北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)舉一反三系列1.3線段垂直平分線的性質(zhì)和判定【七大題型】同步練習(xí)(學(xué)生版+解析)

專題1.3線段垂直平分線的性質(zhì)和判定【七大題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1線段垂直平分線的性質(zhì)在求線段中的應(yīng)用】 1【題型2線段垂直平分線的性質(zhì)在求角中的應(yīng)用】 2【題型3線段垂直平分線的性質(zhì)在實(shí)際中的應(yīng)用】 3【題型4線段垂直平分線的性質(zhì)的綜合運(yùn)用】 5【題型5線段垂直平分線的判定】 6【題型6線段垂直平分線的作法】 7【題型7線段垂直平分線的判定與性質(zhì)的綜合】 8【知識(shí)點(diǎn)1線段垂直平分線的性質(zhì)】線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.反過來，與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.【題型1線段垂直平分線的性質(zhì)在求線段中的應(yīng)用】【例1】（2022秋?南召縣期末）已知：如圖，∠BAC的平分線與BC的垂直平分線相交于點(diǎn)P，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分別為E、F．若AB＝8，AC＝4，則AE＝．【變式1-1】（2022秋?潮安區(qū)期中）如圖，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于點(diǎn)D，AC的垂直平分線BE與CD交于點(diǎn)F，與AC交于點(diǎn)E．（1）判斷△DBC的形狀并證明你的結(jié)論．（2）求證：BF＝AC．（3）試說明CE=12【變式1-2】（2022秋?廬陽區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝22.5°，斜邊AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)D，點(diǎn)F在AC上，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，CE＝CF，連接BF，DE．線段DE和BF在數(shù)量和位置上有什么關(guān)系？并說明理由．【變式1-3】（2022秋?海珠區(qū)校級(jí)期中）△ABC是等邊三角形，D是三角形外一動(dòng)點(diǎn)，滿足∠ADB＝60°．（1）如圖①，當(dāng)D點(diǎn)在AC的垂直平分線上時(shí)，求證：DA+DC＝DB；（2）如圖②，當(dāng)D點(diǎn)不在AC的垂直平分線上時(shí)，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說明理由．【題型2線段垂直平分線的性質(zhì)在求角中的應(yīng)用】【例2】（2022秋?周村區(qū)校級(jí)期中）如圖，線段AB，DE的垂直平分線交于點(diǎn)C，且∠ABC＝∠EDC＝72°，∠AEB＝92°，則∠EBD的度數(shù)為（）A．168° B．158° C．128° D．118°【變式2-1】（2022秋?龍馬潭區(qū)校級(jí)月考）如圖，已知銳角△ABC中，AB、AC邊的中垂線交于點(diǎn)O，∠A＝α（0°＜α＜90°），（1）求∠BOC；（2）試判斷∠ABO+∠ACB是否為定值？若是，求出定值，若不是，請(qǐng)說明理由．【變式2-2】（2022秋?西湖區(qū)期末）如圖，線段AB，BC的垂直平分線l1、l2相交于點(diǎn)O．若∠1＝40°，則∠AOC＝（）A．50° B．80° C．90° D．100°【變式2-3】（2022春?金牛區(qū)校級(jí)期中）已知：△ABC是三邊都不相等的三角形，點(diǎn)P是三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，點(diǎn)O是三邊垂直平分線的交點(diǎn)，當(dāng)P、O同時(shí)在不等邊△ABC的內(nèi)部時(shí)，那么∠BOC和∠BPC的數(shù)量關(guān)系是：∠BOC＝．【題型3線段垂直平分線的性質(zhì)在實(shí)際中的應(yīng)用】【例3】（2022秋?甘井子區(qū)期末）如圖，電信部門要在公路l旁修建一座移動(dòng)信號(hào)發(fā)射塔．按照設(shè)計(jì)要求，發(fā)射塔到兩個(gè)城鎮(zhèn)M，N的距離必須相等，則發(fā)射塔應(yīng)該建在（）A．A處 B．B處 C．C處 D．D處【變式3-1】（2022春?渾南區(qū)期末）有A、B、C三個(gè)不在同一直線上的居民點(diǎn)，現(xiàn)要選址建一個(gè)新冠疫苗接種點(diǎn)方便居民接種疫苗，要求接種點(diǎn)到三個(gè)居民點(diǎn)的距離相等，接種點(diǎn)應(yīng)建在（）A．△ABC的三條中線的交點(diǎn)處 B．△ABC三邊的垂直平分線的交點(diǎn)處 C．△ABC三條角平分線的交點(diǎn)處 D．△ABC三條高所在直線的交點(diǎn)處【變式3-2】（2022春?武功縣期末）如圖，兔子的三個(gè)洞口A、B、C構(gòu)成△ABC，獵狗想捕捉兔子，必須到三個(gè)洞口的距離都相等，則獵狗應(yīng)蹲守在△ABC（）A．三條中線的交點(diǎn) B．三條高的交點(diǎn) C．三條邊的垂直平分線的交點(diǎn) D．三個(gè)角的角平分線的交點(diǎn)【變式3-3】如圖，電信部門要在S區(qū)修建一座電視信號(hào)發(fā)射塔．按照設(shè)計(jì)要求，發(fā)射塔到兩個(gè)城鎮(zhèn)A，B的距離必須相等，到兩條高速公路m和n的距離也必須相等．