2024年山東省萊蕪市中考數(shù)學(xué)試題及解析

課件園第27頁〔共28頁〕2024年山東省萊蕪市中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題〔本大題共12小題，每題3分〕1．〔3分〕〔2024?衢州〕﹣3的相反數(shù)是〔〕A．3B．﹣3C．D．﹣2．〔3分〕〔2024?萊蕪〕將數(shù)字2.03×10﹣3化為小數(shù)是〔〕A．0.203B．0.0203C．0.00203D．0.0002033．〔3分〕〔2024?萊蕪〕以下運算正確的選項是〔〕A．〔﹣a2〕?a3=﹣a6B．a(chǎn)6÷a3=a2C．a(chǎn)2+a3=a5D．〔a3〕2=a64．〔3分〕〔2024?萊蕪〕要使二次根式有意義，那么x的取值范圍是〔〕A．xB．xC．xD．x5．〔3分〕〔2024?萊蕪〕如圖，AB∥CD，EF平分∠AEG，假設(shè)∠FGE=40°，那么∠EFG的度數(shù)為〔〕A．35°B．40°C．70°D．140°6．〔3分〕〔2024?萊蕪〕以以以下圖形中，是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形的是〔〕A．B．C．D．7．〔3分〕〔2024?萊蕪〕為了解當(dāng)?shù)貧鉁刈兓闆r，某研究小組記錄了寒假期間連續(xù)6天的最高氣溫，結(jié)果如下〔單位：℃〕：﹣6，﹣3，x，2，﹣1，3．假設(shè)這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是﹣1，那么以下結(jié)論錯誤的選項是〔〕A．方差是8B．極差是9C．眾數(shù)是﹣1D．平均數(shù)是﹣18．〔3分〕〔2024?萊蕪〕以下幾何體中，主視圖和左視圖都為矩形的是〔〕A．B．C．D．9．〔3分〕〔2024?萊蕪〕一個多邊形除一個內(nèi)角外其余內(nèi)角的和為1510°，那么這個多邊形對角線的條數(shù)是〔〕A．27B．35C．44D．5410．〔3分〕〔2024?萊蕪〕甲乙兩人同時從A地出發(fā)到B地，如果甲的速度v保持不變，而乙先用v的速度到達(dá)中點，再用2v的速度到達(dá)B地，那么以下結(jié)論中正確的選項是〔〕A．甲乙同時到達(dá)B地B．甲先到達(dá)B地C．乙先到達(dá)B地D．誰先到達(dá)B地與速度v有關(guān)11．〔3分〕〔2024?萊蕪〕如圖，在矩形ABCD中，AB=2a，AD=a，矩形邊上一動點P沿A→B→C→D的路徑移動．設(shè)點P經(jīng)過的路徑長為x，PD2=y，那么以下能大致反映y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象是〔〕A．B．C．D．12．〔3分〕〔2024?萊蕪〕如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，以BC為直徑的⊙O與AD相切，點E為AD的中點，以下結(jié)論正確的個數(shù)是〔〕〔1〕AB+CD=AD；〔2〕S△BCE=S△ABE+S△DCE；〔3〕AB?CD=；〔4〕∠ABE=∠DCE．A．1B．2C．3D．4二、填空題〔本大題共5小題，每題填對得4分，共20分，請?zhí)钤诖痤}卡上〕13．〔4分〕〔2024?萊蕪〕計算：﹣|﹣2|+〔﹣1〕3+2﹣1=．14．〔4分〕〔2024?萊蕪〕m+n=3，m﹣n=2，那么m2﹣n2=．15．〔4分〕〔2024?萊蕪〕不等式組的解集為．16．〔4分〕〔2024?萊蕪〕如圖，在扇形OAB中，∠AOB=60°，扇形半徑為r，點C在上，CD⊥OA，垂足為D，當(dāng)△OCD的面積最大時，的長為．17．〔4分〕〔2024?萊蕪〕如圖，反比例函數(shù)y=〔x＞0〕的圖象經(jīng)過點M〔1，﹣1〕，過點M作MN⊥x軸，垂足為N，在x軸的正半軸上取一點P〔t，0〕，過點P作直線OM的垂線l．假設(shè)點N關(guān)于直線l的對稱點在此反比例函數(shù)的圖象上，那么t=．三、解答題〔本大題共7小題，共64分，解答要寫出必要的文字說明、證明過程或推演步驟〕18．〔6分〕〔2024?萊蕪〕先化簡，再求值：〔1﹣〕，其中x=3．19．〔8分〕〔2024?萊蕪〕為了解今年初四學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，某校在第一輪模擬測試后，對初四全體同學(xué)的數(shù)學(xué)成績作了統(tǒng)計分析，繪制如以以以下圖表：請結(jié)合圖表所給出的信息解答系列問題：成績頻數(shù)頻率優(yōu)秀45b良好a0.3合格1050.35不合格60c〔1〕該校初四學(xué)生共有多少人？〔2〕求表中a，b，c的值，并補全條形統(tǒng)計圖．