指數(shù)函數(shù)概念教學(xué)設(shè)計(jì) 高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊(cè)

“指數(shù)函數(shù)”概念教學(xué)設(shè)計(jì)1教學(xué)內(nèi)容解析“指數(shù)函數(shù)的概念”是新版教材人教A版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)必修1第四章第4.2.1節(jié)內(nèi)容.函數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中最基本的概念，指數(shù)函數(shù)是學(xué)習(xí)完函數(shù)的概念及性質(zhì)和冪函數(shù)之后，又一次用研究函數(shù)的一般思路來(lái)研究基本初等函數(shù)的具體體驗(yàn)，作為常見(jiàn)函數(shù)，它既是函數(shù)概念以及性質(zhì)的第一次應(yīng)用，也是今后學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)函數(shù)的基礎(chǔ)，同時(shí)在生活中及生產(chǎn)實(shí)際中有著廣泛地應(yīng)用，所以指數(shù)函數(shù)應(yīng)重點(diǎn)研究.主要通過(guò)實(shí)際問(wèn)題建立模型，抽象出指數(shù)函數(shù)的概念.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》對(duì)本節(jié)課的要求是：通過(guò)對(duì)具體實(shí)例，了解指數(shù)函數(shù)的實(shí)際意義，理解指數(shù)函數(shù)的概念.通過(guò)對(duì)指數(shù)函數(shù)概念的學(xué)習(xí)，學(xué)生可以體驗(yàn)指數(shù)函數(shù)概念的抽象過(guò)程，另一方面為后續(xù)學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)打下基礎(chǔ).2學(xué)情分析知識(shí)層面：學(xué)生已經(jīng)掌握了函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)，能夠利用實(shí)際問(wèn)題抽象出函數(shù)表達(dá)式，并了解函數(shù)在生活中的應(yīng)用，積累了一定的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，在教師的引導(dǎo)下，能夠從現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中歸納出數(shù)學(xué)結(jié)論.能力層面：高一新生邏輯思維能力不是很成熟，數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)尚處于初級(jí)階段，閱讀能力還需提升，文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言之間的轉(zhuǎn)化能力還需加強(qiáng)，在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，需要教師進(jìn)行適當(dāng)指導(dǎo).情感層面：學(xué)生思維活躍，樂(lè)于合作，有探究問(wèn)題的意識(shí)，但思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和分類討論、歸納推理能力有待于提高.資源層面：運(yùn)用geogebra軟件進(jìn)行動(dòng)態(tài)繪圖，將實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化，更直觀的呈現(xiàn)在學(xué)生面前幫助學(xué)生克服學(xué)習(xí)中可能遇到的困難，更好的理解指數(shù)函數(shù)的概念及其應(yīng)用.3教學(xué)設(shè)計(jì)思想3.1教學(xué)設(shè)計(jì)思路指數(shù)函數(shù)是繼冪函數(shù)之后的又一個(gè)重要初等函數(shù)，以《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》的基本理論為依據(jù)，針對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)背景進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì).在學(xué)習(xí)冪函數(shù)的基礎(chǔ)上再次讓學(xué)生經(jīng)歷研究一個(gè)新函數(shù)模型的基本過(guò)程，即：背景—概念—圖象和性質(zhì)—應(yīng)用.考慮到多數(shù)高中生的認(rèn)知特點(diǎn)，為了有助于學(xué)生對(duì)指數(shù)函數(shù)概念本質(zhì)的理解，可以從學(xué)生自己的生活經(jīng)歷和實(shí)際問(wèn)題入手.結(jié)合教科書(shū)中從旅游人次變化、碳14衰減兩個(gè)材料中抽象出指數(shù)函數(shù)的概念，讓學(xué)生熟悉它的知識(shí)背景，感受到指數(shù)函數(shù)是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的又一重要數(shù)學(xué)模型.