浙江省湖州市第一中學(xué)高三下學(xué)期新高考數(shù)學(xué)模擬試題

2024年1月普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試模擬訓(xùn)練（湖州一中測(cè)試卷）數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：]．答卷前，考生務(wù)必將自己的考生號(hào)、姓名、考點(diǎn)學(xué)校、考場(chǎng)號(hào)及座位號(hào)填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需要改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若集合，，則為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用無(wú)理不等式及一元一次不等式的解法，結(jié)合交集的定義即可求解.【詳解】,所以.故選：D.2.已知非零向量，，滿足，，若為在上的投影向量，則向量，夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，由平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，向量的投影向量的計(jì)算公式，結(jié)合其夾角公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】由，為在上的投影向量，所以，故故選：B3.已知點(diǎn)是雙曲線的左焦點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線上在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線漸近線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A.8 B.5 C.3 D.2【答案】B【解析】【分析】設(shè)右焦點(diǎn)為，根據(jù)雙曲線的定義可得，再根據(jù)三角形性質(zhì)結(jié)合點(diǎn)到線的距離求解即可.【詳解】設(shè)右焦點(diǎn)為，又由對(duì)稱性，不妨設(shè)在漸近線上.根據(jù)雙曲線的定義可得，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào).又當(dāng)與漸近線垂直時(shí)取最小值，為，故最小值為5.故選：B4.甲箱中有個(gè)紅球，個(gè)白球和個(gè)黑球；乙箱中有個(gè)紅球，個(gè)白球和個(gè)黑球.先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱中，分別以、、表示由甲箱中取出的是紅球、白球和黑球的事件；再?gòu)囊蚁渲须S機(jī)取出一球，以表示由乙箱中取出的球是紅球的事件，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A. B.C.事件與事件不相互獨(dú)立 D.、、兩兩互斥【答案】A【解析】【分析】利用全概率公式可判斷A選項(xiàng)；直接寫出的值，可判斷B選項(xiàng)；利用獨(dú)立事件的定義可判斷C選項(xiàng)；利用互斥事件的定義可判斷D選項(xiàng).【詳解】依題意，，，，，，B對(duì)，，A錯(cuò)；，，所以，，所以，事件與事件不相互獨(dú)立，C對(duì)，由題意可知，事件、、中的任意兩個(gè)事件都不可能同時(shí)發(fā)生，因此，事件、、兩兩互斥，D對(duì).故選：A.5.若數(shù)列滿足，，則滿足不等式的最大正整數(shù)為（）A.28 B.29 C.30 D.31【答案】B【解析】【分析】利用累乘法求得，由此解不等式,求得正確答案.【詳解】依題意，數(shù)列滿足，，，所以，也符合，所以，是單調(diào)遞增數(shù)列，由，解得，所以的最大值為.故選：B6.設(shè)函數(shù)若恰有5個(gè)不同零點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)的范圍為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】畫出的圖象，將恰有5個(gè)不同零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為與有5個(gè)交點(diǎn)即可.詳解】由題知，零點(diǎn)的個(gè)數(shù)可轉(zhuǎn)化為與交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，當(dāng)時(shí)，所以時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減，如圖所示：所以時(shí)有最大值：所以時(shí)，由圖可知必有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，，所以，令，則則有且，如圖所示：因?yàn)闀r(shí)，已有兩個(gè)交點(diǎn)，所以只需保證與有三個(gè)交點(diǎn)即可，所以只需，解得.故選：D【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題往往可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合方便分析求解.7.若，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得，則答案可求.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，令，所以，則，，所以，即恒為遞增函數(shù)，則，即，所以，綜上：，故選：A.8.設(shè)集合，定義：集合，集合，集合，分別用，表示集合S，T中元素的個(gè)數(shù)，則下列結(jié)論可能成立的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】對(duì)A、B：不妨設(shè)，可得，根據(jù)集合的定義可得Y中至少有以上5個(gè)元素，不妨設(shè)，則集合S中至少有7個(gè)元素，排除選項(xiàng)A，若，則集合Y中至多有6個(gè)元素，所以，排除選項(xiàng)B；對(duì)C：對(duì)，則與一定成對(duì)出現(xiàn)，根據(jù)集合的定義可判斷選項(xiàng)C；對(duì)D：取，則，根據(jù)集合的定義可判斷選項(xiàng)D.【詳解】解：不妨設(shè)，則的值為，顯然，，所以集合Y中至少有以上5個(gè)元素，不妨設(shè)，則顯然，則集合S中至少有7個(gè)元素，所以不可能，故排除A選項(xiàng)；其次，若，則集合Y中至多有6個(gè)元素，則，故排除B項(xiàng)；對(duì)于集合T，取，則，此時(shí)，，故D項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)而言，，則與一定成對(duì)出現(xiàn)，，所以一定是偶數(shù)，故C項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知是兩個(gè)虛數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（）A.