〔3〕初四〔一〕班數(shù)學(xué)老師準(zhǔn)備從成績優(yōu)秀的甲、乙、丙、丁四名同學(xué)中任意抽取兩名同學(xué)做學(xué)習(xí)經(jīng)驗介紹，求恰好選中甲、乙兩位同學(xué)的概率．20．〔9分〕〔2024?萊蕪〕為保護(hù)漁民的生命財產(chǎn)平安，我國政府在南海海域新建了一批觀測點和避風(fēng)港．某日在觀測點A處發(fā)現(xiàn)在其北偏西36.9°的C處有一艘漁船正在作業(yè)，同時檢測到在漁船的正西B處有一股強臺風(fēng)正以每小時40海里的速度向正東方向移動，于是馬上通知漁船到位于其正東方向的避風(fēng)港D處進(jìn)行躲避．避風(fēng)港D在觀測點A的正北方向，臺風(fēng)中心B在觀測點A的北偏西67.5°的方向，漁船C與觀測點A相距350海里，臺風(fēng)中心的影響半徑為200海里，漁船的速度為每小時18海里，問漁船能否順利躲避本次臺風(fēng)的影響？〔sin36.9°≈0.6，tan36.9≈0.75，sin67.5≈0.92，tan67.5≈2.4〕21．〔9分〕〔2024?萊蕪〕如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，分別以AB，AC為直角邊向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，G為BD的中點，連接CG，BE，CD，BE與CD交于點F．〔1〕判斷四邊形ACGD的形狀，并說明理由．〔2〕求證：BE=CD，BE⊥CD．22．〔10分〕〔2024?萊蕪〕今年我市某公司分兩次采購了一批大蒜，第一次花費40萬元，第二次花費60萬元．第一次采購時每噸大蒜的價格比去年的平均價格上漲了500元，第二次采購時每噸大蒜的價格比去年的平均價格下降了500元，第二次的采購數(shù)量是第一次采購數(shù)量的兩倍．〔1〕試問去年每噸大蒜的平均價格是多少元？〔2〕該公司可將大蒜加工成蒜粉或蒜片，假設(shè)單獨加工成蒜粉，每天可加工8噸大蒜，每噸大蒜獲利1000元；假設(shè)單獨加工成蒜片，每天可加工12噸大蒜，每噸大蒜獲利600元．由于出口需要，所有采購的大蒜必需在30天內(nèi)加工完畢，且加工蒜粉的大蒜數(shù)量不少于加工蒜片的大蒜數(shù)量的一半，為獲得最大利潤，應(yīng)將多少噸大蒜加工成蒜粉？最大利潤為多少？23．〔10分〕〔2024?萊蕪〕如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上任一點〔不與A，B重合〕，AB⊥CD于E，BF為⊙O的切線，OF∥AC，連結(jié)AF，F(xiàn)C，AF與CD交于點G，與⊙O交于點H，連結(jié)CH．〔1〕求證：FC是⊙O的切線；〔2〕求證：GC=GE；〔3〕假設(shè)cos∠AOC=，⊙O的半徑為r，求CH的長．24．〔12分〕〔2024?萊蕪〕如圖，拋物線y=ax2+bx+c〔a≠0〕經(jīng)過點A〔﹣3，2〕，B〔0，﹣2〕，其對稱軸為直線x=，C〔0，〕為y軸上一點，直線AC與拋物線交于另一點D．〔1〕求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；〔2〕試在線段AD下方的拋物線上求一點E，使得△ADE的面積最大，并求出最大面積；〔3〕在拋物線的對稱軸上是否存在一點F，使得△ADF是直角三角形？如果存在，求點F的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

2024年山東省萊蕪市中考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題〔本大題共12小題，每題3分〕1．〔3分〕〔2024?衢州〕﹣3的相反數(shù)是〔〕A．3B．﹣3C．D．﹣考點：相反數(shù)．專題：常規(guī)題型．分析：根據(jù)相反數(shù)的概念解答即可．解答：解：﹣3的相反數(shù)是3，應(yīng)選：A．點評：此題考查了相反數(shù)的意義，一個數(shù)的相反數(shù)就是在這個數(shù)前面添上“﹣〞號；一個正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)，一個負(fù)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)，0的相反數(shù)是0．2．〔3分〕〔2024?萊蕪〕將數(shù)字2.03×10﹣3化為小數(shù)是〔〕A．0.203B．0.0203C．0.00203D．0.000203考點：科學(xué)記數(shù)法—原數(shù)．分析：絕對值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為a×10﹣n，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．