這樣處理，可以使指數(shù)函數(shù)顯得不抽象，學(xué)生容易接受.3.2整體設(shè)計(jì)思路從一個(gè)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題出發(fā)，從游客人數(shù)的增長(zhǎng)率抽象出一個(gè)指數(shù)函數(shù)模型，之后引導(dǎo)學(xué)生探索指數(shù)函數(shù)成立的條件，最后將指數(shù)函數(shù)應(yīng)用于實(shí)際.4教學(xué)目標(biāo)4.1課程目標(biāo)（1）通過(guò)導(dǎo)入指數(shù)函數(shù)的實(shí)際背景，借助信息技術(shù)手段研究旅游人次變化和碳14衰減變化的過(guò)程，進(jìn)一步體會(huì)指數(shù)函數(shù)概念的抽象過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生觀察問(wèn)題，分析問(wèn)題和歸納問(wèn)題的思維能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力.（2）掌握指數(shù)函數(shù)的概念，經(jīng)歷用指數(shù)函數(shù)概念解決簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).（3）在學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)概念的過(guò)程中，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)事物的特殊性與一般性之間的關(guān)系，培養(yǎng)數(shù)學(xué)應(yīng)用的意識(shí)，探索數(shù)學(xué)規(guī)律的方法.4.2教學(xué)重難點(diǎn)由不同情境通過(guò)數(shù)量和數(shù)量關(guān)系抽象出指數(shù)函數(shù)概念，并用數(shù)學(xué)語(yǔ)言予以表征，是這節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)，也是教學(xué)難點(diǎn).以數(shù)學(xué)運(yùn)算為抓手，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，引導(dǎo)學(xué)生利用信息技術(shù)手段分析，進(jìn)而突破難點(diǎn).在抽象出指數(shù)函數(shù)的概念后，利用它處理實(shí)際問(wèn)題是本節(jié)課的第二個(gè)教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)，應(yīng)該充分運(yùn)用數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)形結(jié)合的思想方法，并通過(guò)信息技術(shù)的直觀操作來(lái)化解.5教學(xué)策略分析基于對(duì)教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生學(xué)情的分析，可以采用以下五點(diǎn)教學(xué)策略：（1）問(wèn)題引領(lǐng)學(xué)習(xí)：以問(wèn)題串貫穿課堂始終，旨在通過(guò)這些問(wèn)題引領(lǐng)學(xué)生自主探究指數(shù)函數(shù)概念，同時(shí)這些問(wèn)題又能促進(jìn)學(xué)生在提高數(shù)學(xué)抽象能力.（2）積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)：引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷設(shè)計(jì)指數(shù)函數(shù)概念形成過(guò)程并自主探究，從整體上把握指數(shù)函數(shù)的本質(zhì)，同時(shí)重視合作交流，為學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)積累經(jīng)驗(yàn).（3）發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)：在自主探究指數(shù)函數(shù)概念的過(guò)程中，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).（4）重視學(xué)生學(xué)習(xí)能力的提升：在探究指數(shù)函數(shù)概念的過(guò)程中，力求掌握知識(shí)的同時(shí)，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)能力的提高，進(jìn)一步學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)問(wèn)題研究的基本方法和策略，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.（5）過(guò)程中滲透研究方法”策略：指數(shù)函數(shù)概念的引入，可以用學(xué)生熟悉的例子為背景進(jìn)行抽象，從學(xué)生已知的、基于變量關(guān)系的函數(shù)定義入手，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)生活或者數(shù)學(xué)中的問(wèn)題，構(gòu)建函數(shù)的一般概念，體會(huì)用對(duì)應(yīng)關(guān)系定義函數(shù)的必要性，感悟數(shù)學(xué)抽象的層次.6教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)對(duì)于本節(jié)課的教學(xué)過(guò)程，我將以下七個(gè)方面展開(kāi).6.1創(chuàng)設(shè)情境，引入新課情境1：隨著中國(guó)經(jīng)濟(jì)高速增長(zhǎng)，人民生活水平不斷提高，旅游成了越來(lái)越多家庭的重要生活方式.由于旅游人數(shù)不斷增加，A，B兩地景區(qū)自2001年起采取了不同的應(yīng)對(duì)措施，A地提高了門票價(jià)格，而B(niǎo)地則取消了景區(qū)門票.表1給出了A，B兩地景區(qū)2001年至2015年的游客人次.