北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)專題2.10實(shí)數(shù)章末十二大題型總結(jié)(培優(yōu)篇)同步練習(xí)(學(xué)生版+解析)

專題2.10實(shí)數(shù)章末十二大題型總結(jié)（培優(yōu)篇）【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1實(shí)數(shù)的概念辨析】 1【題型2直接求平方根、立方根】 2【題型3由平方根、立方根，求該數(shù)】 2【題型4估算二次根式的取值范圍】 3【題型5利用平方根、立方根解方程】 3【題型6由平方根、立方根求參數(shù)的值】 3【題型7實(shí)數(shù)的大小比較】 4【題型8實(shí)數(shù)與數(shù)軸綜合運(yùn)用】 5【題型9二次根式的混合運(yùn)算】 6【題型10二次根式的化簡(jiǎn)求值】 6【題型11利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)】 7【題型12求二次根式中的參數(shù)值】 7【題型1實(shí)數(shù)的概念辨析】【例1】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)期中）把下列各數(shù)分別填入相應(yīng)的集合里：38，π3，?32，?78，0，?0.2.2.，1.414，?7．(1)有理數(shù)集合：{________________…}；(2)負(fù)無(wú)理數(shù)集合：{______________…}；(3)正實(shí)數(shù)集合：{________________…}．【變式1-1】（2023秋·河北承德·八年級(jí)?？计谥校┫铝姓f(shuō)法中：①0是最小的整數(shù)；②有理數(shù)不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)；③﹣π2不僅是有理數(shù)，而且是分?jǐn)?shù)；④23A．7個(gè) B．6個(gè) C．5個(gè) D．4個(gè)【變式1-2】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)期中）對(duì)于?3+5的敘述，下列說(shuō)法中正確的是（

A．它不能用數(shù)軸上的點(diǎn)表示出來(lái) B．它是一個(gè)無(wú)理數(shù)C．它比0大 D．它的相反數(shù)為3＋5【變式1-3】（2023秋·浙江溫州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）小聰在學(xué)完實(shí)數(shù)后，對(duì)數(shù)進(jìn)行分類時(shí)，發(fā)現(xiàn)“實(shí)數(shù)”、“整數(shù)”、“正數(shù)”、“無(wú)理數(shù)”有如圖所示的關(guān)系，請(qǐng)你在圖中的橫線上分別填上一個(gè)適合的數(shù)．【題型2直接求平方根、立方根】【例2】（2023春·四川廣元·八年級(jí)校聯(lián)考期中）下列式子正確的是（

）A．49=±7 B．?32=?3 C．?【變式2-1】（2023春·廣西河池·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列說(shuō)法中，錯(cuò)誤的是（

）A．2的平方根是±4 B．0的平方根是0 C．1的平方根是±1 D．?1的立方根是?1【變式2-2】（2023春·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)統(tǒng)考期末）若x?4+5?y2=0，則【變式2-3】（2023春·吉林松原·八年級(jí)校聯(lián)考期中）已知64的立方根是m，m的平方根是n，求m+n的值．【題型3由平方根、立方根，求該數(shù)】【例3】（2023秋·河北石家莊·八年級(jí)石家莊市第二十二中學(xué)校考期末）若a的算術(shù)平方根為17.25，b的立方根為?8.69；x的平方根為±1.725，y的立方根為86.9，則（

）A．x=1100a,y=?1000bC．x=100a,y=1100a【變式3-1】（2023春·福建南平·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知a的平方根為±3，a+b的算術(shù)平方根為2，求a?b的平方根．【變式3-2】（2023春·湖北孝感·八年級(jí)統(tǒng)考期末）某正數(shù)的兩個(gè)平方根分別是a+3、2a?15，則這個(gè)正數(shù)為．【變式3-3】（2023春·云南普洱·八年級(jí)校考期中）已知a的平方根是±5，2b+4的立方根是2，3（1）求a,b,c的值；（2）求a+2b+c的算術(shù)平方根．【題型4估算二次根式的取值范圍】【例4】（2023春·湖北荊州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，用邊長(zhǎng)為3的兩個(gè)小正方形拼成一個(gè)面積為18的大正方形，則大正方形的邊長(zhǎng)最接近的整數(shù)是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【變式4-1】（2023春·河北邢臺(tái)·八年級(jí)?？计谥校┕烙?jì)230?24A．1和2之間 B．2和3之間 C．3和4之間 D．4和5之間【變式4-2】（2023春·新疆塔城·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知x是整數(shù)，當(dāng)x?30取最小值時(shí)，x的值是(