解答：解：2.03×10﹣3化為小數(shù)是0.00203．應(yīng)選C．點評：此題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n為由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．3．〔3分〕〔2024?萊蕪〕以下運算正確的選項是〔〕A．〔﹣a2〕?a3=﹣a6B．a(chǎn)6÷a3=a2C．a(chǎn)2+a3=a5D．〔a3〕2=a6考點：同底數(shù)冪的除法；合并同類項；同底數(shù)冪的乘法；冪的乘方與積的乘方．分析：根據(jù)同底數(shù)冪的除法，底數(shù)不變指數(shù)相減；同底數(shù)冪的乘法，底數(shù)不變指數(shù)相加；冪的乘方，底數(shù)不變指數(shù)相乘，對各選項計算后利用排除法求解．解答：解：A、〔﹣a2〕?a3=﹣a5，故錯誤；B、a6÷a3=a3，故錯誤；C、a2?a3=a5，故錯誤；D、正確；應(yīng)選：D．點評：此題考查同底數(shù)冪的除法，同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方很容易混淆，一定要記準(zhǔn)法那么才能做題．4．〔3分〕〔2024?萊蕪〕要使二次根式有意義，那么x的取值范圍是〔〕A．xB．xC．xD．x考點：二次根式有意義的條件．分析：二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)．解答：解：依題意得3﹣2x≥0，解得x≤．應(yīng)選：B．點評：此題考查了二次根式的意義和性質(zhì)．概念：式子〔a≥0〕叫二次根式．性質(zhì)：二次根式中的被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)，否那么二次根式無意義．5．〔3分〕〔2024?萊蕪〕如圖，AB∥CD，EF平分∠AEG，假設(shè)∠FGE=40°，那么∠EFG的度數(shù)為〔〕A．35°B．40°C．70°D．140°考點：平行線的性質(zhì)．分析：先根據(jù)兩直線平行同旁內(nèi)角互補，求出∠AEG的度數(shù)，然后根據(jù)角平分線的定義求出∠AEF的度數(shù)，然后根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等，即可求出∠EFG的度數(shù)．解答：解：∵AB∥CD，∠FGE=40°，∴∠AEG+∠FGE=180°，∴∠AEG=140°，∵EF平分∠AEG，∴∠AEF=∠AEG=70°，∵AB∥CD，∴∠EFG=∠AEF=70°．應(yīng)選C．點評：此題考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：熟記兩直線平行同位角相等；兩直線平行內(nèi)錯角相等；兩直線平行同旁內(nèi)角互補．6．〔3分〕〔2024?萊蕪〕以以以下圖形中，是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形的是〔〕A．B．C．D．考點：中心對稱圖形；軸對稱圖形．分析：根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解．解答：解：A、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故本選項錯誤；B、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項錯誤；C、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故本選項錯誤；D、是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故本選項正確．應(yīng)選D．點評：此題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩局部折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩局部重合．7．〔3分〕〔2024?萊蕪〕為了解當(dāng)?shù)貧鉁刈兓闆r，某研究小組記錄了寒假期間連續(xù)6天的最高氣溫，結(jié)果如下〔單位：℃〕：﹣6，﹣3，x，2，﹣1，3．假設(shè)這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是﹣1，那么以下結(jié)論錯誤的選項是〔〕A．方差是8B．極差是9C．眾數(shù)是﹣1D．平均數(shù)是﹣1考點：方差；算術(shù)平均數(shù)；中位數(shù)；眾數(shù)；極差．分析：分別計算該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，眾數(shù)，極差及方差后找到正確的答案即可．