x的方程有三個(gè)不同實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】令，作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象得出關(guān)于的方程根的情況，再根據(jù)一元二次方程根的分布情況分類(lèi)討論即可得解.【詳解】如圖，作出函數(shù)的圖象，令，由圖可知，當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程有個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，當(dāng)或時(shí)，關(guān)于的方程只有個(gè)實(shí)數(shù)根，因?yàn)殛P(guān)于x的方程有三個(gè)不同實(shí)數(shù)根，所以關(guān)于的方程的一個(gè)根在上，另一個(gè)根在上，或方程的兩個(gè)根一個(gè)為，另一個(gè)在上，若為方程的根時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，方程的另一個(gè)根為，不符題意，當(dāng)時(shí)，方程的另一個(gè)根為，不符題意，若為方程的根時(shí)，