A．5 B．6 C．7 D．8【變式4-3】（2023春·福建廈門·八年級(jí)廈門市湖濱中學(xué)?？计谥校┮阎猰2＜21，若m+2是整數(shù)，則m【題型5利用平方根、立方根解方程】【例5】（2023秋·江蘇鹽城·八年級(jí)校聯(lián)考期中）求下列式子中的x(1)2(2)3【變式5-1】（2023春·廣西玉林·八年級(jí)統(tǒng)考期中）求下列各式中x的值．(1)25?x(2)(x+1)3【變式5-2】（2023春·湖北孝感·八年級(jí)統(tǒng)考期中）求x的值：(1)25(2)(x+1)【變式5-3】（2023秋·江蘇·八年級(jí)期中）解方程：32【題型6由平方根、立方根求參數(shù)的值】【例6】（2023春·重慶彭水·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知a?4的立方根是1，3a?b?2的算術(shù)平方根是3，13的整數(shù)部分是c．(1)求a，b，c的值．(2)求2a?3b+c的平方根．【變式6-1】（2023春·甘肅慶陽(yáng)·八年級(jí)?？计谥校┮阎狝=a?1a+3b是a＋3b的算術(shù)平方根，B=2a?b?11?a2是1－a【變式6-2】（2023秋·陜西咸陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知a?1的算術(shù)平方根是2，4a+b?3的立方根是3，c是15的整數(shù)部分，求ac+b的平方根．【變式6-3】（2023春·福建廈門·八年級(jí)校聯(lián)考期中）已知5a+2的立方根是3，3a+b?1的算術(shù)平方根是4，c是15的整數(shù)部分，d是15的小數(shù)部分．(1)求a，b，c，d的值；(2)求3a?b+c的平方根．【題型7實(shí)數(shù)的大小比較】【例7】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)期末）已知a=2022?2021，b=2021?2020，c=2020?2019A．a(chǎn)<b<c B．a(chǎn)<c<b C．c<b<a D．b<c<a【變式7-1】（2023春·江蘇蘇州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）秦兵馬俑的發(fā)現(xiàn)被譽(yù)為“世界第八大奇跡”，兵馬俑的眼睛到下巴的距離與頭頂?shù)较掳偷木嚯x之比為5?12，下列各數(shù)中最接近于5?1A．25 B．12 C．35【變式7-2】（2023秋·陜西西安·八年級(jí)?？计谥校┍容^下列各組數(shù)的大?。?21.4；275；5311；5【變式7-3】（2023春·湖北武漢·八年級(jí)武漢市糧道街中學(xué)校聯(lián)考期中）“比差法”是數(shù)學(xué)中常用的比較兩個(gè)數(shù)大小的方法，即：a?b>0，則例如：比較19?2∵19?2?2=19?4

又∵16∴19?2?2=19?4>0請(qǐng)根據(jù)上述方法解答以下問(wèn)題：(1)29的整數(shù)部分是________，7?29(2)比較2?23與?3(3)已知a+ba?b=a2?【題型8實(shí)數(shù)與數(shù)軸綜合運(yùn)用】【例8】（2023秋·河北邯鄲·八年級(jí)?？计谥校┮阎?是無(wú)理數(shù)，而無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，因此2的小數(shù)部分不可能全部寫出來(lái)，但由于1<2<2，所以2的整數(shù)部分為1，將2減去其整數(shù)部分1，差即小數(shù)部分

(1)7的整數(shù)部分是__________，小數(shù)部分是__________；(2)若4+3的整數(shù)部分是x，小數(shù)部分是y①填空：y=__________；②如圖，若面積為x的正方形放置在數(shù)軸上，使得正方形的一個(gè)頂點(diǎn)和表示?1的點(diǎn)重合，一條邊恰好落在數(shù)軸正方向上，其另一個(gè)頂點(diǎn)為數(shù)軸上的點(diǎn)A，求點(diǎn)A表示的數(shù)．【變式8-1】（2023春·江西上饒·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，半徑為1的圓上有一點(diǎn)P落在數(shù)軸上表示?1的點(diǎn)處，若將圓沿?cái)?shù)軸向左滾動(dòng)一周后，點(diǎn)P所處的位置在兩個(gè)連續(xù)的整數(shù)m，n之間，則m+n的值為．

【變式8-2】（2023春·云南曲靖·八年級(jí)?？计谥校┮阎c(diǎn)A、B、C在數(shù)軸上表示的數(shù)a、b、c的位置如圖所示：化簡(jiǎn)：3b3【變式8-3】（2023秋·浙江衢州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，正方形ABCD的邊AB在數(shù)軸上，數(shù)軸上點(diǎn)B表示的數(shù)為?1，正方形ABCD的面積為16．圖中陰影部分為正方形．