解答：解：根據(jù)題意可知x=﹣1，平均數(shù)=〔﹣6﹣3﹣1﹣1+2+3〕÷6=﹣1，∵數(shù)據(jù)﹣1出現(xiàn)兩次最多，∴眾數(shù)為﹣1，極差=3﹣〔﹣6〕=9，方差=[〔﹣6+1〕2+〔﹣3+1〕2+〔﹣1+1〕2+〔2+1〕2+〔﹣1+1〕2+〔3+1〕2]=9．應(yīng)選A．點評：此題考查了方差、極差、平均數(shù)、中位數(shù)及眾數(shù)的知識，屬于根底題，掌握各局部的定義及計算方法是解題關(guān)鍵．8．〔3分〕〔2024?萊蕪〕以下幾何體中，主視圖和左視圖都為矩形的是〔〕A．B．C．D．考點：簡單幾何體的三視圖．分析：分別寫出各幾何體的主視圖和左視圖，然后進(jìn)行判斷．解答：解：A、主視圖和左視圖都為圓，所以A選項錯誤；B、主視圖和左視圖都為矩形的，所以B選項正確；C、主視圖和左視圖都為等腰三角形，所以C選項錯誤；D、主視圖為矩形，左視圖為圓，所以D選項錯誤．應(yīng)選B．點評：此題考查了簡單幾何體的三視圖：畫物體的主視圖的口訣為：主、俯：長對正；主、左：高平齊；俯、左：寬相等．記住常見的幾何體的三視圖．9．〔3分〕〔2024?萊蕪〕一個多邊形除一個內(nèi)角外其余內(nèi)角的和為1510°，那么這個多邊形對角線的條數(shù)是〔〕A．27B．35C．44D．54考點：多邊形內(nèi)角與外角．分析：設(shè)出題中所給的兩個未知數(shù)，利用內(nèi)角和公式列出相應(yīng)等式，根據(jù)邊數(shù)為整數(shù)求解即可，再進(jìn)一步代入多邊形的對角線計算方法，即可解答．解答：解：設(shè)這個內(nèi)角度數(shù)為x，邊數(shù)為n，∴〔n﹣2〕×180°﹣x=1510，180n=1870+x，∵n為正整數(shù)，∴n=11，∴=44，應(yīng)選：C．點評：此題考查多邊形的內(nèi)角和計算公式以及多邊形的對角線條數(shù)的計算方法，屬于需要識記的知識．10．〔3分〕〔2024?萊蕪〕甲乙兩人同時從A地出發(fā)到B地，如果甲的速度v保持不變，而乙先用v的速度到達(dá)中點，再用2v的速度到達(dá)B地，那么以下結(jié)論中正確的選項是〔〕A．甲乙同時到達(dá)B地B．甲先到達(dá)B地C．乙先到達(dá)B地D．誰先到達(dá)B地與速度v有關(guān)考點：列代數(shù)式〔分式〕．分析：設(shè)從A地到B地的距離為2s，根據(jù)時間=路程÷速度可以求出甲、乙兩人同時從A地到B地所用時間，然后比擬大小即可判定選擇項．解答：解：設(shè)從A地到B地的距離為2s，而甲的速度v保持不變，∴甲所用時間為，又∵乙先用v的速度到達(dá)中點，再用2v的速度到達(dá)B地，∴乙所用時間為，∴甲先到達(dá)B地．應(yīng)選：B．點評：此題主要考查了一元一次方程在實際問題中的應(yīng)用，解題時首先正確理解題意，根據(jù)題意設(shè)未知數(shù)，然后利用條件和速度、路程、時間之間的關(guān)系即可解決問題．11．〔3分〕〔2024?萊蕪〕如圖，在矩形ABCD中，AB=2a，AD=a，矩形邊上一動點P沿A→B→C→D的路徑移動．設(shè)點P經(jīng)過的路徑長為x，PD2=y，那么以下能大致反映y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象是〔〕A．B．C．D．考點：動點問題的函數(shù)圖象．分析：根據(jù)題意，分三種情況：〔1〕當(dāng)0≤t≤2a時；〔2〕當(dāng)2a＜t≤3a時；〔3〕當(dāng)3a＜t≤5a時；然后根據(jù)直角三角形中三邊的關(guān)系，判斷出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，進(jìn)而判斷出y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象是哪個即可．解答：解：〔1〕當(dāng)0≤t≤2a時，∵PD2=AD2+AP2，AP=x，∴y=x2+a2．〔2〕當(dāng)2a＜t≤3a時，CP=2a+a﹣x=3a﹣x，∵PD2=CD2+CP2，∴y=〔3a﹣x〕2+〔2a〕2=x2﹣6ax+13a2．〔3〕當(dāng)3a＜t≤5a時，PD=2a+a+2a﹣x=5a﹣x，∵PD2=y，∴y=〔5a﹣x〕2=〔x﹣5a〕2，綜上，可得y=∴能大致反映y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象是選項D中的圖象．應(yīng)選：D．點評：〔1〕此題主要考查了動點問題的函數(shù)圖象，解答此類問題的關(guān)鍵是通過看圖獲取信息，并能解決生活中的實際問題，用圖象解決問題時，要理清圖象的含義即學(xué)會識圖．