人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)舉一反三專題21.5期末復(fù)習(xí)之選擇壓軸題十五大題型總結(jié)(學(xué)生版+解析)(八年級(jí)下冊(cè))

專題21.5期末復(fù)習(xí)之選擇壓軸題十五大題型總結(jié)【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1二次根式的化簡(jiǎn)求值】 1【題型2二次根式的值是整數(shù)】 2【題型3由勾股定理求最值】 2【題型4由勾股定理求面積】 3【題型5由勾股定理的逆定理判斷三角形形狀】 4【題型6由平行四邊形的性質(zhì)求解】 5【題型7矩形、菱形、正方形中的翻折問題】 6【題型8矩形、菱形、正方形中的動(dòng)點(diǎn)問題】 7【題型9動(dòng)點(diǎn)問題函數(shù)圖像】 8【題型10一次函數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用】 10【題型11一次函數(shù)中的行程問題】 11【題型12與一次函數(shù)有關(guān)的幾何應(yīng)用】 13【題型13數(shù)式或圖形中新定義問題】 14【題型14數(shù)式或圖形中規(guī)律問題】 15【題型15數(shù)式或圖形中多結(jié)論問題】 17【題型1二次根式的化簡(jiǎn)求值】【例1】（2024八年級(jí)·河南洛陽·期末）設(shè)a為3+5?3?5的小數(shù)部分，b為6+33?6?3A．6+2?1 B．6?2+1【變式1-1】（2024八年級(jí)··北京朝陽·期末）已知實(shí)數(shù)x，y滿足（x-x2?2008）（y-y2-2008）=2008，則3x2-2y2+3A．-2008 B．2008 C．-1 D．1【變式1-2】（2024八年級(jí)·安徽蕪湖·自主招生）當(dāng)x=4時(shí)，x?23x2A．1 B．3 C．2 D．3【變式1-3】（2024八年級(jí)·湖北武漢·期末）已知x＝12020?2019，則x6﹣22019x5﹣x4＋x3﹣22020x2＋2x﹣2020A．0 B．1 C．2019 D．2020【題型2二次根式的值是整數(shù)】【例2】（2024八年級(jí)·江蘇泰州·期末）已知m、n是正整數(shù)，若2m+5A．（2，5） B．（8，20） C．（2，5），（8，20） D．以上都不是【變式2-1】（2024八年級(jí)·重慶巴南·期末）如果關(guān)于x的不等式組x?m2>0,x?23?x<?2的解集為x>2，且式子3?A．5 B．4 C．3 D．2【變式2-2】（2024八年級(jí)·北京朝陽·期末）若12?n是整數(shù)，則滿足條件的自然數(shù)n共有（

）個(gè)A．1 B．2 C．3 D．4【變式2-3】（2024八年級(jí)·河北邢臺(tái)·期末）已知18x+2x2+2x=m，若A．10 B．8 C．4 D．?25【題型3由勾股定理求最值】【例3】（2024八年級(jí)·山東煙臺(tái)·期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，D為BC的中點(diǎn)，在AC邊上存在一點(diǎn)E，連接ED，EB，則△BDE周長(zhǎng)的最小值是（

A．5+1 B．3 C．5 D．【變式3-1】（2024八年級(jí)·遼寧朝陽·期末）如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，AB=4，BC=2，G是AD的中點(diǎn)，線段EF在邊AB上左右滑動(dòng)，若EF=1，則GE+CF的最小值為（

）

A．23 B．22 C．32【變式3-2】（2024八年級(jí)·江蘇蘇州·期末）如圖，在邊長(zhǎng)為4的等邊△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AD上，連接BE，在BE的下方作等邊△BEF，連接DF，當(dāng)DF最小時(shí)，AE的長(zhǎng)度為（

）．A．2 B．2 C．3 D．3【變式3-3】（2024八年級(jí)·重慶忠縣·期末）如圖，已知線段AB=4，∠BAC=15°，點(diǎn)E為AC邊上動(dòng)點(diǎn)，則22AE+2

A．2 B．22 C．23【題型4由勾股定理求面積】【例4】（2024八年級(jí)·江蘇泰州·期末）大約在公元222年，趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時(shí)，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（如圖1）．某數(shù)學(xué)興趣小組類比“趙爽弦圖”構(gòu)造出圖2：△ABC為等邊三角形，AD、BE、CF圍成的△DEF也是等邊三角形．已知點(diǎn)D、E、F分別是BE、CF、AD的中點(diǎn)，若△ABC的面積為14，則△DEF的面積是（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【變式4-1】（2024八年級(jí)·浙江溫州·期末）如圖，以Rt△ABC的三條邊作三個(gè)正三角形，∠ACB=90°，則S1、SA．S1+S2+S3=【變式4-2】（2024八年級(jí)·陜西西安·期末）如圖，分別以Rt△ACB的直角邊AB和斜邊AC為邊向外作正方形ABGF和正方形ACDE，連結(jié)EF．已知CB=6，EF=10，則△AEF的面積為（

A．63 B．83 C．24【變式4-3】（2024八年級(jí)·浙江紹興·期末）已知△ABC中，AB=AC=5，BC=6，點(diǎn)O是兩個(gè)底角的角平分線交點(diǎn)，點(diǎn)P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面積分別記為S0,S1,A．53 B．2 C．196 【題型5由勾股定理的逆定理判斷三角形形狀】【例5】（2024八年級(jí)·河南許昌·期末）若a，b，c為△ABC的三條邊，滿足a2+bA．等邊三角形 B．等腰三角形 C．鈍角三角形 D．直角三角形【變式5-1】（2024八年級(jí)·安徽合肥·期末）一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)都是整數(shù)，它的周長(zhǎng)為12，則這個(gè)三角形的形狀是（）A．直角三角形 B．等邊三角形 C．等腰三角形 D．以上三種情況都有可能【變式5-2】（2024八年級(jí)·山東煙臺(tái)·期末）設(shè)三角形的三邊a、b、c滿足a4A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等邊三角形 D．無法確定【變式5-3】（2024八年級(jí)·河南南陽·期末）已知△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c且a+b=4,ab=1,c=14，則△ABC的形狀為（

A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形【題型6由平行四邊形的性質(zhì)求解】【例6】（2024八年級(jí)·安徽淮北·期末）如圖，點(diǎn)P為平行四邊形ABCD外一點(diǎn)，連接PA，PB，PC，PD，若△PAB的面積為8，△PAD的面積為4，△PCD的面積為7，則△PBC的面積為（

）．

A．21 B．19 C．17 D．15【變式6-1】（2024八年級(jí)·江蘇無錫·期末）已知在平行四邊形ABCD中，AB=32，AD=6,∠ABC=45°，點(diǎn)E在AD上，BE=DE，將△ABD沿BD翻折到△FBD，連接EF，則EF的長(zhǎng)為（

A．23 B．13 C．15 【變式6-2】（2024八年級(jí)·江蘇無錫·期末）□ABCD中，∠ABC的角平分線交線段AD于點(diǎn)E，DE=1，點(diǎn)F是BE中點(diǎn)，連接CF，過點(diǎn)F作FG⊥BC，垂足為G，設(shè)AB=x，若□ABCD的面積為8，F(xiàn)G的長(zhǎng)為整數(shù)，則整數(shù)x的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．1或3【變式6-3】（2024八年級(jí)·浙江杭州·期末）如圖在?ABCD中，∠ABC=60°，BC=2AB=8，點(diǎn)C關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)為E，連接BE交AD于點(diǎn)F，點(diǎn)G為CD的中點(diǎn)，BG．則△BEG的面積為（）A．163 B．143 C．83【題型7矩形、菱形、正方形中的翻折問題】【例7】（2024·陜西·期末）如圖，將矩形紙片ABCD的四個(gè)角向內(nèi)翻折，恰好拼成一個(gè)無縫隙無重疊的四邊形EFGH，若EH=3,EF=4，則邊BC的長(zhǎng)是（）A．4 B．5 C．8 D．10【變式7-1】（2024八年級(jí)·重慶涪陵·期末）如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，E是CD的中點(diǎn)，將△BCE沿BE翻折至△BFE，連接DF，則DF的長(zhǎng)度是（）A．55 B．255 C．3【變式7-2】（2024八年級(jí)·山東濟(jì)南·期末）如圖，邊長(zhǎng)2的菱形ABCD中，∠A=60°，點(diǎn)M是AD邊的中點(diǎn)，將菱形ABCD翻折，使點(diǎn)A落在線段CM上的點(diǎn)E處，折痕交AB于點(diǎn)N，則線段EC的長(zhǎng)為(A．6 B．6?1 C．7 D．【變式7-3】（2024八年級(jí)·江蘇宿遷·期末）如圖，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8．點(diǎn)O為矩形ABCD的對(duì)稱中心，點(diǎn)E為邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，連接EO并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)F．將四邊形AEFD沿著EF翻折，得到四邊形A'EFD'，邊A'E交邊BC于點(diǎn)G，連接

A．18－3 B．92+37 C．12?【題型8矩形、菱形、正方形中的動(dòng)點(diǎn)問題】【例8】（2024八年級(jí)·江蘇無錫·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知矩形ABCO，B4,3，點(diǎn)D為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以AD為邊在AD右側(cè)作等邊△ADE，連接OE，則OE的最小值為（