(1)數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為_(kāi)__________；(2)求圖中陰影部分的面積是多少？(3)陰影部分正方形的邊長(zhǎng)是多少？并在數(shù)軸上表示出點(diǎn)E，使點(diǎn)E表示的數(shù)為該正方形的邊長(zhǎng)．【題型9二次根式的混合運(yùn)算】【例9】（2023春·四川廣安·八年級(jí)?？计谥校┯?jì)算：(1)91(2)(6【變式9-1】（2023春·上海·八年級(jí)?？计谀┯?jì)算：12+【變式9-2】（2023春·黑龍江綏化·八年級(jí)?？计谥校┯?jì)算．(1)5?3+(2)54?11?4【變式9-3】（2023春·黑龍江綏化·八年級(jí)校考期中）計(jì)算(1)(a(2)(a+b?【題型10二次根式的化簡(jiǎn)求值】【例10】（2023春·上海閔行·八年級(jí)上海市閔行區(qū)莘松中學(xué)?？计谥校┫然?jiǎn)，再求值：x?yx?y【變式10-1】（2023春·浙江寧波·八年級(jí)?？计谀┮阎獂+1x=3，且0<x<1【變式10-2】（2023春·廣西南寧·八年級(jí)統(tǒng)考期中）先化簡(jiǎn)，再求值4525x+9【變式10-3】（2023春·湖北武漢·八年級(jí)華師一附中初中部校考期中）已知x＝12020?2019，則x6﹣22019x5﹣x4＋x3﹣22020x2＋2x﹣2020A．0 B．1 C．2019 D．2020【題型11利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)】【例11】（2023春·山東威?！ぐ四昙?jí)統(tǒng)考期末）已知a>b，則aa?b?b?a【變式11-1】（2023春·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）若xy<0，則x2y化簡(jiǎn)后的結(jié)果是（專題2.10實(shí)數(shù)章末十二大題型總結(jié)（培優(yōu)篇）【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1實(shí)數(shù)的概念辨析】 1【題型2直接求平方根、立方根】 4【題型3由平方根、立方根，求該數(shù)】 5【題型4估算二次根式的取值范圍】 7【題型5利用平方根、立方根解方程】 9【題型6由平方根、立方根求參數(shù)的值】 11【題型7實(shí)數(shù)的大小比較】 14【題型8實(shí)數(shù)與數(shù)軸綜合運(yùn)用】 17【題型9二次根式的混合運(yùn)算】 20【題型10二次根式的化簡(jiǎn)求值】 23【題型11利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)】 25【題型12求二次根式中的參數(shù)值】 28【題型1實(shí)數(shù)的概念辨析】【例1】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)期中）把下列各數(shù)分別填入相應(yīng)的集合里：38，π3，?32，?78，0，(1)有理數(shù)集合：{________________…}；(2)負(fù)無(wú)理數(shù)集合：{______________…}；(3)正實(shí)數(shù)集合：{________________…}．【答案】(1)38，?78，0，(2)?32(3)38，π3【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)的定義，即可求解；（2）根據(jù)負(fù)無(wú)理數(shù)的定義，即可求解；（3）根據(jù)正實(shí)數(shù)的定義，即可求解．【詳解】（1）解：38有理數(shù)集合：{38，?78，0，?0.故答案為：38，?78，0，?0.（2）解：負(fù)無(wú)理數(shù)集合：{?32，故答案為：?32，（3）解：正實(shí)數(shù)集合：{38，π3，故答案為：38，π3，【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)及實(shí)數(shù)的定義及分類，有理數(shù)是整數(shù)和分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱，也可以說(shuō)，可以化為整數(shù)、有限小數(shù)和無(wú)限不循環(huán)小數(shù)的數(shù)都是有理數(shù)；無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是無(wú)理數(shù)；實(shí)數(shù)是有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的總稱；大于0的數(shù)叫做正數(shù)，在正數(shù)前面加上負(fù)號(hào)“﹣”的數(shù)叫做負(fù)數(shù)，0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)．【變式1-1】（2023秋·河北承德·八年級(jí)?？计谥校┫铝姓f(shuō)法中：①0是最小的整數(shù)；②有理數(shù)不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)；③﹣π2不僅是有理數(shù)，而且是分?jǐn)?shù)；④23A．7個(gè) B．6個(gè) C．5個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)有理數(shù)的分類依此作出判斷，即可得出答案．【詳解】解：①?zèng)]有最小的整數(shù)，所以原說(shuō)法錯(cuò)誤；②有理數(shù)包括正數(shù)、0和負(fù)數(shù)，所以原說(shuō)法錯(cuò)誤；③﹣π2④237⑤無(wú)限小數(shù)不都是有理數(shù)，所以原說(shuō)法正確；⑥正數(shù)中沒(méi)有最小的數(shù)，負(fù)數(shù)中沒(méi)有最大的數(shù)，所以原說(shuō)法正確；⑦非負(fù)數(shù)就是正數(shù)和0，所以原說(shuō)法錯(cuò)誤；⑧正整數(shù)、負(fù)整數(shù)、正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)和0統(tǒng)稱為有理數(shù)，所以原說(shuō)法錯(cuò)誤；故其中錯(cuò)誤的說(shuō)法的個(gè)數(shù)為6個(gè)．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的分類，認(rèn)真掌握正數(shù)、負(fù)數(shù)、整數(shù)、分?jǐn)?shù)、正有理數(shù)、負(fù)有理數(shù)、非負(fù)數(shù)的定義與特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．注意整數(shù)和正數(shù)的區(qū)別，注意0是整數(shù)，但不是正數(shù)．【變式1-2】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)期中）對(duì)于?3+5的敘述，下列說(shuō)法中正確的是（

A．它不能用數(shù)軸上的點(diǎn)表示出來(lái) B．它是一個(gè)無(wú)理數(shù)C．它比0大 D．它的相反數(shù)為3＋5【答案】B【分析】根據(jù)數(shù)軸的意義，實(shí)數(shù)的計(jì)算，無(wú)理數(shù)的定義，相反數(shù)的定義判斷即可．【詳解】A．?dāng)?shù)軸上的點(diǎn)和實(shí)數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的，故該說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；B．?3+5C．?3+5D．?3+5的相反數(shù)為3?【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)與數(shù)軸，實(shí)數(shù)的大小比較，無(wú)理數(shù)的定義，相反數(shù)的定義，牢記相關(guān)概念是解答本題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2023秋·浙江溫州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）小聰在學(xué)完實(shí)數(shù)后，對(duì)數(shù)進(jìn)行分類時(shí)，發(fā)現(xiàn)“實(shí)數(shù)”、“整數(shù)”、“正數(shù)”、“無(wú)理數(shù)”有如圖所示的關(guān)系，請(qǐng)你在圖中的橫線上分別填上一個(gè)適合的數(shù)．【答案】見(jiàn)解析【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)的分類填寫即可．【詳解】解：實(shí)數(shù)分為有理數(shù)與無(wú)理數(shù)，也可分為正實(shí)數(shù)，0，負(fù)實(shí)數(shù)，所以實(shí)數(shù)下橫線填負(fù)數(shù)；正數(shù)分為正有理數(shù)，正無(wú)理數(shù)，正數(shù)下的橫線上填正有理數(shù)；整數(shù)分為正整數(shù)，0，與負(fù)整數(shù)，整數(shù)下橫線填0與負(fù)整數(shù)；無(wú)理數(shù)分為正無(wú)理數(shù)，負(fù)無(wú)理數(shù)，無(wú)理數(shù)下橫線填負(fù)無(wú)理數(shù)，整數(shù)與正數(shù)公共部分填正整數(shù)，無(wú)理數(shù)與正數(shù)公共部分填正無(wú)理數(shù)，填數(shù)如下：【點(diǎn)睛】本題主要考查了實(shí)數(shù)的分類，熟練掌握實(shí)數(shù)的分類是解答本題的關(guān)鍵．【題型2直接求平方根、立方根】【例2】（2023春·四川廣元·八年級(jí)校聯(lián)考期中）下列式子正確的是（