發(fā)射塔應(yīng)該修建在（）A．∠1的平分線和線段AB的交點(diǎn)處 B．∠1的平分線和線段AB的垂直平分線的交點(diǎn)處 C．∠2的平分線和線段AB的交點(diǎn)處 D．∠2的平分線和線段AB的垂直平分線的交點(diǎn)處【題型4線段垂直平分線的性質(zhì)的綜合運(yùn)用】【例4】（2022秋?廣陵區(qū)校級(jí)月考）在△ABC中，∠A＝120°，AB的垂直平分線交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分線交BC于N，交AC于F，（1）如圖（1），連接AM、AN，求∠MAN的度數(shù)；（2）如圖（2），如果AB＝AC，求證：BM＝MN＝NC．【變式4-1】（2022秋?鄂托克旗期中）如圖，在△ABC中，DE是邊AB的垂直平分線，交AB于E、交AC于D，連接BD．（1）若∠ABC＝∠C，∠A＝40°，求∠DBC的度數(shù)；（2）若AB＝AC，且△BCD的周長(zhǎng)為18cm，△ABC的周長(zhǎng)為30cm，求BE的長(zhǎng)．【變式4-2】（2022春?市中區(qū)期末）如圖，在△ABC中，DM、EN分別垂直平分AC和BC，交AB于M、N兩點(diǎn)，DM與EN相交于點(diǎn)F．（1）若△CMN的周長(zhǎng)為15cm，求AB的長(zhǎng)；（2）若∠MFN＝70°，求∠MCN的度數(shù)．【變式4-3】（2022秋?紅花崗區(qū)校級(jí)月考）如圖，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂線交BC于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)F，連接CF．（1）若∠A＝60°，∠ABD＝24°，求∠ACF的度數(shù)；（2）若EF＝4，BF：FD＝5：3，S△BCF＝10，求點(diǎn)D到AB的距離．【知識(shí)點(diǎn)2線段垂直平分線的判定】到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上，（這樣的點(diǎn)需要找兩個(gè)）【題型5線段垂直平分線的判定】【例5】（2022秋?伊川縣期末）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．（1）若∠BAC＝50°，求∠EDA的度數(shù)；（2）求證：直線AD是線段CE的垂直平分線．【變式5-1】（2022秋?奈曼旗期中）如圖所示，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，連接EF，EF與AD交于點(diǎn)G，求證：AD垂直平分EF．【變式5-2】（2022春?市北區(qū)期末）如圖，E是∠AOB的平分線上一點(diǎn)，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分別是C、D．求證：（1）OC＝OD，（2）OE是線段CD的垂直平分線．【變式5-3】（2022秋?平邑縣期中）如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，BE＝CF．（1）求證：AD平分∠BAC；（2）連接EF，求證：AD垂直平分EF．【題型6線段垂直平分線的作法】【例6】（2022秋?武城縣期末）已知：如圖，在△ABC中，∠C＝120°，邊AC的垂直平分線DE與AC、AB分別交于點(diǎn)D和點(diǎn)E．（1）作出邊AC的垂直平分線DE；（2）當(dāng)AE＝BC時(shí)，求∠A的度數(shù)．【變式6-1】（2022秋?祁陽縣期末）如圖，在△ABC中，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于12AB的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M，N，作直線MN，交BC于點(diǎn)D，連接AD．若△ADC的周長(zhǎng)為10，AB＝8，則△ABCA．8 B．10 C．18 D．20【變式6-2】（2022?榆林模擬）如圖，在△ABC中，DE⊥BC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E．請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在線段DC上求作一點(diǎn)P，使AP∥ED．（保留作圖痕跡，不寫作法）【變式6-3】（2022?長(zhǎng)安區(qū)一模）如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，且CD＝2BD，請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在邊AC上找一點(diǎn)P，使得△PAD的面積等于△BAD的面積（保留作圖痕跡，不寫作法）．【題型7線段垂直平分線的判定與性質(zhì)的綜合】【例7】（2022秋?伊通縣期末）如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線l1交AB于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)D，AC的垂直平分線l2交AC于點(diǎn)N，交BC于點(diǎn)E，l1與l2相交于點(diǎn)O，△ADE的周長(zhǎng)為10．請(qǐng)你解答下列問題：（1）求BC的長(zhǎng)；（2）試判斷點(diǎn)O是否在邊BC的垂直平分線上，并說明理由．【變式7-1】（2022?阜寧縣校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，邊AB、AC的垂直平分線分別交BC于D、E．（1）若BC＝10，求△ADE的周長(zhǎng)；（2）設(shè)直線DM、EN交于點(diǎn)O．