〔2〕此題還考查了直角三角形的性質(zhì)和應(yīng)用，以及勾股定理的應(yīng)用，要熟練掌握．12．〔3分〕〔2024?萊蕪〕如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，以BC為直徑的⊙O與AD相切，點E為AD的中點，以下結(jié)論正確的個數(shù)是〔〕〔1〕AB+CD=AD；〔2〕S△BCE=S△ABE+S△DCE；〔3〕AB?CD=；〔4〕∠ABE=∠DCE．A．1B．2C．3D．4考點：圓的綜合題．分析：設(shè)DC和半圓⊙O相切的切點為F，連接OF，根據(jù)切線長定理以及相似三角形的判定和性質(zhì)逐項分析即可．解答：解：設(shè)DC和半圓⊙O相切的切點為F，∵在直角梯形ABCD中AB∥CD，AB⊥BC，∴∠ABC=∠DCB=90°，∵AB為直徑，∴AB，CD是圓的切線，∵AD與以AB為直徑的⊙O相切，∴AB=AF，CD=DF，∴AD=AE+DE=AB+CD，故①正確；如圖1，連接OE，∵AE=DE，BO=CO，∴OE∥AB∥CD，OE=〔AB+CD〕，∴OE⊥BC，∴S△BCE=BC?OE=〔AB+CD〕=〔AB+CD〕?BC==S△ABE+S△DCE，故②正確；如圖2，連接AO，OD，∵AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC=180°，∵AB，CD，AD是⊙O的切線，∴∠OAD+∠EDO=〔∠BAD+∠ADC〕=90°，∴∠AOD=90°，∴∠AOB+∠DOC=∠AOB+∠BAO=90°，∴∠BAO=∠DOC，∴△ABO∽△CDO，∴，∴AB?CD=OB?OC=BCBC=BC2，故③正確，如圖1，∵OB=OC，OE⊥BC，∴BE=CE，∴∠BEO=∠CEO，∵AB∥OE∥CD，∴∠ABE=∠BEO，∠DCE=∠OEC，∴∠ABE=∠DCE，故④正確，綜上可知正確的個數(shù)有4個，應(yīng)選D．點評：此題考查了切線的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的判定與性質(zhì)．解決此題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定定理、性質(zhì)定理，做到靈巧運用．二、填空題〔本大題共5小題，每題填對得4分，共20分，請?zhí)钤诖痤}卡上〕13．〔4分〕〔2024?萊蕪〕計算：﹣|﹣2|+〔﹣1〕3+2﹣1=．考點：實數(shù)的運算；負(fù)整數(shù)指數(shù)冪．專題：計算題．分析：原式第一項利用算術(shù)平方根定義計算，第二項利用絕對值的代數(shù)意義化簡，第三項利用乘方的意義化簡，最后一項利用負(fù)整數(shù)指數(shù)冪法那么計算即可得到結(jié)果．解答：解：原式=3﹣2﹣1+=，故答案為：點評：此題考查了實數(shù)的運算，熟練掌握運算法那么是解此題的關(guān)鍵．14．〔4分〕〔2024?萊蕪〕m+n=3，m﹣n=2，那么m2﹣n2=6．考點：平方差公式．分析：根據(jù)平方差公式，即可解答．解答：解：m2﹣n2=〔m+n〕〔m﹣n〕=3×2=6．故答案為：6．點評：此題考查了平方差公式，解決此題的關(guān)鍵是熟記平方差公式．15．〔4分〕〔2024?萊蕪〕不等式組的解集為﹣1≤x＜2．考點：解一元一次不等式組．分析：先求出每個不等式的解集，根據(jù)不等式的解集找出不等式組的解集即可．解答：解：∵由①得：x≥﹣1，由②得：x＜2，∴不等式組的解集是﹣1≤x＜2，故答案為﹣1≤x＜2．點評：此題考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式組的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能根據(jù)不等式的解集找出不等式組的解集．16．〔4分〕〔2024?萊蕪〕如圖，在扇形OAB中，∠AOB=60°，扇形半徑為r，點C在上，CD⊥OA，垂足為D，當(dāng)△OCD的面積最大時，的長為．考點：垂徑定理；弧長的計算；解直角三角形．分析：由OC=r，點C在上，CD⊥OA，利用勾股定理可得DC的長，求出OD=時△OCD的面積最大，∠COA=45°時，利用弧長公示得到答案．解答：解：∵OC=r，點C在上，CD⊥OA，∴DC==，∴S△OCD=OD?，∴S△OCD2=OD2?〔r2﹣OD2〕=﹣OD4+r2OD2=﹣〔OD2﹣〕2+∴當(dāng)OD2=，即OD=r時△OCD的面積最大，∴∠OCD=45°，∴∠COA=45°，∴的長為：=πr，故答案為：．點評：此題主要考查了扇形的面積，勾股定理，求出OD=時△OCD的面積最大，∠COA=45°是解答此題的關(guān)鍵．17．〔4分〕〔2024?萊蕪〕如圖，反比例函數(shù)y=〔x＞0〕的圖象經(jīng)過點M〔1，﹣1〕，過點M作MN⊥x軸，垂足為N，在x軸的正半軸上取一點P〔t，0〕，過點P作直線OM的垂線l．