）A．49=±7 B．?32=?3 C．?【答案】D【分析】分別根據(jù)算術(shù)平方根的性質(zhì)、立方根的性質(zhì)化簡(jiǎn)即可．【詳解】解：A、49=7B、?32C、??D、?3故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根的性質(zhì)、立方根的性質(zhì)，熟記運(yùn)算法則是關(guān)鍵．【變式2-1】（2023春·廣西河池·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列說(shuō)法中，錯(cuò)誤的是（

）A．2的平方根是±4 B．0的平方根是0 C．1的平方根是±1 D．?1的立方根是?1【答案】D【分析】利用平方根和立方根的定義進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A.2的平方根是±2B.0的平方根是0，則B不符合題意；C.1的平方根是±1，則C不符合題意；D.?1的立方根是?1，則D不符合題意；【點(diǎn)睛】本題考查平方根和立方根的定義，熟練掌握相關(guān)概念是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2023春·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)統(tǒng)考期末）若x?4+5?y2=0，則【答案】±3【分析】非負(fù)數(shù)之和等于0時(shí)，各項(xiàng)都等于0，由此即可計(jì)算．【詳解】解：∵x?4+∴x?4=0，5?y=0，∴x=4，y=5，∴x+y=9，∴xy的平方根是±3．故答案為：±3．【點(diǎn)睛】本題考查非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握：非負(fù)數(shù)之和等于0時(shí)，各項(xiàng)都等于0．【變式2-3】（2023春·吉林松原·八年級(jí)校聯(lián)考期中）已知64的立方根是m，m的平方根是n，求m+n的值．【答案】m+n的值為6或2【分析】由64的立方根是m，可得m=364=4，由m的平方根是n【詳解】解：∵64的立方根是m，∴m=3∵m的平方根是n，∴n=±m(xù)∴當(dāng)n=2，m+n=6；當(dāng)n=?2，m+n=2；∴m+n的值為6或2．【點(diǎn)睛】本題考查了立方根，平方根，代數(shù)式求值．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握．【題型3由平方根、立方根，求該數(shù)】【例3】（2023秋·河北石家莊·八年級(jí)石家莊市第二十二中學(xué)?？计谀┤鬭的算術(shù)平方根為17.25，b的立方根為?8.69；x的平方根為±1.725，y的立方根為86.9，則（

）A．x=1100a,y=?1000bC．x=100a,y=1100a【答案】D【分析】根據(jù)平方根、算術(shù)平方根和立方根的定義求出a、b、x、y的值，再找出關(guān)系即可．【詳解】解：∵a的算術(shù)平方根為17.25，b的立方根為-8.69，∴a=297.5625，b=-656.234909．∵x的平方根為±1.725，y的立方根為86.9，∴x=2.975625，y=656234.909，∴x=1【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)平方根、算術(shù)平方根和立方根的運(yùn)用．解題的關(guān)鍵是掌握平方根、算術(shù)平方根和立方根的定義．【變式3-1】（2023春·福建南平·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知a的平方根為±3，a+b的算術(shù)平方根為2，求a?b的平方根．【答案】±【分析】根據(jù)題意，先求得a和a+b的值，進(jìn)而求得b的值，再代入求得a?b的平方根即可．【詳解】解：∵a的平方根為±3，∴a=9，∵a+b的算術(shù)平方根為2，∴a+b=4，∴b=?5；當(dāng)a=9，b=?5時(shí)，a?b=14，∴a?b的平方根為±14【點(diǎn)睛】本題考查的是平方根及算術(shù)平方根的定義，熟知一個(gè)數(shù)的平方根有兩個(gè)，這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2023春·湖北孝感·八年級(jí)統(tǒng)考期末）某正數(shù)的兩個(gè)平方根分別是a+3、2a?15，則這個(gè)正數(shù)為．【答案】49【分析】根據(jù)正數(shù)的兩個(gè)平方根互為相反數(shù)，可求出a的值，再根據(jù)平方根即可求出這個(gè)正數(shù)．【詳解】解：∵正數(shù)的兩個(gè)平方根分別是a+3、2a?15，正數(shù)的兩個(gè)平方根互為相反數(shù)，∴a+3+2a?15=0，解得：a=4，∴a+3=4+3=7，則這個(gè)正數(shù)為72故答案為：49．【點(diǎn)睛】本題考查了平方根，熟練掌握一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，兩個(gè)平方根互為相反數(shù)，是解答本題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2023春·云南普洱·八年級(jí)?？计谥校┮阎猘的平方根是±5，2b+4的立方根是2，3（1）求a,b,c的值；（2）求a+2b+c的算術(shù)平方根．【答案】（1）a=5、b=2、c=1或c=0；（2）10或3．【分析】（1）根據(jù)平方根和立方根的定義可確定a、b的值，再根據(jù)一個(gè)數(shù)的立方根和算術(shù)平方根相等的數(shù)是0和1，可以確定c；（2）分c=0和c=1兩張情況分別解答即可．【詳解】解：（1）∵a的平方根是±5，2b+4∴a=5，2b+4=8，即b=2∵3∴c=1或c=0∴a=5、b=2、c=1或c=0；（2）當(dāng)c=1時(shí)，a+2b+c=5+2×2+1當(dāng)c=0時(shí)，a+2b+c=∴a+2b+c的算術(shù)平方根為10或3．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平方根、立方根、算術(shù)平方根的定義，靈活運(yùn)用相關(guān)定義并正確確定c的值成為解答本題的關(guān)鍵．【題型4估算二次根式的取值范圍】【例4】（2023春·湖北荊州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，用邊長(zhǎng)為3的兩個(gè)小正方形拼成一個(gè)面積為18的大正方形，則大正方形的邊長(zhǎng)最接近的整數(shù)是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】D【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的概念結(jié)合正方形的性質(zhì)得出其邊長(zhǎng)，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：∵用邊長(zhǎng)為3的兩個(gè)小正方形拼成一個(gè)大正方形，∴大正方形的面積為：9+9=18，則大正方形的邊長(zhǎng)為：18，∵16<∴4＜18＜4.5，∴大正方形的邊長(zhǎng)最接近的整數(shù)是4．【點(diǎn)睛】本題主要考查了算術(shù)平方根，正確掌握算術(shù)平方根的定義是解題關(guān)鍵．【變式4-1】（2023春·河北邢臺(tái)·八年級(jí)?？计谥校┕烙?jì)230?24A．1和2之間 B．2和3之間 C．3和4之間 D．4和5之間【答案】B【詳解】【分析】先利用分配律進(jìn)行計(jì)算，然后再進(jìn)行化簡(jiǎn)，根據(jù)化簡(jiǎn)的結(jié)果即可確定出值的范圍.【詳解】2=230=25而254<20<5，所以2<25所以估計(jì)230故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的混合運(yùn)算及估算無(wú)理數(shù)的大小，熟練掌握運(yùn)算法則以及“夾逼法”是解題的關(guān)鍵.【變式4-2】（2023春·新疆塔城·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知x是整數(shù)，當(dāng)x?30取最小值時(shí)，x的值是(