①試判斷點(diǎn)O是否在BC的垂直平分線上，并說明理由；②若∠BAC＝100°，求∠BOC的度數(shù)．【變式7-2】（2022?宜昌）已知：如圖，AF平分∠BAC，BC⊥AF，垂足為E，點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于直線BC對(duì)稱，PB分別與線段CF，AF相交于P，M．（1）求證：AB＝CD；（2）若∠BAC＝2∠MPC，請(qǐng)你判斷∠F與∠MCD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【變式7-3】（2022秋?信都區(qū)期末）如圖1，△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在AB上，且AD＝CD＝BC．（1）求∠A的大小；（2）如圖2，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，連接EF交CD于點(diǎn)H．①求證：CD垂直平分EF；專題1.3線段垂直平分線的性質(zhì)和判定【七大題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1線段垂直平分線的性質(zhì)在求線段中的應(yīng)用】 1【題型2線段垂直平分線的性質(zhì)在求角中的應(yīng)用】 6【題型3線段垂直平分線的性質(zhì)在實(shí)際中的應(yīng)用】 10【題型4線段垂直平分線的性質(zhì)的綜合運(yùn)用】 13【題型5線段垂直平分線的判定】 17【題型6線段垂直平分線的作法】 20【題型7線段垂直平分線的判定與性質(zhì)的綜合】 23【知識(shí)點(diǎn)1線段垂直平分線的性質(zhì)】線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.反過來，與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.【題型1線段垂直平分線的性質(zhì)在求線段中的應(yīng)用】【例1】（2022秋?南召縣期末）已知：如圖，∠BAC的平分線與BC的垂直平分線相交于點(diǎn)P，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分別為E、F．若AB＝8，AC＝4，則AE＝6．【分析】首先連接PB，PC，由∠BAC的平分線與BC的垂直平分線相交于點(diǎn)P，PE⊥AB，PF⊥AC，易得PE＝PF，PB＝PC，繼而證得△PBE≌△PCF，AE＝AF，又由AB＝8，AC＝4，即可求得答案．【解答】解：連接PB，PC，∵點(diǎn)P在BC的垂直平分線上，∴PB＝PC，∵AC平分∠BAC，PE⊥AB，PF⊥AC，∴PE＝PF，∠PEB＝∠PFC＝90°，∴∠APE＝∠APF，∴AE＝AF，在Rt△PBE和Rt△PCF中，PB=PCPE=PF∴Rt△PBE≌Rt△PCF（HL），∴BE＝CF，∵AB＝AE+BE，AF＝AC+CF，∴AB＝AC+CF+BE，∵AB＝8，AC＝4，∴BE＝CF＝2，∴AE＝AC+CF＝6．故答案為：6．【變式1-1】（2022秋?潮安區(qū)期中）如圖，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于點(diǎn)D，AC的垂直平分線BE與CD交于點(diǎn)F，與AC交于點(diǎn)E．（1）判斷△DBC的形狀并證明你的結(jié)論．（2）求證：BF＝AC．（3）試說明CE=12【分析】（1）根據(jù)已知條件得到∠BCD＝45°，求得BD＝CD，于是得到結(jié)論；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和判定即可得到結(jié)論；（3）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）△DBC是等腰直角三角形，理由：∵∠ABC＝45°，CD⊥AB，∴∠BCD＝45°，∴BD＝CD，∴△DBC是等腰直角三角形；（2）∵BE⊥AC，∴∠BDC＝∠BEC＝90°，∵∠BFD＝∠CFE，∴∠DBF＝∠ACD，在△BDF與△CDA中，∠BDC=∠ADC=90°∠DBF=∠DCA∴△BDF≌△CDA，∴BF＝AC；（3）∵BE是AC的垂直平分線，∴CE=12∴CE=12【變式1-2】（2022秋?廬陽區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝22.5°，斜邊AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)D，點(diǎn)F在AC上，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，CE＝CF，連接BF，DE．線段DE和BF在數(shù)量和位置上有什么關(guān)系？并說明理由．【分析】連接BD，延長(zhǎng)BF交DE于點(diǎn)G，根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到AD＝BD，求出∠CBD＝45°，證明△ECD≌△FCB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答即可．【解答】解：DE＝BF，DE⊥BF．理由如下：連接BD，延長(zhǎng)BF交DE于點(diǎn)G．∵點(diǎn)D在線段AB的垂直平分線上，∴AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝22.5°．在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠A＝22.5°，∴∠ABC＝67.5°，∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝45°，∴△BCD為等腰直角三角形，∴BC＝DC．