表1時(shí)間/年A地景區(qū)B地景區(qū)人次/萬(wàn)次人次/萬(wàn)次200160027820026093092003620344200463138320056414272006650475200766152820086715882009681655201069172920117028112012711903201372110052014732111820157431244問(wèn)題1：比較兩地景區(qū)游客人數(shù)的變化，你發(fā)現(xiàn)了怎樣的變化規(guī)律？課堂預(yù)設(shè)：學(xué)生直觀感知：兩地游客人數(shù)逐年增加，但A地增加相對(duì)緩慢，B地增加要快.設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生直觀感知數(shù)據(jù)的變化情況.問(wèn)題2：能用數(shù)學(xué)方法描述這種變化規(guī)律嗎？教學(xué)預(yù)設(shè)：師生通過(guò)geogebra完成兩地景區(qū)數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖的制作.基于圖形學(xué)生可以非常直觀地發(fā)現(xiàn)A地景區(qū)數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖趨近于一條直線（圖1），B地景區(qū)數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖趨近于一條曲線（圖2）.圖1A地景區(qū)數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖圖2B地景區(qū)數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖設(shè)計(jì)意圖：為了方便觀察，可以先根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)描點(diǎn).這個(gè)問(wèn)題是要引導(dǎo)學(xué)生作圖，然后通過(guò)圖象感知變化規(guī)律.這是由數(shù)到形的一個(gè)過(guò)程，旨在培養(yǎng)學(xué)生基本的數(shù)學(xué)思想方法.問(wèn)題3：A地景區(qū)數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖散落在一條直線周圍，你能用數(shù)量關(guān)系解釋這一直觀現(xiàn)象嗎？B地景區(qū)數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖散落在一條曲線周圍，它又應(yīng)該用什么數(shù)量關(guān)系進(jìn)行合理的解釋？教學(xué)預(yù)設(shè)：A地景區(qū)數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖散落在一條直線周圍，即說(shuō)明每經(jīng)過(guò)一年，A地增加的旅游人次大致相等，也就是說(shuō)旅游人次的年增加量大致相等.而B(niǎo)地景區(qū)數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖散落在一條曲線周圍，也就是說(shuō)B地景區(qū)旅游人次的年增加量與A地景區(qū)數(shù)據(jù)將會(huì)出現(xiàn)不同的變化規(guī)律.師生活動(dòng)：（1）借助信息技術(shù)手段快速計(jì)算A，B兩地景區(qū)數(shù)據(jù)的年增加量（如表2），發(fā)現(xiàn)A地景區(qū)數(shù)據(jù)的年增加量大致相等（約為10萬(wàn)次）；（2）對(duì)于A地景區(qū)數(shù)據(jù)的年增加量大致相等，引導(dǎo)學(xué)生用函數(shù)解析式表示.表2/年A地景區(qū)B地景區(qū)////2001600——278——2002609930931200362011344352004631113833920056411042744200665094754820076611152853200867110588602009681106556720106911072974201170211811822012711990392201372110100510220147321111181132015743111244126設(shè)計(jì)意圖：上個(gè)問(wèn)題使學(xué)生實(shí)現(xiàn)了由數(shù)到形的轉(zhuǎn)變.本問(wèn)題希望學(xué)生能用數(shù)量解釋幾何圖形的直觀現(xiàn)象，即由形到數(shù)，再次加強(qiáng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的基本思想.問(wèn)題4：由問(wèn)題3的數(shù)據(jù)處理我們發(fā)現(xiàn)，B地景區(qū)數(shù)據(jù)的增加量不像A地景區(qū)數(shù)據(jù)的增加量那樣大致相等，而是越變?cè)酱?，這仍然是定性刻畫.要定量刻畫變化規(guī)律，就需要找到與A地景區(qū)數(shù)據(jù)中類似的常數(shù)（增加量）.你能找到B地景區(qū)數(shù)據(jù)中這個(gè)不變的量嗎？教學(xué)預(yù)設(shè)：做減法可以得到旅游人次的年增加量，做除法可以得出旅游人次的年增長(zhǎng)率.增加量和增長(zhǎng)率是刻畫事物變化規(guī)律的兩個(gè)非常重要的量.如表3，對(duì)于B地景區(qū)數(shù)據(jù)，從2002年起將每年的旅游人次除以上一年的旅游人次，可以發(fā)現(xiàn)每年人次≈（上一年人次）×1.11.結(jié)果表明B地景區(qū)旅游人次的年增長(zhǎng)率約為0.11，是一個(gè)不變的常數(shù).像這樣，增長(zhǎng)率為常數(shù)的變化形式，我們稱為指數(shù)增長(zhǎng).