A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【分析】根據(jù)絕對(duì)值的意義，找到與30最接近的整數(shù)，可得結(jié)論．【詳解】解：∵25<30<且與30最接近的整數(shù)是5，∴當(dāng)x?30取最小值時(shí)，x故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根的估算和絕對(duì)值的意義，熟練掌握平方數(shù)是關(guān)鍵．【變式4-3】（2023春·福建廈門·八年級(jí)廈門市湖濱中學(xué)?？计谥校┮阎猰2＜21，若m+2是整數(shù)，則m【答案】-1，2，-2.【分析】根據(jù)題意可知m是整數(shù)，然后求出m的范圍即可得出m的具體數(shù)值，然后根據(jù)m+2是整數(shù)即可求出答案．【詳解】解：∵m+2是整數(shù)，∴m是整數(shù)，∵m2∴m2≤4，∴-2≤m≤2，∴m=-2，-1，0，1，2當(dāng)m=±2或-1時(shí)，m+2是整數(shù)，故答案為：-1，2，-2【點(diǎn)睛】本題考查算術(shù)平方根，解題的關(guān)鍵是根據(jù)條件求出m的范圍，本題屬于中等題型．【題型5利用平方根、立方根解方程】【例5】（2023秋·江蘇鹽城·八年級(jí)校聯(lián)考期中）求下列式子中的x(1)2(2)3【答案】(1)x=3或x=?1(2)x=0【分析】（1）根據(jù)等式的性質(zhì)和平方根的定義進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)等式的性質(zhì)和立方根的定義進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：2(x?1)2x?1=±2，x?1=2或x?1=?2，x=3或x=?1；（2）解：3(x+1)(x?3)3x?3=?3，x=0．【點(diǎn)睛】本題考查平方根、立方根，理解平方根、立方根的定義是正確解答的關(guān)鍵．【變式5-1】（2023春·廣西玉林·八年級(jí)統(tǒng)考期中）求下列各式中x的值．(1)25?x(2)(x+1)3【答案】(1)x=±5(2)x=3【分析】（1）根據(jù)平方根的定義解答即可；（2）根據(jù)立方根的定義解答即可．【詳解】（1）解：25?移項(xiàng)，得：x2解得：x=±5；（2）x+1開(kāi)立方得：x+1=4，解得：x=3．【點(diǎn)睛】本題考查了用平方根，立方根解方程，熟練掌握平方根和立方根的定義是解答本題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2023春·湖北孝感·八年級(jí)統(tǒng)考期中）求x的值：(1)25(2)(x+1)【答案】(1)x=65(2)x=【分析】（1）先把方程化為x2（2）先把方程化為(x+1)3(1)解：25∴x解得：x=±65，即x=(2)解：(x+1)移項(xiàng)得：(x+1)3∴x+1=3解得：x=【點(diǎn)睛】本題考查的是利用平方根的含義，立方根的含義解方程，掌握“平方根與立方根的含義”是解本題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2023秋·江蘇·八年級(jí)期中）解方程：32【答案】x=1±【分析】先根據(jù)立方根的定義得出32(x?1)2【詳解】解：∵32∴32∴x?12=2，則∴x=1±2【點(diǎn)睛】本題主要考查立方根、平方根、等式的基本性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用整體思想是解題的關(guān)鍵．【題型6由平方根、立方根求參數(shù)的值】【例6】（2023春·重慶彭水·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知a?4的立方根是1，3a?b?2的算術(shù)平方根是3，13的整數(shù)部分是c．(1)求a，b，c的值．(2)求2a?3b+c的平方根．【答案】(1)a=5，b=4，c=3(2)±1【分析】根據(jù)立方根、算術(shù)平方根的概念可得a?4、3a?b?2的值，進(jìn)而可得a、b的值，接著估計(jì)13的大小，可得c的值，進(jìn)而可得2a?3b+c，再根據(jù)平方根的求法可得答案．【詳解】（1）解：∵a?4的立方根是1，3a?b?2的算術(shù)平方根是3，∴a?4=1，3a?b?2=9，解得：a=5，b=4；∵9<13<16，∴3<13∴c=3．（2）解：由（1）得：2a?3b+c=10?12+3=1；故2a?3b+c的平方根為±1．【點(diǎn)睛】此題主要考查了無(wú)理數(shù)的估算能力，求一個(gè)數(shù)的平方根，靈活運(yùn)用。“夾逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．【變式6-1】（2023春·甘肅慶陽(yáng)·八年級(jí)?？计谥校┮阎狝=a?1a+3b是a＋3b的算術(shù)平方根，B=2a?b?11?a2是1－a【答案】D＋B的立方根是1【分析】根據(jù)算術(shù)平方根和立方根的意義，可列方程組，然后求解即可得到a、b的值，然后代入求解即可.【詳解】解：由題意得:a?1=22a?b?1=3解得：a=3b=2∴A=9B=3∴3A+B【變式6-2】（2023秋·陜西咸陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知a?1的算術(shù)平方根是2，4a+b?3的立方根是3，c是15的整數(shù)部分，求ac+b的平方根．【答案】±5【分析】根據(jù)算術(shù)平方根和立方根的定義，求得a、b的值，再根據(jù)二次根式的估算，求得c的值，最后求得ac+b的值，進(jìn)而求得ac+b的平方根．【詳解】解：∵a?1的算術(shù)平方根是2，4a+b?3的立方根是3，∴a?1=4，4a+b?3=27，解得a=5，b=10．∵9<15<16，∴3<15∴15的整數(shù)部分是3，即c=3，∴ac+b=5×3+10=25，∴ac+b的平方根為：±25∴ac+b的平方根是±5．【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根、立方根、二次根式的估算、平方根等知識(shí)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式6-3】（2023春·福建廈門·八年級(jí)校聯(lián)考期中）已知5a+2的立方根是3，3a+b?1的算術(shù)平方根是4，c是15的整數(shù)部分，d是15的小數(shù)部分．(1)求a，b，c，d的值；(2)求3a?b+c的平方根．【答案】(1)a=5，b=2，c=3，d=(2)±4【分析】（1）根據(jù)立方根，算術(shù)平方根的定義求a，b的值，估算無(wú)理數(shù)的大小得到c，d的值；（2）求出代數(shù)式的值，再求平方根即可．（1）解：∵5a+2的立方根是3，3a+b?1的算術(shù)平方根是4，∴5a+2=27，3a+b?1=16，∴a=5，b=2，∵9<15<16，∴3<15∴c=3，d=15（2）當(dāng)a=5，b=2，c=3時(shí)，3a?b+c=3×5?2+3=15?2+3=16，16的平方根為±4，答：3a?b+c的平方根為±4．【點(diǎn)睛】本題考查了平方根，立方根，無(wú)理數(shù)的估算，無(wú)理數(shù)的估算常用夾逼法，用有理數(shù)夾逼無(wú)理數(shù)是解題的關(guān)鍵．【題型7實(shí)數(shù)的大小比較】【例7】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)期末）已知a=2022?2021，b=2021?2020，c=2020?2019A．a(chǎn)<b<c B．a(chǎn)<c<b C．c<b<a D．b<c<a【答案】D【分析】先把a(bǔ),b,c化為12022+2021,12021【詳解】解：∵a=2022b=2021c=2020而2022+∴a<b<c.故選A．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次根式的大小比較，二次根式的混合運(yùn)算，掌握“二次根式的大小比較的方法”是解本題的關(guān)鍵．【變式7-1】（2023春·江蘇蘇州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）秦兵馬俑的發(fā)現(xiàn)被譽(yù)為“世界第八大奇跡”，兵馬俑的眼睛到下巴的距離與頭頂?shù)较掳偷木嚯x之比為5?12，下列各數(shù)中最接近于5?1A．25 B．12 C．35【答案】A【分析】先把5?1【詳解】解：∵5∵25=0.4，12=0.5∴0.4<0.5<0.6<0.618<0.75，而0.618?0.6=0.018，0.75?0.618=0.133，∵0.133>0.018∴0.6更接近0.75，即35更接近5【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)大小比較，估算無(wú)理數(shù)的大小，準(zhǔn)確熟練地估算無(wú)理數(shù)的大小是解題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2023秋·陜西西安·八年級(jí)?？计谥校┍容^下列各組數(shù)的大?。?21.4；275；5311；5【答案】<>>>【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)比較大小的方法進(jìn)行求解即可．【詳解】解：?2∵7>6.25，∴7>2.5∴27∵11<11.089567，∴311∵5>4.9729，∴5>2.23∴5>2.23>∵5>4，∴5>2∴5?1>1∴5?1故答案為：<；>；>；>．【點(diǎn)睛】本題主要考查了實(shí)數(shù)比較大小，熟知實(shí)數(shù)比較大小的方法是解題的關(guān)鍵．【變式7-3】（2023春·湖北武漢·八年級(jí)武漢市糧道街中學(xué)校聯(lián)考期中）“比差法”是數(shù)學(xué)中常用的比較兩個(gè)數(shù)大小的方法，即：a?b>0，則例如：比較19?2∵19?2?2=19?4