A．1 B．1.5 C．2 D．2.4【變式8-1】（2024八年級(jí)·吉林·期末）如圖，在菱形ABCD中，∠A＝60°，點(diǎn)E、F分別為AD、DC上的動(dòng)點(diǎn)，∠EBF＝60°，點(diǎn)E從點(diǎn)A向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過程中，AE+CF的長(zhǎng)度（）．A．逐漸增加 B．逐漸減小C．保持不變且與EF的長(zhǎng)度相等 D．保持不變且與AB的長(zhǎng)度相等【變式8-2】（2024八年級(jí)·河南信陽·期末）如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接OE并延長(zhǎng)交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，過點(diǎn)O作OQ⊥OP交CD于點(diǎn)F，交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，連接PQ．若點(diǎn)E恰好是OP中點(diǎn)時(shí)，則PQ的長(zhǎng)為（

）

A．2 B．2 C．5 D．10【變式8-3】（2024八年級(jí)·浙江紹興·期末）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正八邊形ABCDEFGH中，已知I，J，K，L分別是邊AH，BC，DE，F(xiàn)G上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足

A．4+22 B．2+22 C．4+2【題型9動(dòng)點(diǎn)問題函數(shù)圖像】【例9】（2014·北京·中考真題）已知點(diǎn)A為某封閉圖形邊界上一定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿其邊界順時(shí)針勻速運(yùn)動(dòng)一周．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x，線段AP的長(zhǎng)為y．表示y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象大致如右圖所示，則該封閉圖形可能是(

)A．B． C．D．【變式9-1】（2024八年級(jí)·山東濰坊·期末）如圖，在直角坐標(biāo)系中，有一矩形ABCD，長(zhǎng)AD=2，寬AB=1,AB//y軸，AD//x軸．點(diǎn)D坐標(biāo)為3,1，該矩形邊上有一動(dòng)點(diǎn)P，沿A→B→C→D→A運(yùn)動(dòng)一周，則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)yp與點(diǎn)P走過的路程s之間的函數(shù)關(guān)系用圖象表示大致是(

A． B．C． D．【變式9-2】（2024八年級(jí)·安徽蕪湖·期末）如圖1，⊙O過正方形ABCD的頂點(diǎn)A、D且與邊BC相切于點(diǎn)E，分別交AB、DC于點(diǎn)M、N．動(dòng)點(diǎn)P在⊙O或正方形ABCD的邊上以每秒一個(gè)單位的速度做連續(xù)勻速運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x，圓心O與P點(diǎn)的距離為y，圖2記錄了一段時(shí)間里y與x的函數(shù)關(guān)系，在這段時(shí)間里P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑為（

）A．從D點(diǎn)出發(fā)，沿弧DA→弧AM→線段BM→線段BCB．從B點(diǎn)出發(fā)，沿線段BC→線段CN→弧ND→弧DAC．從A點(diǎn)出發(fā)，沿弧AM→線段BM→線段BC→線段CND．從C點(diǎn)出發(fā)，沿線段CN→弧ND→弧DA→線段AB【變式9-3】（2024·河南平頂山·期末）如圖1，在△ABC中，∠ABC=60°．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿折線A→B→C勻速運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C后停止．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路程為x，線段AP的長(zhǎng)度為y，圖2是y隨x變化的關(guān)系圖像，其中M為曲線DE的最低點(diǎn)，則△ABC的面積為（

）A．43 B．433 C．2【題型10一次函數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用】【例10】（2024八年級(jí)·福建漳州·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y1＝m（x+3）?1（m≠0）和A．m≥34 B．m>34 C．m≤34且m≠0 D．m<3【變式10-1】（2024八年級(jí)·福建泉州·期末）如圖，直線y=ax+b與x軸交于A點(diǎn)4,0，與直線y=mx交于B點(diǎn)2,n，則關(guān)于x的一元一次方程ax?b=mx的解為（

）A．x=2 B．x=?2 C．x=4 D．x=?4【變式10-2】（2024八年級(jí)·福建福州·期末）一次函數(shù)y＝kx+b的部分自變量與相應(yīng)的函數(shù)值如表：xm2﹣mynp若滿足m＜1，n+p＝b2+4b+3，則n與p的大小關(guān)系為（）A．n＜p B．n≤p C．n＞p D．n≥p【變式10-3】（2024·陜西西安·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，將函數(shù)y=3x的圖象向上平移m個(gè)單位長(zhǎng)度，使其與y=?3x+6的交點(diǎn)在位于第二象限，則m的取值范圍為（

）A．m<6 B．m>6 C．m<2 D．m>2【題型11一次函數(shù)中的行程問題】【例11】（2024·重慶九龍坡·期末）甲乙兩車分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，甲車從A地勻速駛向B地，乙車從B地勻速駛向A地．兩車之間的距離y（單位：km）與兩車行駛的時(shí)間x（單位：h）之間的關(guān)系如圖所示，已知甲車的速度比乙車快20km/h．下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．A、B兩地相距360km B．甲車的速度為100km/hC．點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為185 D．當(dāng)甲車到B地時(shí)，甲乙兩車相距280【變式11-1】（2024八年級(jí)·重慶·期末）周末老張和小勝相約從各自的家出發(fā)去體育館打羽毛球，且老張家，小勝家，體育館順次在同一直線上，老張先從家出發(fā)4分鐘后來到小勝家和小勝匯合，匯合時(shí)間忽略不計(jì)，兩人以老張的速度一起走了4分鐘后，小勝發(fā)現(xiàn)自己裝備帶錯(cuò)了需回家換裝備，于是立即加速回家用了少許時(shí)間取了裝備后又以加速后的速度趕往體育館，老張仍以原速前行，結(jié)果小勝比老張?zhí)崆?分鐘到達(dá)體育館．若老張與小勝兩人和體育館之間的距離y（米）與小勝出發(fā)的時(shí)間x（分鐘）之間的函數(shù)圖象如圖所示．則以下說法錯(cuò)誤的是（

）．A．小勝加速后的速度為250米/分鐘B．老張用了24分鐘到達(dá)體育館C．小勝回家后用了0.6分鐘取裝備D．小勝取了裝備后追上老張時(shí)距離老張家3025米【變式11-2】（2024八年級(jí)·重慶·期末）已知A、B、C三地順次在同-直線上，甲、乙兩人均騎車從A地出發(fā)，向C地勻速行駛.甲比乙早出發(fā)5分鐘；甲到達(dá)B地并休息了2分鐘后，乙追上了甲.甲、乙同時(shí)從B地以各自原速繼續(xù)向C地行駛.當(dāng)乙到達(dá)C地后，乙立即掉頭并提速為原速的54倍按原路返回A地，而甲也立即提速為原速的二倍繼續(xù)向C地行駛，到達(dá)C地就停止.若甲、乙間的距離y(米)與甲出發(fā)的時(shí)間t(分)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則下列說法錯(cuò)誤的是（

A．甲、乙提速前的速度分別為300米/分、400米/分.B．A、C兩地相距7200米C．甲從A地到C地共用時(shí)26分鐘D．當(dāng)甲到達(dá)C地時(shí)，乙距A地6075米【變式11-3】（2024八年級(jí)·重慶·期末）已知甲，乙兩地相距480km，一輛出租車從甲地出發(fā)往返于甲乙兩地，一輛貨車沿同一條公路從乙地前往甲地，兩車同時(shí)出發(fā)，貨車途經(jīng)服務(wù)區(qū)時(shí)，停下來裝完貨物后，發(fā)現(xiàn)此時(shí)與出租車相距120km，貨車改變速度繼續(xù)出發(fā)23h后與出租車相遇．出租車到達(dá)乙地后立即按原路返回，結(jié)果比貨車早15分鐘到達(dá)甲地．如圖是兩車距各自出發(fā)地的距離ykm與貨車行駛時(shí)間xA．a(chǎn)=120B．點(diǎn)F的坐標(biāo)為8,0C．出租車從乙地返回甲地的速度為128D．出租車返回的過程中，貨車出發(fā)12517h或123【題型12與一次函數(shù)有關(guān)的幾何應(yīng)用】【例12】（2024·江蘇揚(yáng)州·中考真題）如圖，一次函數(shù)y=x+2的圖像與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，把直線AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°交x軸于點(diǎn)C，則線段AC長(zhǎng)為（

A．6+2 B．32 C．2+【變式12-1】（2024八年級(jí)·廣東深圳·期末）如圖，在直角坐標(biāo)系中，等腰Rt△ABO的O點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，A的坐標(biāo)是?8,0，直角頂點(diǎn)B在第二象限，等腰Rt△BCD的C點(diǎn)在y軸上移動(dòng)，我們發(fā)現(xiàn)直角頂點(diǎn)D點(diǎn)隨之在一條直線上移動(dòng)，這條直線的解析式是（

A．y=?2x+2 B．y=?12x+4 C．y=?3x?4【變式12-2】（2024·福建·期末）如圖，△ABC的頂點(diǎn)A(?8,0)，B(?2,8)，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，AB=AC，將△ABC向右平移得到△A'B'C'，若A．74,6 B．(3,6) C．72【變式12-3】（2024·河南·期末）如圖，正方形OABC中，點(diǎn)A（4，0），點(diǎn)D為AB上一點(diǎn)，且BD＝1，連接OD，過點(diǎn)C作CE⊥OD交OA于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作MN∥CE，交x軸于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（