假設(shè)點N關(guān)于直線l的對稱點在此反比例函數(shù)的圖象上，那么t=．考點：反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征；坐標(biāo)與圖形變化-對稱．分析：根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征由點A坐標(biāo)為〔1，﹣1〕得到k=﹣1，即反比例函數(shù)解析式為y=﹣，且ON=MN=1，那么可判斷△OMN為等腰直角三角形，知∠MON=45°，再利用PQ⊥OM可得到∠OPQ=45°，然后軸對稱的性質(zhì)得PN=PN′，NN′⊥PQ，所以∠NPQ=∠N′PQ=45°，于是得到N′P⊥x軸，那么點n′的坐標(biāo)可表示為〔t，﹣〕，于是利用Pn=Pn′得t﹣1=|﹣|=，然后解方程可得到滿足條件的t的值．解答：解：如圖，∵點A坐標(biāo)為〔1，﹣1〕，∴k=﹣1×1=﹣1，∴反比例函數(shù)解析式為y=﹣，∵ON=MN=1，∴△OMN為等腰直角三角形，∴∠MON=45°，∵直線l⊥OM，∴∠OPQ=45°，∵點N和點N′關(guān)于直線l對稱，∴PN=PN′，NN′⊥PQ，∴∠N′PQ=∠OPQ=45°，∠N′PN=90°，∴N′P⊥x軸，∴點N′的坐標(biāo)為〔t，﹣〕，∵PN=PN′，∴t﹣1=|﹣|=，整理得t2﹣t﹣1=0，解得t1=，t2=〔不符合題意，舍去〕，∴t的值為．故答案為：．點評：此題考查了反比例函數(shù)的綜合題，涉及知識點有反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、等腰直角三角形的性質(zhì)和軸對稱的性質(zhì)和用求根公式法解一元二次方程等．利用對稱的性質(zhì)得到關(guān)于t的方程是解題的關(guān)鍵．三、解答題〔本大題共7小題，共64分，解答要寫出必要的文字說明、證明過程或推演步驟〕18．〔6分〕〔2024?萊蕪〕先化簡，再求值：〔1﹣〕，其中x=3．考點：分式的化簡求值．專題：計算題．分析：原式括號中兩項通分并利用同分母分式的減法法那么計算，同時利用除法法那么變形，約分得到最簡結(jié)果，把x的值代入計算即可求出值．解答：解：原式=?=?=，當(dāng)x=3時，原式=2．點評：此題考查了分式的化簡求值，熟練掌握運算法那么是解此題的關(guān)鍵．19．〔8分〕〔2024?萊蕪〕為了解今年初四學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，某校在第一輪模擬測試后，對初四全體同學(xué)的數(shù)學(xué)成績作了統(tǒng)計分析，繪制如以以以下圖表：請結(jié)合圖表所給出的信息解答系列問題：成績頻數(shù)頻率優(yōu)秀45b良好a0.3合格1050.35不合格60c〔1〕該校初四學(xué)生共有多少人？〔2〕求表中a，b，c的值，并補全條形統(tǒng)計圖．〔3〕初四〔一〕班數(shù)學(xué)老師準(zhǔn)備從成績優(yōu)秀的甲、乙、丙、丁四名同學(xué)中任意抽取兩名同學(xué)做學(xué)習(xí)經(jīng)驗介紹，求恰好選中甲、乙兩位同學(xué)的概率．考點：列表法與樹狀圖法；頻數(shù)〔率〕分布表；條形統(tǒng)計圖．分析：〔1〕利用合格的人數(shù)除以該組頻率進(jìn)而得出該校初四學(xué)生總數(shù)；〔2〕利用〔1〕中所求，結(jié)合頻數(shù)÷總數(shù)=頻率，進(jìn)而求出答案；〔3〕根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后求得全部情況的總數(shù)與符合條件的情況數(shù)目；二者的比值就是其發(fā)生的概率．解答：解：〔1〕由題意可得：該校初四學(xué)生共有：105÷0.35=300〔人〕，答：該校初四學(xué)生共有300人；〔2〕由〔1〕得：a=300×0.3=90〔人〕，b==0.15，c==0.2；如以以下圖；〔3〕畫樹形圖得：∴一共有12種情況，抽取到甲和乙的有2種，∴P〔抽到甲和乙〕==．點評：此題主要考查了樹狀圖法求概率以及條形統(tǒng)計圖的應(yīng)用，根據(jù)題意利用樹狀圖得出所有情況是解題關(guān)鍵．20．〔9分〕〔2024?萊蕪〕為保護(hù)漁民的生命財產(chǎn)平安，我國政府在南海海域新建了一批觀測點和避風(fēng)港．某日在觀測點A處發(fā)現(xiàn)在其北偏西36.9°的C處有一艘漁船正在作業(yè)，同時檢測到在漁船的正西B處有一股強臺風(fēng)正以每小時40海里的速度向正東方向移動，于是馬上通知漁船到位于其正東方向的避風(fēng)港D處進(jìn)行躲避．