又∵16∴19?2?2=19?4>0請(qǐng)根據(jù)上述方法解答以下問(wèn)題：(1)29的整數(shù)部分是________，7?29(2)比較2?23與?3(3)已知a+ba?b=a2?【答案】(1)5；6?(2)2?23(3)100+【分析】（1）首先估算出5<29<6，得到29的整數(shù)部分是5；推出?6<?29（2）根據(jù)“比差法”比較兩個(gè)數(shù)大小即可；（3）根據(jù)“比差法”比較得100+98?299=【詳解】（1）解：∵5<29∴29的整數(shù)部分是5；∴?6<?29∴1<7?29∴7?29的整數(shù)部分是1，則7?29的小數(shù)部分是故答案為：5；6?29（2）解：2?23∴2?23（3）解：100==∵100+∴1100∴100+【點(diǎn)睛】此題考查了無(wú)理數(shù)大小的比較，弄清題中的“作差比較法”是解本題的關(guān)鍵．【題型8實(shí)數(shù)與數(shù)軸綜合運(yùn)用】【例8】（2023秋·河北邯鄲·八年級(jí)?？计谥校┮阎?是無(wú)理數(shù)，而無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，因此2的小數(shù)部分不可能全部寫出來(lái)，但由于1<2<2，所以2的整數(shù)部分為1，將2減去其整數(shù)部分1，差即小數(shù)部分