）A．（5，0） B．（6，0） C．（254，0） D．（27【題型13數(shù)式或圖形中新定義問題】【例13】（2024八年級(jí)·江蘇鎮(zhèn)江·期末）定義：平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)A到x軸、y軸的距離和為2，則稱點(diǎn)A為“成雙點(diǎn)”．例如：如圖，點(diǎn)B?1.5,0.5到x軸、y軸的距離分別為0.5,1.5，距離和為2，則點(diǎn)B是“成雙點(diǎn)”，點(diǎn)C1,1,D?0.8,?1.2也是“成雙點(diǎn)”．一次函數(shù)y=kx+bk≠0的圖象l經(jīng)過點(diǎn)?3,?4，且圖象lA．23≤k≤2 B．45≤k≤2 C．【變式13-1】（2024·湖北武漢·八年級(jí)期末）如圖，由25個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的5×5的正方形點(diǎn)陣中，橫、縱方向相鄰的兩點(diǎn)之間的距離都是1個(gè)單位．定義：由點(diǎn)陣中的四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的平行四邊形叫做陣點(diǎn)平行四邊形．圖中以A，B為頂點(diǎn)，面積為4的陣點(diǎn)平行四邊形的個(gè)數(shù)為（

）A．6個(gè) B．7個(gè) C．9個(gè) D．11個(gè)【變式13-2】（2024八年級(jí)·福建三明·期末）對(duì)于實(shí)數(shù)a,b，定義符號(hào)mina,b其意義為：當(dāng)a≥b時(shí)，mina,b=b；當(dāng)a<b時(shí)，mina,b=a．例如：min{2,?1}=?1，若關(guān)于xA．1 B．43 C．53 【變式13-3】（2024八年級(jí)·江蘇連云港·期末）定義：我們把三角形某邊上中線的長(zhǎng)度與這邊中點(diǎn)到高的距離的比值稱為三角形某邊的“中高偏度值”．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=4,BC=3，則△ABC中AB邊的“中高偏度值”為（

A．247 B．257 C．125【題型14數(shù)式或圖形中規(guī)律問題】【例14】（2024八年級(jí)·廣東佛山·期末）等腰△ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，點(diǎn)A為原點(diǎn)，AB=4，CA=CB=3，把等腰△ABC沿x軸正半軸作無滑動(dòng)順時(shí)針翻轉(zhuǎn)，第一次翻轉(zhuǎn)到位置①，第二次翻轉(zhuǎn)到位置②，…，依此規(guī)律，第2021次翻轉(zhuǎn)后點(diǎn)B的坐標(biāo)是（）A．6734,0 B．673713,453【變式14-1】（2024八年級(jí)·廣東·期末）如圖是一個(gè)按某種規(guī)律排列的數(shù)陣：根據(jù)數(shù)陣排列的規(guī)律，第n（n是整數(shù)，且n≥4）行從左向右數(shù)第（n-3）個(gè)數(shù)是（用含n的代數(shù)式表示）（

）．A．n2?1 B．n2?2 C．【變式14-2】（2024·云南·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A1(?1,1)在直線y=x+b上，過點(diǎn)A1作A1B1⊥x軸于點(diǎn)B1，作等腰直角三角形A1B1B2(BA．(22019?1,C．(22020?1,【變式14-3】（2024八年級(jí)·四川資陽·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），四邊形OABC是菱形，∠AOC=60°，以O(shè)B為邊作菱形OBB1C1，使頂點(diǎn)B1在OC的延長(zhǎng)線上，再以O(shè)B1為邊作菱形OB1B2C2，使頂點(diǎn)B2在A．（?31011C．（?(3【題型15數(shù)式或圖形中多結(jié)論問題】【例15】（2024八年級(jí)·山東濟(jì)南·期末）如圖，在?ABCD中，AD=2AB，CE⊥AB，垂足E在線段AB上，F(xiàn)、G分別是AD、CE的中點(diǎn)，連接FG，EF、CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)H，則下列結(jié)論：①∠DCF=12∠BCD；②EF=CF：③S△BEC=2A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式15-1】（2024八年級(jí)·廣東湛江·期末）如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD的對(duì)角線BD上一點(diǎn)，PE⊥BC于點(diǎn)E，PF⊥CD于點(diǎn)F，連接EF，給出下列五個(gè)結(jié)論：①AP＝EF；②AP⊥EF；③∠PFE＝∠BAP；④PD＝EC；⑤PB2+PD2＝2PA2，正確結(jié)論是（）A．①③ B．①②③ C．①③⑤ D．①②③⑤【變式15-2】（2024八年級(jí)·浙江嘉興·期末）如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且CP=1，BP=2，AP=2，以CP為直角邊，點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)，作等腰Rt△DCP，下列結(jié)論：①點(diǎn)A與點(diǎn)D的距離為2；②AP⊥PC；③AB=22；④S△APBA．①②③ B．②④ C．①② D．②③④【變式15-3】（2024八年級(jí)·遼寧丹東·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線a，b相交于點(diǎn)C?①a⊥b；②C為線段BD中點(diǎn)；③△ABC≌△BOD；④點(diǎn)E的坐標(biāo)為0，A．1 B．2 C．3 D．4專題21.5期末復(fù)習(xí)之選擇壓軸題十五大題型總結(jié)【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1二次根式的化簡(jiǎn)求值】 1【題型2二次根式的值是整數(shù)】 4【題型3由勾股定理求最值】 6【題型4由勾股定理求面積】 11【題型5由勾股定理的逆定理判斷三角形形狀】 18【題型6由平行四邊形的性質(zhì)求解】 20【題型7矩形、菱形、正方形中的翻折問題】 26【題型8矩形、菱形、正方形中的動(dòng)點(diǎn)問題】 31【題型9動(dòng)點(diǎn)問題函數(shù)圖像】 37【題型10一次函數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用】 41【題型11一次函數(shù)中的行程問題】 44【題型12與一次函數(shù)有關(guān)的幾何應(yīng)用】 51【題型13數(shù)式或圖形中新定義問題】 56【題型14數(shù)式或圖形中規(guī)律問題】 61【題型15數(shù)式或圖形中多結(jié)論問題】 66【題型1二次根式的化簡(jiǎn)求值】【例1】（2024八年級(jí)·河南洛陽·期末）設(shè)a為3+5?3?5的小數(shù)部分，b為6+33A．6+2?1 B．6?2+1【答案】B【分析】首先分別化簡(jiǎn)所給的兩個(gè)二次根式，分別求出a、b對(duì)應(yīng)的小數(shù)部分，然后化簡(jiǎn)、運(yùn)算、求值，即可解決問題．【優(yōu)尖升-詳解】3+===∴a的小數(shù)部分為2-6+3===∴b的小數(shù)部分為6-2∴2b故選：B．【點(diǎn)睛】該題主要考查了二次根式的化簡(jiǎn)與求值問題；解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用二次根式的運(yùn)算法則來分析、判斷、解答．【變式1-1】（2024八年級(jí)··北京朝陽·期末）已知實(shí)數(shù)x，y滿足（x-x2?2008）（y-y2-2008）=2008，則3x2-2y2+3A．-2008 B．2008 C．-1 D．1【答案】D【優(yōu)尖升-詳解】由（x-x2?2008）（y-那么說明x=y是方程的一個(gè)解由此可以解得x=y=2008，或者x=y=-2008，則3x2-2y2+3x-3y-2007=1，故選D.【變式1-2】（2024八年級(jí)·安徽蕪湖·自主招生）當(dāng)x=4時(shí)，x?23x2A．1 B．3 C．2 D．3【答案】A【分析】根據(jù)分式的運(yùn)算法則以及二次根式的性質(zhì)即可求出答案．【優(yōu)尖升-詳解】解：原式=x?2=將x=4代入得，原式=====1.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查分式的運(yùn)算以及二次根式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用分式的運(yùn)算法則以及觀察出分母可以開根號(hào)，本題屬于較難題型．【變式1-3】（2024八年級(jí)·湖北武漢·期末）已知x＝12020?2019，則x6﹣22019x5﹣x4＋x3﹣22020x2＋2x﹣2020A．0 B．1 C．2019 D．2020【答案】C【分析】對(duì)已知進(jìn)行變形，再代入所求式子，反復(fù)代入即可．【優(yōu)尖升-詳解】∵x=1∴x=x=x=x=x=x=?x+2x?2020=x?2020=2019故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，對(duì)所求式子進(jìn)行變形，反復(fù)代入x的值即可解決．【題型2二次根式的值是整數(shù)】【例2】（2024八年級(jí)·江蘇泰州·期末）已知m、n是正整數(shù)，若2m+5A．（2，5） B．（8，20） C．（2，5），（8，20） D．以上都不是【答案】C【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)分析即可得出答案．【優(yōu)尖升-詳解】解：∵2m+5∴m=2，n=5或m=8，n=20，當(dāng)m=2，n=5時(shí)，原式=2是整數(shù)；當(dāng)m=8，n=20時(shí)，原式=1是整數(shù)；即滿足條件的有序數(shù)對(duì)（m，n）為（2，5）或（8，20），故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)和二次根式的運(yùn)算，估算無理數(shù)的大小的應(yīng)用，題目比較好，有一定的難度．【變式2-1】（2024八年級(jí)·重慶巴南·期末）如果關(guān)于x的不等式組x?m2>0,x?23?x<?2的解集為x>2，且式子3?A．5 B．4 C．3 D．2【答案】C【分析】先求出兩個(gè)不等式的解集，根據(jù)不等式組的解集為x>2可得出m≤2，再由式子3?m【優(yōu)尖升-詳解】解：解不等式x?m2解不等式x?23∵不等式組解集為x＞2，∴m≤2，∵式子3?m則|m|=3或2，∴m=-3，3，2或-2，由m≤2得，m=-3，-2或2．即符合條件的所有整數(shù)m的個(gè)數(shù)是3個(gè)．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式組以及二次根式的性質(zhì)，熟練運(yùn)用一元一次不等式組的解法是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2024八年級(jí)·北京朝陽·期末）若12?n是整數(shù)，則滿足條件的自然數(shù)n共有（