避風(fēng)港D在觀測點A的正北方向，臺風(fēng)中心B在觀測點A的北偏西67.5°的方向，漁船C與觀測點A相距350海里，臺風(fēng)中心的影響半徑為200海里，漁船的速度為每小時18海里，問漁船能否順利躲避本次臺風(fēng)的影響？〔sin36.9°≈0.6，tan36.9≈0.75，sin67.5≈0.92，tan67.5≈2.4〕考點：解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題．分析：先解Rt△ADC，求出CD=AC?sin∠DAC≈350×0.6=210海里，AD==280海里，那么漁船到的避風(fēng)港D處所用時間：210÷18=11小時．再解Rt△ADB，求出BD=AD?tan∠BAD≈280×2.4=672海里，那么BC=BD﹣CD≈672﹣210=462海里．設(shè)強臺風(fēng)移動到漁船C后面200海里時所需時間為x小時，根據(jù)追及問題的等量關(guān)系列出方程〔40﹣18〕x=462﹣200，解方程求出x=11，由于11＜11，所以漁船能順利躲避本次臺風(fēng)的影響．解答：解：由題意可知∠BAD=67.5°，∠CAD=36.9°，AC=350海里．在Rt△ADC中，∵∠ADC=90°，∠DAC=36.9°，AC=350海里，∴CD=AC?sin∠DAC≈350×0.6=210海里，AD==280海里．∴漁船到的避風(fēng)港D處所用時間：210÷18=11小時．在Rt△ADB中，∵∠ADB=90°，∠BAD=67.5°，∴BD=AD?tan∠BAD≈280×2.4=672海里，∴BC=BD﹣CD≈672﹣210=462海里．設(shè)強臺風(fēng)移動到漁船C后面200海里時所需時間為x小時，根據(jù)題意得〔40﹣18〕x=462﹣200，解得x=11，∵11＜11，∴漁船能順利躲避本次臺風(fēng)的影響．點評：此題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題，難度中等，求出強臺風(fēng)移動到漁船C后面200海里時所需時間是解題的關(guān)鍵．21．〔9分〕〔2024?萊蕪〕如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，分別以AB，AC為直角邊向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，G為BD的中點，連接CG，BE，CD，BE與CD交于點F．〔1〕判斷四邊形ACGD的形狀，并說明理由．〔2〕求證：BE=CD，BE⊥CD．考點：全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形；平行四邊形的判定．專題：證明題．分析：〔1〕利用等腰直角三角形的性質(zhì)易得BD=2BC，因為G為BD的中點，可得BG=BC，由∠CGB=45°，∠ADB=45得AD∥CG，由∠CBD+∠ACB=180°，得AC∥BD，得出四邊形ACGD為平行四邊形；〔2〕利用全等三角形的判定證得△DAC≌△BAE，由全等三角形的性質(zhì)得BE=CD；首先證得四邊形ABCE為平行四邊形，再利用全等三角形的判定定理得△BCE≌△CAD，易得∠CBE=∠ACD，由∠ACB=90°，易得∠CFB=90°，得出結(jié)論．解答：〔1〕解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴AB=BC，∵△ABD和△ACE均為等腰直角三角形，∴BD==BC=2BC，∵G為BD的中點，∴BG=BD=BC，∴△CBG為等腰直角三角形，∴∠CGB=45°，∵∠ADB=45°，AD∥CG，∵∠ABD=45°，∠ABC=45°∴∠CBD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠CBD+∠ACB=180°，∴AC∥BD，∴四邊形ACGD為平行四邊形；〔2〕證明：∵∠EAB=∠EAC+∠CAB=90°+45°=135°，∠CAD=∠DAB+∠BAC=90°+45°=135°，∴∠EAB=∠CAD，在△DAC與△BAE中，，∴△DAC≌△BAE，∴BE=CD；∵∠EAC=∠BCA=90°，EA=AC=BC，∴四邊形ABCE為平行四邊形，∴CE=AB=AD，在△BCE與△CAD中，，∴△BCE≌△CAD，∴∠CBE=∠ACD，∵∠ACD+∠BCD=90°，∴∠CBE+∠BCD=90°，∴∠CFB=90°，即BE⊥CD．點評：此題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形和全等三角形的判定及性質(zhì)定理，綜合運用各種定理是解答此題的關(guān)鍵．22．〔10分〕〔2024?萊蕪〕今年我市某公司分兩次采購了一批大蒜，第一次花費40萬元，第二次花費60萬元．