在△ECD和△FCB中，CE=CF∠DCE=∠BCF∴Rt△ECD≌Rt△FCB（SAS），∴DE＝BF，∠CED＝∠CFB．∵∠CFB+∠CBF＝90°，∴∠CED+∠CBF＝90°，∴∠EGB＝90°，即DE⊥BF．【變式1-3】（2022秋?海珠區(qū)校級(jí)期中）△ABC是等邊三角形，D是三角形外一動(dòng)點(diǎn)，滿足∠ADB＝60°．（1）如圖①，當(dāng)D點(diǎn)在AC的垂直平分線上時(shí)，求證：DA+DC＝DB；（2）如圖②，當(dāng)D點(diǎn)不在AC的垂直平分線上時(shí)，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說明理由．【分析】（1）由D點(diǎn)在AC的垂直平分線上，可得AD＝CD，又由∠ADB＝60°，△ABC是等邊三角形，可得△ABD是含30°角的直角三角形，繼而證得結(jié)論；（2）首先在DB上截取DE＝AD，可證得△ADE是等邊三角形，又由△ABC是等邊三角形，易證得△BAE≌△CAD（SAS），繼而證得結(jié)論．【解答】證明：（1）∵D點(diǎn)在AC的垂直平分線上，∴AD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA，∠ADB＝∠CDB＝60°，∴∠DAC＝30°，∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC＝60°，∴∠BAD＝90°，∴∠ABD＝90°﹣∠ADB＝30°，∴BD＝2AD＝AD+CD；（2）成立．理由：在DB上截取DE＝AD，∵∠ADB＝60°，∴△ADE是等邊三角形，∴AE＝AD，∠EAD＝60°，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∴∠BAE＝∠CAD，在△BAE和△CAD中，AB=AC∠BAE=∠CAD∴△BAE≌△CAD（SAS），∴BE＝CD，∴BD＝DE+BE＝AD+CD．【題型2線段垂直平分線的性質(zhì)在求角中的應(yīng)用】【例2】（2022秋?周村區(qū)校級(jí)期中）如圖，線段AB，DE的垂直平分線交于點(diǎn)C，且∠ABC＝∠EDC＝72°，∠AEB＝92°，則∠EBD的度數(shù)為（）A．168° B．158° C．128° D．118°【分析】連接CE，依據(jù)線段AB，DE的垂直平分線交于點(diǎn)C，可得CA＝CB，CE＝CD，判定△ACE≌△BCD，可得∠AEC＝∠BDC，設(shè)∠AEC＝∠BDC＝α，則∠BDE＝72°﹣α，∠CEB＝92°﹣α，∠BED＝∠DEC﹣∠CEB＝72°﹣（92°﹣α）＝α﹣20°，即可得到△BDE中，∠EBD＝180°﹣（72°﹣α）﹣（α﹣20°）＝128°．【解答】解：如圖，連接CE，∵線段AB，DE的垂直平分線交于點(diǎn)C，∴CA＝CB，CE＝CD，∵∠ABC＝∠EDC＝72°＝∠DEC，∴∠ACB＝∠ECD＝36°，∴∠ACE＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，CA=CB∠ACE=∠BCD∴△ACE≌△BCD（SAS），∴∠AEC＝∠BDC，設(shè)∠AEC＝∠BDC＝α，則∠BDE＝72°﹣α，∠CEB＝92°﹣α，∴∠BED＝∠DEC﹣∠CEB＝72°﹣（92°﹣α）＝α﹣20°，∴△BDE中，∠EBD＝180°﹣（72°﹣α）﹣（α﹣20°）＝128°，【變式2-1】（2022秋?龍馬潭區(qū)校級(jí)月考）如圖，已知銳角△ABC中，AB、AC邊的中垂線交于點(diǎn)O，∠A＝α（0°＜α＜90°），（1）求∠BOC；（2）試判斷∠ABO+∠ACB是否為定值？若是，求出定值，若不是，請(qǐng)說明理由．【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AO＝BO＝CO，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OAB＝∠OBA，∠OCA＝∠OAC，根據(jù)周角定義即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OBC＝∠OCB，于是得到∠OBC＝90°﹣α，根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）連接AO，AB、AC邊的中垂線交于點(diǎn)O，∴AO＝BO＝CO，∴∠OAB＝∠OBA，∠OCA＝∠OAC，∴∠AOB+∠AOC＝（180°﹣∠OAB﹣∠OBA）+（180°﹣∠OAC﹣∠OCA），∴∠AOB+∠AOC＝（180°﹣2∠OAB）+（180°﹣2∠OAC）＝360°﹣2（∠OAB+∠OAC）＝360°﹣2∠A＝360°﹣2α，∴∠BOC＝360°﹣（∠AOB+∠AOC）＝2α；（2）∠ABO+∠ACB為定值，∵BO＝CO，∴∠OBC＝∠OCB，∵∠OAB＝∠OBA，∠OCA＝∠OAC，∴∠OBC=12（180°﹣2∠BAC）＝90°﹣∵∠ABO+∠ACB+∠OBC+∠BAC＝180°，∴∠ABO+∠ACB＝180°﹣α﹣（90°﹣α）＝90°．【變式2-2】（2022秋?西湖區(qū)期末）如圖，線段AB，BC的垂直平分線l1、l2相交于點(diǎn)O．若∠1＝40°，則∠AOC＝（）A．50° B．80° C．90° D．100°【分析】連接BO，并延長(zhǎng)BO到P，根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得AO＝OB＝OC和∠BDO＝∠BEO＝90°，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為360°得∠DOE+∠ABC＝180°，根據(jù)外角的性質(zhì)得∠AOP＝∠A+∠ABO，∠COP＝∠C+∠OBC，相加可得結(jié)論．