）個(gè)A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】本題主要考查了對(duì)二次根式的定義的應(yīng)用，關(guān)鍵是能根據(jù)已知求出n．根據(jù)二次根式的意義求出n≤12，在此范圍內(nèi)要使12?n是整數(shù)，n只能是3或8或11或12，求出即可．【優(yōu)尖升-詳解】解：∵要使12?n有意義；必須12?n≥0，解得n≤12；∵12?n是整數(shù)；∴n只能是3或8或11或12；∴滿足條件的n有4個(gè)故選：D．【變式2-3】（2024八年級(jí)·河北邢臺(tái)·期末）已知18x+2x2+2x=m，若A．10 B．8 C．4 D．?25【答案】A【分析】由18x+2x2+2x=m，可得32x【優(yōu)尖升-詳解】解：∵18x+2∴32x+2x∵x的值為整數(shù)，∴m是5的倍數(shù)，且為正值，∴m的值可能為10，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的加減運(yùn)算．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握．【題型3由勾股定理求最值】【例3】（2024八年級(jí)·山東煙臺(tái)·期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，D為BC的中點(diǎn)，在AC邊上存在一點(diǎn)E，連接ED，EB，則△BDE周長(zhǎng)的最小值是（

A．5+1 B．3 C．5 D．【答案】A【分析】由D為BC的中點(diǎn)可知BD=1．要求△BDE周長(zhǎng)的最小值，就要求DE+BE的最小值，

過點(diǎn)B作BO⊥AC于O，延長(zhǎng)BO到B'，使OB'=OB，則B'、B關(guān)于AC對(duì)稱．連接DB'交AC此題考查了線路最短的問題，確定動(dòng)點(diǎn)E的位置時(shí)，使DE+BE的值最小是關(guān)鍵．【優(yōu)尖升-詳解】

過點(diǎn)B作BO⊥AC于O，延長(zhǎng)BO到B'，使OB'=OB，則B'、B關(guān)于連接DB'交AC于E，此時(shí)連接CB∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2∴∠A=∠BCA=45°．又∵BO=B'O∴CB'=CB=2∴∠B∵D為BC的中點(diǎn)，BC=2，∴BD=CD=1，∴DB∴△BDE周長(zhǎng)的最小值=DB'+BD=5故選：A【變式3-1】（2024八年級(jí)·遼寧朝陽·期末）如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，AB=4，BC=2，G是AD的中點(diǎn)，線段EF在邊AB上左右滑動(dòng)，若EF=1，則GE+CF的最小值為（

）

A．23 B．22 C．32【答案】C【分析】將FC沿著FE向左平移使F與E重合，得到C'E，根據(jù)動(dòng)點(diǎn)最值問題“將軍飲馬”模型，作G關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)G'，連接C'G【優(yōu)尖升-詳解】解：將FC沿著FE向左平移使F與E重合，得到C'

由平移性質(zhì)得到EC∴GE+CF=GE+EC作G關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)G'，連接C

∴由對(duì)稱性得到G'∴GE+CF=GE+EC由圖可知，GE+CF=GE+EC'=G'E+EC∵EF=1，∴CC在長(zhǎng)方形ABCD中，AB=4，BC=2，由矩形性質(zhì)可得AD=BC=2,AB=DC=4，∴DC∵G是AD的中點(diǎn)，∴GA=1∵G與G'關(guān)于AB∴AG在長(zhǎng)方形ABCD中，∠D=90°，∴在Rt△G'DC'中，∠D=90°，∴GE+CF的最小值32故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查動(dòng)點(diǎn)最值問題-將軍飲馬模型，涉及平移性質(zhì)、對(duì)稱性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握動(dòng)點(diǎn)最值問題-將軍飲馬模型題型的識(shí)別及做題方法步驟是解決問題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2024八年級(jí)·江蘇蘇州·期末）如圖，在邊長(zhǎng)為4的等邊△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AD上，連接BE，在BE的下方作等邊△BEF，連接DF，當(dāng)DF最小時(shí)，AE的長(zhǎng)度為（

）．A．2 B．2 C．3 D．3【答案】C【分析】連接CF，證得△ABE≌△CBF，通過全等的性質(zhì)，再利用點(diǎn)到線的距離垂線段最短以及勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可得出答案．【優(yōu)尖升-詳解】解：連接CF∵等邊△ABC邊長(zhǎng)為4，D是BC的中點(diǎn)，∠ABD=∠EBF=60°，∴∠BAD=30°，CD=12BC=2在△ABE和△CBF中，AB=CB∴△ABE≌△CBF(SAS∴∠BCF=∠BAD=30°，AE=CF，當(dāng)DF最小時(shí)，DF⊥FC，此時(shí)DF=1在Rt△CDF中，∴AE=故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形、全等三角形的判定和性質(zhì)，以及直角三角形30°角的性質(zhì)和勾股定理，牢固掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2024八年級(jí)·重慶忠縣·期末）如圖，已知線段AB=4，∠BAC=15°，點(diǎn)E為AC邊上動(dòng)點(diǎn)，則22AE+2

A．2 B．22 C．23【答案】C【分析】以AE為斜邊向下作等腰直角三角形AEF，得出EF=22AE，進(jìn)而將22AE+【優(yōu)尖升-詳解】如圖所示，以AE為斜邊向下作等腰直角三角形AEF，連BF，

由勾股定理得AF∵AF=EF，∴EF=2∴22∵BE+EF≥BF，∴當(dāng)22AE+2BE最小即BE+EF取最小值時(shí)，E必在線段BF上，即最小值為線段

∵∠BAC=15°，∴∠BAF=60°，∴在Rt△AFB中，∠ABF=90°?60°=30°∴AF=1∴BF=4∴22AE+2故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，作出輔助線是解決此題的關(guān)鍵．【題型4由勾股定理求面積】【例4】（2024八年級(jí)·江蘇泰州·期末）大約在公元222年，趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時(shí)，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（如圖1）．某數(shù)學(xué)興趣小組類比“趙爽弦圖”構(gòu)造出圖2：△ABC為等邊三角形，AD、BE、CF圍成的△DEF也是等邊三角形．已知點(diǎn)D、E、F分別是BE、CF、AD的中點(diǎn)，若△ABC的面積為14，則△DEF的面積是（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】連接BF，由題意知S△ABD=S△AFC=S△BEC，再由點(diǎn)D、E、F分別是BE、CF、AD【優(yōu)尖升-詳解】解：連接BF，如圖所示：

∵點(diǎn)D、E、F分別是BE、CF、AD的中點(diǎn)，∴S△BDF=∵△ABC為等邊三角形，△DEF也是等邊三角形，∴AB=BC=AC,DE=EF=DF,∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°,∠FED=∠FDE=∠EFD=60°，∴∠ABD+∠CBD=60°，∵∠FDE是△ABD∴∠BAD+∠ABD=60°，∵∠FED是△BCE∴∠CBE+∠BCE=60°，∴∠BAD=∠CBE,∠ABD=∠BCE，在△ABD和△∠BAD=∠CBEAB=BC∴△同理，可得△ABD∴S∴S△ABD∴S∵S∴7S△DEF=故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查求三角形面積，涉及等邊三角形的性質(zhì)，中點(diǎn)性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，正確作出輔助線，得出S△ABC【變式4-1】（2024八年級(jí)·浙江溫州·期末）如圖，以Rt△ABC的三條邊作三個(gè)正三角形，∠ACB=90°，則S1、SA．S1+S2+S3=【答案】C【分析】先推導(dǎo)出正三角形的面積公式，設(shè)Rt△ABC的三邊為：AC=b，AB=C，BC=a，根據(jù)勾股定理有：a2+b2=c2，則根據(jù)上述所推出的正三角形的面積公式，可知△AGC、△AFB、△BCH的面積分別為：34b2、34【優(yōu)尖升-詳解】正△XYZ的邊長(zhǎng)為u，過頂點(diǎn)x作XV⊥YZ，V為垂足，如圖，在正△XYZ中，有∠Y=60°，XZ=XY=YZ=u，∵XV⊥YZ，∴YV=VZ=12YZ=∴在Rt△XYV中，有XV=X∴正△XYZ的面積為：S=1如圖，可知△AGC、△AFB、△BCH是正三角形，設(shè)Rt△ABC的三邊為：AC=b，AB=C，BC=a，根據(jù)勾股定理有：a2則根據(jù)上述所推出的正三角形的面積公式，可知△AGC、△AFB、△BCH的面積分別為：34b2、3則根據(jù)上圖有：S1+S5=即有S1∵a2∴S1即S1故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、等邊三角形的面積等知識(shí)，正確識(shí)別圖形是解答本題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2024八年級(jí)·陜西西安·期末）如圖，分別以Rt△ACB的直角邊AB和斜邊AC為邊向外作正方形ABGF和正方形ACDE，連結(jié)EF．已知CB=6，EF=10，則△AEF的面積為（