第一次采購時每噸大蒜的價格比去年的平均價格上漲了500元，第二次采購時每噸大蒜的價格比去年的平均價格下降了500元，第二次的采購數(shù)量是第一次采購數(shù)量的兩倍．〔1〕試問去年每噸大蒜的平均價格是多少元？〔2〕該公司可將大蒜加工成蒜粉或蒜片，假設(shè)單獨加工成蒜粉，每天可加工8噸大蒜，每噸大蒜獲利1000元；假設(shè)單獨加工成蒜片，每天可加工12噸大蒜，每噸大蒜獲利600元．由于出口需要，所有采購的大蒜必需在30天內(nèi)加工完畢，且加工蒜粉的大蒜數(shù)量不少于加工蒜片的大蒜數(shù)量的一半，為獲得最大利潤，應(yīng)將多少噸大蒜加工成蒜粉？最大利潤為多少？考點：一元一次不等式組的應(yīng)用；分式方程的應(yīng)用．分析：〔1〕設(shè)去年每噸大蒜的平均價格是x元，那么第一次采購的平均價格為〔x+500〕元，第二次采購的平均價格為〔x﹣500〕元，根據(jù)第二次的采購數(shù)量是第一次采購數(shù)量的兩倍，據(jù)此列方程求解；〔2〕先求出今年所采購的大蒜數(shù)，根據(jù)采購的大蒜必需在30天內(nèi)加工完畢，蒜粉的大蒜數(shù)量不少于加工蒜片的大蒜數(shù)量的一半，據(jù)此列不等式組求解，然后求出最大利潤．解答：解：〔1〕設(shè)去年每噸大蒜的平均價格是x元，由題意得，×2=，解得：x=3500，經(jīng)檢驗：x=3500是原分式方程的解，且符合題意，答：去年每噸大蒜的平均價格是3500元；〔2〕由〔1〕得，今年的大蒜數(shù)為：×3=300〔噸〕，設(shè)應(yīng)將m噸大蒜加工成蒜粉，那么應(yīng)將〔300﹣m〕噸加工成蒜片，由題意得，，解得：100≤m≤120，總利潤為：1000m+600〔300﹣m〕=400m+180000，當(dāng)m=120時，利潤最大，為228000元．答：應(yīng)將120噸大蒜加工成蒜粉，最大利潤為228000元．點評：此題考查了分式方程和一元一次不等式耳朵應(yīng)用，解答此題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出適宜的等量關(guān)系，列方程求解．23．〔10分〕〔2024?萊蕪〕如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上任一點〔不與A，B重合〕，AB⊥CD于E，BF為⊙O的切線，OF∥AC，連結(jié)AF，F(xiàn)C，AF與CD交于點G，與⊙O交于點H，連結(jié)CH．〔1〕求證：FC是⊙O的切線；〔2〕求證：GC=GE；〔3〕假設(shè)cos∠AOC=，⊙O的半徑為r，求CH的長．考點：圓的綜合題．專題：計算題．分析：〔1〕首先根據(jù)OF∥AC，OA=OC，判斷出∠BOF=∠COF；然后根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出△BOF≌△COF，推得∠OCF=∠OBF=90°，再根據(jù)點C在⊙O上，即可判斷出FC是⊙O的切線．〔2〕延長AC、BF交點為M．由△BOF≌△COF可知：BF=CF然后再證明：FM=CF，從而得到BF=MF，因為DC∥BM，所以△AEG∽△ABF，△AGC∽△AFM，然后依據(jù)相似三角形的性質(zhì)可證GC=GE；〔3〕因為cos∠AOC=，OE=，AE=．由勾股定理可求得EC=．AC=．因為EG=GC，所以EG=．由〔2〕可知△AEG∽△ABF，可求得CF=BF=．在Rt△ABF中，由勾股定理可求得AF=3r．然后再證明△CFH∽△AFC，由相似三角形的性質(zhì)可求得CH的長．解答：〔1〕證明：∵OF∥AC，∴∠BOF=∠OAC，∠COF=∠OCA，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠BOF=∠COF，在△BOF和△COF中，，∴△BOF≌△COF，∴∠OCF=∠OBF=90°，又∵點C在⊙O上，∴FC是⊙O的切線．〔2〕如以以以下圖：延長AC、BF交點為M．由〔1〕可知：△BOF≌△COF，∴∠OFB=∠CFO，BF=CF．∵AC∥OF，∴∠M=∠OFB，∠MCF=∠CFO．∴∠M=∠MCF．∴CF=MF．∴BF=FM．∵DC∥BM，∴△AEG∽△ABF，△AGC∽△AFM．∴，．∴又∵BF=FM，∴EG=GC．〔3〕如以以以下圖所示：∵cos∠AOC=，∴OE=，AE=．在Rt△GOC中，EC==．在Rt△AEC中，AC==．∵EG=GC，∴EG=．∵△AEG∽△ABF，∴，即．∴BF=．∴CF=．在Rt△ABF中，AF===3r．∵CF是⊙O的切線，AC為弦，∴∠HCF=∠HAC．又∵∠CFH=∠AFC，∴△CFH∽△AFC．∴，即：．∴CH=．點評：此題主要考查的是圓的綜合應(yīng)用，同時還涉及了勾股定理，銳角三角形函數(shù)，相似三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，證得BF=FM