(1)7的整數(shù)部分是__________，小數(shù)部分是__________；(2)若4+3的整數(shù)部分是x，小數(shù)部分是y①填空：y=__________；②如圖，若面積為x的正方形放置在數(shù)軸上，使得正方形的一個(gè)頂點(diǎn)和表示?1的點(diǎn)重合，一條邊恰好落在數(shù)軸正方向上，其另一個(gè)頂點(diǎn)為數(shù)軸上的點(diǎn)A，求點(diǎn)A表示的數(shù)．【答案】(1)2，7(2)①3?1；②【分析】（1）根據(jù)無(wú)理數(shù)的估算可得2<7（2）①先根據(jù)無(wú)理數(shù)的估算可得1<3<2，從而可得②先求出x=5，再求出正方形的邊長(zhǎng)為5，然后根據(jù)數(shù)軸的性質(zhì)即可得．【詳解】（1）解：∵4<7<9，∴2<7則7的整數(shù)部分是2，小數(shù)部分是7?2故答案為：2，7?2（2）解：①∵1<3<4，∴1<3∴5<4+3∴4+3的小數(shù)部分y=4+故答案為：3?1②由（2）①可知，4+3的整數(shù)部分x=5∴這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為5，∵正方形的一個(gè)頂點(diǎn)和表示?1的點(diǎn)重合，一條邊恰好落在數(shù)軸正方向上，其另一個(gè)頂點(diǎn)為數(shù)軸上的點(diǎn)A，∴點(diǎn)A表示的數(shù)為?1+5【點(diǎn)睛】本題考查了無(wú)理數(shù)的估算、實(shí)數(shù)與數(shù)軸、算術(shù)平方根，熟練掌握無(wú)理數(shù)的估算是解題關(guān)鍵．【變式8-1】（2023春·江西上饒·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，半徑為1的圓上有一點(diǎn)P落在數(shù)軸上表示?1的點(diǎn)處，若將圓沿?cái)?shù)軸向左滾動(dòng)一周后，點(diǎn)P所處的位置在兩個(gè)連續(xù)的整數(shù)m，n之間，則m+n的值為．

【答案】?15【分析】根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式算出P點(diǎn)在數(shù)軸上移動(dòng)的長(zhǎng)度，向左移動(dòng)，原數(shù)減去移動(dòng)的長(zhǎng)度即可得到點(diǎn)P新位置表示的數(shù)．從而分析在哪兩個(gè)數(shù)之間，進(jìn)而求出答案．【詳解】解：2π×1≈6.28，?1?6.28=?7.28，?7.28在?7和?8之間，∴m+n=?7?8=?15，故答案為：?15．【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)與數(shù)軸，熟知實(shí)數(shù)與數(shù)軸上各點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)．明確點(diǎn)P新位置表示的數(shù)是解題的關(guān)鍵．【變式8-2】（2023春·云南曲靖·八年級(jí)?？计谥校┮阎c(diǎn)A、B、C在數(shù)軸上表示的數(shù)a、b、c的位置如圖所示：化簡(jiǎn)：3b3【答案】b【分析】根據(jù)數(shù)軸可知a<b<0<c，則可知b+c>0，a?b?c<0，即可根據(jù)平方根，立方根的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)．【詳解】根據(jù)數(shù)軸可知a<b<0<c，則可知b+c>0，a?b?c<0，3==b+a?b?c?a+b+c=b故答案為：b．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平方根、立方根的性質(zhì)，根據(jù)數(shù)軸得出數(shù)與0的大小關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式8-3】（2023秋·浙江衢州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，正方形ABCD的邊AB在數(shù)軸上，數(shù)軸上點(diǎn)B表示的數(shù)為?1，正方形ABCD的面積為16．圖中陰影部分為正方形．

(1)數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為_(kāi)__________；(2)求圖中陰影部分的面積是多少？(3)陰影部分正方形的邊長(zhǎng)是多少？并在數(shù)軸上表示出點(diǎn)E，使點(diǎn)E表示的數(shù)為該正方形的邊長(zhǎng)．【答案】(1)?5(2)10(3)10，在數(shù)軸上表示見(jiàn)解析【分析】（1）由題意可知AB=4，由圖可知點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)，進(jìn)而可知點(diǎn)A表示的數(shù)為?1?4=?5；（2）用正方形ABCD的面積減去周圍三個(gè)直角三角形的面積即可求解；（3）由陰影部分的面積即可求得邊長(zhǎng)，以原點(diǎn)為圓心，正方形的邊長(zhǎng)為半徑畫弧，與數(shù)軸正半軸交于一點(diǎn)即可求解．【詳解】（1）解：∵正方形ABCD的面積為16，∴AB=4，∵數(shù)軸上點(diǎn)B表示的數(shù)為?1，由圖可知點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)，∴點(diǎn)A表示的數(shù)為?1?4=?5，故答案為：?5；（2）解：圖中陰影部分的面積=16?1（3）解：∵圖中陰影部分的面積10，∴陰影部分正方形的邊長(zhǎng)是10，