【解答】解：連接BO，并延長(zhǎng)BO到P，∵線段AB、BC的垂直平分線l1、l2相交于點(diǎn)O，∴AO＝OB＝OC，∠BDO＝∠BEO＝90°，∴∠DOE+∠ABC＝180°，∵∠DOE+∠1＝180°，∴∠ABC＝∠1＝40°，∵OA＝OB＝OC，∴∠A＝∠ABO，∠OBC＝∠C，∵∠AOP＝∠A+∠ABO，∠COP＝∠C+∠OBC，∴∠AOC＝∠AOP+∠COP＝∠A+∠ABC+∠C＝2×40°＝80°；【變式2-3】（2022春?金牛區(qū)校級(jí)期中）已知：△ABC是三邊都不相等的三角形，點(diǎn)P是三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，點(diǎn)O是三邊垂直平分線的交點(diǎn)，當(dāng)P、O同時(shí)在不等邊△ABC的內(nèi)部時(shí)，那么∠BOC和∠BPC的數(shù)量關(guān)系是：∠BOC＝4∠BPC﹣360°．【分析】根據(jù)三角形角平分線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，即可得到∠BAC＝2∠BPC﹣180°；再根據(jù)三角形垂直平分線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，即可得到∠BOC＝2∠BAC，進(jìn)而得出∠BOC和∠BPC的數(shù)量關(guān)系．【解答】解：∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，∴∠PBC=12∠ABC，∠PCB=1∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（12∠ABC+12＝180°?12（∠ABC+∠＝180°?12（180°﹣∠＝90°+12∠即∠BAC＝2∠BPC﹣180°；如圖，連接AO．∵點(diǎn)O是這個(gè)三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，∴OA＝OB＝OC，∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠OCB，∴∠AOB＝180°﹣2∠OAB，∠AOC＝180°﹣2∠OAC，∴∠BOC＝360°﹣（∠AOB+∠AOC）＝360°﹣（180°﹣2∠OAB+180°﹣2∠OAC），＝2∠OAB+2∠OAC＝2∠BAC＝2（2∠BPC﹣180°）＝4∠BPC﹣360°，故答案為：4∠BPC﹣360°．【題型3線段垂直平分線的性質(zhì)在實(shí)際中的應(yīng)用】【例3】（2022秋?甘井子區(qū)期末）如圖，電信部門要在公路l旁修建一座移動(dòng)信號(hào)發(fā)射塔．按照設(shè)計(jì)要求，發(fā)射塔到兩個(gè)城鎮(zhèn)M，N的距離必須相等，則發(fā)射塔應(yīng)該建在（）A．A處 B．B處 C．C處 D．D處【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出即可．【解答】解：根據(jù)作圖可知：EF是線段MN的垂直平分線，所以EF上的點(diǎn)到M、N的距離相等，即發(fā)射塔應(yīng)該建在C處，【變式3-1】（2022春?渾南區(qū)期末）有A、B、C三個(gè)不在同一直線上的居民點(diǎn)，現(xiàn)要選址建一個(gè)新冠疫苗接種點(diǎn)方便居民接種疫苗，要求接種點(diǎn)到三個(gè)居民點(diǎn)的距離相等，接種點(diǎn)應(yīng)建在（）A．△ABC的三條中線的交點(diǎn)處 B．△ABC三邊的垂直平分線的交點(diǎn)處 C．△ABC三條角平分線的交點(diǎn)處 D．△ABC三條高所在直線的交點(diǎn)處【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得到正確選項(xiàng)．【解答】解：∵線段垂直平分線的點(diǎn)到線段兩段點(diǎn)的距離相等，∴△ABC三邊的垂直平分線的交點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等．【變式3-2】（2022春?武功縣期末）如圖，兔子的三個(gè)洞口A、B、C構(gòu)成△ABC，獵狗想捕捉兔子，必須到三個(gè)洞口的距離都相等，則獵狗應(yīng)蹲守在△ABC（）A．三條中線的交點(diǎn) B．三條高的交點(diǎn) C．三條邊的垂直平分線的交點(diǎn) D．三個(gè)角的角平分線的交點(diǎn)【分析】用線段垂直平分線性質(zhì)判斷即可．【解答】解：獵狗到△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，則獵狗應(yīng)蹲守在△ABC的三條邊垂直平分線的交點(diǎn)．【變式3-3】如圖，電信部門要在S區(qū)修建一座電視信號(hào)發(fā)射塔．按照設(shè)計(jì)要求，發(fā)射塔到兩個(gè)城鎮(zhèn)A，B的距離必須相等，到兩條高速公路m和n的距離也必須相等．發(fā)射塔應(yīng)該修建在（）A．∠1的平分線和線段AB的交點(diǎn)處 B．∠1的平分線和線段AB的垂直平分線的交點(diǎn)處 C．∠2的平分線和線段AB的交點(diǎn)處 D．∠2的平分線和線段AB的垂直平分線的交點(diǎn)處【分析】由線段垂直平分線的性質(zhì)可知：要兩個(gè)城鎮(zhèn)A，B的距離，發(fā)射塔必須建在線段AB的垂直平分線上，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知要到兩條高速公路m和n的距離相等需要建在∠1的平分線上，即可知發(fā)射塔要在兩線的交點(diǎn)位置．【解答】解：要兩個(gè)城鎮(zhèn)A，B的距離，發(fā)射塔必須建在線段AB的垂直平分線上，要到兩條高速公路m和n的距離相等需要建在∠1的平分線上，∴發(fā)射塔應(yīng)該修建在∠1的平分線和線段AB的垂直平分線的交點(diǎn)處．