A．63 B．83 C．24【答案】D【分析】連接CE,CF,BE,BF，設(shè)BE,CF交于點(diǎn)M，AC,BE交于點(diǎn)N，證明△ABE≌△AFCSAS，進(jìn)而證明CF⊥BE，根據(jù)勾股定理得出AB2=16，AC2=52，過點(diǎn)A作【優(yōu)尖升-詳解】解：如圖，連接CE,CF,BE,BF，設(shè)BE,CF交于點(diǎn)M，AC,BE交于點(diǎn)N，∵四邊形ACDE,ABGF是正方形，∴AC=AE,AB=AF，∠EAC=∠FAB=90°∴∠EAC+∠CAB=∠BAF+∠CAB即∠EAB=∠CAF，∴△ABE≌△AFCSAS，∴∠ACF=∠AEB，∵∠CNE=∠CMN+∠ACF=∠NAE+∠AEB，∴∠CMN=∠NAE=90°，即CF⊥BE，∴CM2+B∴C∴BF又∵EC=2∴2A又∵AC解得：AB2=16∴AF=AB=4,AE=AC=213過點(diǎn)A作AT⊥EF于點(diǎn)T，設(shè)ET=x∴A即52?x解得：x=∴AT=∴S△AEF故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，證明CF⊥BE是解題的關(guān)鍵．【變式4-3】（2024八年級(jí)·浙江紹興·期末）已知△ABC中，AB=AC=5，BC=6，點(diǎn)O是兩個(gè)底角的角平分線交點(diǎn)，點(diǎn)P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面積分別記為S0,S1,A．53 B．2 C．196 【答案】C【分析】當(dāng)點(diǎn)P在AB的左側(cè)時(shí)，根據(jù)S1+S2+S3=116S0，可得S1=512S0，過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理可得BD=12BC=3，AD=4，從而得到S1=512S0=5，過點(diǎn)P作AB的平行線PM，過點(diǎn)O作OT⊥AB于點(diǎn)R，交PM于點(diǎn)T，連接OB，則OT⊥PM，可得點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線PM，再由S△ABP=S1=12AB?TR=5，可得TR=2，再由點(diǎn)O是兩個(gè)底角的角平分線交點(diǎn)，AD平分∠BAC，可得AD過點(diǎn)【優(yōu)尖升-詳解】解：當(dāng)點(diǎn)P在AB的左側(cè)時(shí)，∵S△PAB∴S1∵S1∴S1∴S1過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，∵AB=AC=5，BC=6，∴BD=12BC=3，AD∴AD=A∴S0∴S1過點(diǎn)P作AB的平行線PM，過點(diǎn)O作OT⊥AB于點(diǎn)R，交PM于點(diǎn)T，連接OB，則OT⊥PM，∵△PAB的面積是定值，∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線PM，∵S△ABP∴TR=2，∵點(diǎn)O是兩個(gè)底角的角平分線交點(diǎn)，AD平分∠BAC，∴AD過點(diǎn)O，∴OR=OD，∵OB=OB，∴Rt△BOD≌∴BR=BD=3，∴AR=2，設(shè)OD=OR=x，則AO=4?x，在Rt△AOR中，A∴22+x即OR=3∴OT=OR+TR=7∵OP≥OT，∴OP的最小值為72當(dāng)點(diǎn)P在AC的右側(cè)時(shí)，同理OP的最小值為72當(dāng)點(diǎn)P在直線BC的下方時(shí)，同理OP的最小值為196∵196∴OP的最小值為196故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，利用分類討論思想解答，根據(jù)題意得到點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵．【題型5由勾股定理的逆定理判斷三角形形狀】【例5】（2024八年級(jí)·河南許昌·期末）若a，b，c為△ABC的三條邊，滿足a2+bA．等邊三角形 B．等腰三角形 C．鈍角三角形 D．直角三角形【答案】D【分析】此題考查了完全平方公式，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次冪的非負(fù)性，以及勾股定理的逆定理，是一道綜合性較強(qiáng)的試題．將已知等式適當(dāng)變形是解本題的關(guān)鍵．利用完全平方公式化簡(jiǎn)，根據(jù)非負(fù)數(shù)之和為0，每個(gè)加數(shù)分別為0得到a，b及c值，再根據(jù)勾股定理的逆定理判定出三角形的形狀即可．【優(yōu)尖升-詳解】解：∵aa∴a?6∴a?6=0，b?8=0，c?10=0，解得：a=6，b=8，c=10，∵a2+b∴a∴△ABC是直角三角形．故選：D．【變式5-1】（2024八年級(jí)·安徽合肥·期末）一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)都是整數(shù)，它的周長(zhǎng)為12，則這個(gè)三角形的形狀是（）A．直角三角形 B．等邊三角形 C．等腰三角形 D．以上三種情況都有可能【答案】D【分析】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，勾股定理的逆定理等知識(shí)點(diǎn)，設(shè)最長(zhǎng)邊為x，另外兩邊之和為y，則x+y=12；根據(jù)題意求出x的取值范圍是解題關(guān)鍵．【優(yōu)尖升-詳解】解：設(shè)最長(zhǎng)邊為x，另外兩邊之和為y，則x+y=12由三角形的三邊關(guān)系得：y>x，∴x+y>2x，即：x<6∵三角形的三邊長(zhǎng)都是整數(shù)，∴123≤x，即∴4≤x<6∴x可以取4或5，當(dāng)x=4時(shí)，三邊只能是4，4，4，為等邊三角形；當(dāng)x=5時(shí)，三邊有兩種情況：①3，4，5，為直角三角形，②5，5，2，為等腰三角形．故選：D【變式5-2】（2024八年級(jí)·山東煙臺(tái)·期末）設(shè)三角形的三邊a、b、c滿足a4A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等邊三角形 D．無法確定【答案】A【分析】本題考查了公式法分解因式，勾股定理的逆定理，正確分組并靈活運(yùn)用公式是解題的關(guān)鍵．把b4、c4、2b2c【優(yōu)尖升-詳解】解：a===(∵a4∴(∵a、b、c是三角形的三邊，∴a∴a2∴這個(gè)三角形是直角三角形，故選：A．【變式5-3】（2024八年級(jí)·河南南陽·期末）已知△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c且a+b=4,ab=1,c=14，則△ABC的形狀為（

A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形【答案】D【分析】本題考查勾股定理的逆定理的應(yīng)用．完全平方公式的應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2=【優(yōu)尖升-詳解】解：∵a+b=4，∴(a+b)∴a∵ab=1，∴a∵c∴a∴△ABC的形狀為直角三角形，故選：D．【題型6由平行四邊形的性質(zhì)求解】【例6】（2024八年級(jí)·安徽淮北·期末）如圖，點(diǎn)P為平行四邊形ABCD外一點(diǎn)，連接PA，PB，PC，PD，若△PAB的面積為8，△PAD的面積為4，△PCD的面積為7，則△PBC的面積為（

）．

A．21 B．19 C．17 D．15【答案】B【分析】過P作PF⊥BA交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，過P作PE⊥CD交CD延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，即EF為平行四邊形ABCD邊CD上的高；根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AB=CD,AD=BC，然后根據(jù)△PAB的面積為8，△PCD的面積為7可得四邊形ABCD的面積為30；過P作PH⊥BC交AD延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，利用面積關(guān)系即可解答．【優(yōu)尖升-詳解】解：過P作PF⊥BA交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，過P作PE⊥CD交CD延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，即EF為平行四邊形ABCD邊CD上的高∵平行四邊形ABCD，∴AB=CD,AD=BC∵△PAB的面積為8，△PCD的面積為7，∴12AB?PF=8,1∴四邊形ABCD的面積為：CD?EF=CD?PE+AB?PF=14+16=30;過P作PH⊥BC交AD延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，∵△PAD的面積為4，四邊形ABCD的面積為30，∴12AD·PG=4,∴△PBC的面積為12故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的面積、平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，正確作出輔助線、弄清楚各圖形間的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2024八年級(jí)·江蘇無錫·期末）已知在平行四邊形ABCD中，AB=32，AD=6,∠ABC=45°，點(diǎn)E在AD上，BE=DE，將△ABD沿BD翻折到△FBD，連接EF，則EF的長(zhǎng)為（