以原點(diǎn)為圓心，正方形的邊長(zhǎng)為半徑畫弧，與數(shù)軸正半軸交于一點(diǎn)E，如圖所示，該點(diǎn)即為所求．【點(diǎn)睛】本題考查在數(shù)軸上表示數(shù)，在數(shù)軸表示無(wú)理數(shù)的點(diǎn)，掌握無(wú)理數(shù)在數(shù)軸的表示方法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【題型9二次根式的混合運(yùn)算】【例9】（2023春·四川廣安·八年級(jí)?？计谥校┯?jì)算：(1)91(2)(6【答案】(1)2(2)2【分析】（1）先根據(jù)二次根式的乘法和除法法則運(yùn)算，然后化簡(jiǎn)即可；（2）先根據(jù)乘法分配律展開(kāi)，再計(jì)算二次根式的乘法最后計(jì)算加減即可．【詳解】（1）9=9×=3=3×=（2）(=?=?12+2+12=2【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握二次根式的性質(zhì)、二次根式的乘法和除法法則是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式9-1】（2023春·上?！ぐ四昙?jí)?？计谀┯?jì)算：12+【答案】53【分析】先根據(jù)二次根式的乘除法法則計(jì)算乘除法，同時(shí)分別化簡(jiǎn)各加數(shù)中的二次根式，最后計(jì)算加減法.【詳解】12=2=2=5321【點(diǎn)睛】此題考查二次根式的混合運(yùn)算，二次根式的化簡(jiǎn)，正確掌握二次根式的化簡(jiǎn)法則是解題的關(guān)鍵.【變式9-2】（2023春·黑龍江綏化·八年級(jí)?？计谥校┯?jì)算．(1)5?3+(2)54?11?4【答案】(1)6?2(2)1【分析】（1）利用平方差公式、完全平方公式計(jì)算；（2）先進(jìn)行分母有理化，再進(jìn)行加減運(yùn)算．【詳解】（1）解：5?3==5?2=6?2（2）解：54?11?==4+=4+=1【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的混合運(yùn)算，涉及平方差公式、完全平方公式等，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式分母有理化的方法．【變式9-3】（2023春·黑龍江綏化·八年級(jí)?？计谥校┯?jì)算(1)(a(2)(a+b?【答案】(1)a(2)?【分析】（1）先將除法轉(zhuǎn)化為乘法計(jì)算，然后利用乘法的分配率分別相乘，根據(jù)二次根式、分式的運(yùn)算法則計(jì)算即可；（2）先對(duì)括號(hào)內(nèi)分別通分計(jì)算加減法，將除法轉(zhuǎn)化為乘法計(jì)算，根據(jù)二次根式、分式的運(yùn)算法則計(jì)算即可．【詳解】（1）解：(=＝1＝1b2－1=a（2）解：(===＝a+ba+=?【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式、分式的混合運(yùn)算，掌握運(yùn)算法則、準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【題型10二次根式的化簡(jiǎn)求值】【例10】（2023春·上海閔行·八年級(jí)上海市閔行區(qū)莘松中學(xué)?？计谥校┫然?jiǎn)，再求值：x?yx?y【答案】2x+2【分析】首先對(duì)第一個(gè)式子的分子利用平方差公式分解，第二個(gè)式子利用完全平方公式分解，然后約分，合并同類二次根式即可化簡(jiǎn)，然后代入數(shù)值計(jì)算即可．【詳解】解：原式===2當(dāng)x=3,y=1原式=2=2=【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，正確理解平方差公式和完全平方公式對(duì)分子進(jìn)行變形是關(guān)鍵．【變式10-1】（2023春·浙江寧波·八年級(jí)?？计谀┮阎獂+1x=3，且0<x<1【答案】5+1【分析】利用題目給的x+1x求出x?1【詳解】∵x+∴x+∴x+1∴x?∵0<x<1，∴x?∴x+∴原式===5故答案是：5+1【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的運(yùn)算和乘法公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用乘法公式對(duì)式子進(jìn)行巧妙運(yùn)算．【變式10-2】（2023春·廣西南寧·八年級(jí)統(tǒng)考期中）先化簡(jiǎn)，再求值4525x+9【答案】5【分析】先把二次根式為最簡(jiǎn)二次根式，再合并同類二次根式，最后代入求值即可．【詳解】解：4==4=5把x=12代入5∴當(dāng)x=12【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，掌握把二次根式為最簡(jiǎn)二次根式是解題的關(guān)鍵．【變式10-3】（2023春·湖北武漢·八年級(jí)華師一附中初中部校考期中）已知x＝12020?2019，則x6﹣22019x5﹣x4＋x3﹣22020x2＋2x﹣2020A．0 B．1 C．2019 D．2020【答案】A【分析】對(duì)已知進(jìn)行變形，再代入所求式子，反復(fù)代入即可．【詳解】∵x=1∴x=x=x=x=x=x=?x+2x?2020=x?2020=2019故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，對(duì)所求式子進(jìn)行變形，反復(fù)代入x的值即可解決.【題型11利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)】【例11】（2023春·山東威?！ぐ四昙?jí)統(tǒng)考期末）已知a>b，則aa?b?b?a【答案】?【分析】先根據(jù)被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)，得出a<0，再根據(jù)a>b得出b?a<0，a?b>0，最后根據(jù)二次根式的運(yùn)算