【題型4線段垂直平分線的性質(zhì)的綜合運(yùn)用】【例4】（2022秋?廣陵區(qū)校級(jí)月考）在△ABC中，∠A＝120°，AB的垂直平分線交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分線交BC于N，交AC于F，（1）如圖（1），連接AM、AN，求∠MAN的度數(shù)；（2）如圖（2），如果AB＝AC，求證：BM＝MN＝NC．【分析】（1）由在△ABC中，∠BAC＝130°，可求得∠C+∠B的度數(shù)，然后由AB、AC的垂直平分線分別交BC于點(diǎn)M、N，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得BM＝AM，CN＝AN，即可得∠CAN＝∠C，∠BAM＝∠B，繼而求得∠CAN+∠BAM的度數(shù)，則可求得答案；（2）先求出△BMA與△CNA是等腰三角形，再證明△MAN為等邊三角形即可．【解答】（1）解：∵∠BAC＝120°，∴∠B+∠C＝60°，由（1）證得BM＝AM，CN＝AN，∴∠C＝∠CAN，∠B＝∠BAM，∴∠CAN+∠BAM＝∠C+∠B＝60°，∴∠MAN＝120°﹣60°＝60°；（2）證明：∵AB的垂直平分線交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分線交BC于N，交AC于F，∴BM＝AM，CN＝AN，∴∠MAB＝∠B，∠CAN＝∠C，∵∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°，∴∠BAM+∠CAN＝60°，∠AMN＝∠ANM＝60°，∴△AMN是等邊三角形，∴AM＝AN＝MN，∴BM＝MN＝NC．【變式4-1】（2022秋?鄂托克旗期中）如圖，在△ABC中，DE是邊AB的垂直平分線，交AB于E、交AC于D，連接BD．（1）若∠ABC＝∠C，∠A＝40°，求∠DBC的度數(shù)；（2）若AB＝AC，且△BCD的周長(zhǎng)為18cm，△ABC的周長(zhǎng)為30cm，求BE的長(zhǎng)．【分析】（1）首先計(jì)算出∠ABC的度數(shù)，再根據(jù)線段垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得AD＝BD，進(jìn)而可得∠ABD＝∠A＝40°，然后可得答案；（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得AD＝DB，AE＝BE，然后再計(jì)算出AC+BC的長(zhǎng)，再利用△ABC的周長(zhǎng)為30cm可得AB長(zhǎng)，進(jìn)而可得答案．【解答】解：（1）∵∠ABC＝∠C，∠A＝40°，∴∠ABC＝（180°﹣40°）÷2＝70°．∵DE是邊AB的垂直平分線，∴AD＝DB，∴∠ABD＝∠A＝40°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝70°﹣40°＝30°．（2）∵DE是邊AB的垂直平分線，∴AD＝DB，AE＝BE，∵△BCD的周長(zhǎng)為18cm，∴AC+BC＝AD+DC+BC＝DB+DC+BC＝18cm．∵△ABC的周長(zhǎng)為30cm，∴AB＝30﹣（AC+BC）＝30﹣18＝12cm，∴BE＝12÷2＝6cm．【變式4-2】（2022春?市中區(qū)期末）如圖，在△ABC中，DM、EN分別垂直平分AC和BC，交AB于M、N兩點(diǎn)，DM與EN相交于點(diǎn)F．（1）若△CMN的周長(zhǎng)為15cm，求AB的長(zhǎng)；（2）若∠MFN＝70°，求∠MCN的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得AM＝CM，BN＝CN，然后求出△CMN的周長(zhǎng)＝AB；（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式求出∠MNF+∠NMF，再求出∠A+∠B，根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN，然后利用三角形的內(nèi)角和定理列式計(jì)算即可得解．【解答】解：（1）∵DM、EN分別垂直平分AC和BC，∴AM＝CM，BN＝CN，∴△CMN的周長(zhǎng)＝CM+MN+CN＝AM+MN+BN＝AB，∵△CMN的周長(zhǎng)為15cm，∴AB＝15cm；（2）∵∠MFN＝70°，∴∠MNF+∠NMF＝180°﹣70°＝110°，∵∠AMD＝∠NMF，∠BNE＝∠MNF，∴∠AMD+∠BNE＝∠MNF+∠NMF＝110°，∴∠A+∠B＝90°﹣∠AMD+90°﹣∠BNE＝180°﹣110°＝70°，∵AM＝CM，BN＝CN，∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN，∴∠MCN＝180°﹣2（∠A+∠B）＝180°﹣2×70°＝40°．【變式4-3】（2022秋?紅花崗區(qū)校級(jí)月考）如圖，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂線交BC于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)F，連接CF．（1）若∠A＝60°，∠ABD＝24°，求∠ACF的度數(shù)；（2）若EF＝4，BF：FD＝5：3，S△BCF＝10，求點(diǎn)D到AB的距離．【分析】（1）根據(jù)角平分線定義求出∠ABC＝2∠ABD＝48°，∠DBC＝∠ABD＝24°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ACB，根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)求出FC＝FB，求出∠FCB，即可求出答案；（2）過D作DG⊥AB于G，DH⊥BC于H，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DG＝DH，利用面積法求出BC，DH即可．