A．23 B．13 C．15 【答案】B【分析】過點(diǎn)B作BG⊥DA交DA延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，過點(diǎn)E作EH⊥BF于點(diǎn)H，先證明△ABG是等腰直角三角形，可得AG=BG=3，設(shè)AE=x，則BE=DE=6?x，EG=x+3，在Rt△BEG中，根據(jù)勾股定理可得AE=1，BE=4，從而得到BE=5，再由折疊的性質(zhì)可得∠ABD=∠FBD，BF=AB=32，再結(jié)合BE=DE，可得∠EBH=∠ABC=45°，從而得到△BEH是等腰直角三角形，可求出BH=EH=5【優(yōu)尖升-詳解】解：如圖，過點(diǎn)B作BG⊥DA交DA延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，過點(diǎn)E作EH⊥BF于點(diǎn)H，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴BG⊥BC，即∠GBC=90°，∵∠ABC=45°，∴∠ABG=45°，∴△ABG是等腰直角三角形，∴AG=BG，∵AB=32∴AG=BG=3，設(shè)AE=x，則BE=DE=6?x，EG=x+3，在Rt△BEG中，B∴32解得：x=1，∴AE=1，∴BE=4，∴BE=B∵將△ABD沿BD翻折到△FBD，∴∠ABD=∠FBD，BF=AB=32∵BE=DE，∴∠DBE=∠BDE，∵AD∥BC，∴∠BDE=∠CBD，∴∠DBE=∠CBD，∴∠ABE=∠CBF，∴∠EBH=∠ABC=45°，∴△BEH是等腰直角三角形，∴BH=EH=5∴HF=BF?BH=2∴EF=E故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，圖形的折疊，作適當(dāng)輔助線構(gòu)造等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2024八年級(jí)·江蘇無錫·期末）□ABCD中，∠ABC的角平分線交線段AD于點(diǎn)E，DE=1，點(diǎn)F是BE中點(diǎn)，連接CF，過點(diǎn)F作FG⊥BC，垂足為G，設(shè)AB=x，若□ABCD的面積為8，F(xiàn)G的長(zhǎng)為整數(shù)，則整數(shù)x的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．1或3【答案】C【分析】根據(jù)題意和平行四邊形的性質(zhì)，可以得到AD和AB的關(guān)系，然后根據(jù)□ABCD的面積為8，F(xiàn)G的長(zhǎng)為整數(shù)，從而可以得到整數(shù)x的值．【優(yōu)尖升-詳解】解：如圖所示，延長(zhǎng)GF交AD于點(diǎn)H，∵四邊形ABCD是平行四邊形，F(xiàn)G⊥BC，∴AD∥BC，∠FHE=∠FGB=90°，∴∠HEF=∠GBF，∵點(diǎn)F是BE中點(diǎn)，∴EF=BF，在△HEF和△GBF中，∠FHE=∠FGB∴△HEF≌△GBFAAS∴HF=GF，∴HG=2GF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠EBC，∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE，∵AB=x，∴AE=x，∵DE=1，∴AD=x+1，∵□ABCD的面積為8，F(xiàn)G的長(zhǎng)為整數(shù)，∴x+1·2GF=8即：x+1·GF=4∴整數(shù)x為0或1或3．當(dāng)x=0時(shí)，AB=0，不符合題意，舍去；當(dāng)x=1時(shí)，AB=1，AD=2，則此時(shí)平行四邊形的面積不可能是8，故舍去；∴x=3．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)和面積，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，等腰三角形的判定，不定方程等知識(shí)．解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．【變式6-3】（2024八年級(jí)·浙江杭州·期末）如圖在?ABCD中，∠ABC=60°，BC=2AB=8，點(diǎn)C關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)為E，連接BE交AD于點(diǎn)F，點(diǎn)G為CD的中點(diǎn)，BG．則△BEG的面積為（）A．163 B．143 C．83【答案】B【分析】如圖，取BC中點(diǎn)H，連接AH，連接EC交AD于N，作EM⊥CD交CD的延長(zhǎng)線于M．構(gòu)建S△BEG【優(yōu)尖升-詳解】解：如圖，取BC中點(diǎn)H，連接EC交AD于N，∵BC=2AB，BH=CH，∴BA=BH=CH，∴△ABH是等邊三角形，∴HA=HB=HC，∴∠BAC=90°，∴∠ACB=30°，∵EC⊥BC，∠BCD=180°?∠ABC=120°，∴∠ACE=60°，∠ECM=30°，∵BC=2AB=8，∴CD=4，CN=EN=23∴EC＝43∴S△BEG=1=163=143故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查平行四邊形的性質(zhì)、軸對(duì)稱圖形、勾股定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線構(gòu)造直角三角形解決問題．【題型7矩形、菱形、正方形中的翻折問題】【例7】（2024·陜西·期末）如圖，將矩形紙片ABCD的四個(gè)角向內(nèi)翻折，恰好拼成一個(gè)無縫隙無重疊的四邊形EFGH，若EH=3,EF=4，則邊BC的長(zhǎng)是（）A．4 B．5 C．8 D．10【答案】B【分析】利用三個(gè)角是直角的四邊形是矩形易證四邊形EFGH為矩形，那么由折疊可得HF的長(zhǎng)即為邊BC的長(zhǎng)．【優(yōu)尖升-詳解】解：∵∠HEM=∠AEH，∠BEF=∠FEM，∴∠HEF=∠HEM+∠FEM=1同理可得：∠EHG=∠HGF=∠EFG=90°，∴四邊形EFGH為矩形，∴GH=EF，GH//∴∠GHN=∠EFM，在ΔGHN和ΔEFM中∠GNH=∠EMF∠NHG=∠MFE∴ΔGHN?ΔEFM(AAS)，∴HN=MF=HD，∴AD=AH+HD=HM+MF=HF，HF=E∴BC=AD=5．故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了翻折變換的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，得出四邊形EFGH為矩形是解題關(guān)鍵．【變式7-1】（2024八年級(jí)·重慶涪陵·期末）如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，E是CD的中點(diǎn)，將△BCE沿BE翻折至△BFE，連接DF，則DF的長(zhǎng)度是（）A．55 B．255 C．3【答案】D【分析】由勾股定理可求BE的長(zhǎng)，由折疊的性質(zhì)可得CE＝EF＝2，BE⊥CF，F(xiàn)H＝CH，由面積法可求CH＝455，由勾股定理可求EH的長(zhǎng)，由三角形中位線定理可求DF＝2EH＝【優(yōu)尖升-詳解】解：如圖，連接CF，交BE于H，∵在正方形ABCD中，AB＝4，E是CD的中點(diǎn)，∴BC＝CD＝4，CE＝DE＝2，∠BCD＝90°，∴BE＝BC∵將△BCE沿BE翻折至△BFE，∴CE＝EF＝2，BE⊥CF，F(xiàn)H＝CH，∵S△BCE＝12×BE×CH＝1∴CH＝45∴EH=CE∵CE＝DE，F(xiàn)H＝CH，∴DF＝2EH＝45故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握折疊的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2024八年級(jí)·山東濟(jì)南·期末）如圖，邊長(zhǎng)2的菱形ABCD中，∠A=60°，點(diǎn)M是AD邊的中點(diǎn)，將菱形ABCD翻折，使點(diǎn)A落在線段CM上的點(diǎn)E處，折痕交AB于點(diǎn)N，則線段EC的長(zhǎng)為(A．6 B．6?1 C．7 D．【答案】D【分析】過點(diǎn)M作MF⊥DC于點(diǎn)F，根據(jù)在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，∠A=60°，M為AD中點(diǎn)，得到2MD=AD=CD=2，從而得到∠FDM=60°，∠FMD=30°，進(jìn)而利用銳角三角函數(shù)關(guān)系求出【優(yōu)尖升-詳解】如圖所示：過點(diǎn)M作MF⊥DC于點(diǎn)F，∵在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，∠A=60°，M為∴2MD=AD=CD=2，∠FDM=60∴∠FMD=30∴FD=1∴FM=DM×cos∴MC=F∵AM=ME=1,∴EC=MC?ME=7故選D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了菱形的性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)等知識(shí)，翻折變換(折疊問題)實(shí)質(zhì)上就是軸對(duì)稱變換，解題的關(guān)鍵是從題目中抽象出直角三角形，利用勾股定理計(jì)算求解．【變式7-3】（2024八年級(jí)·江蘇宿遷·期末）如圖，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8．點(diǎn)O為矩形ABCD的對(duì)稱中心，點(diǎn)E為邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，連接EO并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)F．將四邊形AEFD沿著EF翻折，得到四邊形A'EFD'，邊A'E交邊BC于點(diǎn)G，連接

A．18－3 B．92+37 C．12?【答案】D【分析】在EA上截取EM=EG，連接OM，證明△MOE≌△GOE，所以O(shè)M=OG，即可得OM最短時(shí)，OG也就最短，而當(dāng)OM⊥AB時(shí)，OM最短，且OM=4=OG，再過點(diǎn)O作OH⊥BC，得OH=3，又因?yàn)镺C=5，就可以根據(jù)勾股定理計(jì)算GH、HC的長(zhǎng)，從而計(jì)算出最小面積．【優(yōu)尖升-詳解】解：在EA上截取EM=EG，連接OM，

由折疊得：∠MEO=∠GEO，又∵EO=EO，∴△MOE≌△GOESAS∴OM=OG，∴OM最短時(shí)，OG也就最短，而當(dāng)OM⊥AB時(shí)，OM最短，此時(shí)，∵點(diǎn)O為矩形ABCD的對(duì)稱中心，∴OM=1即OG的最小值是4，在△OGC中，∵點(diǎn)O為矩形ABCD的對(duì)稱中心，∴OC長(zhǎng)度是矩形對(duì)角線長(zhǎng)度的一半，即是5，定值，∠BCO度數(shù)也不變，是定值，∴當(dāng)OG=4最小值時(shí)，ΔOGC過點(diǎn)O作OH⊥BC，∵點(diǎn)O為矩形ABCD的對(duì)稱中心，

∴OH=1∴Rt△OGH中，Rt△OHC中，HC=∴GC=GH+HC=7∴△OGC面積的最小值是12故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及垂線段最短等知識(shí)，解題關(guān)鍵是找到OG的最小值．【題型8矩形、菱形、正方形中的動(dòng)點(diǎn)問題】【例8】（2024八年級(jí)·江蘇無錫·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知矩形ABCO，B4,3，點(diǎn)D為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以AD為邊在AD右側(cè)作等邊△ADE，連接OE，則OE的最小值為（

A．1 B．1.5 C．2 D．2.4【答案】B【分析】以O(shè)A為邊在OA右側(cè)作等邊△AGO，連接EG并延長(zhǎng)交y軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)O作OH⊥GM于點(diǎn)H，利用全等三角形的性質(zhì)證明∠AOD=∠AGE=90°，所以∠AGM=90°，推出點(diǎn)E在過定點(diǎn)G且與AG垂直的直線上運(yùn)動(dòng)，即點(diǎn)E在直線MG上運(yùn)動(dòng)，求出OH的長(zhǎng)即可解決問題．【優(yōu)尖升-詳解】解：如圖，以O(shè)A為邊在OA右側(cè)作等邊△AGO，∴∠OAG=60°，連接EG并延長(zhǎng)交y軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)O作OH⊥GM于點(diǎn)H，在矩形ABCO中，∵B4,3∴OA=BC=3，AB=OC=4，∴OA=OG=AG=3，∵△ADE是等邊三角形，∴AD=AE，∠DAE=60°，∴∠OAG=∠DAE=60°，∵∠OAD=∠OAG?∠DAG，∠GAE=∠DAE?∠DAG，∴∠OAD=∠GAE，在△ADO和△AEG中，AD=AE∠OAD=∠GAE∴△ADO≌△AEGSAS∴∠AOD=∠AGE=90°，∴∠AGM=90°，∴點(diǎn)E在過定點(diǎn)G且與AG垂直的直線上運(yùn)動(dòng)，即點(diǎn)E在直線MG上運(yùn)動(dòng)，∵△AGO是等邊三角形，∴∠AGO=60°，∴∠OGH=90°?60°=30°，∵OH⊥GM，∴OH=1當(dāng)點(diǎn)E與H不重合時(shí)，OE>OH，當(dāng)點(diǎn)E與H重合時(shí)，OE=OH，綜上所述：OE≥OH，∴OE的最小值為1.5，故選：B．