設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生處理原始數(shù)據(jù)，分析數(shù)據(jù)，最終找到B地景區(qū)數(shù)據(jù)中的不變量.這一過(guò)程以數(shù)學(xué)運(yùn)算為抓手，充分利用信息技術(shù)構(gòu)建出函數(shù)模型.表3時(shí)間/年B地景區(qū)人次/萬(wàn)次每年人次上一年人次年增加量上一年人次2001278————20023091.1115107910.11151079120033441.1132686080.11326860820043831.1133720930.11337209320054271.1148825070.11488250720064751.1124121780.11241217820075281.1115789470.11157894720085881.1136363640.11363636420096551.1139455780.11394557820107291.1129770990.11297709920118111.1124828530.11248285320129031.11344019701129568110.112956811201411181.1124378110.112437811201512441.1127012520.1127012526.2合作交流，探究新知問(wèn)題1：通過(guò)前面的分析，我們可以發(fā)現(xiàn)：從2001年開(kāi)始，若B地景區(qū)游客人次在一年后，游客人次是2001年的1.111倍，那么以后的每一年B地景區(qū)游客人次的變化規(guī)律可以近似描述成什么？教學(xué)預(yù)設(shè)：學(xué)生自主思考，師生討論得出結(jié)果列在黑板上：2年后，游客人次是2001年的1.112倍；3年后，游客人次是2001年的1.113倍；4年后，游客人次是2001年的1.114倍……x年后，游客人次是2001年的1.11x倍；設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般的思想過(guò)程.問(wèn)題2：如果設(shè)經(jīng)過(guò)x年的游客人次為2001年的y倍，那么：y=1.11x，這是一個(gè)函數(shù)嗎？如果是，那么x有沒(méi)有取值范圍呢？教學(xué)預(yù)設(shè)：學(xué)生討論后回答，x需大于或等于0.設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生體會(huì)函數(shù)中定義域的重要性，提高學(xué)生的嚴(yán)謹(jǐn)性.總結(jié)：指數(shù)函數(shù)的概念：一般地，函數(shù)y=ax（a>0且a≠1）叫做指數(shù)函數(shù)，其中x為自變量，定義域?yàn)镽.教師補(bǔ)充：（1）一次函數(shù)可以刻畫增加量（減少量）不變的變化規(guī)律，指數(shù)函數(shù)用來(lái)刻畫增長(zhǎng)率（衰減率）不變的變化規(guī)律；（2）指數(shù)函數(shù)圖象一定在x軸上方；（3）增長(zhǎng)率不變對(duì)應(yīng)的函數(shù)單調(diào)遞增，衰減率不變對(duì)應(yīng)的函數(shù)單調(diào)遞減.6.3應(yīng)用新知，體驗(yàn)成功例題1：已知指數(shù)函數(shù)f（x）=ax（a>0且a≠1），且f（3）=π，求f（0），f（1），f（-3）的值.學(xué)生活動(dòng)：師生合作完成，學(xué)生口述解題過(guò)程.設(shè)計(jì)意圖：主要幫助學(xué)生處理三個(gè)問(wèn)題：一是讓學(xué)生熟悉指數(shù)函數(shù)的解析式和對(duì)應(yīng)關(guān)系.二是讓學(xué)生學(xué)習(xí)利用函數(shù)解析式列方程求底數(shù)a的值.這里可以引導(dǎo)學(xué)生與初中用待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)解析式做類比.三是希望通過(guò)“學(xué)生口述、教師板演”的方法檢驗(yàn)學(xué)生的掌握情況，同時(shí)提高學(xué)生答題的規(guī)范性學(xué)生活動(dòng).例題2：在情境1中，如果平均每位游客出游一次可以給當(dāng)?shù)貛?lái)1000元門票之外的收入，A地景區(qū)門票價(jià)格為150元，比較這15年間A，B兩地景區(qū)的收入變化情況.學(xué)生活動(dòng)：（1）建立經(jīng)過(guò)x年，游客分別給A，B兩地景區(qū)帶來(lái)的收入函數(shù)f（x），g（x）.由總收入=人均收入×人數(shù)=門票收入+其他收入，得f（x）=1150(10x+600)；g（x）=1000×278×1.11x.設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)函數(shù)圖象之間的聯(lián)系描述兩地景區(qū)的收入變化情況，可以加強(qiáng)學(xué)生用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，進(jìn)而提高學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述實(shí)際問(wèn)題的素養(yǎng)（數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)），并提升學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想.通過(guò)抽象過(guò)程幫助學(xué)生直觀感知指數(shù)函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)，為下一課時(shí)的教學(xué)進(jìn)行有效鋪墊.6.4梳理小結(jié)，盤點(diǎn)收獲建立指數(shù)函數(shù)的知識(shí)體系，總結(jié)解決問(wèn)