【解答】解：（1）∵BD平分∠ABC，∠ABD＝24°，∴∠ABC＝2∠ABD＝48°，∠DBC＝∠ABD＝24°，∵∠A＝60°，∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣60°﹣48°＝72°，∵FE是BC的中垂線，∴FB＝FC，∴∠FCB＝∠DBC＝24°，∴∠ACF＝∠ACB﹣∠FCB＝72°﹣24°＝48°；（2）過D作DG⊥AB于G，DH⊥BC于H，∵BD平分∠ABC，∴DG＝DH，∵EF⊥BC，EF＝4，∴S△BCF=12?BC?∴BC＝5，∵BF：DF＝5：3，∴S△BDC=85S△∴12×5×∴DH=32∴DG＝DH=32∴點(diǎn)D到AB的距離=32【知識(shí)點(diǎn)2線段垂直平分線的判定】到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上，（這樣的點(diǎn)需要找兩個(gè)）【題型5線段垂直平分線的判定】【例5】（2022秋?伊川縣期末）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．（1）若∠BAC＝50°，求∠EDA的度數(shù)；（2）求證：直線AD是線段CE的垂直平分線．【分析】（1）在Rt△ADE中，求出∠EAD即可解決問題；（2）只要證明AE＝AC，利用等腰三角形的性質(zhì)即可證明；【解答】（1）解：∵∠BAC＝50°，AD平分∠BAC，∴∠EAD=12∠∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°，∴∠EDA＝90°﹣25°＝65°．（2）證明：∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°＝∠ACB，又∵AD平分∠BAC，∴∠DAE＝∠DAC，∵AD＝AD，∴△AED≌△ACD，∴AE＝AC，∵AD平分∠BAC，∴AD⊥CE，AD平分線段EC，即直線AD是線段CE的垂直平分線．【變式5-1】（2022秋?奈曼旗期中）如圖所示，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，連接EF，EF與AD交于點(diǎn)G，求證：AD垂直平分EF．【分析】求出DE＝DF，∠AED＝∠AFD＝90°，根據(jù)HL證Rt△AED≌Rt△AFD，推出AE＝AF，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)推出即可．【解答】證：∵AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∠AED＝∠AFD＝90°，在Rt△AED和Rt△AFD中AD=ADDE=DF∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），∴AE＝AF，∵AD是∠BAC的平分線，∴AD垂直平分EF．【變式5-2】（2022春?市北區(qū)期末）如圖，E是∠AOB的平分線上一點(diǎn)，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分別是C、D．求證：（1）OC＝OD，（2）OE是線段CD的垂直平分線．【分析】（1）先根據(jù)E是∠AOB的平分線上一點(diǎn)，EC⊥OB，ED⊥OA得出△ODE≌△OCE，可得出OC＝OD即可；（2）由等腰三角形的性質(zhì)即可得出OE是CD的垂直平分線．【解答】證明：∵E是∠AOB的平分線上一點(diǎn)，EC⊥OA，ED⊥OB，∴DE＝CE，OE＝OE，在Rt△ODE與Rt△OCE中，OE=OEDE=CE∴Rt△ODE≌Rt△OCE（HL），∴OC＝OD；（2）∵△DOC是等腰三角形，∵OE是∠AOB的平分線，∴OE是CD的垂直平分線．【變式5-3】（2022秋?平邑縣期中）如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，BE＝CF．（1）求證：AD平分∠BAC；（2）連接EF，求證：AD垂直平分EF．【分析】（1）由于D是BC的中點(diǎn)，那么BD＝CD，而BE＝CF，DE⊥AB，DF⊥AC，利用HL易證Rt△BDE≌Rt△CDF，可得DE＝DF，利用角平分線的判定定理可知點(diǎn)D在∠BAC的平分線上，即AD平分∠BAC；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）∵D是BC的中點(diǎn)∴BD＝CD，又∵BE＝CF，DE⊥AB，DF⊥AC，∴Rt△BDE≌Rt△CDF，∴DE＝DF，∴點(diǎn)D在∠BAC的平分線上，∴AD平分∠BAC；（2）∵Rt△BDE≌Rt△CDF，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC，∵BE＝CF，∴AB﹣BE＝AC﹣CF，∴AE＝AF，∵DE＝DF，∴AD垂直平分EF．【題型6線段垂直平分線的作法】【例6】（2022秋?武城縣期末）已知：如圖，在△ABC中，∠C＝120°，邊AC的垂直平分線DE與AC、AB分別交于點(diǎn)D和點(diǎn)E．（1）作出邊AC的垂直平分線DE；（2）當(dāng)AE＝BC時(shí)，求∠A的度數(shù)．【分析】（1）分別以點(diǎn)A、C為圓心，以大于12AC長(zhǎng)度為半徑畫弧，兩弧在AC兩邊相交于，然后過這兩點(diǎn)作直線DE（2）連接CE，根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得AE＝CE，設(shè)∠A＝x，然后根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)以及等腰三角形兩底角相等表示出∠ACB，然后列出方程求解即可．