【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，30°角的直角三角形的性質(zhì)，垂線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題．【變式8-1】（2024八年級(jí)·吉林·期末）如圖，在菱形ABCD中，∠A＝60°，點(diǎn)E、F分別為AD、DC上的動(dòng)點(diǎn)，∠EBF＝60°，點(diǎn)E從點(diǎn)A向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過程中，AE+CF的長(zhǎng)度（）．A．逐漸增加 B．逐漸減小C．保持不變且與EF的長(zhǎng)度相等 D．保持不變且與AB的長(zhǎng)度相等【答案】D【分析】證明△ABE≌△DBF（AAS），可得AE＝DF；結(jié)合圖形可知：AE+CF＝AB，AB是一定值，從而完成求解．【優(yōu)尖升-詳解】連接BD∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝CD，∵∠A＝60°∴△ABD是等邊三角形∴AB＝BD，∠ABD＝60°∵DC∥AB∴∠CDB＝∠ABD＝60°∴∠A＝∠CDB∵∠EBF＝60°∴∠ABE+∠EBD＝∠EBD+∠DBF∴∠ABE＝∠DBF∵∠A=∠BDF∠ABE=∠DBF∴△ABE≌△DBF（AAS）∴AE＝DF∴AE+CF＝DF+CF＝CD＝AB故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形、等邊三角形、全等三角形的知識(shí)；求解的關(guān)鍵是熟練掌握菱形、等邊三角形、全等三角形的性質(zhì)，從而完成求解．【變式8-2】（2024八年級(jí)·河南信陽·期末）如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接OE并延長(zhǎng)交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，過點(diǎn)O作OQ⊥OP交CD于點(diǎn)F，交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，連接PQ．若點(diǎn)E恰好是OP中點(diǎn)時(shí)，則PQ的長(zhǎng)為（

）

A．2 B．2 C．5 D．10【答案】D【分析】作OH⊥AB于H，由正方形的性質(zhì)可以證明△OBP?△OCQASA得到PO=QO，因此△OPQ是等腰直角三角形，由平行線分線段成比例定理求出PH的長(zhǎng)，由等腰直角三角形的性質(zhì)得到OH的長(zhǎng)，由勾股定理求出OP的長(zhǎng)，即可得到PQ【優(yōu)尖升-詳解】解：作OH⊥AB于H，∵四邊形ABCD是正方形，∴△OBC和△OAB是等腰直角三角形，∴∠BOP+∠EOC=90°，∵OQ⊥OP，∴∠QOC+∠EOC=90°，∴∠BOP=∠COQ，∵∠ABO=∠OCB=45°，∴∠OBP=∠OCQ=135°，∵OB=OC，∴△OBP?△OCQASA∴PO=QO，∴△OPQ是等腰直角三角形，∵OH⊥AB,EB⊥AB,∴BE∥∴PB:BH=PE:OE,∵OE=PE，∴PB=BH，∵△OAB是等腰直角三角形，OH⊥AB，∴OH=BH=1∴PB=BH=1，∴PH=PB+BH=2，∴OP=O∴PQ=2故選：D．

【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是證明△OBP?△OCQ，得到△OPQ是等腰直角三角形．【變式8-3】（2024八年級(jí)·浙江紹興·期末）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正八邊形ABCDEFGH中，已知I，J，K，L分別是邊AH，BC，DE，F(xiàn)G上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足

A．4+22 B．2+22 C．4+2【答案】A【分析】易得四邊形IJKL為正方形，得到四邊形IJKL的面積為IJ2，進(jìn)而得到當(dāng)IJ最大時(shí)，四邊形IJKL的面積最大，即IJ=AC即為正八邊形的對(duì)角線時(shí)，四邊形【優(yōu)尖升-詳解】解：連接IK,JL，

∵正八邊形，IA=JC=KE=LG，∴IJ=JK=KL=LI，IK=JL∴四邊形IJKL為正方形，∴四邊形IJKL的面積為IJ2，當(dāng)IJ最大時(shí)，四邊形∴IJ=AC即為正八邊形的對(duì)角線時(shí)，四邊形IJKG的面積最大，

如圖，連接AE,CG交于點(diǎn)O，連接OB，交AC于點(diǎn)M，則：△AOC為等腰直角三角形，O為正八邊形的中心，∴OC=OB=OA，OB垂直平分AC，∴OM=AM=2設(shè)OM=AM=x，則：OC=OB=OA=2∴BM=2在Rt△AMB中，AB2解得：x=2∴AC=2AM=2∴四邊形IJKL的最大面積為AC故選A．【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理．本題的難度較大，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)，求出正八邊形的邊長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．【題型9動(dòng)點(diǎn)問題函數(shù)圖像】【例9】（2014·北京·中考真題）已知點(diǎn)A為某封閉圖形邊界上一定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿其邊界順時(shí)針勻速運(yùn)動(dòng)一周．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x，線段AP的長(zhǎng)為y．表示y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象大致如右圖所示，則該封閉圖形可能是(

)A．B． C．D．【答案】A【優(yōu)尖升-詳解】解：分析題中所給函數(shù)圖像，O?E段，AP隨x的增大而增大，長(zhǎng)度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間成正比．E?F段，AP逐漸減小，到達(dá)最小值時(shí)又逐漸增大，排除C、D選項(xiàng)，F(xiàn)?G段，AP逐漸減小直至為0，排除B選項(xiàng)．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，函數(shù)圖象是典型的數(shù)形結(jié)合，圖象應(yīng)用信息廣泛，通過看圖獲取信息，不僅可以解決生活中的實(shí)際問題，還可以提高分析問題、解決問題的能力．用圖象解決問題時(shí)，要理清圖象的含義即會(huì)識(shí)圖．【變式9-1】（2024八年級(jí)·山東濰坊·期末）如圖，在直角坐標(biāo)系中，有一矩形ABCD，長(zhǎng)AD=2，寬AB=1,AB//y軸，AD//x軸．點(diǎn)D坐標(biāo)為3,1，該矩形邊上有一動(dòng)點(diǎn)P，沿A→B→C→D→A運(yùn)動(dòng)一周，則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)yp與點(diǎn)P走過的路程s之間的函數(shù)關(guān)系用圖象表示大致是(

A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y隨點(diǎn)P走過的路程s之間的函數(shù)關(guān)系圖象可以分為4部分，當(dāng)P點(diǎn)在AB上，當(dāng)P點(diǎn)在BC上，當(dāng)P點(diǎn)在CD上，點(diǎn)P在AD上即可得出圖象．【優(yōu)尖升-詳解】∵矩形ABCD，長(zhǎng)AD=2，寬AB=1,矩形邊上有一動(dòng)點(diǎn)P，沿A→B→C→D→A運(yùn)動(dòng)一周，∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y隨點(diǎn)P走過的路程s之間的函數(shù)關(guān)系圖象可以分為4部分，∴P點(diǎn)在AB上，此時(shí)縱坐標(biāo)越來越大，最小值是1，最大值為2，P點(diǎn)在BC上，此時(shí)縱坐標(biāo)為定值2．當(dāng)P點(diǎn)在CD上，此時(shí)縱坐標(biāo)越來越小，最大值是2，最小值為1，P點(diǎn)在AD上，此時(shí)縱坐標(biāo)為定值1．故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象問題，解決問題的關(guān)鍵是分解函數(shù)得出不同位置時(shí)的函數(shù)關(guān)系，進(jìn)而得出圖象．【變式9-2】（2024八年級(jí)·安徽蕪湖·期末）如圖1，⊙O過正方形ABCD的頂點(diǎn)A、D且與邊BC相切于點(diǎn)E，分別交AB、DC于點(diǎn)M、N．動(dòng)點(diǎn)P在⊙O或正方形ABCD的邊上以每秒一個(gè)單位的速度做連續(xù)勻速運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x，圓心O與P點(diǎn)的距離為y，圖2記錄了一段時(shí)間里y與x的函數(shù)關(guān)系，在這段時(shí)間里P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑為（

）A．從D點(diǎn)出發(fā)，沿弧DA→弧AM→線段BM→線段BCB．從B點(diǎn)出發(fā)，沿線段BC→線段CN→弧ND→弧DAC．從A點(diǎn)出發(fā)，沿弧AM→線段BM→線段BC→線段CND．從C點(diǎn)出發(fā)，沿線段CN→弧ND→弧DA→線段AB【答案】C【優(yōu)尖升-詳解】結(jié)合兩幅圖形分析可知，圖2中函數(shù)圖象的線段部分對(duì)應(yīng)的是點(diǎn)P在⊙O上運(yùn)動(dòng)的情形，曲線部分對(duì)應(yīng)的是點(diǎn)P在正方形的邊上運(yùn)動(dòng)的情形，在圖2中函數(shù)圖象的最高點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)著點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到了圖1中的B、C兩點(diǎn)，由此可知與圖2中函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路線有以下兩種情況：①點(diǎn)P是從A點(diǎn)出發(fā)，沿弧AM→線段BM→線段BC→線段CN：②點(diǎn)P是從D點(diǎn)出發(fā)，沿弧DN→線段NC→線段CB→線段BM.故選C.【變式9-3】（2024·河南平頂山·期末）如圖1，在△ABC中，∠ABC=60°．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿折線A→B→C勻速運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C后停止．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路程為x，線段AP的長(zhǎng)度為y，圖2是y隨x變化的關(guān)系圖像，其中M為曲線DE的最低點(diǎn)，則△ABC的面積為（