若，則與均為實(shí)數(shù) B.若與均為實(shí)數(shù)，則C.若均為純虛數(shù)，則為實(shí)數(shù) D.若為實(shí)數(shù)，則均為純虛數(shù)【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的定義即可求解ABC，舉反例即可求解D.【詳解】設(shè)，．，．若，則，，所以，，所以A正確；若與均為實(shí)數(shù)，則，且，又，，所以，所以B正確；若，均為純虛數(shù)，則，所以，所以C正確；取，，則為實(shí)數(shù)，但，不是純虛數(shù)，所以D錯(cuò)誤．故選：ABC．10.如圖所示，棱長(zhǎng)為3的正方體中，為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的是（）A. B.與所成的角可能是C.是定值 D.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到平面的距離為1【答案】ACD【解析】【分析】以為原點(diǎn)，為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，計(jì)算，可判斷A；假設(shè)與所成的角是，則，求解可判斷B；計(jì)算，可判斷C；當(dāng)時(shí)，，求出平面的法向量，利用點(diǎn)到平面的距離公式可判斷D.【詳解】以為原點(diǎn)，為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，設(shè)，，則，，所以，則，故A正確；因?yàn)椋?，所以，若與所成的角是，則，即，整理得，得，與矛盾，故B錯(cuò)誤；，，所以為定值，故C正確；當(dāng)時(shí)，，，，，設(shè)平面的法向量為，由令，則，，，點(diǎn)到平面的距離，故D正確.故選：ACD.11.已知函數(shù)為定義在上的偶函數(shù)，，且，則（）A. B.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.以6為周期的函數(shù) D.【答案】ABC【解析】【分析】令，求出可判斷A；利用和得出可判斷B正確；利用周期函數(shù)的定義和求出周期可判斷C；賦值法求出，結(jié)合周期可判斷D.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為定義在上的偶函數(shù)，所以，，對(duì)于A，令，可得，因?yàn)?，可得，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)椋?，可得，從而，又因?yàn)椋傻?，所以，可得，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，所以，可得，所以有，所以?為周期的函數(shù)，故C正確；對(duì)于D，，，令可得，可得，令可得，可得，令可得，可得，令可得，可得，所以，所以，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：適當(dāng)?shù)馁x值和變量代換，是探求抽象函數(shù)周期的關(guān)鍵，求解抽象函數(shù)問(wèn)題，要有扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)和較強(qiáng)的抽象思維和邏輯推理能力.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.有一個(gè)郵件過(guò)濾系統(tǒng)，它可以根據(jù)郵件的內(nèi)容和發(fā)件人等信息，判斷郵件是不是垃圾郵件，并將其標(biāo)記為垃圾郵件或正常郵件.對(duì)這個(gè)系統(tǒng)的測(cè)試具有以下結(jié)果：每封郵件被標(biāo)記為垃圾郵件的概率為，被標(biāo)記為垃圾郵件的有的概率是正常郵件，被標(biāo)記為正常郵件的有的概率是垃圾郵件，則垃圾郵件被該系統(tǒng)成功過(guò)濾（即垃圾郵件被標(biāo)記為垃圾郵件）的概率為__________.【答案】【解析】【分析】記“正常郵件”，“標(biāo)記為正常郵件”，根據(jù)題設(shè)有，，，再應(yīng)用對(duì)立事件、條件概率、全概率及貝葉斯公式求垃圾郵件被該系統(tǒng)成功過(guò)濾的概率.【詳解】記“正常郵件”，“標(biāo)記為正常郵件”，則，，，所以，，故，所以.故答案為：13.已知，若存在使得，則k的最大值為________．【答案】1011【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開式通項(xiàng)可得，討論的奇偶性，結(jié)合分析求解即可.【詳解】二項(xiàng)式的通項(xiàng)為，二項(xiàng)式的通項(xiàng)為，所以，，若，則有：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，此時(shí)，即，則，可得，又因?yàn)闉槠鏀?shù)，所以的最大值為1011；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，此時(shí)，不合題意；綜上所述：的最大值為1011.故答案為：1011.14.已知為拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于不同的兩點(diǎn)，，拋物線在點(diǎn)處的切線分別為和，若和交于點(diǎn)，則的最小值為__________.【答案】10【解析】【分析】設(shè)直線方程為，，聯(lián)立拋物線方程得出韋達(dá)定理，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解方程，聯(lián)立可得，再代入根據(jù)基本不等式求解最小值即可.【詳解】的焦點(diǎn)為，設(shè)直線方程為，.聯(lián)立直線與拋物線方程有，則.又求導(dǎo)可得，故直線方程為.又，故，同理.聯(lián)立可得，解得，代入可得，代入韋達(dá)定理可得，故.故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).故答案為：10【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：如圖，假設(shè)拋物線方程為，過(guò)拋物線準(zhǔn)線上一點(diǎn)向拋物線引兩條切線，切點(diǎn)分別記為，其坐標(biāo)為.則以點(diǎn)和兩切點(diǎn)圍成的三角形中，有如下的常見結(jié)論:結(jié)論1.直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn).結(jié)論2.直線的方程為.結(jié)論3.過(guò)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，以分別為切點(diǎn)做兩條切線，則這兩條切線的交點(diǎn)的軌跡即為拋物線的準(zhǔn)線.結(jié)論4..結(jié)論5..結(jié)論6.直線的中點(diǎn)為，則平行于拋物線的對(duì)稱軸.結(jié)論7.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知橢圓的左右頂點(diǎn)距離為，離心率為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)且斜率不為0的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，求弦垂直平分線的縱截距的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)長(zhǎng)軸長(zhǎng)與橢圓的離心率求得，進(jìn)而得到橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)與橢圓方程聯(lián)立后，得到韋達(dá)定理的形式，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式表示出點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到方程；令可求得在軸的截距，利用函數(shù)值域的求解方法可求得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】由題意，，即，又，所以，故，故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.小問(wèn)2詳解】如圖，由題意知：直線的斜率存在且不為零，設(shè)，，，，中點(diǎn)，聯(lián)立，消去并整理得：，恒成立，則，，，，則方程為：，即，化簡(jiǎn)得：設(shè)直線在軸上截距為，令得，由可知，所以直線在軸上的截距的取值范圍為.16.在銳角中，設(shè)邊所對(duì)的角分別為，且．（1）證明：（2）若，求的取值范圍．【答案】（1）證明見詳解（2）【解析】【分析】（1）余弦定理結(jié)合已知消元，然后利用正弦定理邊化角，利用內(nèi)角和定理消去角C，用和差公式化簡(jiǎn)后，利用正弦函數(shù)單調(diào)性可得；（2）利用正弦定理將目標(biāo)式轉(zhuǎn)化為關(guān)于角B的三角函數(shù)，根據(jù)銳角三角形定義求角B范圍，然后使用換元法，借助對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)即可求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以，整理得，又，所以，所以，整理得，所以，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，所以，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，即.【小問(wèn)2詳解】由（1）可知，，因?yàn)椋杂烧叶ɡ砜傻?，，即，因?yàn)椋?，又，所以，即，所以，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，解得，則.記，則，由對(duì)勾函數(shù)可知，在上單調(diào)遞增，所以，即的取值范圍為17.如圖，在四棱錐中，已知，是等邊三角形，且為的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）當(dāng)時(shí)，試判斷在棱上是否存在點(diǎn)，使得二面角的大小為.若存在，請(qǐng)求出的值；否則，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）證明見解析（2）存在，【解析】【分析】（1）根據(jù)線線平行即可結(jié)合線面平行的判定求證，（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量的夾角求解二面角，即可求解.【小問(wèn)1詳解】證明：在四棱錐中，已知，如圖，取的中點(diǎn)，連接，是等邊三角形，且為的中點(diǎn).，是棱的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，且.，，且.四邊形是平行四邊形，.平面平面，平面.【小問(wèn)2詳解】是等邊三角形，為的中點(diǎn)，，且為的中點(diǎn)，，，又，且平面平面，平面,平面,，又，且平面，平面，平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系則，假設(shè)存在滿足題設(shè)的點(diǎn)，不妨設(shè)，且，則，，且，，即，所以則即不妨設(shè)平面的一個(gè)法向量為，易知，由令，則，.顯然平面的一個(gè)法向量為，.，又，解得，存在滿足題設(shè)的點(diǎn)，此時(shí).18.已知在一個(gè)不透明的盒中裝有一個(gè)白球和兩個(gè)紅球（小球除顏色不同，其余完全相同），某抽球試驗(yàn)的規(guī)則如下：試驗(yàn)者在每一輪需有放回地抽取兩次，每次抽取一個(gè)小球，從第一輪開始，若試驗(yàn)者在某輪中的兩次均抽到白球，則該試驗(yàn)成功，并停止試驗(yàn).否則再將一個(gè)黃球（與盒中小球除顏色不同，其余完全相同）放入盒中，然后繼續(xù)進(jìn)行下一輪試驗(yàn).（1）若規(guī)定試驗(yàn)者甲至多可進(jìn)行三輪試驗(yàn)（若第三輪不成功，也停止試驗(yàn)），記甲進(jìn)行的試驗(yàn)輪數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）若規(guī)定試驗(yàn)者乙至多可進(jìn)行輪試驗(yàn)（若第輪不成功，也停止試驗(yàn)），記乙在第輪使得試驗(yàn)成功的概率為，則乙能試驗(yàn)成功的概率為，證明：.【答案】（1）分布列見解析，（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由條件確定的取值，再求取各值的概率，由此可得分布列，再由期望公式求期望；（2）由（1）中結(jié)論及結(jié)合題意寫出每一輪的概率，結(jié)合概率乘法公式從而求解.【小問(wèn)1詳解】由題意得，的可能取值為，在第一輪中，試驗(yàn)者每次抽到白球的概率為，，依題意，在第二輪中，盒中有一個(gè)白球，兩個(gè)紅球和一個(gè)黃球，每次摸到白球的概率為，，易知，的分布列為：123的數(shù)學(xué)期望.【小問(wèn)2詳解】證明：當(dāng)時(shí)，不難知道，，，由（1）可知，又，，.即.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第二問(wèn)的關(guān)