【解答】解：（1）如圖所示，DE即為所求作的邊AC的垂直平分線；（2）如圖，連接CE，∵DE是AC的垂直平分線，∴AE＝CE，∴∠A＝∠ACE，∵AE＝BC，∴CE＝BC，∴∠B＝∠CEB，設(shè)∠A＝x，則∠CEB＝∠A+∠ACE＝x+x＝2x，在△BCE中，∠BCE＝180°﹣2×2x＝180°﹣4x，∴∠ACB＝∠ACE+∠BCE＝x+180°﹣4x＝120°，解得x＝20°，即∠A＝20°．【變式6-1】（2022秋?祁陽縣期末）如圖，在△ABC中，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于12AB的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M，N，作直線MN，交BC于點(diǎn)D，連接AD．若△ADC的周長(zhǎng)為10，AB＝8，則△ABCA．8 B．10 C．18 D．20【分析】首先根據(jù)題意可得MN是AB的垂直平分線，由線段垂直平分線的性質(zhì)可得AD＝BD，再根據(jù)△ADC的周長(zhǎng)為10可得AC+BC＝10，又由條件AB＝8可得△ABC的周長(zhǎng)．【解答】解：∵在△ABC中，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于12AB的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M，N，作直線MN，交BC于點(diǎn)D，連接AD∴MN是AB的垂直平分線，∴AD＝BD，∵△ADC的周長(zhǎng)為10，∴AC+AD+CD＝AC+BD+CD＝AC+BC＝10，∵AB＝8，∴△ABC的周長(zhǎng)為：AC+BC+AB＝10+8＝18．【變式6-2】（2022?榆林模擬）如圖，在△ABC中，DE⊥BC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E．請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在線段DC上求作一點(diǎn)P，使AP∥ED．（保留作圖痕跡，不寫作法）【分析】過點(diǎn)A作AP⊥BC于點(diǎn)P，即可解決問題．【解答】解：如圖，點(diǎn)P即為所求．【變式6-3】（2022?長(zhǎng)安區(qū)一模）如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，且CD＝2BD，請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在邊AC上找一點(diǎn)P，使得△PAD的面積等于△BAD的面積（保留作圖痕跡，不寫作法）．【分析】作CD的垂直平分線交CD于E，交AC于P，連接DP、AE，由于CD＝2BD，則DE＝BD，所以△ADE的面積等于△ABD的面積，再利用PE∥AD得到△ADP的面積等于△ADE的面積，從而得到△PAD的面積等于△BAD的面積．【解答】解：如圖，點(diǎn)P為所作．【題型7線段垂直平分線的判定與性質(zhì)的綜合】【例7】（2022秋?伊通縣期末）如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線l1交AB于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)D，AC的垂直平分線l2交AC于點(diǎn)N，交BC于點(diǎn)E，l1與l2相交于點(diǎn)O，△ADE的周長(zhǎng)為10．請(qǐng)你解答下列問題：（1）求BC的長(zhǎng)；（2）試判斷點(diǎn)O是否在邊BC的垂直平分線上，并說明理由．【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DB＝DA，同理EA＝EC，于是得到結(jié)論；（2）連接AO，BO，CO，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）∵l1垂直平分AB，∴DB＝DA，同理EA＝EC，∴BC＝BD+DE+EC＝DA+DE+EA＝10；（2）點(diǎn)O在邊BC的垂直平分線上，理由：連接AO，BO，CO，∵l1與l2是AB，AC的垂直平分線，∴AO＝BO，CO＝AO，∴OB＝OC，∴點(diǎn)O在邊BC的垂直平分線上．【變式7-1】（2022?阜寧縣校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，邊AB、AC的垂直平分線分別交BC于D、E．（1）若BC＝10，求△ADE的周長(zhǎng)；（2）設(shè)直線DM、EN交于點(diǎn)O．①試判斷點(diǎn)O是否在BC的垂直平分線上，并說明理由；②若∠BAC＝100°，求∠BOC的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)垂直平分線性質(zhì)得AD＝BD，AE＝EC．所以△ADE周長(zhǎng)＝BC；（2）①如圖，連接AO，BO，CO，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；②根據(jù)四邊形的內(nèi)角和和等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）∵AB、AC的垂直平分線分別交BC于D、E，∴AD＝BD，AE＝CE，C△ADE＝AD+DE+AE＝BD+DE+CE＝BC＝10；（2）①如圖，點(diǎn)O在BC的垂直平分線上，理由：連接AO，BO，CO，∵DM，EN分別是AB，AC的垂直平分線，∴AO＝BO，OA＝OC，∴OB＝OC，∴點(diǎn)O在BC的垂直平分線上；②∵OM⊥AB，ON⊥AC，∴∠AMO＝∠ANO＝90°，∵∠BAC＝100°，∴∠MO