）A．43 B．433 C．2【答案】C【分析】本題考查了動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，勾股定理，垂線段最短．作AD⊥BC，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，線段AP的長(zhǎng)度最短，此時(shí)AB+BD=23，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，運(yùn)動(dòng)結(jié)束，此時(shí)AC=【優(yōu)尖升-詳解】解：作AD⊥BC，垂足為D，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，線段AP的長(zhǎng)度最短，此時(shí)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為23，即AB+BD=2當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，運(yùn)動(dòng)結(jié)束，線段AP的長(zhǎng)度就是AC的長(zhǎng)度，此時(shí)AC=2∵∠ABC=60°，∴∠BAD=30°，∴AB=2BD，∴AB+BD=3BD=23∴BD=233∴AD=A在Rt△ABD中，AC=∴CD=A∴BC=BD+CD=23∴△ABC的面積為12故選：C．【題型10一次函數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用】【例10】（2024八年級(jí)·福建漳州·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y1＝m（x+3）?1（m≠0）和A．m≥34 B．m>34 C．m≤34且m≠0 D．m<3【答案】D【分析】根據(jù)一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)分別判斷．【優(yōu)尖升-詳解】由題意可知：∵一次函數(shù)y1=mx+3一次函數(shù)y2=ax?1∵①a<0時(shí)，m=a，兩直線平行時(shí)，始終有y2∴m<0．②當(dāng)a>0時(shí)，設(shè)經(jīng)過點(diǎn)(?3，?1)，(1，?1=?3k+b2=k+b，解得：k=34∴y3=∵一次函數(shù)y1=mx+3不論x取何值，始終有y2∴0<m<34∴綜上解得：m<0或0<m<34即：m<34且m≠0故選：D【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)綜合問題，充分掌握一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是求解本題的關(guān)鍵．【變式10-1】（2024八年級(jí)·福建泉州·期末）如圖，直線y=ax+b與x軸交于A點(diǎn)4,0，與直線y=mx交于B點(diǎn)2,n，則關(guān)于x的一元一次方程ax?b=mx的解為（

）A．x=2 B．x=?2 C．x=4 D．x=?4【答案】B【分析】首先，根據(jù)兩直線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為聯(lián)立兩直線方程求解的x值，則由直線y=ax+b與直線y=mx交于點(diǎn)B2,n，可得交點(diǎn)橫坐標(biāo)為x=bm?a=2；其次，通過解一元一次方程ax?b=mx【優(yōu)尖升-詳解】解：∵y=ax+by=mx∴ax+b=mx，解得x=b∵直線y=ax+b與直線y=mx交于點(diǎn)B2,n∴bm?a由ax?b=mx，得x=?b∴x=?b∴關(guān)于x的一元一次方程ax?b=mx的解為：x=?2，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)與一元一次方程，解題的關(guān)鍵是明確題意，掌握一次函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是對(duì)應(yīng)一元一次方程的解．【變式10-2】（2024八年級(jí)·福建福州·期末）一次函數(shù)y＝kx+b的部分自變量與相應(yīng)的函數(shù)值如表：xm2﹣mynp若滿足m＜1，n+p＝b2+4b+3，則n與p的大小關(guān)系為（）A．n＜p B．n≤p C．n＞p D．n≥p【答案】A【分析】先將表格中兩組x，y代入一次函數(shù)解析式可得n=km+bp=k【優(yōu)尖升-詳解】解：將x=m，y=n，x=2-m，y=p，代入一次函數(shù)解析式y(tǒng)＝kx+b可得：n=km+bp=k所以n-p=km+b?k2?mn+p=km+b+k2?m因?yàn)閚+p＝b2+4b+3，所以2k+2b=b2k=b2k=b2k=b2k=b+1因?yàn)閎+12所以2k≥2，即k≥1，因?yàn)閙<1，所以m-1<0，所以n-p=2km?1所以n<p．故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)性質(zhì)和作差法比較大小，解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握一次函數(shù)圖象性質(zhì)和作差法比大?。咀兪?0-3】（2024·陜西西安·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，將函數(shù)y=3x的圖象向上平移m個(gè)單位長(zhǎng)度，使其與y=?3x+6的交點(diǎn)在位于第二象限，則m的取值范圍為（

）A．m<6 B．m>6 C．m<2 D．m>2【答案】B【分析】先求出平移后的函數(shù)解析式，再聯(lián)立它與另一個(gè)函數(shù)解析式求出它們的交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)第二象限的坐標(biāo)特點(diǎn)為?,+，得到關(guān)于m的不等式組，解這個(gè)不等式組即可得出m的取值范圍．【優(yōu)尖升-詳解】解：將函數(shù)y=3x的圖象向上平移m個(gè)單位長(zhǎng)度后的圖象的解析式為y=3x+m，聯(lián)立后可以得到：y=3x+my=?3x+6解得x=1?m因?yàn)樗鼈兊慕稽c(diǎn)在第二象限，∴x<0y>0即解得m>6m>?6∴m>6，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)圖象的平移以及求圖象的交點(diǎn)的問題，解決本題需要建立關(guān)于x和y的二元一次方程組和關(guān)于m的不等式組，要求學(xué)生能熟練運(yùn)用平移的規(guī)則得到平移后的函數(shù)解析式，同時(shí)能聯(lián)立這兩個(gè)解析式求交點(diǎn)坐標(biāo)，最后還需要根據(jù)交點(diǎn)坐標(biāo)的特征建立不等式組求出其中的字母參數(shù)的取值范圍，整個(gè)過程對(duì)學(xué)生的計(jì)算能力有較高的要求．【題型11一次函數(shù)中的行程問題】【例11】（2024·重慶九龍坡·期末）甲乙兩車分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，甲車從A地勻速駛向B地，乙車從B地勻速駛向A地．兩車之間的距離y（單位：km）與兩車行駛的時(shí)間x（單位：h）之間的關(guān)系如圖所示，已知甲車的速度比乙車快20km/h．下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．A、B兩地相距360km B．甲車的速度為100km/hC．點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為185 D．當(dāng)甲車到B地時(shí)，甲乙兩車相距280【答案】D【分析】由函數(shù)圖像可知：A、B兩地相距360km，故A正確；設(shè)乙車的速度為xkm/h，則甲車的速度為(x+20)km/?，根據(jù)函數(shù)圖像可求出乙車的速度為80km/h，則甲車的速度為100km/h，故B正確；點(diǎn)E所對(duì)的橫坐標(biāo)是甲車到達(dá)B地的時(shí)間，點(diǎn)E橫坐標(biāo)為360100相遇之后，甲走的路程為：100×85=160km，乙走的路程為：80×85【優(yōu)尖升-詳解】解：由函數(shù)圖像可知：A、B兩地相距360km，故A正確；設(shè)乙車的速度為xkm/h，則甲車的速度為(x+20)km/?，由函數(shù)圖像可知：經(jīng)過2小時(shí)，甲乙相遇，∴2(x+20+x)=360，解得：x=∴乙車的速度為80km/h，則甲車的速度為100km/h，故B正確；分析可知點(diǎn)E所對(duì)的橫坐標(biāo)是甲車到達(dá)B地的時(shí)間，∴點(diǎn)E橫坐標(biāo)為360100故C正確；甲乙相遇時(shí)，甲走的路程為：100×2=200km，乙走的路程為：80×2=160km，相遇之后，甲還需要再走160km才能到達(dá)B地，故還需用時(shí)160100此時(shí)甲走的路程為：100×85=160km∴當(dāng)甲車到B地時(shí)，甲乙兩車相距288km．故D錯(cuò)誤；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用：行程問題，一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是結(jié)合函數(shù)圖象獲取信息．【變式11-1】（2024八年級(jí)·重慶·期末）周末老張和小勝相約從各自的家出發(fā)去體育館打羽毛球，且老張家，小勝家，體育館順次在同一直線上，老張先從家出發(fā)4分鐘后來到小勝家和小勝匯合，匯合時(shí)間忽略不計(jì)，兩人以老張的速度一起走了4分鐘后，小勝發(fā)現(xiàn)自己裝備帶錯(cuò)了需回家換裝備，于是立即加速回家用了少許時(shí)間取了裝備后又以加速后的速度趕往體育館，老張仍以原速前行，結(jié)果小勝比老張?zhí)崆?分鐘到達(dá)體育館．若老張與小勝兩人和體育館之間的距離y（米）與小勝出發(fā)的時(shí)間x（分鐘）之間的函數(shù)圖象如圖所示．則以下說法錯(cuò)誤的是（

）．A．小勝加速后的速度為250米/分鐘B．老張用了24分鐘到達(dá)體育館C．小勝回家后用了0.6分鐘取裝備D．小勝取了裝備后追上老張時(shí)距離老張家3025米【答案】D【分析】根據(jù)題意可以在圖上分辨出老張和小勝的函數(shù)圖像，根據(jù)6.4分鐘后的圖像曲線可以計(jì)算出小張加速后的速度，從而判斷出A選項(xiàng)；再根據(jù)共行4分鐘，可以計(jì)算出老張的速度，從而算出老張的總用時(shí)，判斷出B選項(xiàng)；根據(jù)老張總共用時(shí)，可以計(jì)算出小勝趕往